Test: rădăcini, descompunere și relațiile lui Viète

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă miezul teoretic al capitolului: legătura dintre rădăcini, factori și coeficienți. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: teorema fundamentală a algebrei și corolarul ei — orice polinom de gradul $n\ge 1$ din $\mathbb{C}[X]$ se scrie ca produs de $n$ factori de gradul întâi, înmulțit cu coeficientul dominant; aceasta este descompunerea canonică, iar din ea decurge totul. Al doilea: ordinul de multiplicitate al unei rădăcini, determinat prin schema lui Horner aplicată repetat — singura metodă disponibilă la clasa a X-a, și cea cerută de programă — împreună cu faptul că suma ordinelor este exact gradul. Al treilea: relațiile lui Viète, la gradul al treilea și în forma generală, folosite atât „înainte" (calculul expresiilor simetrice: suma pătratelor, suma inverselor, suma cuburilor), cât și „înapoi" (construirea unui polinom din sumele simetrice ale rădăcinilor sale). Al patrulea: descompunerea în factori ireductibili, cu distincția esențială dintre $\mathbb{C}[X]$ — unde totul se sparge în factori de gradul întâi — și $\mathbb{R}[X]$, unde rădăcinile nereale ale unui polinom real vin în perechi conjugate și dau factori de gradul al doilea cu discriminant negativ.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La expresiile simetrice se cere transformarea lor în funcție de $S_1,S_2,S_3$ înainte de orice calcul numeric — nu determinarea rădăcinilor. La descompuneri se precizează întotdeauna peste ce mulțime se lucrează. Se depunctează: numărarea rădăcinilor fără ordinul lor de multiplicitate, „descompunerea peste $\mathbb{R}$" care conține factori cu $i$ și afirmația că un trinom cu discriminant negativ ar fi ireductibil și peste $\mathbb{C}$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe relațiile lui Viète și pe descompunerea canonică.
• Formule de reținut: teorema fundamentală a algebrei — orice polinom din $\mathbb{C}[X]$ de grad $n\ge 1$ are cel puțin o rădăcină complexă; de aici, descompunerea canonică $$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n),$$ unde $x_1,\dots ,x_n$ sunt rădăcinile, scrise fiecare de atâtea ori cât este ordinul ei de multiplicitate; suma ordinelor este $n$. Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea: dacă $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ are rădăcinile $x_1,x_2,x_3$, atunci $$S_1=x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},S_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},S_3=x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$$ Forma generală: pentru $a_n{x}^n+\cdots +a_0=0$, suma produselor de câte $k$ rădăcini este $e_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. Expresii utile: $$\sum x_i^2=S_1^2-2S_2,\sum \frac{1}{x_i}=\frac{S_2}{S_3},\sum (x_i{x}_j{)}^2=S_2^2-2S_1{S}_3,$$ iar suma cuburilor se obține folosind faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația. Descompunerea peste $\mathbb{R}$: factorii ireductibili sunt cei de gradul întâi și trinoamele $a{X}^2+bX+c$ cu $\Delta <0$; dacă $f\in \mathbb{R}[X]$ și $z$ este rădăcină nereală, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină, iar perechea dă factorul real $X^2-(z+\bar{z})X+z\bar{z}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Teorema fundamentală, multiplicitate, primele relații ale lui Viète

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul rădăcinilor din $\mathbb{C}$ ale unui polinom de gradul al cincilea, fiecare numărată cu ordinul ei de multiplicitate, este: A. $1$; B. $2$; C. $5$; D. o infinitate.

b) Dacă $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile ecuației $x^3-2x^2+5x-7=0$, atunci $x_1+x_2+x_3$ este: A. $2$; B. $-2$; C. $5$; D. $7$.

c) Polinomul $X^2+4$ este ireductibil: A. peste $\mathbb{C}$; B. peste $\mathbb{R}$; C. peste nicio mulțime; D. peste $\mathbb{C}$ și peste $\mathbb{R}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^3-4x^2+5x-2=0$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3\in \mathbb{C}$. Calculează, folosind relațiile lui Viète (câte 1,5 puncte): a) $S_1=x_1+x_2+x_3$; b) $S_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$; c) $S_3=x_1{x}_2{x}_3$; d) $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice polinom de grad cel puțin $1$ cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină în $\mathbb{C}$." b) „Polinomul $X^2+1$ este ireductibil în $\mathbb{C}[X]$." c) „Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina $2+3i$, atunci are și rădăcina $2-3i$." d) „Un polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali are întotdeauna cel puțin o rădăcină reală."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Descompune polinomul $f=X^4-16$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și apoi peste $\mathbb{C}$. (3 p) b) Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x=2$ pentru polinomul $g=X^3-5X^2+8X-4$, folosind schema lui Horner. (3 p)

