Test: rădăcini de ordinul n și ecuații binome

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică rezultatul care încheie studiul formei trigonometrice: orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, iar imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat înscris într-un cerc centrat în origine. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: aplicarea corectă și completă a formulei — modulul se extrage aritmetic, ca radical de ordinul $n$ dintr-un număr pozitiv, iar argumentele se obțin adăugând la argumentul redus multipli de $2\pi$ înainte de împărțirea la $n$; greșeala clasică este oprirea după prima rădăcină, adică pierderea a $n-1$ soluții. Al doilea: rădăcinile unității — forma lor, faptul că fiecare este o putere a primei rădăcini nebanale și că suma lor este $0$, rezultat pe care elevul trebuie să-l poată și justifica, nu doar cita. Al treilea: legătura cu geometria — poligon regulat, laturi, arie, simetrii; aceasta este partea care transformă o formulă într-o imagine ușor de reținut. Al patrulea: ecuațiile binome $z^n=a$ și cele reductibile la ele printr-o substituție, unde disciplina cerută este aceeași ca la ecuațiile bipătrate — nicio valoare intermediară nu se respinge, pentru că în $\mathbb{C}$ fiecare dintre ele are, la rândul ei, exact $n$ rădăcini.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. O rezolvare este completă doar dacă sunt scrise toate cele $n$ rădăcini, atât în formă trigonometrică, cât și în formă algebrică acolo unde argumentele sunt unghiuri remarcabile. Argumentele se scriu reduse, în $[0,2\pi )$. Se depunctează: extragerea unei singure rădăcini, folosirea simbolului radical pentru rădăcina de ordinul $n$ a unui număr complex nereal și omiterea condiției $k=0,1,\dots ,n-1$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formula rădăcinilor și pe reprezentarea lor pe cerc.
• Formule de reținut: dacă $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r>0$, atunci rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$ sunt cele $n$ numere $$z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1,$$ unde $\sqrt[n]{r}$ este radicalul aritmetic al numărului pozitiv $r$. Toate au același modul $\sqrt[n]{r}$, deci imaginile lor sunt pe cercul de centru $O$ și rază $\sqrt[n]{r}$, iar argumentele lor diferă succesiv cu $\frac{2\pi }{n}$: pentru $n\ge 3$ imaginile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi. Rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt $${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}={\epsilon }^k,k=0,1,\dots ,n-1,\text{unde }\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n},$$ iar suma lor este $0$ pentru orice $n\ge 2$. Ecuația binomă $z^n=a$, cu $a\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, are exact $n$ soluții — rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$. Elemente de poligon regulat înscris în cercul de rază $R$: latura triunghiului echilateral este $R\sqrt{3}$, latura pătratului este $R\sqrt{2}$, latura hexagonului regulat este $R$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Formula rădăcinilor și ecuații binome simple

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul rădăcinilor de ordinul $5$ ale numărului $32$, în mulțimea $\mathbb{C}$, este: A. $1$; B. $2$; C. $5$; D. o infinitate.

b) Rădăcinile de ordinul $4$ ale unității sunt: A. $1$ și $-1$; B. $1$, $i$, $-1$, $-i$; C. $1$ și $i$; D. $i$ și $-i$.

c) Suma rădăcinilor de ordinul $3$ ale unității este: A. $0$; B. $1$; C. $3$; D. $-1$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuațiile binome, scriind toate soluțiile (câte 1,5 puncte): a) $z^3=1$; b) $z^4=1$; c) $z^2=i$; d) $z^3=-i$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$." b) „Pentru $n\ge 3$, imaginile rădăcinilor de ordinul $n$ ale unui număr complex nenul sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi." c) „Ecuația $z^4=-16$ nu are soluții." d) „Suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $1$, pentru orice $n\ge 2$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină rădăcinile de ordinul $3$ ale numărului $8i$, scriindu-le în formă trigonometrică și în formă algebrică. (3 p) b) Arată că imaginile lor sunt vârfurile unui triunghi echilateral și calculează lungimea laturii acestuia. (3 p)

