Test: rangul unei matrice

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Sisteme de ecuații liniare

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică noțiunea care deschide a doua jumătate a capitolului de sisteme liniare: rangul. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: minorii — ce este un minor de ordin $k$ (determinantul submatricei aflate la intersecția a $k$ linii cu $k$ coloane, alese oricum, dar cu păstrarea ordinii) și câți asemenea minori are o matrice, anume $C_{m}^{k} \cdot C_{n}^{k}$ . Al doilea: definiția rangului, care are două condiții simultane — există un minor nenul de ordin $r$ și toți minorii de ordin $r + 1$ sunt nuli. Aici se dă greșeala tipică a temei: elevul găsește un minor nenul și declară rangul, fără să arate anularea celor de ordin imediat superior. Al treilea: calculul prin transformări elementare, cu cele trei operații scrise în notația lor exactă, cu forma eșalonată și cu citirea rangului ca număr de linii nenule. Al patrulea: matricele cu parametru, unde regula de siguranță este să nu se împartă niciodată la o expresie care se poate anula, și unde discuția se face pe cazuri, până la capăt.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește și materia predată: se calculează, la un sistem, atât $rang A$ , cât și $rang \overline{A}$ — ca deprindere de lucru —, dar nu se cere nicio concluzie despre existența soluțiilor. Regula care compară cele două numere se învață în lecțiile următoare; până atunci, rangul rămâne o măsură a numărului de linii cu adevărat independente. Tot din lecțiile următoare vine și folosirea acelorași transformări pentru rezolvarea sistemelor.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 60 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $26$ pentru Partea a II-a și $22$ pentru Partea a III-a. La itemii cu transformări elementare se cere fiecare pas scris cu notația lui, nu doar matricea finală.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice concluzie de forma „rangul este $r$ " trebuie sprijinită pe cele două condiții din definiție. Se depunctează: declararea rangului dintr-un singur minor nenul, rearanjarea liniilor sau a coloanelor în interiorul unui minor, folosirea unei transformări $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cu $α = 0$ , împărțirea unei linii la o expresie care conține parametrul, numărarea tuturor liniilor în loc de a celor nenule și scrierea determinantului sub forma cu bare verticale în locul notației $det A$ .
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiția rangului și pe algoritmul de eliminare.
Formule de reținut: minor de ordin $k$ = determinantul matricei pătratice de ordin $k$ obținute păstrând elementele de la intersecția a $k$ linii cu $k$ coloane ale lui $A$ ; numărul lor este $C_{m}^{k} \cdot C_{n}^{k}$ . Rangul lui $A$ , notat $rang A$ , este cel mai mare ordin al unui minor nenul; prin convenție $rang O_{m, n} = 0$ , iar $0 \leq rang A \leq min (m, n) .$ Proprietăți: $rang A = rang^{t} A$ ; $rang (α A) = rang A$ pentru $α \neq = 0$ ; pentru $A \in M_{n} (C)$ , $rang A = n ⟺ det A \neq = 0 ⟺ A$ este inversabilă. Cele trei transformări elementare pe linii, care nu schimbă rangul, sunt $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cu $α \neq = 0$ și $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ (analog pe coloane, cu $C$ în loc de $L$ ). Forma eșalonată are liniile nule la sfârșit, iar în fiecare linie nenulă primul element nenul — pivotul — se află strict la dreapta pivotului de deasupra; rangul ei este numărul liniilor nenule.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Minori și definiția rangului

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul minorilor de ordin $2$ ai unei matrice de tip $3 \times 4$ este: A. $6$ ; B. $12$ ; C. $18$ ; D. $24$ .

b) Rangul matricei unitate $I_{4}$ este: A. $1$ ; B. $2$ ; C. $3$ ; D. $4$ .

c) Pentru o matrice $A$ de tip $3 \times 5$ , valoarea maximă posibilă a lui $rang A$ este: A. $3$ ; B. $4$ ; C. $5$ ; D. $8$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Determină rangul fiecărei matrice, justificând pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) $(2369)$ ; b) $(1235)$ ; c) matricea nulă $O_{3, 4}$ ; d) $123246369$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă $A$ este o matrice pătratică de ordin $3$ cu $det A = 0$ , atunci $rang A = 2$ ."

b) „Un minor nenul de ordin $2$ este suficient pentru a conchide că rangul matricei este exact $2$ ."

c) „Pentru orice matrice $A$ avem $rang A = rang^{t} A$ ."

d) „În transformarea elementară $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , indicii $i$ și $j$ pot fi egali."

