Test recapitulativ: inele, corpuri și polinoame

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Inele, corpuri și polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test recapitulează întregul supliment de algebră al clasei a XII-a, de la definiția inelului până la descompunerea polinoamelor peste un corp finit, și este calibrat ca o evaluare sumativă de capitol, nu ca un test de lecție. Partea I verifică structura de inel: axiomele, rețeta în trei pași cu moștenirea, divizorii lui zero, inelele integre, grupul unităților $U(A)$ și ecuațiile din ${\mathbb{Z}}_n$ cu coeficient neinversabil. Partea a II-a verifică corpul și morfismele: teorema „${\mathbb{Z}}_n$ este corp $⟺$ $n$ este prim", morfismele de inele cu cele trei condiții ale lor, transportul de structură prin translația $f(x)=x-a$ și explicația structurală a faptului că pe un interval nu se poate obține corp. Partea a III-a verifică polinoamele peste un corp: împărțirea și schema lui Horner modulo $p$, tabelul complet de valori, algoritmul lui Euclid cu normalizarea monică, derivata formală, ordinul de multiplicitate și ireductibilitatea, plus o problemă completă în formatul examenului.

Mențiune de supliment: testul verifică materie din suplimentul pentru Bacalaureat M1 — inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Recapitularea are sens exact pentru candidații acestor sesiuni.

⚠️ O dezambiguizare de notație, valabilă pe tot testul. Fiind un test recapitulativ, aici se întâlnesc două lucruri care în lecții stăteau separat: semnul prim al simetricului și semnul prim al derivatei formale. Regula testului este strictă: la itemii cu legile $\oplus$ și $\otimes$ (itemii 7 și 8), $x^{\prime }$ înseamnă simetricul lui $x$ față de $\oplus$, adică opusul structurii, iar $x^{-1}$ înseamnă simetricul față de $\otimes$; la itemii cu polinoame (11 și 12), $f^{\prime }$ înseamnă derivata formală a polinomului $f$. Cele două nu apar niciodată în același item.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute, fiind o recapitulare de capitol; la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, iar la orice împărțire se cere verificarea prin înmulțire înapoi.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rezultat dintr-un ${\mathbb{Z}}_n$ se scrie ca clasă redusă. Se depunctează: declararea structurii de inel fără elementul unitate, verificarea a numai două condiții la un morfism, reverificarea axiomelor după stabilirea izomorfismului, afirmarea structurii de corp pe o mulțime din care lipsește elementul nul, $\mathrm{cmmdc}$ nemonic, folosirea derivatelor succesive pentru ordinul unei rădăcini peste ${\mathbb{Z}}_p$ și afirmarea ireductibilității unui polinom de gradul al patrulea numai din lipsa rădăcinilor.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea unității, în ordinea: rețeta în trei pași, dihotomia din ${\mathbb{Z}}_n$, transportul de structură, împărțirea în ${\mathbb{Z}}_p[X]$.
• Formule de reținut: Inel: $(A,+)$ grup comutativ, $(A,\cdot )$ monoid, distributivitate de ambele părți; rețeta în trei pași — parte stabilă $\to$ moștenirea $\to$ $0$, $1$ și opusele în mulțime. Propoziția 1: $a\cdot 0=0$. Propoziția 3 (simplificarea): din $ac=bc$ cu $c$ nenul și nedivizor al lui zero rezultă $a=b$. Divizor al lui zero / inel integru / criteriul de integritate moștenită. $U(A)$ este grup, cu $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$; $U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$, iar în ${\mathbb{Z}}_n$ fiecare clasă nenulă este ori unitate, ori divizor al lui zero. Corp: inel cu $1\ne 0$ în care orice element nenul e inversabil; ${\mathbb{Z}}_n$ este corp $⟺$ $n$ este prim. Morfism de inele: trei condiții, inclusiv $f(1)=1^{\prime }$; orice morfism de corpuri este injectiv. Transportul de structură: pentru $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, funcția $f(x)=x-a$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$; zeroul este $a$, unitatea este $a+1$, $x^{\prime }=2a-x$ și $x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}$; puterile se calculează prin $x^{\otimes n}=(x-a{)}^n+a$. Rețeta $a{I}_2+bJ$: dacă $J^2=d{I}_2$, mulțimea se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$, iar este corp exact când determinantul se anulează numai pentru $a=b=0$. Polinoame: $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$ peste un corp; $U(K[X])=K^{\ast }$; restul împărțirii la $X-a$ este $f(a)$; $X-a\mid f⟺f(a)=0$; un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $K$; $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ = ultimul rest nenul din algoritmul lui Euclid, făcut monic; rădăcinile comune sunt rădăcinile lui. Derivata formală: $(c{X}^n{)}^{\prime }=nc{X}^{n-1}$; $a$ este rădăcină multiplă $⟺$ $f(a)=f^{\prime }(a)=0$; ordinul exact se citește din derivatele succesive numai peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$. Ireductibilitate: criteriul rădăcinii e valabil numai la gradele $2$ și $3$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Inele, divizori ai lui zero și grupul unităților

