Test recapitulativ: integrala definită

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Integrala definită

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul final al unității și acoperă toate cele douăzeci de lecții, de la prima sumă Riemann până la scurtăturile de simetrie. El verifică șase lucruri, în ordinea în care s-au construit noțiunile. Primul: vocabularul de bază — diviziune, normă, puncte intermediare, sumă Riemann — și calculul unei integrale din definiție, pe un șir convenabil de diviziuni echidistante, cu formulele $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$. Al doilea: grila de justificare a integrabilității, parcursă în ordine — criteriul negativ al mărginirii, continuitatea, monotonia, criteriul discontinuităților izolate —, cu redactarea de două rânduri pe care o cere baremul. Al treilea: proprietățile integralei (liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul, monotonia, mărginirea, ereditatea, stabilitatea) împreună cu inegalitatea modulului și cu cei patru pași ai integralei pe ramuri, precedați de pasul preliminar, tabelul de semn, atunci când apare un modul. Al patrulea: teorema de medie și încadrarea integralei, cu Etapele 1, 2 și 3 ale rețetei de încadrare. Al cincilea: funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, cu rețeta în trei pași — continuitate, semnul lui $f$, tabelul de variație al lui $F$ — și cu limitele de tip $\frac{0}{0}$ rezolvate prin definiția derivatei. Al șaselea: metodele de calcul (părți, schimbare de variabilă cu limite noi, funcții raționale), șirurile de integrale cu recurență și încadrare și limitele calculate cu sume Riemann.

Testul urmărește și cele opt capcane ale unității: formula Leibniz–Newton aplicată peste un punct din afara domeniului; modulul integrat fără ruperea intervalului; schimbarea de variabilă fără schimbarea limitelor; suma Riemann fără justificarea integrabilității; convențiile de orientare uitate; paritatea produsului citită greșit; punctul din teorema de medie tratat ca unic sau ca mijloc al intervalului; monotonia integralei aplicată în gol. Fiecare dintre ele apare cel puțin o dată, direct sau ca ipoteză de verificat.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute (fiind test recapitulativ de capitol); rezultatele se lasă în formă exactă.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rând trebuie să poată fi punctat singur: ipoteza verificată, metoda numită, transformarea scrisă complet, calculul, rezultatul exact, răspunsul la cerință cu cuvintele enunțului. Se depunctează: integrabilitatea afirmată fără numirea criteriului, limitele nemodificate la schimbarea de variabilă, propoziția de continuitate lipsă la o sumă Riemann și orice scurtătură de simetrie folosită fără verificarea ipotezelor.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea unității pe lecțiile la care s-au pierdut punctele, folosind lista de control din lecția de sinteză.
• Formule de reținut: Diviziune și normă: $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$, $\Vert \Delta \Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1})$; suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$. Clasele de funcții integrabile: funcțiile continue (Teorema 1) și funcțiile monotone (Teorema 2) pe $[a,b]$, plus funcțiile mărginite cu un număr finit de discontinuități; orice funcție integrabilă este mărginită — de aici criteriul negativ. Principiul șirului convenabil: odată justificată integrabilitatea, valoarea se află pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero. Formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$, cu $f$ integrabilă și cu primitiva $F$ pe $[a,b]$. Convențiile de orientare: ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$. Aditivitatea: ${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$. Inegalitatea modulului: $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$. Teorema de medie: pentru $f$ continuă pe $[a,b]$ există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$; valoarea medie este $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$, iar $c$ nu este unic și nu este mijlocul intervalului. Încadrarea: din $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$. Funcția integrală: pentru $f$ continuă, $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă și $F^{\prime }=f$; pentru capăt compus, ${\left({\int }_a^{u(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$. Integrarea prin părți: ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$. Schimbarea de variabilă: ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$, cu limitele schimbate și fără revenire la $x$. Sume Riemann: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$, pentru $f$ continuă pe $[0,1]$. Simetrii: Teorema 1 (impare) ${\int }_{-a}^{a}f=0$; Teorema 2 (pare) ${\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^{a}f$; Teorema 3 (periodice) ${\int }_a^{a+T}f={\int }_0^{T}f$. ⚠️ Numerotarea „Teorema 1 / Teorema 2" apare în două locuri diferite ale unității — la clasele de funcții integrabile și la simetrii —, deci de fiecare dată se scrie și despre care este vorba.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Sume Riemann, integrabilitate, proprietăți