Itemul 4 (6 puncte)

Determină rangul, prin metoda minorilor, arătând amândouă condițiile din definiție (câte 3 puncte):

a) $A = 1232573710$ ;

b) $B = 120011 23 - 1 - 1 02$ .

Partea a II-a – Transformări elementare și forma eșalonată

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră matricea $A = 12142531001231449$

a) Determină $rang A$ prin transformări elementare pe linii, scriind fiecare pas cu notația lui și aducând matricea la formă eșalonată. (5 p)

b) Precizează pivoții și coloanele în care se află ei. (1 p)

c) Confirmă rezultatul pe cealaltă cale: arată că $det A = 0$ și indică un minor nenul de ordin $3$ . (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră matricea $A = 12132426363913450121$

a) Determină $rang A$ prin transformări elementare pe linii, scriind fiecare pas. (5 p)

b) Precizează în ce coloane se află pivoții și explică de ce nu este o greșeală faptul că ei nu ocupă primele coloane. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră matricea $A = 012123210$ .

a) Determină $rang A$ prin transformări elementare, având grijă la alegerea primului pivot. (4 p)

b) Verifică rezultatul prin metoda minorilor: calculează $det A$ și indică un minor nenul de ordinul al doilea. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Fie $A$ o matrice de tip $3 \times 4$ cu $rang A = 2$ . Precizează, cu justificare, valorile lui $rang^{t} A$ și $rang (5 A)$ . (3 p)

b) Câți minori de ordin $3$ are o matrice de tip $4 \times 5$ ? Dar de ordin $4$ ? Explică, pornind de la aceste numere, de ce metoda coborârii după ordinul minorilor devine nepractică. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Determină, în funcție de $m \in R$ , rangul matricei $A = 121231 1 m 2$

folosind numai transformări elementare cu coeficienți numerici. Explică, într-o frază, de ce nu ai voie să împarți vreo linie la o expresie care conține pe $m$ .

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează că transformarea $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu $i \neq = j$ , nu schimbă rangul unei matrice. Precizează, la fiecare pas, ce proprietate a determinanților folosești și unde intervine reversibilitatea transformării. (5 p)

b) Explică de ce înmulțirea unei linii cu $0$ nu este o transformare elementară și dă un exemplu concret de matrice al cărei rang scade după o astfel de operație. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră sistemul $x + 2 y - z = 3$ , $2 x - y + 3 z = 1$ , $3 x + y + 2 z = a$ , cu $a \in R$ .

a) Scrie matricea $A$ a sistemului și calculează $det A$ . (2 p)

b) Determină $rang A$ . (2 p)

c) Scrie matricea extinsă $\overline{A}$ și determină $rang \overline{A}$ pentru $a = 4$ și pentru $a = 5$ . (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră matricea $A = m 11 1 m 1 11 m, m \in R .$

a) Arată că $det A = (m + 2) (m - 1)^{2}$ . (3 p)

b) Determină $rang A$ pentru fiecare valoare a lui $m$ , tratând separat toate cazurile. (5 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A = 123 24 m 369$ , cu $m \in R$ .

a) Arătați că $det A = 0$ pentru orice $m \in R$ . (2 p)

b) Determinați $rang A$ pentru $m = 6$ . (3 p)

c) Determinați $rang A$ pentru $m \neq = 6$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Un minor de ordin $2$ se obține alegând $2$ linii din cele $3$ și $2$ coloane din cele $4$ , deci numărul lor este $C_{3}^{2} \cdot C_{4}^{2} = 3 \cdot 6 = 18$ . Varianta B numără doar elementele matricei.

b) D. Singurul minor de ordin $4$ este $det I_{4} = 1 \neq = 0$ , deci rangul atinge maximul: $rang I_{4} = 4$ .

c) A. $rang A \leq min (3, 5) = 3$ , pentru că nu se pot alege mai mult de $3$ linii dintr-o matrice cu $3$ linii; nu există niciun minor de ordin $4$ .