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-un inel cu $1\ne 0$, condiția „orice element nenul este inversabil" definește: A. inelul integru; B. inelul comutativ; C. corpul; D. grupul unităților.

b) În inelul ${\mathbb{Z}}_{20}$, numărul claselor care sunt divizori ai lui zero este: A. $8$; B. $11$; C. $12$; D. $19$.

c) Peste corpul ${\mathbb{Z}}_3$, polinomul $X^3-X$ are: A. nicio rădăcină; B. o rădăcină; C. două rădăcini; D. trei rădăcini.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Într-un inel oarecare, din $ac=bc$ și $c\ne 0$ rezultă $a=b$." b) „Orice morfism de corpuri este injectiv." c) „Peste orice corp $K$, un polinom de gradul al doilea fără rădăcini în $K$ este ireductibil peste $K$." d) „Derivata formală a unui polinom de gradul $n$ are întotdeauna gradul $n-1$."

Itemul 3 (7 puncte)

Se consideră inelul ${\mathbb{Z}}_{20}$. a) Determină $U({\mathbb{Z}}_{20})$ și numărul divizorilor lui zero. (3 p) b) Rezolvă ecuația $\hat{9}x=\hat{7}$, justificând metoda. (2 p) c) Arată că ecuația $\hat{8}x=\hat{6}$ nu are soluții. (2 p)

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră mulțimea $\mathcal{D}=\left\{D(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}$, cu adunarea și înmulțirea matricelor. a) Arată că $\mathcal{D}$ este parte stabilă față de ambele operații, scriind regula produsului în parametri. (3 p) b) Parcurge rețeta în trei pași și arată că $(\mathcal{D},+,\cdot )$ este inel comutativ. (2 p) c) Arată că $\mathcal{D}$ nu este corp, indicând un divizor al lui zero, și pune rezultatul în legătură cu valoarea lui $J^2$ pentru $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. (2 p)

Partea a II-a – Corpuri, morfisme și transport de structură

Itemul 5 (7 puncte)