Partea a II-a – Expresii simetrice, parametri și multiplicitate

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră ecuația $x^3+2x^2-5x-6=0$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$. Calculează, fără a determina rădăcinile (câte 2 puncte): a) $x_1^2+x_2^2+x_3^2$; b) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$; c) $x_1^3+x_2^3+x_3^3$; d) $x_1^2{x}_2^2+x_1^2{x}_3^2+x_2^2{x}_3^2$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră ecuația $x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. a) Scrie relațiile lui Viète pentru această ecuație și calculează $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$. (4 p) b) Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră ecuația $x^3-7x^2+mx-8=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină $m$ știind că rădăcinile ecuației sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. (4 p) b) Determină rădăcinile ecuației pentru valoarea găsită. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^5+3X^4+4X^3+4X^2+3X+1$. a) Arată, aplicând schema lui Horner de mai multe ori, că $x=-1$ este rădăcină de ordinul $3$ pentru $f$. (3 p) b) Scrie descompunerea lui $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și apoi peste $\mathbb{C}$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+4X-2\in \mathbb{R}[X]$, despre care se știe că are rădăcina $1+i$. a) Determină celelalte rădăcini ale lui $f$ și scrie descompunerea lui peste $\mathbb{C}$ și peste $\mathbb{R}$. (4 p) b) Explică de ce factorul de gradul al doilea obținut este ireductibil peste $\mathbb{R}$. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Folosind teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bézout, demonstrează că orice polinom $f\in \mathbb{C}[X]$ de grad $n\ge 1$ se scrie sub forma $$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n),$$ unde $a_n$ este coeficientul dominant. (5 p) b) Deduce că un polinom de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte și scrie descompunerea polinomului $X^3-8$ peste $\mathbb{C}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Determină ecuația de gradul al treilea, monică și cu coeficienți reali, ale cărei rădăcini sunt $x_1=2$, $x_2=-1$ și $x_3=3$. (4 p) b) Pentru ecuația găsită, determină ecuația de gradul al treilea, monică, ale cărei rădăcini sunt $y_1=x_2{x}_3$, $y_2=x_1{x}_3$ și $y_3=x_1{x}_2$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^6-1$. a) Descompune $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și justifică ireductibilitatea factorilor de gradul al doilea. (4 p) b) Determină toate rădăcinile lui $f$ în $\mathbb{C}$ și scrie descompunerea lui peste $\mathbb{C}$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-X+2$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3\in \mathbb{C}$. a) Arătați că $x_1+x_2+x_3=2$ și $x_1{x}_2{x}_3=-2$. (3 p) b) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ și determinați rădăcinile polinomului $f$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Prin corolarul teoremei fundamentale a algebrei, un polinom de gradul $n$ se descompune în exact $n$ factori de gradul întâi, deci are $n$ rădăcini numărate cu ordinul de multiplicitate. Aici $n=5$. (Numărul rădăcinilor distincte poate fi însă mai mic.) b) A. Prima relație a lui Viète dă $S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$. Varianta B este greșeala de semn clasică. c) B. Peste $\mathbb{R}$, discriminantul $\Delta =-16<0$, deci $X^2+4$ nu se descompune în factori reali de gradul întâi. Peste $\mathbb{C}$ însă, $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$, deci nu este ireductibil acolo.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $S_1=-\frac{-4}{1}=4$. b) $S_2=\frac{5}{1}=5$. c) $S_3=-\frac{-2}{1}=2$. d) Folosim identitatea $(x_1+x_2+x_3{)}^2=\sum x_i^2+2\sum x_i{x}_j$, deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=16-10=6.$$ Verificare: ecuația se scrie $(x-1{)}^2(x-2)=0$, deci rădăcinile sunt $1$, $1$ și $2$; într-adevăr $1+1+4=6$ ✓