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) $rang = 1$ . Determinantul este $2 \cdot 9 - 6 \cdot 3 = 0$ (a doua linie este $\frac{3}{2}$ din prima — Proprietatea 7 din lecția 19, linii proporționale), deci rangul e cel mult $1$ ; elementul $2$ este un minor nenul de ordin $1$ .

b) $rang = 2$ . Determinantul este $1 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = - 1 \neq = 0$ , adică maximul posibil pentru o matrice de tip $2 \times 2$ .

c) $rang O_{3, 4} = 0$ , prin convenție: toți minorii sunt nuli, la orice ordin.

d) $rang = 1$ . Toate liniile sunt multipli ai primei ( $L_{2} = 2 L_{1}$ , $L_{3} = 3 L_{1}$ ), deci orice minor de ordin $2$ are liniile proporționale și este nul (Proprietatea 7 din lecția 19); elementul $1$ este nenul.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Din $det A = 0$ rezultă doar $rang A \leq 2$ ; rangul poate coborî oricât. Pentru matricea cu toate cele trei linii egale cu $(1, 1, 1)$ avem $det A = 0$ și $rang A = 1$ , iar pentru $O_{3}$ rangul este $0$ .

b) F. Un minor nenul de ordin $2$ arată doar că $rang A \geq 2$ . Definiția cere și anularea tuturor minorilor de ordin $3$ ; de pildă $I_{3}$ are minori nenuli de ordin $2$ , dar rangul $3$ .

c) A. Prin transpunere, fiecare minor de ordin $k$ al lui $^{t} A$ este transpusul unui minor de ordin $k$ al lui $A$ , iar transpusa nu schimbă valoarea unui determinant (Proprietatea 1 din lecția 18). Cele două matrice au deci aceleași valori de minori la fiecare ordin, deci același ordin maxim la care apare unul nenul.

d) F. Transformarea cere explicit $i \neq = j$ . Dacă am lua $i = j$ și $α = - 1$ , operația ar deveni $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i}$ , adică ar anula linia — deci nu ar mai fi reversibilă și ar putea micșora rangul: din $I_{2}$ , cu rangul $2$ , s-ar obține o matrice cu o linie nulă, de rang $1$ .

Itemul 4. (6 p) — câte 3 puncte (1,5 p anularea minorilor de ordin superior, 1 p minorul nenul exhibat, 0,5 p concluzia).

a) Se observă că $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ (pe coloane: $1 + 2 = 3$ , $2 + 5 = 7$ , $3 + 7 = 10$ ). Singurul minor de ordin $3$ este $det A$ ; desfăcându-l după ultima linie, prin liniaritatea pe o linie (Proprietatea 4 din lecția 18), obținem o sumă de doi determinanți, fiecare cu două linii egale, deci fiecare nul (Proprietatea 6 din lecția 19). Așadar $det A = 0$ și $rang A \leq 2$ . Minorul din liniile $1$ și $2$ și coloanele $1$ și $2$ este $1225 = 5 - 4 = 1 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ .

b) Se observă că $L_{3} = L_{2} - 2 L_{1}$ (pe coloane: $2 - 2 = 0$ , $1 - 0 = 1$ , $3 - 4 = - 1$ , $0 + 2 = 2$ ). Matricea are $C_{3}^{3} \cdot C_{4}^{3} = 4$ minori de ordin $3$ , iar fiecare folosește toate cele trei linii, deci are ultima linie egală cu o combinație a celorlalte două; prin același raționament ca la punctul a), toți patru sunt nuli și $rang B \leq 2$ . Minorul din primele două linii și primele două coloane este $1201 = 1 \neq = 0$ , deci $rang B = 2$ .

Itemul 5. (8 p)

a) (5 p) Pivotul din colțul din stânga-sus este $1$ , deci facem zerouri sub el cu $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ și $L_{4} \leftarrow L_{4} - 4 L_{1}$ (2 p): $A \to 1000211201231235 .$ Trecem la submatricea rămasă: cu $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ și $L_{4} \leftarrow L_{4} - 2 L_{2}$ (1,5 p): $\to 1000210001111211 L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{3} 1000210001101210$ (1 p). Forma finală este eșalonată și are trei linii nenule, deci $rang A = 3$ (0,5 p).

b) (1 p) Pivoții sunt $1$ , $1$ și $1$ , aflați în coloanele $1$ , $2$ și $3$ ; fiecare stă strict la dreapta celui de deasupra.