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Norma diviziunii $\Delta =\left(0;\frac{3}{2};2;4;5\right)$ a intervalului $[0,5]$ este: A. $\frac{1}{2}$; B. $\frac{3}{2}$; C. $2$; D. $5$.

b) O funcție integrabilă pe $[a,b]$ este obligatoriu: A. continuă; B. monotonă; C. mărginită; D. derivabilă.

c) Dacă $F(x)={\int }_2^x\frac{dt}{t^2+1}$, atunci $F^{\prime }(1)$ este egal cu: A. $0$; B. $\frac{1}{2}$; C. $\frac{1}{5}$; D. $\mathrm{arctg}1$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$, chiar dacă nu este continuă." b) „Dacă o funcție integrabilă pe $[0,3]$ își schimbă valoarea numai în punctul $x=2$, atunci valoarea integralei ei se schimbă." c) „${\int }_0^{2\pi }|\cos x|dx=0$." d) „Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, punctul $c$ dat de teorema de medie este unic."

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, și diviziunea echidistantă a intervalului $[0,3]$ în $n$ părți, cu punctele intermediare luate la dreapta fiecărui subinterval.

a) Scrie punctele diviziunii și norma ei. (2 p) b) Arată că ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{81(n+1{)}^2}{4n^2}$, folosind $1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$. (3 p) c) Deduce valoarea integralei ${\int }_0^3{x}^{3}dx$, invocând criteriul de integrabilitate și principiul șirului convenabil. (1 p)

Itemul 4 (7 puncte)

a) Pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos, precizează rândul din grila de justificare a integrabilității care se aplică și scrie concluzia (câte 1 punct): (3 p) (i) $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|+\sqrt{x}$; (ii) $g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=0$; (iii) $h:[0,3]\to \mathbb{R}$, $h(x)=1$ pentru $x\in [0,1)$ și $h(x)=4$ pentru $x\in [1,3]$.

b) Calculează ${\int }_0^{3}h(x)dx$, parcurgând cei patru pași ai integralei pe ramuri. (2 p) c) Explică de ce funcția lui Dirichlet nu este integrabilă pe $[0,1]$, deși este mărginită. (2 p)

Itemul 5 (8 puncte)

a) Calculează ${\int }_{-1}^2\left|x^2+x-2\right|dx$, cu pasul preliminar și cei patru pași ai integralei pe ramuri. (3 p) b) Se știe că ${\int }_0^{3}g(x)dx=7$ și ${\int }_0^{5}g(x)dx=2$, unde $g$ este integrabilă pe $[0,5]$. Calculează ${\int }_3^{5}g(x)dx$ și ${\int }_5^{0}g(x)dx$. (3 p) c) Calculează ${\int }_{-1}^2\left(x^2+x-2\right)dx$ și verifică pe acest exemplu inegalitatea modulului. (2 p)

Partea a II-a – Medie, încadrare, funcția integrală, metode de calcul

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

a) Verifică ipoteza teoremei de medie și calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$. (2 p) b) Determină valoarea medie a lui $f$ pe $[0,4]$ și toate valorile $c\in [0,4]$ date de teorema de medie. (3 p) c) Arată că punctul $c$ găsit nu este mijlocul intervalului. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Arată, parcurgând Etapele 1, 2 și 3 ale rețetei încadrării, că $\frac{2}{11}\le {\int }_1^3\frac{dx}{x^2+2}\le \frac{2}{3}$. (3 p) b) Compară ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+2}$ cu ${\int }_0^1\frac{dx}{x^3+2}$, fără a le calcula. (2 p) c) Arată că $\frac{1}{16}\le {\int }_0^1\frac{x^7}{1+x}dx\le \frac{1}{8}$. (2 p)

Itemul 8 (8 puncte)

Se consideră funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(3-t)(t+1)dt$.