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este chiar enunțul teoremei fundamentale a algebrei (d'Alembert–Gauss). În $\mathbb{R}$ afirmația ar fi falsă: $X^2+1$ nu are rădăcini reale. b) F. În $\mathbb{C}[X]$ el se descompune: $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Peste $\mathbb{C}$ singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi. c) A. Pentru un polinom cu coeficienți reali, rădăcinile nereale apar în perechi conjugate: din $f(z)=0$ rezultă $\overline{f(z)}=f(\bar{z})=0$, folosind că fiecare coeficient este propriul său conjugat. d) A. Rădăcinile nereale vin în perechi, deci numărul lor este par. Cum gradul $3$ este impar, cel puțin o rădăcină trebuie să fie reală.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Descompunem succesiv, ca diferență de pătrate (1 p): $$X^4-16=(X^2-4)(X^2+4)=(X-2)(X+2)(X^2+4).$$ Peste $\mathbb{R}$ ne oprim aici: trinomul $X^2+4$ are $\Delta =-16<0$, deci este ireductibil (1 p). Peste $\mathbb{C}$ el se sparge mai departe, $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$, deci $$X^4-16=(X-2)(X+2)(X-2i)(X+2i)$$ (1 p).

b) (3 p) Aplicăm schema lui Horner cu $a=2$, pe coeficienții $1,-5,8,-4$: rândul de jos este $1,-3,2,0$, deci $g=(X-2)(X^2-3X+2)$ (1 p). Repetăm pe cât, cu același $a=2$, pe coeficienții $1,-3,2$: rândul este $1,-1,0$, deci $X^2-3X+2=(X-2)(X-1)$ (1 p). A treia aplicare, pe $1,-1$, dă restul $-1+2=1\ne 0$, deci procesul se oprește: ordinul de multiplicitate al lui $2$ este $2$ (0,5 p), iar $g=(X-2{)}^2(X-1)$. Verificare: $(X^2-4X+4)(X-1)=X^3-5X^2+8X-4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p exprimarea prin $S_1,S_2,S_3$, 1 p calculul).

Din relațiile lui Viète: $S_1=-2$, $S_2=-5$, $S_3=6$. a) $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=4+10=14$. b) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{S_2}{S_3}=-\frac{5}{6}$. c) Fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_i^3=-2x_i^2+5x_i+6$. Adunând cele trei relații: $$\sum x_i^3=-2\sum x_i^2+5\sum x_i+18=-2\cdot 14+5\cdot (-2)+18=-28-10+18=-20.$$ d) Notând $p_1=x_1{x}_2$, $p_2=x_1{x}_3$, $p_3=x_2{x}_3$, avem $p_1+p_2+p_3=S_2$ și $p_1{p}_2+p_1{p}_3+p_2{p}_3=S_1{S}_3$, deci $$\sum p_i^2=S_2^2-2S_1{S}_3=25-2\cdot (-2)\cdot 6=25+24=49.$$ Verificare (rădăcinile sunt $2$, $-1$, $-3$): $4+1+9=14$ ✓; $\frac{1}{2}-1-\frac{1}{3}=-\frac{5}{6}$ ✓; $8-1-27=-20$ ✓; $4+36+9=49$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Cu $a_4=1$, $a_3=-5$, $a_2=5$, $a_1=5$, $a_0=-6$, relațiile lui Viète sunt (2 p): $$e_1=\sum x_i=5,e_2=\sum _{i<j}{x}_i{x}_j=5,e_3=\sum _{i<j<k}{x}_i{x}_j{x}_k=-5,e_4=x_1{x}_2{x}_3{x}_4=-6.$$ Suma pătratelor se obține din prima identitate simetrică (1 p): $$\sum x_i^2=e_1^2-2e_2=25-10=15$$ (1 p).

b) (3 p) Aducem la același numitor (1 p): $$\sum \frac{1}{x_i}=\frac{\text{suma produselor de caˆte trei ra˘da˘cini}}{x_1{x}_2{x}_3{x}_4}=\frac{e_3}{e_4}$$ (1 p), deci suma cerută este $\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}$ (0,5 p). Verificare (rădăcinile sunt $1$, $-1$, $2$, $3$): $1+1+4+9=15$ ✓ și $1-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Dacă rădăcinile sunt în progresie geometrică, le putem scrie $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$, cu $b\ne 0$ și $q\ne 0$ (1 p). Produsul lor este $$S_3=\frac{b}{q}\cdot b\cdot bq=b^3=-\frac{-8}{1}=8⟹b=2$$ (1,5 p). Prin urmare rădăcina din mijloc este $2$, deci $2$ verifică ecuația (0,5 p): $$8-28+2m-8=0⟹2m=28⟹m=14$$ (1 p).