c) (2 p) Pe matricea inițială se vede că $L_{4} = L_{1} + L_{2} + L_{3}$ (pe coloane: $1 + 2 + 1 = 4$ , $2 + 5 + 3 = 10$ , $0 + 1 + 2 = 3$ , $1 + 4 + 4 = 9$ ), deci $det A = 0$ : desfăcut după ultima linie prin Proprietatea 4 din lecția 18, determinantul devine o sumă de trei determinanți, fiecare cu două linii egale, deci nuli (Proprietatea 6 din lecția 19) (1 p). Un minor nenul de ordin $3$ este cel din primele trei linii și primele trei coloane (1 p): $121253012 = 1 (10 - 3) - 2 (4 - 1) + 0 = 7 - 6 = 1 \neq = 0.$

Itemul 6. (7 p)

a) (5 p) Pivot: elementul $1$ din colțul din stânga-sus. Facem $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ și $L_{4} \leftarrow L_{4} - 3 L_{1}$ (2 p): $A \to 10002000300011320121 .$ Coloanele a doua și a treia s-au anulat complet sub prima linie, deci pivotul următor se caută în coloana a patra: el este $1$ -ul de pe linia a doua. Cu $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{2}$ și $L_{4} \leftarrow L_{4} - 2 L_{2}$ (1,5 p): $\to 1000200030001100 01 - 1 - 1 L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{3} 1000200030001100 01 - 1 0$ (1 p). Trei linii nenule, deci $rang A = 3$ (0,5 p).

b) (2 p) Pivoții sunt $1$ , $1$ și $- 1$ , aflați în coloanele $1$ , $4$ și $5$ (1 p). Nu este o greșeală: definiția formei eșalonate cere doar ca fiecare pivot să fie strict la dreapta celui de deasupra, nu pe coloana imediat următoare. Aici coloanele a doua și a treia sunt multipli ai primei ( $C_{2} = 2 C_{1}$ , $C_{3} = 3 C_{1}$ ), deci nu pot conține pivoți (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Colțul din stânga-sus este $0$ , deci nu poate fi pivot; aducem sus linia a doua prin $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ (1 p). Apoi $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ dă linia $(0, - 1, - 2)$ , iar $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ o anulează (2 p): $012123210 \to 102213120 \to 100 21 - 1 12 - 2 \to 100210120$ Două linii nenule, deci $rang A = 2$ (1 p).

b) (3 p) Dezvoltând după prima linie (1,5 p): $det A = 0 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + 2 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) = 0 + 2 - 2 = 0.$ (Se putea observa direct și că $L_{1} + L_{3} = (2, 4, 2) = 2 L_{2}$ , deci liniile sunt dependente.) Singurul minor de ordin $3$ fiind nul, $rang A \leq 2$ ; iar minorul din primele două linii și primele două coloane este $0112 = - 1 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ — același răspuns (1,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $rang^{t} A = 2$ : transpunerea duce fiecare minor al lui $^{t} A$ în transpusul unui minor al lui $A$ , iar determinantul nu se schimbă prin transpunere (Proprietatea 1 din lecția 18), deci minorii nenuli apar la aceleași ordine (1,5 p). $rang (5 A) = 2$ : dintr-un minor de ordin $k$ al lui $5 A$ se scoate factorul $5$ din fiecare dintre cele $k$ linii (Proprietatea 3 din lecția 18), deci el este minorul corespunzător al lui $A$ înmulțit cu $5^{k} \neq = 0$ — nenul exact când era și acela (1,5 p).

b) (3 p) Minori de ordin $3$ : $C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{3} = 4 \cdot 10 = 40$ ; minori de ordin $4$ : $C_{4}^{4} \cdot C_{5}^{4} = 1 \cdot 5 = 5$ (1,5 p). Metoda coborârii pornește de la ordinul maxim: dacă toți cei $5$ minori de ordin $4$ sunt nuli, se trece la cei $40$ de ordin $3$ — până la $45$ de determinanți calculați de mână, ca să afli un singur număr. De aceea, la matrice de dimensiuni mari, se preferă transformările elementare, care dau răspunsul în câțiva pași (1,5 p).