a) Parcurge primii doi pași ai rețetei funcției integrale în trei pași: justifică derivabilitatea lui $F$, scrie $F^{\prime }$ și alcătuiește tabelul de semn al lui $F^{\prime }$. (3 p) b) Calculează $F(-1)$ și $F(3)$ și alcătuiește tabelul de variație al lui $F$, precizând punctele de extrem local. (3 p) c) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x}$. (2 p)

Itemul 9 (8 puncte)

Calculează, precizând de fiecare dată metoda: a) ${\int }_0^1(x+3)e^{2x}dx$; (3 p) b) ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2x}{1+{\cos }^{2}x}dx$; (3 p) c) ${\int }_0^2\frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx$. (2 p)

Partea a III-a – Șiruri, sume Riemann, simetrii și item de tip examen

Itemul 10 (6 puncte)

Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se consideră $Z_n={\int }_0^1\frac{x^n}{3x+1}dx$.

a) Calculează $Z_0$. (2 p) b) Arată că $3Z_n+Z_{n-1}=\frac{1}{n}$ pentru orice $n\ge 1$ și calculează $Z_1$. (2 p) c) Arată că $\frac{1}{4(n+1)}\le Z_n\le \frac{1}{n+1}$ și determină $\underset{n\to \infty }{\lim }{Z}_n$. (2 p)

Itemul 11 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n+k}$. (3 p) b) Calculează ${\int }_{-1}^1\left(x^5\cos x+\frac{3}{x^2+1}\right)dx$, folosind paritatea. (3 p)

Itemul 12 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^3+3}$.

a) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$, folosind schimbarea de variabilă. (5 p) b) Arătați că $\frac{1}{12}\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le \frac{1}{9}$ și deduceți încadrarea $\frac{1}{4}\le \ln \frac{4}{3}\le \frac{1}{3}$. (5 p) c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{3n^3+k^3}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Lungimile subintervalelor sunt $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$, $2$ și $1$, iar norma este cea mai mare dintre ele, adică $2$. Norma nu este lungimea intervalului și nici lungimea primului subinterval, ci maximul lungimilor.

b) C. Mărginirea este singura dintre cele patru proprietăți care decurge din integrabilitate; celelalte trei sunt condiții suficiente, nu necesare. Funcția-treaptă este integrabilă fără să fie continuă, iar $\sin$ pe $[0,2\pi ]$ este integrabilă fără să fie monotonă. Citită în contrapoziție, proprietatea dă criteriul negativ al mărginirii.

c) B. Funcția $t\mapsto \frac{1}{t^2+1}$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}$, de unde $F^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$. Capătul fix $2$ nu joacă niciun rol în derivată, ci doar în valoarea lui $F$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Este Teorema 2 din clasele de funcții integrabile, admisă fără demonstrație. Exemplul canonic: funcția care ia valoarea $1$ pe $[0,1)$ și $2$ pe $[1,2]$ este crescătoare, deci integrabilă, deși are o discontinuitate de speța I în $1$.

b) F. Este proprietatea de stabilitate: modificarea valorilor unei funcții într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei. Intuitiv, un punct este „prea subțire" ca să conteze într-o sumă Riemann, contribuția lui fiind cel mult $\Vert \Delta \Vert$ înmulțit cu variația valorii.

c) F. Integrandul este pozitiv și nu este identic nul, deci integrala este strict pozitivă. Ruptă în punctele în care $\cos$ își schimbă semnul, integrala valorează $4$. Confuzia vine din ${\int }_0^{2\pi }\cos xdx=0$: acolo bucata negativă o anulează pe cea pozitivă, pe când modulul le adună.

d) F. Teorema afirmă doar existența unui punct $c$; pot exista mai multe. Contraexemplu: pentru $f(x)=x^2$ pe $[-3,3]$ avem ${\int }_{-3}^3{x}^{2}dx=18$, deci valoarea medie este $3$, iar ecuația $c^2=3$ are două soluții în $[-3,3]$, anume $\pm \sqrt{3}$.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Diviziunea echidistantă are punctele $x_k=0+k\cdot \frac{3-0}{n}=\frac{3k}{n}$, $k=0,1,\dots ,n$ (1 p). Toate subintervalele au aceeași lungime, deci norma este $$\Vert \Delta \Vert =\frac{3}{n}$$ (1 p).

