Test recapitulativ: conice

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Conice

Pentru părinți și profesori

Acest test recapitulativ acoperă întreaga unitate de conice — cele optsprezece lecții, de la secțiunile în con până la sinteza finală — și verifică cinci lucruri. Primul: recunoașterea, făcută în ordinea fixată — normalizezi, decizi tipul în două întrebări (câte variabile apar la pătrat, ce semn stă între pătrate), stabilești orientarea, abia apoi calculezi elementele. Al doilea: elementele fiecărei conice, cu cele două relații care se confundă cel mai des, $c=\sqrt{a^2-b^2}$ la elipsă și $c=\sqrt{a^2+b^2}$ la hiperbolă, și cu formele „întoarse", în care axa mare, respectiv axa transversă, stă pe $Oy$. Al treilea: razele focale și coarda dusă prin focar, formule de gradul întâi care scurtează aproape orice subpunct în care apare o distanță la focar. Al patrulea: tangenta prin dedublare, aplicată în cele trei etape și confirmată cu derivata funcției-ramură, împreună cu ariile care se calculează fără integrală. Al cincilea: problemele de determinare și de intersecție, cu numărarea condițiilor înaintea primei ecuații și cu substituirea fiecărui punct găsit în toate ecuațiile din enunț.

Testul este construit pe cele opt capcane ale unității, câte una pentru fiecare greșeală care revine la corectare: citirea elementelor înainte de normalizare; presupunerea că axa mare este mereu $Ox$; confuzia dintre cele două formule ale lui $c$; panta asimptotelor citită mecanic ca $\frac{b}{a}$ și la forma întoarsă; focarul parabolei așezat la distanța $p$ de vârf; cazurile degenerate luate drept conice; pierderea dreptelor verticale și a celor paralele cu axa sau cu o asimptotă; dedublarea aplicată unui punct din afara curbei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute; testul recapitulează întreaga unitate, deci are nevoie de două ore de curs comasate sau de o lucrare semestrială.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rezolvare începe cu tipul conicei, spus explicit și motivat, și se încheie cu o verificare prin substituție. Se depunctează abaterile de la cele opt capcane de mai sus, precum și rezultatele scrise fără justificarea pasului care le produce.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea sintezei unității, cu fișa de o pagină a elementelor și cu lista capcanelor.
• Formule de reținut: Cercul: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, respectiv $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$, cu centrul $(-m,-n)$, $r^2=m^2+n^2-p>0$; cercul trece prin origine exact când $p=0$; apartenența unui punct dă o ecuație liniară în $m$, $n$, $p$. Elipsa: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, focarele $(\pm c,0)$, $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$, razele focale $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$, coarda prin focar $\frac{2b^2}{a}$. Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$, $e>1$, asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$, razele focale $MF=|ex-a|$; la forma cu axa transversă pe $Oy$, $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$, vârfurile sunt $(0,\pm a)$, focarele $(0,\pm c)$, iar panta asimptotelor este semiaxa de sub $y^2$ împărțită la semiaxa de sub $x^2$. Hiperbola echilateră: $xy=k$, cu $a=b=\sqrt{2|k|}$, $e=\sqrt{2}$, asimptotele sunt axele, vârfurile $\left(\pm \sqrt{|k|},\pm \sqrt{|k|}\right)$ și focarele $\left(\pm \sqrt{2|k|},\pm \sqrt{2|k|}\right)$, cu semnele luate simultan; tangenta ei determină cu axele un triunghi de arie constantă $2|k|$, iar punctul de tangență este mijlocul segmentului tăiat. Parabola: $y^2=2px$, focarul $\left(\frac{p}{2},0\right)$, directoarea $x=-\frac{p}{2}$, raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$, coarda prin focar $2p$; cele patru orientări se citesc după regula „pătratul spune axa, semnul spune sensul". Dedublarea: $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$. Condițiile de tangență: $n^2=a^2{m}^2+b^2$ la elipsă, $n^2=a^2{m}^2-b^2$ la hiperbolă, $2mn=p$ la parabolă. Numărarea condițiilor: cercul are trei necunoscute, elipsa și hiperbola câte două, parabola în formă canonică și $xy=k$ câte una.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Onestitate despre examen: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul cu trei subpuncte folosit la itemul $11$ anticipează structura cerinței, nu prezența ei în variantele publicate până acum. Deprinderile pe care le cere testul rămân însă utile imediat: sistemele liniare rezolvate cu formulele lui Cramer, distanța de la un punct la o dreaptă și ecuația tangentei scrisă cu derivata sunt toate materie de examen, în capitolele lor proprii.