Partea a II-a – Rădăcinile unității, poligoane regulate și ecuații reductibile

Itemul 5 (8 puncte)

a) Scrie rădăcinile de ordinul $6$ ale unității, în formă trigonometrică și în formă algebrică. (3 p) b) Arată că suma lor este $0$, grupând convenabil termenii. (3 p) c) Arată că fiecare dintre ele este o putere a numărului $\epsilon =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=-16$, scriind soluțiile în formă algebrică. (4 p) b) Reprezintă imaginile soluțiilor și arată că ele sunt vârfurile unui pătrat, precizând raza cercului circumscris și latura pătratului. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3=-27$. (4 p) b) Arată că imaginile soluțiilor sunt vârfurile unui triunghi echilateral și calculează lungimea laturii lui. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^6+7z^3-8=0$. (4 p) b) Arată că soluțiile ecuației $z^3=-8$ se obțin înmulțind cu $-2$ soluțiile ecuației $z^3=1$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină rădăcinile de ordinul $4$ ale numărului $z=-8+8i\sqrt{3}$. (3 p) b) Arată că imaginile lor sunt vârfurile unui pătrat și calculează aria $\mathcal{S}$ a acestuia. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că numărul complex nenul $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, anume numerele $$z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1.$$ (5 p) b) Demonstrează că suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $0$, pentru orice $n\ge 2$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^3=8$. a) Arătați că $z=2$ este soluție și că ecuația se poate scrie sub forma $(z-2)\left(z^2+2z+4\right)=0$. (2 p) b) Rezolvați ecuația $z^2+2z+4=0$ și scrieți toate soluțiile ecuației $z^3=8$. (3 p) c) Arătați că cele trei soluții au același modul și că suma lor este $0$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Capacul circular al unui rezervor se prinde cu $6$ șuruburi așezate la distanțe egale pe un cerc de rază $6$ cm, centrat în centrul $O$ al capacului. Poziția fiecărui șurub este dată de afixul punctului corespunzător, în centimetri; primul șurub are afixul $6$.

a) Scrie afixele celorlalte cinci șuruburi, în formă trigonometrică și în formă algebrică. (3 p) b) Calculează distanța dintre două șuruburi vecine. (3 p) c) Arată că suma afixelor celor șase șuruburi este $0$ și explică ce înseamnă geometric acest lucru. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul complex $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. a) Arătați că ${\epsilon }^3=1$. (2 p) b) Arătați că $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$. (3 p) c) Calculați ${\epsilon }^{2026}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$; aici $n=5$. (În $\mathbb{R}$ am fi găsit una singură, $\sqrt[5]{32}=2$.) b) B. Sunt numerele $\cos \frac{2k\pi }{4}+i\sin \frac{2k\pi }{4}$, pentru $k\in \{0,1,2,3\}$, adică $1$, $i$, $-1$, $-i$. Verificare: $i^4=1$ și $(-i{)}^4=1$. c) A. Suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $0$ pentru orice $n\ge 2$. Aici: $1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p aplicarea formulei, 1 p lista completă). a) $1=\cos 0+i\sin 0$, deci argumentele sunt $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$: $$z\in \left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$ b) Argumentele sunt $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, deci $z\in \{1,i,-1,-i\}$. c) $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, deci argumentele sunt $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$: $$z\in \left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}.$$ (Verificare: ${\left[\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right]}^2=\frac{1}{2}(1+i{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 2i=i$ ✓.) d) $-i=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}$, deci argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{6}$: $$z\in \left\{i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right\}.$$ (Verificare rapidă pentru prima: $i^3=-i$ ✓.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Formula rădăcinilor dă $n$ valori distincte, pentru $k=0,1,\dots ,n-1$; pentru $k\ge n$ argumentele se repetă modulo $2\pi$, deci nu apar rădăcini noi (vezi itemul 10). b) A. Toate rădăcinile au același modul $\sqrt[n]{r}$, deci imaginile sunt pe același cerc, iar argumentele lor cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$; punctele împart cercul în $n$ arce egale, adică sunt vârfurile unui poligon regulat. c) F. În $\mathbb{C}$ ecuația are exact patru soluții, $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{2}i$ (vezi itemul 6). Doar în $\mathbb{R}$ nu are soluții. d) F. Suma este $0$, nu $1$. De exemplu, pentru $n=4$: $1+i-1-i=0$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Scriem numărul în formă trigonometrică: $|8i|=8$ și $\arg (8i)=\frac{\pi }{2}$, deci $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$ (1 p). Modulul rădăcinilor este $\sqrt[3]{8}=2$, iar argumentele sunt $$\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3},k\in \{0,1,2\}⟹\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$$ (1 p). Prin urmare $$z_0=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i,z_1=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i,z_2=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i$$ (1 p). (Verificare: $(-2i{)}^3=-8i^3=8i$ ✓.)