b) (3 p) Punctele intermediare luate la dreapta sunt ${\xi }_k=x_k=\frac{3k}{n}$, deci $${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)(x_k-x_{k-1})=\frac{3}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{3k}{n}\right)}^3=\frac{81}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$$ (1,5 p). Cu formula sumei cuburilor, demonstrată prin inducție matematică, $${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{81}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{81(n+1{)}^2}{4n^2}$$ (1,5 p).

c) (1 p) Funcția $f(x)=x^3$ este continuă pe intervalul compact $[0,3]$, deci integrabilă prin Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile; prin principiul șirului convenabil, valoarea integralei este limita sumelor de mai sus, norma $\frac{3}{n}$ tinzând la zero: $${\int }_0^3{x}^{3}dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{81(n+1{)}^2}{4n^2}=\frac{81}{4}.$$

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) (i) Funcția este continuă pe $[0,4]$, ca sumă între modulul unei funcții polinomiale și un radical, ambele continue; se aplică rândul continuității (Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile), deci $f$ este integrabilă pe $[0,4]$ (1 p). (ii) Pentru orice plafon $M>0$ există $x$ apropiat de $1$ cu $\frac{1}{(x-1{)}^2}>M$, deci funcția este nemărginită pe $[0,2]$; se aplică rândul criteriului negativ al mărginirii, deci $g$ nu este integrabilă pe $[0,2]$ (1 p). (iii) Funcția este mărginită, cu $1\le h(x)\le 4$, și are un singur punct de discontinuitate, $x=1$; se aplică rândul discontinuităților izolate, deci $h$ este integrabilă pe $[0,3]$ (1 p). (Ar merge și rândul monotoniei: $h$ este crescătoare.)

b) (2 p) Pasul 1: integrabilitatea a fost justificată la subpunctul a). Pasul 2: tăiem intervalul în punctul de racord $1$, prin aditivitate. Pasul 3: pe fiecare bucată înlocuim funcția cu formula ramurii ei. Pasul 4: adunăm (1 p): $${\int }_0^{3}h(x)dx={\int }_0^{1}1dx+{\int }_1^{3}4dx=1+8=9$$ (1 p).

c) (2 p) Funcția lui Dirichlet ia doar valorile $0$ și $1$, deci este mărginită; mărginirea nu garantează însă integrabilitatea, ea fiind doar o consecință a acesteia (1 p). Pe orice diviziune, alegând toate punctele intermediare raționale se obține suma Riemann $b-a$, iar alegând toate punctele iraționale se obține $0$: sumele nu se apropie de un singur număr, oricât de mică ar fi norma, deci definiția integrabilității nu este îndeplinită (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Pasul preliminar — tabelul de semn. Trinomul se factorizează, $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, cu rădăcinile $-2$ și $1$; dintre ele, numai $1$ se află în $[-1,2]$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia este negativă pe $[-1,1]$ și pozitivă pe $[1,2]$, deci $\left|x^2+x-2\right|=2-x-x^2$ pe prima bucată și $x^2+x-2$ pe a doua (1 p). Pașii 1–2: funcția cu modul este continuă pe $[-1,2]$, deci integrabilă; tăiem intervalul în $1$, prin aditivitate (0,5 p). Pașii 3–4: $${\int }_{-1}^1\left(2-x-x^2\right)dx=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^1=\frac{7}{6}+\frac{13}{6}=\frac{10}{3},$$ $${\int }_1^2\left(x^2+x-2\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{11}{6}$$ (1 p), deci ${\int }_{-1}^2\left|x^2+x-2\right|dx=\frac{10}{3}+\frac{11}{6}=\frac{31}{6}\approx 5,167$. Ambele bucăți au ieșit pozitive, cum trebuie să fie la un integrand cu modul (0,5 p).

b) (3 p) Prin aditivitatea în raport cu intervalul, ${\int }_0^{5}g={\int }_0^{3}g+{\int }_3^{5}g$ (1 p), deci $${\int }_3^{5}g(x)dx=2-7=-5$$ (1 p). Prin convenția de orientare ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, $${\int }_5^{0}g(x)dx=-{\int }_0^{5}g(x)dx=-2$$ (1 p).