Itemi

Partea I – Recunoaștere, elemente și capcane

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Asimptotele hiperbolei $\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=1$ sunt dreptele: A. $y=\pm \frac{21}{20}x$; B. $y=\pm \frac{20}{21}x$; C. $y=\pm \frac{29}{20}x$; D. $y=\pm \frac{20}{29}x$.

b) Ecuația $\frac{x^2}{625}-\frac{y^2}{225}=0$ descrie: A. o hiperbolă; B. o elipsă; C. două drepte concurente; D. mulțimea vidă.

c) La parabola $y^2=100x$, distanța de la vârf la focar este: A. $100$; B. $50$; C. $25$; D. $12,5$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „La elipsă și la hiperbolă, semidistanța focală $c$ se calculează cu aceeași formulă." b) „Orice ecuație de gradul al doilea în $x$ și $y$ descrie o conică." c) „Focarele hiperbolei echilatere $xy=128$ aparțin curbei." d) „Prin fiecare punct al unei elipse trece exact o tangentă la ea."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare ecuație, precizează tipul conicei și determină elementele ei caracteristice (câte 2 puncte): a) $9x^2+25y^2=5625$; b) $x^2+y^2+10x-24y=0$; c) $xy=128$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1$ și punctul $M(20,9)$.

a) Determină semiaxele, focarele și excentricitatea. (2 p) b) Arată că $M$ aparține elipsei și calculează razele lui focale, cu formula și cu formula distanței. (3 p) c) Scrie funcțiile a căror reuniune de grafice este elipsa și precizează-le domeniul. (2 p)

Partea a II-a – Hiperbolă, parabolă, tangente și intersecții

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră hiperbola $\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=1$.

a) Precizează, cu justificare, care este axa transversă și determină vârfurile. (2 p) b) Determină $c$, coordonatele focarelor și excentricitatea. (3 p) c) Scrie asimptotele folosind scurtătura „înlocuiește $1$ cu $0$" și explică de ce panta lor nu este $\frac{21}{20}$. (3 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră parabola $y^2=100x$.

a) Determină parametrul, focarul, directoarea și lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă. (3 p) b) Arată că punctul $(4,20)$ aparține parabolei și verifică pentru el definiția geometrică. (3 p) c) Determină punctele parabolei situate la distanța $50$ de focar. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Scrie tangenta la elipsa $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1$ în punctul $M(20,9)$, verificând mai întâi apartenența punctului. (3 p) b) Scrie tangenta la parabola $y^2=100x$ în punctul $(4,20)$, cu atenție la valoarea parametrului. (2 p) c) Scrie tangenta la hiperbola echilateră $xy=128$ în punctul $(8,16)$, folosind derivata, și calculează aria triunghiului determinat de ea cu axele de coordonate. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Stabilește poziția dreptei $4x+5y-125=0$ față de elipsa $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1$, folosind condiția de tangență. (2 p) b) Determină punctele comune ale cercurilor $x^2+y^2=289$ și $(x-20{)}^2+(y-20{)}^2=169$, prin scăderea ecuațiilor. (3 p) c) Determină punctele comune ale cercului $x^2+y^2=289$ cu hiperbola echilateră $xy=120$. (2 p)