b) (3 p) Toate trei au modulul $2$, deci imaginile sunt pe cercul de centru $O$ și rază $R=2$ (1 p); argumentele diferă succesiv cu $\frac{2\pi }{3}$, deci punctele împart cercul în trei arce egale — sunt vârfurile unui triunghi echilateral (1 p). Latura este $$\ell =R\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$ (1 p). (Control direct: $\left|(\sqrt{3}+i)-(-\sqrt{3}+i)\right|=\left|2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$ ✓.)

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{6}+i\sin \frac{2k\pi }{6}=\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}$, pentru $k=0,1,\dots ,5$ (1 p), adică (2 p) $$1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

b) (3 p) Grupăm fiecare rădăcină cu opusa ei (1,5 p): $1$ cu $-1$, $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ cu $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, și $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ cu $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Fiecare pereche dă $0$, deci suma este $0$ (1,5 p). (Se poate și cu conjugatele: părțile imaginare se anulează două câte două, iar suma părților reale este $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$.)

c) (2 p) Prin formula lui Moivre, ${\epsilon }^k=\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}={\epsilon }_k$ (1,5 p), deci cele șase rădăcini sunt exact ${\epsilon }^0,{\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^5$ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Scriem $-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$ (1 p). Modulul rădăcinilor este $\sqrt[4]{16}=2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi +2k\pi }{4}$, cu $k\in \{0,1,2,3\}$, adică $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$ (1,5 p). Cum $\cos$ și $\sin$ iau în aceste puncte valorile $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, obținem (1,5 p) $$z\in \left\{\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right\}.$$ (Verificare: ${\left[\sqrt{2}(1+i)\right]}^4=4\cdot (1+i{)}^4=4\cdot (2i{)}^2=-16$ ✓.)

b) (3 p) Toate patru au modulul $2$, deci imaginile sunt pe cercul de rază $R=2$ (1 p), iar argumentele diferă succesiv cu $\frac{\pi }{2}$: punctele sunt vârfurile unui pătrat (1 p). Latura este $$\ell =R\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$ (1 p). (Imaginile sunt punctele $(\pm \sqrt{2},\pm \sqrt{2})$ — un pătrat cu laturile paralele cu axele.)

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) $-27=27(\cos \pi +i\sin \pi )$ (1 p); modulul rădăcinilor este $\sqrt[3]{27}=3$, iar argumentele sunt $\frac{\pi +2k\pi }{3}$, adică $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$ (1,5 p). Rezultă (1,5 p) $$z_0=3\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,z_1=-3,z_2=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i.$$ (Verificare pentru $z_1$: $(-3{)}^3=-27$ ✓. Observă că rădăcina reală este doar una dintre cele trei.)