c) (2 p) Fără modul, $${\int }_{-1}^2\left(x^2+x-2\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_{-1}^2=\frac{2}{3}-\frac{13}{6}=-\frac{3}{2}$$ (1 p). Inegalitatea modulului cere $\left|{\int }_{-1}^{2}f\right|\le {\int }_{-1}^2|f|$, adică $\frac{3}{2}\le \frac{31}{6}$ — adevărat, și strict, pentru că integrandul își schimbă semnul pe interval, iar contribuțiile se compensează parțial la prima integrală și se adună la a doua (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ este continuă pe $[0,4]$, ca funcție radical pe un interval din domeniul ei, deci ipoteza teoremei de medie este îndeplinită (1 p). Cu rândul canonic al puterii, $${\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^4=\frac{2\cdot 8}{3}=\frac{16}{3}$$ (1 p).

b) (3 p) Valoarea medie este $$\mu =\frac{1}{4-0}{\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{3}=\frac{4}{3}$$ (1,5 p). Ecuația $f(c)=\mu$ devine $\sqrt{c}=\frac{4}{3}$, deci $c=\frac{16}{9}\approx 1,778$, singura soluție, care aparține într-adevăr intervalului $[0,4]$ (1,5 p).

c) (2 p) Mijlocul intervalului este $2$, iar $f(2)=\sqrt{2}\approx 1,414$, în timp ce $\mu =\frac{4}{3}\approx 1,333$ (1 p). Cele două numere sunt diferite, deci $c\ne 2$: valoarea medie a unei funcții nu este valoarea funcției la mijlocul intervalului, ci o valoare pe care funcția o atinge undeva în interval (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Etapa 1 — marginile integrandului. Funcția $x\mapsto \frac{1}{x^2+2}$ este strict descrescătoare pe $[1,3]$, pentru că numitorul crește, deci marginile sunt valorile din capete (1 p). Etapa 2 — dubla inegalitate. Din $3\le x^2+2\le 11$ rezultă $$\frac{1}{11}\le \frac{1}{x^2+2}\le \frac{1}{3},x\in [1,3]$$ (1 p). Etapa 3 — integrarea. Intervalul are lungimea $2$, deci, prin monotonia integralei, $$\frac{2}{11}\le {\int }_1^3\frac{dx}{x^2+2}\le \frac{2}{3}$$ (1 p). (Valoarea reală este $\approx 0,364$, într-adevăr între $0,182$ și $0,667$.)

b) (2 p) Pe $[0,1]$ avem $x^3\le x^2$, deci $x^3+2\le x^2+2$; ambii numitori fiind strict pozitivi, trecerea la inverse răstoarnă sensul: $\frac{1}{x^2+2}\le \frac{1}{x^3+2}$ pe tot intervalul (1 p). Prin monotonia integralei, $${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{x^3+2}$$ (1 p).

c) (2 p) Este tiparul $\frac{x^n}{1+x}$ pe $[0,1]$, pentru $n=7$: din $1\le 1+x\le 2$ rezultă $\frac{x^7}{2}\le \frac{x^7}{1+x}\le x^7$ (1 p). Integrând și folosind ${\int }_0^1{x}^{7}dx=\frac{1}{8}$, obținem $\frac{1}{16}\le {\int }_0^1\frac{x^7}{1+x}dx\le \frac{1}{8}$ (1 p).

Itemul 8. (8 p)

a) (3 p) Pasul 1. Funcția $t\mapsto (3-t)(t+1)$ este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; alegem capătul fix $0$. Prin teorema de existență a primitivelor, $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și (1,5 p) $$F^{\prime }(x)=(3-x)(x+1)=-x^2+2x+3.$$ Pasul 2. Trinomul are rădăcinile $-1$ și $3$ și coeficientul dominant negativ, deci este negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele (1 p):