Itemul 9. (6 p)

Folosim numai transformări de tipul $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu $i \neq = j$ și cu $α$ număr, lăsând parametrul să ajungă singur în ultimul colț (1 p). Cu $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ (1,5 p): $A \to 100 2 - 1 - 1 1 m - 2 1 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100 2 - 1 0 1 m - 2 3 - m$ (1,5 p). Discuția se face abia acum, pe ultima linie (1,5 p):

pentru $m \neq = 3$ avem $3 - m \neq = 0$ , deci matricea are trei linii nenule în formă eșalonată și $rang A = 3$ ;
pentru $m = 3$ ultima linie se anulează, rămân două linii nenule, deci $rang A = 2$ .

Nu ai voie să împarți o linie la o expresie care conține pe $m$ — de pildă la $3 - m$ — pentru că a împărți presupune tacit că acea expresie este nenulă, adică exact cazul $m \neq = 3$ ; cazul $m = 3$ , singurul interesant, ar fi pierdut din discuție (0,5 p).

Control pe cealaltă cale (nu se cere, dar confirmă): dezvoltând după prima linie, $det A = (6 - m) - 2 (4 - m) + (2 - 3) = m - 3$ , care se anulează tot pentru $m = 3$ .

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $A^{'}$ matricea obținută din $A$ prin $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu $i \neq = j$ . Arătăm întâi că orice minor de ordin $k$ al lui $A^{'}$ este o combinație de minori de ordin $k$ ai lui $A$ (0,5 p).

Cazul 1: minorul nu conține linia $i$ . Atunci el folosește numai linii neatinse de transformare, deci este identic cu minorul corespunzător al lui $A$ (0,5 p).

Cazul 2: minorul conține linia $i$ . Linia lui provenită din $L_{i}$ este acum suma dintre bucata veche din $L_{i}$ și $α$ ori bucata din $L_{j}$ . Prin liniaritatea determinantului pe o linie (Proprietatea 4 din lecția 18), minorul se desface într-o sumă de doi determinanți: primul este minorul corespunzător al lui $A$ , iar al doilea are pe locul liniei $i$ bucata din linia $j$ , înmulțită cu $α$ (factorul se scoate prin Proprietatea 3 din lecția 18) (1,5 p). Pentru al doilea determinant sunt două subcazuri: dacă minorul conținea și linia $j$ , el are două linii egale, deci este $0$ (Proprietatea 6 din lecția 19); dacă nu o conținea, el este — până la ordinea liniilor, care schimbă cel mult semnul, prin Proprietatea 5 din lecția 19 — tot un minor de ordin $k$ al lui $A$ , înmulțit cu $α$ (1 p).

În ambele cazuri, dacă toți minorii de ordin $k$ ai lui $A$ sunt nuli, atunci și cei ai lui $A^{'}$ sunt nuli. Luând $k = rang A + 1$ , rezultă $rang A^{'} \leq rang A$ (0,5 p).

Reversibilitatea. Condiția $i \neq = j$ garantează că transformarea se poate desface: aplicând lui $A^{'}$ operația $L_{i} \leftarrow L_{i} - α L_{j}$ (linia $j$ nu a fost modificată, tocmai pentru că $j \neq = i$ ) regăsim exact matricea $A$ . Deci $A$ se obține din $A^{'}$ printr-o transformare de același fel, iar raționamentul de mai sus, aplicat în sens invers, dă $rang A \leq rang A^{'}$ (0,5 p). Din cele două inegalități, $rang A^{'} = rang A$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Transformarea $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cere prin definiție $α \neq = 0$ , din două motive legate între ele: înmulțirea cu $0$ șterge informație (linia devine nulă și nu mai poate fi refăcută) și nu este reversibilă, pentru că nu există un scalar cu care să înmulțim linia nulă spre a o readuce la valoarea inițială (1,5 p). Exemplu concret: $rang I_{2} = 2$ , dar după înmulțirea primei linii cu $0$ obținem $(0001)$ , ai cărei minori de ordin $2$ sunt nuli, deci rangul a scăzut la $1$ (1,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) Matricea sistemului este $A = 123 2 - 1 1 - 1 32$ (0,5 p). Se observă că $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ (pe coloane: $1 + 2 = 3$ , $2 - 1 = 1$ , $- 1 + 3 = 2$ ), deci, desfăcând după ultima linie prin Proprietatea 4 din lecția 18, obținem doi determinanți cu câte două linii egale, nuli prin Proprietatea 6 din lecția 19: $det A = 0$ (1,5 p).

b) (2 p) Din $det A = 0$ rezultă $rang A \leq 2$ (0,5 p). Minorul din primele două linii și primele două coloane este $12 2 - 1 = - 1 - 4 = - 5 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ (1,5 p).

c) (4 p) Matricea extinsă este $\overline{A} = 123 2 - 1 1 - 1 32 31 a \in M_{3, 4} (C)$ (1 p). Ea are $C_{3}^{3} \cdot C_{4}^{3} = 4$ minori de ordin $3$ .