Partea a III-a – Determinări, discuții și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

a) Determină ecuația cercului care trece prin punctele $A(0,0)$, $B(0,24)$ și $D(8,12)$, precum și centrul și raza lui. (4 p) b) Determină ecuația canonică a elipsei cu focarele $(\pm 20,0)$ și excentricitatea $\frac{4}{5}$. (3 p) c) Determină ecuația hiperbolei cu asimptotele $y=\pm \frac{20}{21}x$ și un vârf în punctul $(0,20)$. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

a) Stabilește poziția dreptei $y=30$ față de parabola $y^2=100x$ și precizează dacă ea este tangentă. (3 p) b) Determină valorile reale ale lui $n$ pentru care dreapta $y=-\frac{4}{5}x+n$ este tangentă elipsei $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1$. (4 p) c) Arată că dreapta $20x-21y+420=0$ are exact un punct comun cu hiperbola $\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=1$ și că nu este tangentă în acel punct. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Se consideră hiperbola echilateră $xy=128$ și punctul $M(8,16)$.

a) Arătați că $M$ aparține curbei și determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. (5 p) b) Scrieți ecuația tangentei în $M$ și arătați că $M$ este mijlocul segmentului determinat de tangentă pe axele de coordonate. (5 p) c) Verificați definiția geometrică a hiperbolei pentru punctul $M$ și calculați aria triunghiului determinat de tangentă cu axele de coordonate. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Termenul pozitiv este cel cu $y^2$, deci axa transversă este $Oy$, cu $a=20$ și $b=21$. Regula valabilă la ambele orientări cere raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$, adică $\frac{20}{21}$. Se verifică și cu scurtătura: din $\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=0$ rezultă $\left(\frac{y}{20}-\frac{x}{21}\right)\left(\frac{y}{20}+\frac{x}{21}\right)=0$.

b) C. Membrul drept este $0$, nu $1$, deci nu avem o conică adevărată. Diferența de pătrate se descompune în $\left(\frac{x}{25}-\frac{y}{15}\right)\left(\frac{x}{25}+\frac{y}{15}\right)=0$, adică reuniunea dreptelor $y=\pm \frac{3}{5}x$ — chiar asimptotele hiperbolelor cu acești numitori.

c) C. Coeficientul lui $x$ este dublul parametrului, deci $p=50$; distanța de la vârf la focar este $\frac{p}{2}=25$, iar distanța de la focar la directoare este $50$. Valoarea $50$ ar fi răspunsul la o altă întrebare, iar $12,5$ jumătatea ei.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. La elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$, deci $c<a$ și $e<1$; la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$, deci $c>a$ și $e>1$. Este a treia capcană a unității, iar semnalul de alarmă este o excentricitate ieșită de partea greșită a lui $1$.

b) F. Membrul drept egal cu $0$ dă un punct sau două drepte concurente, iar unei sume de pătrate egale cu un număr negativ nu îi corespunde niciun punct. La cerc decide semnul lui $m^2+n^2-p$; contraexemplu: $x^2+y^2-6x+8y+30=0$ dă $9+16-30<0$, deci mulțimea vidă.

c) F. Focarele curbei $xy=k$ sunt $\left(\pm \sqrt{2k},\pm \sqrt{2k}\right)$, cu semnele luate simultan, adică $(16,16)$ și $(-16,-16)$ pentru $k=128$. Produsul coordonatelor lor este $256=2k\ne 128$, deci ele nu verifică ecuația: focarele stau în interiorul ramurilor, ca la orice hiperbolă. Pe curbă se află vârfurile, cu produsul coordonatelor egal cu $k$.

d) A. Impunând condiția de tangență dreptelor care trec printr-un punct al elipsei se ajunge la ecuația ${\left(a^2{y}_{0}m+b^2{x}_0\right)}^2=0$, care are o singură rădăcină; iar în vârfurile de pe axa mare tangenta este verticala $x=\pm a$, tot unică.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Împărțim prin $5625$ și obținem $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1$: două pătrate cu semnul plus și numitori diferiți, deci elipsă, cu numitorul mare sub $x^2$, adică cu axa mare pe $Ox$. Rezultă $a=25$, $b=15$ și $c=\sqrt{625-225}=20$; focarele sunt $(\pm 20,0)$, iar $e=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.

b) Coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali cu $1$ și nu apare termenul $xy$: cerc. Din $2m=10$ și $2n=-24$ rezultă $m=5$, $n=-12$, iar $p=0$; atunci $m^2+n^2-p=25+144=169>0$, deci $C(-5,12)$ și $r=13$. Termenul liber fiind nul, cercul trece prin originea reperului.

c) Un produs, fără pătrate: hiperbolă echilateră raportată la asimptote, cu $a=b=\sqrt{2\cdot 128}=16$ și $c=a\sqrt{2}=16\sqrt{2}$. Vârfurile sunt $\left(\pm 8\sqrt{2},\pm 8\sqrt{2}\right)$, focarele $(\pm 16,\pm 16)$ — cu semnele luate simultan —, excentricitatea $\sqrt{2}$, iar asimptotele sunt axele de coordonate.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Numitorul mare stă sub $x^2$, deci $a=25$ și $b=15$ (1 p); atunci $c=\sqrt{625-225}=20$, focarele sunt $F(20,0)$ și $F^{\prime }(-20,0)$, iar $e=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$ (1 p).

b) (3 p) Substituim: $\frac{400}{625}+\frac{81}{225}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓ (1 p). Cu razele focale, $$MF=25-\frac{4}{5}\cdot 20=9,M{F}^{\prime }=25+\frac{4}{5}\cdot 20=41$$ (1 p), cu suma $50=2a$ ✓. Confirmare cu formula distanței: $M$ are aceeași abscisă cu focarul $F$, deci $MF=9$, iar $M{F}^{\prime }=\sqrt{40^2+81}=\sqrt{1681}=41$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Din $y^2=\frac{225}{625}\left(625-x^2\right)$ rezultă $$f_{1,2}:[-25,25]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{625-x^2}$$ (1,5 p), domeniul venind din condiția $625-x^2\ge 0$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Termenul cu semnul plus este cel care conține $y^2$, deci curba taie axa $Oy$ și nu taie axa $Ox$: axa transversă este $Oy$ (1 p). Semiaxa reală este $a=\sqrt{400}=20$, iar vârfurile sunt $(0,20)$ și $(0,-20)$ (1 p).

b) (3 p) Semiaxa imaginară este $b=\sqrt{441}=21$ (0,5 p), iar la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$ (0,5 p): $$c=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$$ (1 p). Focarele urcă și ele pe axa transversă, deci sunt $(0,29)$ și $(0,-29)$, iar $e=\frac{29}{20}>1$ (1 p).

c) (3 p) Înlocuim $1$ cu $0$ și factorizăm (1 p): $$\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=0⟺\left(\frac{y}{20}-\frac{x}{21}\right)\left(\frac{y}{20}+\frac{x}{21}\right)=0,$$ deci asimptotele sunt $y=\frac{20}{21}x$ și $y=-\frac{20}{21}x$ (1 p). Panta nu este $\frac{21}{20}$ pentru că regula generală, valabilă la ambele orientări, cere raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$; forma memorată $\frac{b}{a}$ este corectă numai la hiperbola cu axa transversă pe $Ox$ (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Coeficientul lui $x$ este $100$, adică dublul parametrului, deci $p=50$ (1 p). Focarul este $\left(\frac{p}{2},0\right)=(25,0)$, iar directoarea $x=-25$ (1 p). Coarda dusă prin focar are capetele $(25,50)$ și $(25,-50)$, deci lungimea $100$ (1 p).