(0,5 p)

b) (3 p) O primitivă a integrandului este $t\mapsto -\frac{t^3}{3}+t^2+3t$, deci $F(x)=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x$ (1 p), de unde $$F(-1)=\frac{1}{3}+1-3=-\frac{5}{3},F(3)=-9+9+9=9$$ (1 p). Limitele la capete sunt $+\infty$ spre $-\infty$ și $-\infty$ spre $+\infty$, pentru că termenul dominant este $-\frac{x^3}{3}$ (0,5 p):

Citirea tabelului: $F$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict crescătoare pe $[-1,3]$; are punctul de minim local $x=-1$, cu $F(-1)=-\frac{5}{3}$, și punctul de maxim local $x=3$, cu $F(3)=9$ (0,5 p).

c) (2 p) Cum $F(0)=0$, limita este un caz $\frac{0}{0}$, iar cea mai scurtă cale este chiar definiția derivatei (1 p): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F^{\prime }(0)=3$$ (1 p).

Itemul 9. (8 p)

a) (3 p) Integrandul este un produs în care factorul polinomial se simplifică prin derivare, deci se aplică integrarea prin părți, cu $f(x)=x+3$ și $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, adică $f^{\prime }(x)=1$ și $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$ (1 p): $${\int }_0^1(x+3)e^{2x}dx=\frac{(x+3)e^{2x}}{2}{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx=\left(2e^2-\frac{3}{2}\right)-\frac{e^2-1}{4}$$ (1,5 p), deci rezultatul este $\frac{7e^2-5}{4}\approx 11,681$ (0,5 p).

b) (3 p) Se aplică schimbarea de variabilă: cum $\sin 2x=2\sin x\cos x$, funcția $u(x)=1+{\cos }^{2}x$ are derivata $u^{\prime }(x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x$, deci integrandul este $-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ (1 p). Noile limite: $x=0$ dă $u=2$; $x=\frac{\pi }{2}$ dă $u=1$ (0,5 p). Prin urmare $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2x}{1+{\cos }^{2}x}dx=-{\int }_2^1\frac{dt}{t}={\int }_1^2\frac{dt}{t}=\ln t{|}_1^2=\ln 2\approx 0,693$$ (1,5 p).

c) (2 p) Numitorul $x^2+3x+4$ are discriminantul $9-16=-7<0$, deci nu se anulează, iar funcția este continuă pe $[0,2]$; numărătorul este exact derivata numitorului, deci integrandul are forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ și nu are rost nicio descompunere (1 p): $${\int }_0^2\frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx=\ln \left(x^2+3x+4\right){|}_0^2=\ln 14-\ln 4=\ln \frac{7}{2}\approx 1,253$$ (1 p). Modulul nu este necesar, trinomul fiind strict pozitiv.

Itemul 10. (6 p)

a) (2 p) Numitorul $3x+1$ nu se anulează pe $[0,1]$, deci integrandul este continuu, prin urmare integrabil (0,5 p). Numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului: $$Z_0={\int }_0^1\frac{dx}{3x+1}=\frac{1}{3}\ln |3x+1|{|}_0^1=\frac{\ln 4}{3}=\frac{2\ln 2}{3}\approx 0,462$$ (1,5 p).

b) (2 p) Adunăm potrivit, ca la numărător să apară factorul $3x+1$: $$3Z_n+Z_{n-1}={\int }_0^1\frac{3x^n+x^{n-1}}{3x+1}dx={\int }_0^1\frac{x^{n-1}(3x+1)}{3x+1}dx={\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\frac{1}{n}$$ (1 p), pentru orice $n\ge 1$. Pentru $n=1$ obținem $3Z_1+Z_0=1$, deci $$Z_1=\frac{1-Z_0}{3}=\frac{1}{3}-\frac{2\ln 2}{9}\approx 0,179$$ (1 p).

c) (2 p) Pe $[0,1]$ avem $1\le 3x+1\le 4$, deci $\frac{x^n}{4}\le \frac{x^n}{3x+1}\le x^n$; integrând și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$, obținem $\frac{1}{4(n+1)}\le Z_n\le \frac{1}{n+1}$ (1 p). Ambele margini tind la $0$, deci, prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }{Z}_n=0$ (1 p).