a) Precizează, cu justificare, care dintre ${\mathbb{Z}}_9$, ${\mathbb{Z}}_{11}$, ${\mathbb{Z}}_{12}$, ${\mathbb{Z}}_{13}$ sunt corpuri. (2 p) b) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $x^2=\hat{9}$. (3 p) c) Arată că, într-un corp, ecuația $x^2=c$ are cel mult două soluții, și explică de ce în ${\mathbb{Z}}_8$ ecuația $x^2=\hat{1}$ are patru. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Arată că $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_{12}$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism de inele care nu este injectiv, și observă că el duce un inel integru într-unul cu divizori ai lui zero. (3 p) b) Demonstrează că nu există niciun morfism de inele $\phi :{\mathbb{Z}}_4\to {\mathbb{Z}}_3$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile $x\oplus y=x+y+4$ și $x\otimes y=xy+4x+4y+12$. a) Arată că $x\otimes y=(x+4)(y+4)-4$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$, este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$ și deduce că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp. (3 p) c) Determină elementul nul, elementul unitate, simetricul $x^{\prime }$ al lui $x$ față de $\oplus$ și rezolvă ecuația $x\otimes x\otimes x=4$. (Aici semnul prim notează simetricul față de $\oplus$, nu o derivată.) (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră intervalul $I=(-4,+\infty )$, cu legile de la itemul 7. a) Arată că $I$ este parte stabilă față de $\otimes$ și că $(I,\otimes )$ este grup comutativ. (4 p) b) Arată că $(I,\oplus ,\otimes )$ nu este inel și explică structural de ce translația nu poate produce un corp pe un interval. (3 p)

Partea a III-a – Polinoame peste un corp și item de tip Bacalaureat M1

Itemul 9 (7 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_7[X]$ se consideră $f=X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{5}X+\hat{3}$. a) Determină, cu teorema restului, restul împărțirii lui $f$ la $X-\hat{3}$. (2 p) b) Alcătuiește tabelul complet de valori al lui $f$ pe ${\mathbb{Z}}_7$ și determină toate rădăcinile lui. (3 p) c) Scrie $f$ ca produs dintre un factor de gradul întâi și unul de gradul al treilea, folosind schema lui Horner, și verifică rezultatul. (2 p)

Itemul 10 (7 puncte)

Se consideră $f=X^3+X^2-8X-12$ și $g=X^2+7X+10$, polinoame din $\mathbb{Q}[X]$. a) Determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $g$, cu verificare. (3 p) b) Determină $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ cu algoritmul lui Euclid, cu normalizarea monică. (2 p) c) Determină rădăcinile comune ale celor două polinoame. (2 p)

Itemul 11 (7 puncte)

a) Pentru $f=X^4+X^3-3X^2-5X-2\in \mathbb{R}[X]$, arată că $-1$ este rădăcină multiplă și determină ordinul ei exact, cu derivatele succesive $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, $f^{(3)}$. (De aici încolo semnul prim notează derivata formală, nu simetricul de la itemul $7$.) (4 p) b) În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, calculează derivata formală a polinomului $g=X^5+\hat{3}{X}^2$ și arată că $\hat{0}$ este rădăcină multiplă a lui $g$. (2 p) c) Explică de ce ordinul rădăcinii $\hat{0}$ nu se poate citi din derivatele succesive și determină-l prin descompunere. (1 p)

Itemul 12 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea, problema a doua.) Se consideră polinomul $f=X^3+\hat{2}{X}^2+aX+\hat{5}$ din ${\mathbb{Z}}_7[X]$, cu $a\in {\mathbb{Z}}_7$. a) Determinați $a$ știind că $\hat{3}$ este rădăcină a polinomului $f$. (5 p) b) Pentru valoarea găsită, determinați toate rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_7$ și descompuneți $f$ în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_7$. (5 p) c) Arătați, folosind derivata formală, că $f$ nu are rădăcini multiple în ${\mathbb{Z}}_7$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) C. Este chiar definiția corpului. Inelul integru cere doar absența divizorilor lui zero — $\mathbb{Z}$ este integru fără să fie corp —, iar grupul unităților este mulțimea elementelor inversabile, oricâte ar fi ele.

b) (2 p) B. Clasele inversabile din ${\mathbb{Z}}_{20}$ sunt cele cu $(a,20)=1$, adică $\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19}$ — opt la număr. Prin dihotomie, divizorii lui zero sunt celelalte clase nenule: $19-8=11$.

c) (2 p) D. Prin egalitatea ${\hat{a}}^3=\hat{a}$, valabilă pentru orice clasă din ${\mathbb{Z}}_3$, polinomul se anulează în toate cele trei clase; el are chiar funcția polinomială nulă, deși nu este polinomul nul.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Simplificarea cere ca $c$ să nu fie divizor al lui zero, nu doar să fie nenul — acesta este enunțul Propoziției 3. Contraexemplu: în ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}\cdot \hat{4}$, dar $\hat{1}\ne \hat{4}$.