Pentru $a = 4$ : și coloana termenilor liberi respectă relația, pentru că $3 + 1 = 4$ , deci în $\overline{A}$ avem tot $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ . Prin urmare toți cei patru minori de ordin $3$ sunt nuli, iar minorul de ordin $2$ de la punctul b) rămâne nenul: $rang \overline{A} = 2$ (1,5 p).

Pentru $a = 5$ : relația se rupe, pentru că $3 + 1 \neq = 5$ . Minorul format din coloanele $1$ , $2$ și a termenilor liberi este (1,5 p) $123 2 - 1 1 315 = 1 (- 5 - 1) - 2 (10 - 3) + 3 (2 + 3) = - 6 - 14 + 15 = - 5 \neq = 0,$ deci $rang \overline{A} = 3$ .

Notă de barem: itemul cere numai cele două ranguri. Faptul că valorile lor se compară pentru a decide dacă sistemul are sau nu soluții este conținutul lecției următoare; aici nu se acordă și nu se scad puncte pentru o concluzie despre existența soluțiilor.

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Adunăm liniile a doua și a treia la prima, prin $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2}$ și apoi $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{3}$ (transformări care nu schimbă determinantul — Proprietatea 8 din lecția 19); pe prima linie apare $m + 2$ în fiecare poziție (1 p): $det A = m + 2 11 m + 2 m 1 m + 2 1 m = (m + 2) 111 1 m 1 11 m,$ factorul comun fiind scos prin Proprietatea 3 din lecția 18 (1 p). În determinantul rămas facem $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ (1 p): $100 1 m - 1 0 10 m - 1 = (m - 1)^{2}, deci det A = (m + 2) (m - 1)^{2} .$

b) (5 p) Discuția are trei cazuri.

Cazul $m \in / {- 2, 1}$ (1,5 p): $det A \neq = 0$ , iar $A$ este pătratică de ordin $3$ , deci $rang A = 3$ (rangul este maxim exact când determinantul e nenul).

Cazul $m = 1$ (2 p): matricea devine cea cu toate elementele egale cu $1$ . Orice minor de ordin $2$ are cele două linii egale, deci este nul (Proprietatea 6 din lecția 19); cum elementul $1$ este un minor nenul de ordin $1$ , avem $rang A = 1$ .

Cazul $m = - 2$ (1,5 p): $det A = 0$ , deci $rang A \leq 2$ ; minorul din primele două linii și primele două coloane este $- 2 1 1 - 2 = 4 - 1 = 3 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ .

Control: pentru $m = 0$ obținem $det A = 2 \neq = 0$ și într-adevăr $rang A = 3$ ; cele trei cazuri epuizează toate valorile reale ale lui $m$ .

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) A doua linie este dublul primei, $L_{2} = 2 L_{1}$ , indiferent de $m$ , iar un determinant cu două linii proporționale este nul (Proprietatea 7 din lecția 19). Deci $det A = 0$ pentru orice $m \in R$ , iar $rang A \leq 2$ .

b) (3 p) Pentru $m = 6$ matricea devine $123246369$ , în care $L_{2} = 2 L_{1}$ și $L_{3} = 3 L_{1}$ (1 p). Orice minor de ordin $2$ are atunci liniile proporționale, deci este nul (Proprietatea 7 din lecția 19) (1,5 p); elementul $1$ fiind un minor nenul de ordin $1$ , rezultă $rang A = 1$ (0,5 p).

c) (3 p) Pentru $m \neq = 6$ alegem minorul din liniile $1$ și $3$ și coloanele $1$ și $2$ (1,5 p): $13 2 m = m - 6 \neq = 0,$ deci $rang A \geq 2$ . Cum de la punctul a) știm că $det A = 0$ , singurul minor de ordin $3$ este nul, deci $rang A = 2$ (1,5 p).

(Verificare pe un caz concret: pentru $m = 0$ , minorul ales este $- 6 \neq = 0$ , iar pentru $m = 10$ el este $4 \neq = 0$ — în ambele situații rangul este $2$ .)