b) (3 p) Pentru $m=14$, ecuația devine $x^3-7x^2+14x-8=0$. Schema lui Horner cu $a=2$ (coeficienții $1,-7,14,-8$) dă rândul $1,-5,4,0$, deci ecuația se scrie $(x-2)(x^2-5x+4)=0$ (1,5 p). Trinomul are $\Delta =25-16=9$, cu rădăcinile $\frac{5\pm 3}{2}$, adică $4$ și $1$ (1 p). Rădăcinile sunt așadar $1$, $2$, $4$ — într-adevăr o progresie geometrică de rație $2$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Aplicăm schema lui Horner cu $a=-1$, plecând de la coeficienții $1,3,4,4,3,1$ (0,5 p):

Primele trei aplicări dau restul $0$, deci $(X+1{)}^3$ divide pe $f$ (1,5 p); a patra dă restul $2\ne 0$, deci $(X+1{)}^4$ nu îl mai divide. Ordinul de multiplicitate al lui $-1$ este exact $3$ (1 p).

b) (3 p) După cele trei coborâri rămâne câtul $X^2+1$ (1 p), deci $$f=(X+1{)}^3(X^2+1).$$ Peste $\mathbb{R}$ aceasta este descompunerea finală, pentru că $X^2+1$ are $\Delta =-4<0$ (1 p). Peste $\mathbb{C}$ mergem mai departe: $$f=(X+1{)}^3(X-i)(X+i)$$ (0,5 p). Verificare: $(X+1{)}^3=X^3+3X^2+3X+1$, iar $(X^3+3X^2+3X+1)(X^2+1)=X^5+3X^4+4X^3+4X^2+3X+1$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Polinomul are coeficienți reali, deci, odată cu $1+i$, și conjugatul $1-i$ este rădăcină (1 p). Prin relațiile lui Viète, suma celor trei rădăcini este $3$, deci a treia este $$x_3=3-(1+i)-(1-i)=1$$ (1 p). Descompunerea peste $\mathbb{C}$ este (1 p) $$f=(X-1)(X-1-i)(X-1+i).$$ Înmulțind cei doi factori conjugați, $(X-(1+i))(X-(1-i))=X^2-2X+2$, obținem descompunerea peste $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$f=(X-1)(X^2-2X+2).$$ Verificare: $(X-1)(X^2-2X+2)=X^3-3X^2+4X-2$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Discriminantul trinomului este $\Delta =4-8=-4<0$ (1 p), deci el nu are rădăcini reale și nu se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali; prin urmare este ireductibil peste $\mathbb{R}$ (1 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Demonstrăm prin inducție după gradul $n$ (0,5 p).

Cazul $n=1$. Un polinom $f=a_{1}X+a_0$, cu $a_1\ne 0$, se scrie $f=a_1\left(X+\frac{a_0}{a_1}\right)=a_1(X-x_1)$, unde $x_1=-\frac{a_0}{a_1}$ este chiar rădăcina lui (1 p).

Pasul inductiv. Presupunem afirmația adevărată pentru toate polinoamele de grad $n-1$ și fie $f$ de grad $n\ge 2$, cu coeficient dominant $a_n$. Prin teorema fundamentală a algebrei, $f$ are cel puțin o rădăcină $x_n\in \mathbb{C}$ (1 p). Prin teorema lui Bézout, $X-x_n$ divide pe $f$, deci există $q\in \mathbb{C}[X]$ cu $$f=(X-x_n)q$$ (1 p). Gradul produsului fiind suma gradelor, $\mathrm{grad}q=n-1$, iar coeficientul dominant al lui $q$ este tot $a_n$ (coeficientul dominant al lui $X-x_n$ este $1$) (0,5 p). Aplicând ipoteza de inducție lui $q$, obținem $q=a_n(X-x_1)\cdots (X-x_{n-1})$, deci $$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$$ (1 p). $■$