b) (3 p) Algebric: $20^2=400$ și $100\cdot 4=400$ ✓ (1 p). Geometric: $$MF=\sqrt{(4-25{)}^2+400}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29,d(M,d)=4+25=29$$ (1,5 p), deci $MF=d(M,d)$, adică punctul respectă definiția; raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$ dă același rezultat dintr-o adunare (0,5 p).

c) (2 p) Din $MF=x+25=50$ rezultă $x=25$, valoare acceptabilă, fiind nenegativă (1 p). Atunci $y^2=100\cdot 25=2500$, deci $y=\pm 50$: punctele sunt $(25,50)$ și $(25,-50)$, adică exact capetele coardei duse prin focar (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Apartenența a fost verificată la itemul $4$: $\frac{400}{625}+\frac{81}{225}=1$ ✓ (1 p). Prin dedublare (1 p): $$\frac{20x}{625}+\frac{9y}{225}=1⟺\frac{4x}{125}+\frac{y}{25}=1,$$ iar înmulțind cu $125$ obținem $4x+5y-125=0$ (1 p).

b) (2 p) Coeficientul lui $x$ este $100$, deci $p=50$, jumătate din el (1 p). Formula $y{y}_0=p\left(x+x_0\right)$ dă $20y=50(x+4)$, adică $5x-2y+20=0$ (1 p).

c) (2 p) Curba este graficul funcției $f(x)=\frac{128}{x}$, cu $f^{\prime }(x)=-\frac{128}{x^2}$, deci panta tangentei în $M$ este $f^{\prime }(8)=-\frac{128}{64}=-2$ (1 p). Tangenta este $y-16=-2(x-8)$, adică $2x+y-32=0$; ea taie axele în $(16,0)$ și $(0,32)$, deci aria triunghiului dreptunghic determinat este $\frac{16\cdot 32}{2}=256$ (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Din $4x+5y-125=0$ rezultă $m=-\frac{4}{5}$ și $n=25$ (0,5 p). Condiția de tangență cere $$n^2=a^2{m}^2+b^2=625\cdot \frac{16}{25}+225=400+225=625=25^2$$ (1 p), deci dreapta este tangentă elipsei, în punctul $(20,9)$ (0,5 p).

b) (3 p) Al doilea cerc se scrie $x^2+y^2-40x-40y+631=0$; scăzând din el ecuația primului, adusă la forma $x^2+y^2-289=0$, obținem $-40x-40y+920=0$, adică $x+y=23$ (1,5 p). Substituim $y=23-x$ în $x^2+y^2=289$: $2x^2-46x+240=0$, adică $x^2-23x+120=0$, cu soluțiile $x=8$ și $x=15$ (1 p). Punctele comune sunt $(8,15)$ și $(15,8)$; fiecare verifică ambele ecuații ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Din $x^2+y^2=289$ și $xy=120$ rezultă $(x+y{)}^2=289+240=529$ și $(x-y{)}^2=289-240=49$, deci $x+y=\pm 23$ și $x-y=\pm 7$ (1 p). Combinând semnele obținem patru puncte: $(15,8)$, $(8,15)$, $(-8,-15)$ și $(-15,-8)$, fiecare verificând ambele ecuații ✓ (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) Numărăm: trei apartenențe, trei necunoscute — problema este bine pusă (0,5 p). Trecerea prin origine dă direct $p=0$ (1 p). Din $B(0,24)$: $48n+p=-576$, deci $n=-12$ (1 p). Din $D(8,12)$: $16m+24n+p=-208$, adică $16m-288=-208$, deci $m=5$ (1 p). Ecuația este $x^2+y^2+10x-24y=0$; condiția $m^2+n^2-p=169>0$ ✓, deci $C(-5,12)$ și $r=13$. Verificare pe toate trei punctele: $0$, $576-576=0$ și $64+144+80-288=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Din focare, $c=20$; din excentricitate, $a=\frac{c}{e}=20:\frac{4}{5}=25$ (1,5 p). Atunci $b^2=625-400=225$, deci elipsa este $$\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{225}=1,$$ cu $a=25>b=15$ ✓ (1,5 p).