b) (1,5 p) A. Dacă $f(x)=0^{\prime }$ cu $x\ne 0$, atunci $1^{\prime }=f(x{x}^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0^{\prime }$, contradicție cu $1^{\prime }\ne 0^{\prime }$. Deci singurul element dus în zero este zeroul, iar funcția este injectivă.

c) (1,5 p) A. Este criteriul demonstrat în unitate, valabil pentru gradele $2$ și $3$: dacă polinomul s-ar descompune, ar apărea neapărat un factor de gradul întâi, iar rădăcina acelui factor ar fi rădăcină a polinomului în $K$.

d) (1,5 p) F. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ afirmația e adevărată, dar peste ${\mathbb{Z}}_p$ nu: coeficientul dominant al derivatei este $n{a}_n$, care poate fi nul. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, polinomul $X^5+\hat{3}{X}^2$ are gradul $5$, iar derivata lui este $X$, de gradul întâi. Corect este $\mathrm{grad}{f}^{\prime }\le \mathrm{grad}f-1$.

Itemul 3. (7 p)

a) (3 p) Sunt inversabile clasele cu $(a,20)=1$, adică reprezentanții care nu se divid nici cu $2$, nici cu $5$ (1 p): $$U({\mathbb{Z}}_{20})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19}\},$$ opt elemente (1 p). Prin dihotomia din ${\mathbb{Z}}_n$, toate celelalte clase nenule sunt divizori ai lui zero, deci sunt $19-8=11$: $\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{8},\widehat{10},\widehat{12},\widehat{14},\widehat{15},\widehat{16},\widehat{18}$ (1 p).

b) (2 p) Cum $(9,20)=1$, clasa $\hat{9}$ este inversabilă, deci ecuația are soluție unică și se rezolvă înmulțind cu inversul (0,5 p). Din $9\cdot 9=81=4\cdot 20+1$ rezultă ${\hat{9}}^{-1}=\hat{9}$ (1 p), deci $x=\hat{9}\cdot \hat{7}=\widehat{63}=\hat{3}$, căci $63=3\cdot 20+3$. Verificare: $\hat{9}\cdot \hat{3}=\widehat{27}=\hat{7}$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Aici $(8,20)=4>1$, deci $\hat{8}$ este divizor al lui zero și metoda inversului nu se aplică (0,5 p). Produsul $\hat{8}x$ ia, când $x$ parcurge toate clasele, numai valorile $\hat{0},\hat{8},\widehat{16},\hat{4},\widehat{12}$, adică exact clasele reprezentanților divizibili cu $4$ (1 p). Clasa $\hat{6}$ nu se află printre ele, deci ecuația nu are soluții (0,5 p).

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) Suma este imediată: $D(a,b)+D(c,d)=D(a+c,b+d)$ (0,5 p). Produsul (2 p): $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+bd& ad+bc\\ bc+ad& bd+ac\end{array}\right)=D(ac+bd,ad+bc),$$ pentru că elementele de pe diagonală coincid și cele din afara ei, de asemenea. Rezultatul are din nou forma cerută, deci $\mathcal{D}$ este parte stabilă (0,5 p).

b) (2 p) Pasul 1 a fost făcut la a). Pasul 2 — moștenirea: asociativitatea adunării și a înmulțirii, comutativitatea adunării și distributivitatea se moștenesc din inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și nu se reverifică (1 p). Pasul 3: $O_2=D(0,0)\in \mathcal{D}$, $I_2=D(1,0)\in \mathcal{D}$, iar opusul lui $D(a,b)$ este $D(-a,-b)\in \mathcal{D}$. Comutativitatea înmulțirii se citește din simetria regulii de la a): schimbând rolurile obținem $D(ca+db,cb+da)$, aceeași matrice. Deci $(\mathcal{D},+,\cdot )$ este inel comutativ (1 p).