b) (3 p) Orice rădăcină $a$ a lui $f$ anulează produsul $a_n(a-x_1)\cdots (a-x_n)$; cum $a_n\ne 0$, cel puțin un factor trebuie să fie nul, deci $a$ coincide cu unul dintre $x_1,\dots ,x_n$. Prin urmare mulțimea rădăcinilor distincte are cel mult $n$ elemente (1,5 p). Pentru $X^3-8$: o rădăcină evidentă este $2$, iar $X^3-8=(X-2)(X^2+2X+4)$; trinomul are $\Delta =4-16=-12$, deci rădăcinile $\frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$ (1 p). Descompunerea peste $\mathbb{C}$ este $$X^3-8=(X-2)(X+1-i\sqrt{3})(X+1+i\sqrt{3})$$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Calculăm sumele simetrice ale rădăcinilor date (1,5 p): $$S_1=2-1+3=4,S_2=2\cdot (-1)+2\cdot 3+(-1)\cdot 3=-2+6-3=1,S_3=2\cdot (-1)\cdot 3=-6.$$ Ecuația monică de gradul al treilea este $x^3-S_1{x}^2+S_{2}x-S_3=0$ (1,5 p), adică $$x^3-4x^2+x+6=0$$ (0,5 p). Verificare: $(x-2)(x+1)(x-3)=(x^2-x-2)(x-3)=x^3-4x^2+x+6$ ✓ (0,5 p).

b) (4 p) Cele trei numere noi sunt $y_1=(-1)\cdot 3=-3$, $y_2=2\cdot 3=6$, $y_3=2\cdot (-1)=-2$ (1 p). Calculăm sumele lor simetrice, exprimate prin $S_1$, $S_2$, $S_3$ (1,5 p): $$y_1+y_2+y_3=S_2=1;y_1{y}_2+y_1{y}_3+y_2{y}_3=S_1{S}_3=4\cdot (-6)=-24;y_1{y}_2{y}_3=S_3^2=36.$$ Ecuația căutată este $y^3-1\cdot y^2+(-24)y-36=0$ (1 p), adică $$y^3-y^2-24y-36=0.$$ Verificare: pentru $y=-3$, $-27-9+72-36=0$ ✓; pentru $y=6$, $216-36-144-36=0$ ✓; pentru $y=-2$, $-8-4+48-36=0$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Privim $X^6-1$ ca diferență de pătrate (1 p): $$X^6-1=(X^3-1)(X^3+1).$$ Folosim apoi descompunerile de referință $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ și $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$ (1,5 p): $$X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)$$ (1 p). Ambele trinoame au $\Delta =1-4=-3<0$, deci sunt ireductibile peste $\mathbb{R}$; descompunerea de mai sus este cea finală peste $\mathbb{R}$ (0,5 p).

b) (4 p) Rădăcinile lui $X^6-1$ sunt exact rădăcinile de ordinul $6$ ale unității (1 p): $${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{6}+i\sin \frac{2k\pi }{6},k=0,1,2,3,4,5,$$ adică, scrise în formă algebrică (1,5 p), $$1,\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},-1,-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Descompunerea peste $\mathbb{C}$ este produsul celor șase factori de gradul întâi (1 p): $$X^6-1=\prod _{k=0}^5(X-{\epsilon }_k).$$ Control: imaginile lor sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris în cercul unitate, iar suma lor este $0$ — coeficientul lui $X^5$ din $X^6-1$ este într-adevăr nul ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Coeficienții sunt $a_3=1$, $a_2=-2$, $a_1=-1$, $a_0=2$ (0,5 p). Prin relațiile lui Viète (1,5 p): $$x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}=2,x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}=-2$$ (1 p).

b) (5 p) Din a doua relație a lui Viète, $S_2=\frac{a_1}{a_3}=-1$ (1 p), deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=4+2=6$$ (1,5 p). Pentru rădăcini, observăm că suma coeficienților este $1-2-1+2=0$, deci $x=1$ este rădăcină (0,5 p). Grupând, $f=X^2(X-2)-(X-2)=(X-2)(X^2-1)$ (1 p), adică $$f=(X-2)(X-1)(X+1),$$ deci rădăcinile sunt $1$, $-1$ și $2$ (0,5 p). Verificare: $1+(-1)+2=2$ ✓, $1\cdot (-1)\cdot 2=-2$ ✓ și $1+1+4=6$ ✓ (0,5 p).