b) (3 p) Toate au modulul $3$, iar argumentele diferă cu $\frac{2\pi }{3}$, deci imaginile sunt vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul de rază $R=3$ (1,5 p). Latura: $$\ell =R\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$ (1,5 p). (Control direct: ${\left|\left(\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)-(-3)\right|}^2={\left(\frac{9}{2}\right)}^2+\frac{27}{4}=\frac{81}{4}+\frac{27}{4}=27$, deci distanța este $3\sqrt{3}$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) Notăm $t=z^3$; ecuația devine $t^2+7t-8=0$, cu $\Delta =49+32=81$, deci $t_1=1$ și $t_2=-8$ (1 p). Ambele valori se păstrează, fiecare dând câte trei rădăcini (0,5 p). Din $z^3=1$: $z\in \left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$ (1,25 p). Din $z^3=-8=8(\cos \pi +i\sin \pi )$: modulul rădăcinilor este $2$, argumentele $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$, deci $z\in \left\{1+i\sqrt{3},-2,1-i\sqrt{3}\right\}$ (1,25 p). Ecuația are, în total, șase soluții.

b) (2 p) Dacă $w^3=1$, atunci $(-2w{)}^3=(-2{)}^3{w}^3=-8$ (1 p), deci fiecare soluție a ecuației $z^3=1$, înmulțită cu $-2$, dă o soluție a ecuației $z^3=-8$; cum înmulțirea cu $-2$ nu identifică numere distincte, se obțin toate cele trei (1 p). Concret: $$-2\cdot 1=-2,-2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-i\sqrt{3},-2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+i\sqrt{3}.$$

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $|z|=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$; din $\cos \phi =-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{8\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul II) rezultă $\phi =\frac{2\pi }{3}$ (1 p). Modulul rădăcinilor este $\sqrt[4]{16}=2$, iar argumentele sunt $$\frac{\frac{2\pi }{3}+2k\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \{0,1,2,3\}⟹\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$$ (1 p), deci (1 p) $$z\in \left\{\sqrt{3}+i,-1+i\sqrt{3},-\sqrt{3}-i,1-i\sqrt{3}\right\}.$$

b) (3 p) Modulele sunt toate egale cu $2$, iar argumentele diferă succesiv cu $\frac{\pi }{2}$, deci imaginile sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul de rază $R=2$ (1 p). Latura este $\ell =R\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ (1 p), deci aria $$\mathcal{S}={\ell }^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8$$ (1 p). (Se putea și cu diagonala: $\mathcal{S}=\frac{d^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8$ ✓.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Căutăm numerele $w=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, cu $\rho >0$, pentru care $w^n=z$ (0,5 p). Prin formula lui Moivre, $$w^n={\rho }^n\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right),$$ iar egalitatea $w^n=z$ înseamnă egalitatea modulelor și egalitatea argumentelor până la un multiplu de $2\pi$ (1,5 p): $${\rho }^n=r\text{și}n\theta =\phi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ Din prima relație, $\rho$ fiind pozitiv, rezultă $\rho =\sqrt[n]{r}$, unic (1 p). Din a doua, $$\theta =\frac{\phi +2k\pi }{n},k\in \mathbb{Z}$$ (1 p). Rămâne de văzut câte valori distincte se obțin. Dacă $k$ și $k^{\prime }$ dau același număr, atunci argumentele lor diferă printr-un multiplu de $2\pi$: $$\frac{\phi +2k\pi }{n}-\frac{\phi +2k^{\prime }\pi }{n}=\frac{2(k-k^{\prime })\pi }{n}=2m\pi ⟺k-k^{\prime }=mn,$$ adică exact atunci când $k$ și $k^{\prime }$ dau același rest la împărțirea cu $n$ (0,5 p). Prin urmare valorile distincte corespund resturilor $0,1,\dots ,n-1$: există exact $n$ rădăcini, cele din enunț (0,5 p). $■$

b) (3 p) Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$; rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt $1,\epsilon ,{\epsilon }^2,\dots ,{\epsilon }^{n-1}$ (1 p). Cum $n\ge 2$, avem $\epsilon \ne 1$, deci putem folosi formula sumei unei progresii geometrice (1 p): $$1+\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}=\frac{{\epsilon }^n-1}{\epsilon -1}.$$ Dar ${\epsilon }^n=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$, deci numărătorul este $0$, iar suma este $0$ (1 p). $■$ (Geometric: vârfurile unui poligon regulat centrat în origine se compensează două câte două sau, mai general, au „centrul de greutate" în origine.)