c) (2 p) Determinantul este $\det D(a,b)=a^2-b^2$, care se anulează și pentru matrice nenule, de pildă când $a=b$ (0,5 p). Concret (1 p): $$D(1,1)\cdot D(1,-1)=D(1-1,-1+1)=D(0,0)=O_2,$$ cu ambii factori nenuli: $D(1,1)$ este divizor al lui zero, deci $\mathcal{D}$ nu este corp. Legătura cu rețeta $a{I}_2+bJ$: aici $D(a,b)=a{I}_2+bJ$ cu $J^2=I_2$, adică $d=1$, un pătrat perfect — exact cazul în care criteriul rețetei cade, pentru că determinantul $a^2-d{b}^2=a^2-b^2$ se anulează și pentru $a=b\ne 0$, deci apar divizori ai lui zero și structura nu este corp (0,5 p).

Itemul 5. (7 p)

a) (2 p) Sunt corpuri exact ${\mathbb{Z}}_{11}$ și ${\mathbb{Z}}_{13}$, pentru că $11$ și $13$ sunt numere prime (1 p). ${\mathbb{Z}}_9$ nu este corp ($\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{0}$), iar ${\mathbb{Z}}_{12}$ nici atât ($\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$) — în ambele apar divizori ai lui zero (1 p).

b) (3 p) Scriem pătratele claselor din ${\mathbb{Z}}_{11}$, folosind că $\widehat{11-a}$ are același pătrat ca $\hat{a}$ (1,5 p): $${\hat{1}}^2=\hat{1},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{3}}^2=\hat{9},{\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{5},{\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{3}.$$ Valoarea $\hat{9}$ apare pentru $\hat{3}$ și, prin simetrie, pentru $\widehat{11-3}=\hat{8}$; într-adevăr $8^2=64=5\cdot 11+9$ (1 p). Soluțiile sunt $x\in \{\hat{3},\hat{8}\}$ (0,5 p).

c) (2 p) Într-un corp, din $x^2=c$ și $y^2=c$ rezultă $x^2-y^2=0$; corpul fiind comutativ, $(x-y)(x+y)=0$, iar absența divizorilor lui zero dă $y=x$ sau $y=-x$: cel mult două soluții (1 p). În ${\mathbb{Z}}_8$ argumentul cade, pentru că ${\mathbb{Z}}_8$ nu este corp: pentru $x=\hat{3}$ avem $(\hat{3}-\hat{1})(\hat{3}+\hat{1})=\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{0}$ fără ca vreun factor să fie nul, iar ecuația $x^2=\hat{1}$ are patru soluții: $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$ (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Cele trei condiții se citesc din definițiile operațiilor cu clase: $f(k+m)=\widehat{k+m}=\hat{k}+\hat{m}$, $f(km)=\widehat{km}=\hat{k}\hat{m}$ și $f(1)=\hat{1}$ (1,5 p). Nu este injectiv: $f(0)=f(12)=\hat{0}$ (0,5 p). Observația cerută: $\mathbb{Z}$ este inel integru, iar imaginea lui, ${\mathbb{Z}}_{12}$, are divizori ai lui zero ($\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$) — semn că un morfism oarecare nu păstrează integritatea; ea se transportă doar prin izomorfisme (1 p).

b) (4 p) Presupunem că există un astfel de morfism $\phi$. Din a treia condiție, $\phi (\hat{1})=\hat{1}$ (1 p). Din aditivitate, $\phi$ duce suma a patru copii ale lui $\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_4$ în suma a patru copii ale lui $\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3$ (1,5 p): $$\phi (\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{1})=\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{4}=\hat{1}\text{ ıˆn }{\mathbb{Z}}_3.$$ Dar în ${\mathbb{Z}}_4$ avem $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$, iar orice morfism duce zeroul în zero, deci membrul stâng este $\hat{0}$ (1 p). Am obținut $\hat{1}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$, fals. Prin urmare nu există niciun morfism de inele de la ${\mathbb{Z}}_4$ la ${\mathbb{Z}}_3$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Desfacem membrul drept: $(x+4)(y+4)-4=xy+4x+4y+16-4=xy+4x+4y+12=x\otimes y$ (1,5 p). Recunoaștem tiparul $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$ cu $a=-4$, iar verificarea termenului liber, $a^2+a=16-4=12$, confirmă (0,5 p).