c) (3 p) Vârful se află pe axa $Oy$, deci forma potrivită este $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$, cu $a=20$ (1 p). Panta asimptotelor este raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și cea de sub $x^2$, adică $\frac{20}{b}=\frac{20}{21}$, deci $b=21$ (1,5 p). Hiperbola este $\frac{y^2}{400}-\frac{x^2}{441}=1$ (0,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Dreapta este orizontală, deci paralelă cu axa parabolei, iar coeficientul lui $x^2$ obținut prin substituție este $m^2=0$ (1 p). Substituind, $900=100x$, ecuație de gradul întâi cu soluția $x=9$ (1 p). Dreapta are, prin urmare, exact un punct comun cu parabola, $(9,30)$, dar nu este tangentă: nu există rădăcină dublă, pentru că ecuația nici nu este de gradul al doilea (1 p).

b) (4 p) Aici $a^2=625$, $b^2=225$ și $m=-\frac{4}{5}$ (0,5 p). Condiția de tangență cere (1,5 p): $$n^2=a^2{m}^2+b^2=625\cdot \frac{16}{25}+225=400+225=625$$ (1,5 p), deci $n=25$ sau $n=-25$; tangentele sunt $4x+5y-125=0$ și $4x+5y+125=0$ (0,5 p).

c) (3 p) Dreapta se scrie $y=\frac{20}{21}x+20$, iar $\frac{20}{21}$ este chiar panta unei asimptote, deci coeficientul lui $x^2$ se anulează (1 p). Substituind în $441y^2-400x^2=176400$ rămâne $16800x=0$, deci $x=0$ și $y=20$: singurul punct comun este vârful $(0,20)$, care verifică ambele ecuații ✓ (1,5 p). Dreapta nu este tangentă acolo: tangenta în vârful $(0,20)$ este orizontala $y=20$, altă dreaptă (0,5 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Apartenența: $8\cdot 16=128$ ✓ (1 p). Din $k=\frac{a^2}{2}$ rezultă $a=b=\sqrt{2\cdot 128}=16$ (1,5 p). Atunci $c=a\sqrt{2}=16\sqrt{2}$, iar focarele sunt imaginile focarelor $\left(\pm 16\sqrt{2},0\right)$ prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$, adică $F_1(16,16)$ și $F_2(-16,-16)$ (1,5 p). Excentricitatea oricărei hiperbole echilatere este $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$ (1 p).

b) (5 p) Curba este graficul funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{128}{x}$, cu $f^{\prime }(x)=-\frac{128}{x^2}$ (1,5 p), deci panta tangentei în $M$ este $f^{\prime }(8)=-\frac{128}{64}=-2$ (1 p) și tangenta are ecuația $$y-16=-2(x-8)⟺2x+y-32=0$$ (1 p). Punând $y=0$ obținem punctul $(16,0)$, iar punând $x=0$ obținem $(0,32)$ (1 p). Mijlocul segmentului determinat de ele are coordonatele $\left(\frac{16+0}{2},\frac{0+32}{2}\right)=(8,16)=M$ ✓ (0,5 p).

c) (5 p) Cu focarele $F_1(16,16)$ și $F_2(-16,-16)$ (0,5 p): $$M{F}_1=\sqrt{(8-16{)}^2+(16-16{)}^2}=8,M{F}_2=\sqrt{(8+16{)}^2+(16+16{)}^2}=\sqrt{576+1024}=40$$ (2 p), deci $|M{F}_1-M{F}_2|=32=2a$ ✓, adică $M$ respectă definiția geometrică a hiperbolei (1 p). Triunghiul determinat de tangentă cu axele este dreptunghic, cu vârful drept în origine și catetele $16$ și $32$ (0,5 p), deci $$\mathcal{S}=\frac{16\cdot 32}{2}=256$$ (0,5 p), adică exact $2k$ — valoare care nu depinde de punctul ales pe curbă (0,5 p).