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $2^3=8$, deci $z=2$ este soluție (1 p). Atunci $z^3-8$ se descompune folosind identitatea diferenței de cuburi: $$z^3-8=(z-2)\left(z^2+2z+4\right)$$ (1 p).

b) (3 p) $\Delta =4-16=-12<0$ (1 p), deci $$z_{1,2}=\frac{-2\pm i\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$$ (1,5 p). Soluțiile ecuației $z^3=8$ sunt așadar $2$, $-1+i\sqrt{3}$ și $-1-i\sqrt{3}$ (0,5 p). (Verificare: ${\left(-1+i\sqrt{3}\right)}^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}$, iar $\left(-2-2i\sqrt{3}\right)\left(-1+i\sqrt{3}\right)=2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}+6=8$ ✓.)

c) (3 p) $|2|=2$ și $\left|-1\pm i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$: toate trei au modulul $2$ (1,5 p). Suma: $$2+\left(-1+i\sqrt{3}\right)+\left(-1-i\sqrt{3}\right)=0$$ (1,5 p). (Ambele rezultate erau de așteptat: rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8$ sunt $2$ înmulțit cu rădăcinile de ordinul $3$ ale unității, deci au modulul $2$ și suma $2\cdot 0=0$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Cele șase poziții sunt rădăcinile de ordinul $6$ ale numărului $6^6$, adică $6\left(\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}\right)$, cu $k=0,1,\dots ,5$ (1 p). În afară de primul, afixele sunt (2 p) $$3+3\sqrt{3}i,-3+3\sqrt{3}i,-6,-3-3\sqrt{3}i,3-3\sqrt{3}i.$$

b) (3 p) Distanța dintre două șuruburi vecine este latura hexagonului regulat înscris în cercul de rază $R=6$ (1 p), adică $$\ell =R=6\text{cm}$$ (1 p). Control prin calcul (1 p): $$\left|6-\left(3+3\sqrt{3}i\right)\right|=\left|3-3\sqrt{3}i\right|=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6✓.$$

c) (2 p) Suma este $6\left(1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^5\right)=6\cdot 0=0$, unde $\epsilon =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ (1 p). Direct: părțile reale dau $6+3-3-6-3+3=0$, iar cele imaginare $3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$. Geometric, înseamnă că centrul de greutate al celor șase puncte este chiar centrul capacului — de aceea o astfel de dispunere echilibrează piesa (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $|\epsilon |=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$, iar din $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul II) rezultă $\phi =\frac{2\pi }{3}$ (1 p). Prin formula lui Moivre, $${\epsilon }^3=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$$ (1 p). (Se putea și direct: ${\epsilon }^2=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, apoi ${\epsilon }^3={\epsilon }^2\cdot \epsilon =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.)

b) (3 p) Din calculul de mai sus, ${\epsilon }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ (1,5 p), deci $$1+\epsilon +{\epsilon }^2=1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$$ (1,5 p). (Altă cale: $\epsilon$ este rădăcină a ecuației $z^3-1=0$ și $\epsilon \ne 1$, iar $z^3-1=(z-1)\left(z^2+z+1\right)$, deci ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$.)

c) (3 p) Împărțim exponentul la $3$: $2026=3\cdot 675+1$ (1,5 p). Atunci $${\epsilon }^{2026}={\left({\epsilon }^3\right)}^{675}\cdot \epsilon =1^{675}\cdot \epsilon =\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ (1,5 p).