b) (3 p) Funcția $f(x)=x+4$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t-4$ (0,5 p). Cele trei condiții (2 p): $$f(x\oplus y)=x+y+8=(x+4)+(y+4)=f(x)+f(y),$$ $$f(x\otimes y)=(x+4)(y+4)-4+4=(x+4)(y+4)=f(x)f(y),$$ iar elementul unitate al lui $\otimes$ este $-3$, cu $f(-3)=1$. Prin transport de structură, toate axiomele corpului $(\mathbb{R},+,\cdot )$ se mută, deci $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ — fără nicio reverificare de axiomă (0,5 p).

c) (2 p) Elementul nul este $f^{-1}(0)=-4$, elementul unitate este $f^{-1}(1)=-3$, iar simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $x^{\prime }=2a-x=-8-x$; control: $5\oplus (-13)=5-13+4=-4$ ✓ (1 p). Pentru ecuație folosim $x^{\otimes 3}=(x+4{)}^3-4$, deci $(x+4{)}^3=8$, de unde $x+4=2$ și $x=-2$ (0,5 p). Verificare directă: $(-2)\otimes (-2)=4-8-8+12=0$, apoi $0\otimes (-2)=0+0-8+12=4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) Parte stabilă: pentru $x,y>-4$ avem $x+4>0$ și $y+4>0$, deci $x\otimes y=(x+4)(y+4)-4>-4$ (1 p). Asociativitate și comutativitate: legea indusă este restricția uneia care le are pe $\mathbb{R}$, deci le păstrează (0,5 p). Element neutru: $-3\in I$ și $x\otimes (-3)=(x+4)\cdot 1-4=x$ (1 p). Simetrizabile: pentru $x\in I$, simetricul este $x^{-1}=-4+\frac{1}{x+4}$, care aparține lui $I$, pentru că $\frac{1}{x+4}>0$ (1 p). Deci $(I,\otimes )$ este grup comutativ, izomorf prin $f(x)=x+4$ cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive (0,5 p).

b) (3 p) Zeroul structurii ar trebui să fie elementul neutru al lui $\oplus$, adică $-4$; dar $-4\notin I$ (1 p). Mai mult, pentru $x,y\in I$ avem $x\oplus y=x+y+4>-4$, deci compusul nu ajunge niciodată la valoarea care ar juca rolul de zero: $(I,\oplus )$ nu are element neutru, deci nu e grup, deci $(I,\oplus ,\otimes )$ nu e inel și cu atât mai puțin corp (1 p). Structural: translația $f(x)=x+4$ duce intervalul $(-4,+\infty )$ pe $(0,+\infty )$, niciodată pe toată dreapta reală, deci nu poate fi izomorfism către $(\mathbb{R},+,\cdot )$, oricât de bine s-ar comporta față de operații (1 p).

Itemul 9. (7 p)

a) (2 p) Din teorema restului, restul este $f\left(\hat{3}\right)$ (0,5 p): $$f\left(\hat{3}\right)=\widehat{81}+\hat{2}\cdot \widehat{27}+\hat{5}\cdot \hat{3}+\hat{3}=\hat{4}+\hat{2}\cdot \hat{6}+\hat{1}+\hat{3}=\hat{4}+\hat{5}+\hat{1}+\hat{3}=\widehat{13}=\hat{6}$$ (1,5 p).

b) (3 p) Calculăm valorile în toate cele șapte clase, reducând la fiecare pas (2 p):