Itemul 11. (6 p)

a) (3 p) Factorul $\frac{1}{n}$ este deja scos; împărțind numărătorul și numitorul cu $n$, termenul devine $\frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}$, deci indicele apare numai prin raportul $\frac{k}{n}$ și funcția recunoscută este $f(x)=\frac{x}{1+x}$ (1 p). Ea este continuă pe intervalul închis $[0,1]$, numitorul neanulându-se acolo, deci integrabilă, iar suma este suma ei Riemann pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ (1 p). Prin urmare $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n+k}={\int }_0^1\frac{x}{1+x}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx=(x-\ln |1+x|){|}_0^1=1-\ln 2\approx 0,307$$ (1 p).

b) (3 p) Primul termen este produsul dintre funcția impară $x^5$ și funcția pară $\cos$, deci este impar; intervalul $[-1,1]$ este simetric față de origine, iar funcția este continuă, deci, prin Teorema 1 de la simetrii (funcții impare), integrala lui este $0$ (1,5 p). Al doilea termen este par, deci, prin Teorema 2 de la simetrii (funcții pare) (1 p), $${\int }_{-1}^1\frac{3}{x^2+1}dx=2{\int }_0^1\frac{3}{x^2+1}dx=6\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{3\pi }{2}.$$ Prin liniaritate, valoarea cerută este $\frac{3\pi }{2}\approx 4,712$ (0,5 p).

Itemul 12. (15 p)

a) (5 p) Numitorul $x^3+3$ este strict pozitiv pe $[0,1]$, deci funcția este continuă acolo, prin urmare integrabilă (1 p). Numărătorul este, până la o constantă, derivata numitorului, ${\left(x^3+3\right)}^{\prime }=3x^2$, deci se aplică schimbarea de variabilă cu $u(x)=x^3+3$ (1,5 p). Noile limite: $x=0$ dă $t=3$; $x=1$ dă $t=4$ (1 p). Prin urmare $${\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+3}dx=\frac{1}{3}{\int }_3^4\frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln t{|}_3^4=\frac{1}{3}\ln \frac{4}{3}\approx 0,096$$ (1,5 p). (Nu se revine la variabila $x$: limitele poartă toată informația.)

b) (5 p) Etapa 1. Pentru $x\in [0,1]$ avem $0\le x^3\le 1$, deci $3\le x^3+3\le 4$ (1 p). Etapa 2. Trecând la inverse numere pozitive și înmulțind cu $x^2\ge 0$, $$\frac{x^2}{4}\le \frac{x^2}{x^3+3}\le \frac{x^2}{3},x\in [0,1]$$ (1,5 p). Etapa 3. Integrând pe $[0,1]$ și folosind ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$, obținem $$\frac{1}{12}\le {\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+3}dx\le \frac{1}{9}$$ (1,5 p). Deducerea încadrării. Înlocuind valoarea de la subpunctul a), $\frac{1}{12}\le \frac{1}{3}\ln \frac{4}{3}\le \frac{1}{9}$; înmulțind cu $3$, rezultă $\frac{1}{4}\le \ln \frac{4}{3}\le \frac{1}{3}$, adică aproximativ $0,25\le 0,288\le 0,333$ (1 p).

c) (5 p) Împărțim numărătorul și numitorul cu $n^3$ (1 p): $$\frac{k^2}{3n^3+k^3}=\frac{\frac{k^2}{n^3}}{3+{\left(\frac{k}{n}\right)}^3}=\frac{1}{n}\cdot \frac{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}{3+{\left(\frac{k}{n}\right)}^3}.$$ Indicele apare numai prin raportul $\frac{k}{n}$, deci funcția recunoscută este $f(x)=\frac{x^2}{x^3+3}$ — chiar cea din enunț (1,5 p). Ea este continuă pe intervalul închis $[0,1]$, deci integrabilă, iar suma este suma ei Riemann pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, a cărei normă $\frac{1}{n}$ tinde la zero (1,5 p). Prin urmare limita există și, cu rezultatul de la subpunctul a), $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{3n^3+k^3}={\int }_0^1\frac{x^2}{x^3+3}dx=\frac{1}{3}\ln \frac{4}{3}$$ (1 p).