Singura rădăcină este $\hat{5}$ (1 p).

c) (2 p) Coeficienții lui $f$, toți cinci, sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{5},\hat{3}$. Schema lui Horner cu $a=\hat{5}$: se coboară $\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{5}=\hat{0}$; $\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$; $\hat{5}+\hat{0}=\hat{5}$; $\hat{3}+\widehat{25}=\hat{3}+\hat{4}=\hat{0}$ — restul este $\hat{0}$ ✓, iar câtul este $X^3+\hat{5}$ (1 p). Deci $$f=(X-\hat{5})(X^3+\hat{5})=(X+\hat{2})(X^3+\hat{5}).$$ Verificare prin înmulțire înapoi: $(X-\hat{5})(X^3+\hat{5})=X^4+\hat{5}X-\hat{5}{X}^3-\widehat{25}=X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{5}X+\hat{3}$ ✓, pentru că $-\hat{5}=\hat{2}$ și $-\widehat{25}=-\hat{4}=\hat{3}$ (1 p). (Factorul $X^3+\hat{5}$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_7$ — altfel ar fi apărut în tabelul de la b) —, deci, fiind de gradul al treilea, este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$.)

Itemul 10. (7 p)

a) (3 p) Împărțind, obținem câtul $q=X-6$ și restul $r=24X+48$ (2 p): $$X^3+X^2-8X-12=(X^2+7X+10)(X-6)+(24X+48).$$ Verificare prin înmulțire înapoi: $(X^2+7X+10)(X-6)=X^3+X^2-32X-60$, iar adunând $24X+48$ obținem $X^3+X^2-8X-12=f$ ✓ (1 p).

b) (2 p) Continuăm algoritmul, împărțind $g$ la restul obținut (1 p): $$X^2+7X+10=(24X+48)\left(\frac{1}{24}X+\frac{5}{24}\right)+0.$$ Ultimul rest nenul este $24X+48$; înmulțit cu $\frac{1}{24}$, ca să devină monic, dă $$\mathrm{cmmdc}(f,g)=X+2$$ (1 p). (Coeficienții mari de pe drum nu contează: ei dispar la normalizare.)

c) (2 p) Rădăcinile comune sunt exact rădăcinile lui $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X+2$, deci singura este $-2$ (1 p). Control direct: $f(-2)=-8+4+16-12=0$ și $g(-2)=4-14+10=0$ ✓. (De altfel $f=(X+2{)}^2(X-3)$ și $g=(X+2)(X+5)$.) (1 p)

Itemul 11. (7 p)

a) (4 p) Derivăm succesiv (1,5 p): $$f^{\prime }=4X^3+3X^2-6X-5,f^{\prime \prime }=12X^2+6X-6,f^{(3)}=24X+6.$$ Valorile în $-1$: $f(-1)=1-1-3+5-2=0$ și $f^{\prime }(-1)=-4+3+6-5=0$, deci, prin criteriul rădăcinii multiple, $-1$ este rădăcină multiplă (1,5 p). Mai departe, $f^{\prime \prime }(-1)=12-6-6=0$, iar $f^{(3)}(-1)=-24+6=-18\ne 0$: prima derivată care nu se anulează în $-1$ este cea de ordinul al treilea, deci ordinul de multiplicitate este exact $3$ (1 p). (Confirmare: $f=(X+1{)}^3(X-2)$.)

b) (2 p) Derivata formală se calculează termen cu termen, iar coeficienții se reduc modulo $5$ (1 p): $$g^{\prime }=\hat{5}{X}^4+\hat{6}X=\hat{0}{X}^4+\hat{1}X=X,$$ pentru că $\hat{5}=\hat{0}$ și $\hat{6}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_5$. Evaluăm în $\hat{0}$: $g\left(\hat{0}\right)=\hat{0}$ și $g^{\prime }\left(\hat{0}\right)=\hat{0}$, deci $\hat{0}$ este rădăcină multiplă a lui $g$ (1 p).

c) (1 p) Criteriul derivatelor succesive este valabil numai peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$; peste ${\mathbb{Z}}_p$ derivatele se pot anula din motive de caracteristică, nu de multiplicitate — contraexemplul canonic este $X^2+\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$ peste ${\mathbb{Z}}_2$, unde rădăcina $\hat{1}$ are ordinul $2$, dar derivata este identic nulă. Aici ordinul se află prin descompunere: $g=X^2(X^3+\hat{3})$, iar $X^3+\hat{3}$ ia în $\hat{0}$ valoarea $\hat{3}\ne \hat{0}$, deci ordinul rădăcinii $\hat{0}$ este exact $2$.

Itemul 12. (15 p) — problemă de tip Subiectul al II-lea, trei subpuncte a câte $5$ puncte.

a) (5 p) Din teorema lui Bézout, $\hat{3}$ este rădăcină dacă și numai dacă $f\left(\hat{3}\right)=\hat{0}$ (1 p). Calculăm, reducând la fiecare pas (2 p): $$f\left(\hat{3}\right)=\widehat{27}+\hat{2}\cdot \hat{9}+\hat{3}a+\hat{5}=\hat{6}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{3}a+\hat{5}=\hat{6}+\hat{4}+\hat{5}+\hat{3}a=\widehat{15}+\hat{3}a=\hat{1}+\hat{3}a.$$ Condiția $\hat{1}+\hat{3}a=\hat{0}$ dă $\hat{3}a=-\hat{1}=\hat{6}$ (1 p). Cum $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$, avem ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, deci $a=\hat{5}\cdot \hat{6}=\widehat{30}=\hat{2}$ (1 p).

b) (5 p) Cu $a=\hat{2}$ avem $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{5}$. Alcătuim tabelul complet de valori — metodă completă, corpul având șapte elemente (2 p):

Singura rădăcină este $\hat{3}$ (1 p). Aplicăm schema lui Horner cu $a=\hat{3}$ pe coeficienții $\hat{1},\hat{2},\hat{2},\hat{5}$: se coboară $\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$; $\hat{2}+\widehat{15}=\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}$; $\hat{5}+\hat{9}=\hat{5}+\hat{2}=\hat{0}$ — restul este $\hat{0}$ ✓, iar câtul este $X^2+\hat{5}X+\hat{3}$ (1 p). Câtul nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_7$ (valorile lui sunt $\hat{3},\hat{2},\hat{3},\hat{6},\hat{4},\hat{4},\hat{6}$), deci, fiind de gradul al doilea, este ireductibil. Prin urmare (1 p) $$f=(X-\hat{3})(X^2+\hat{5}X+\hat{3})=(X+\hat{4})(X^2+\hat{5}X+\hat{3}).$$

c) (5 p) Derivata formală, calculată termen cu termen și redusă modulo $7$ (1,5 p): $$f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{4}X+\hat{2}.$$ Criteriul rădăcinii multiple cere ca ambele condiții, $f(x)=\hat{0}$ și $f^{\prime }(x)=\hat{0}$, să fie îndeplinite simultan. Singura rădăcină a lui $f$ este $\hat{3}$ (1,5 p), iar $$f^{\prime }\left(\hat{3}\right)=\hat{3}\cdot \hat{9}+\hat{4}\cdot \hat{3}+\hat{2}=\hat{3}\cdot \hat{2}+\widehat{12}+\hat{2}=\hat{6}+\hat{5}+\hat{2}=\widehat{13}=\hat{6}\ne \hat{0}$$ (1,5 p). Prin urmare $\hat{3}$ este rădăcină simplă, iar $f$ nu are nicio rădăcină multiplă în ${\mathbb{Z}}_7$ (0,5 p). (Rezultatul e coerent cu descompunerea de la b): factorul $X-\hat{3}$ apare o singură dată, iar cel de gradul al doilea nu se anulează în $\hat{3}$.)