Test recapitulativ: legi de compoziție și grupuri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test recapitulează toate cele treizeci și cinci de lecții ale primelor două capitole de algebră ale clasei a XII-a, de la definiția unei legi de compoziție până la transferul de structură prin izomorfism, cu accent pe ultimele două lecții ale unității: clasele de resturi ca instrument de aritmetică și sinteza tipurilor de probleme din Subiectul al II-lea. Sunt evaluate șase lucruri. Primul: legile date printr-o formulă și forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, din care se citesc dintr-o singură privire asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru $e=a+1$, simetricul și partea stabilă $(a,+\infty )$; pentru familia $xy+\alpha (x+y)+\beta$, condiția de asociativitate este $\beta ={\alpha }^2-\alpha$. Al doilea: structura de grup, verificată mereu în cei patru pași (0–3), și subgrupurile, verificate cu criteriul în patru rânduri. Al treilea: ordinul unui element, teorema lui Lagrange pentru grupuri finite — a nu se confunda cu teorema creșterilor finite, de la analiză — și cele trei consecințe ale ei. Al patrulea: morfismele și izomorfismele, cu cele două condiții verificate separat și cu invarianții care resping un izomorfism. Al cincilea: clasele de resturi în aritmetică — divizibilități demonstrate pe un număr finit de clase, ultima cifră a unei puteri, restul unei puteri mari, ecuații în numere întregi respinse prin reducere modulo un număr bine ales. Al șaselea: recunoașterea tipului de problemă din prima linie a enunțului, care este, la examen, cel mai scump minut din toată rezolvarea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute; testul acoperă două capitole, deci ordinea rezolvării o alege elevul, începând cu itemii pe care îi recunoaște imediat.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice lege dată printr-o formulă, primul rând al rezolvării este forma factorizată; la orice putere cu exponent mare se scrie explicit împărțirea cu rest; la orice divizibilitate se verifică toate clasele. Se depunctează: lipsa pasului 0, neutrul sau simetricul găsite fără verificarea apartenenței la mulțime, izomorfismul verificat doar pe condiția de morfism, simplificarea în ${\mathbb{Z}}_n$ printr-o clasă neinversabilă, darea unei singure soluții acolo unde sunt mai multe și folosirea reducerii modulo $n$ ca argument de existență a soluțiilor.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea unităților, pornind de la sinteza tipurilor de probleme.
• Formule de reținut: legea $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$ este asociativă dacă și numai dacă $\beta ={\alpha }^2-\alpha$; atunci, cu $a=-\alpha$, $$x\ast y=(x-a)(y-a)+a,e=a+1,x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a},f(x)=x-a\text{ duce ıˆn }({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot ).$$ Cei patru pași (0–3) ai structurii de grup: parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime. Criteriul de subgrup: $H\ne \varnothing$, $xy\in H$, $x^{-1}\in H$; asociativitatea se moștenește. Subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ sunt exact $n\mathbb{Z}$, cu $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=[n,m]\mathbb{Z}$ și $\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(n,m)\mathbb{Z}$; subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile $U_n$. Ordin: $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $x^n=e$; $x^k=e⟺\mathrm{ord}(x)\mid k$; în grupul aditiv al claselor, $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$; $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$. Teorema lui Lagrange (grupuri finite): $\mathrm{card}H\mid \mathrm{card}G$; Consecința 1: $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$; Consecința 2: $x^{\mathrm{card}G}=e$; Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente este ciclic. Morfism: $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$, cu $f(e)=e^{\prime }$, $f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1}$ și $f\left(x^k\right)=f(x{)}^k$; izomorfism = morfism bijectiv, notat $G\simeq G^{\prime }$. Aritmetică: reducerea modulo $n$ păstrează adunarea și înmulțirea, iar $n\mid a$ dacă și numai dacă $\hat{a}=\hat{0}$; pentru $(a,n)=1$ și $m=\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ are loc ${\hat{a}}^m=\hat{1}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Legi de compoziție, proprietăți și clase de resturi

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Legea $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă dacă și numai dacă: A. $\beta ={\alpha }^2-\alpha$; B. $\beta ={\alpha }^2+\alpha$; C. $\beta =\alpha$; D. oricare ar fi $\alpha$ și $\beta$.

b) Ultima cifră a numărului $2^{2027}$ este: A. $2$; B. $4$; C. $6$; D. $8$.

c) Numărul elementelor mulțimii $U({\mathbb{Z}}_{21},\cdot )$ este: A. $8$; B. $12$; C. $20$; D. $21$.

Itemul 2 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-11x-11y+132$. a) Arată că $x\ast y=(x-11)(y-11)+11$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Determină elementul neutru al legii și simetricul elementului $13$. (2 p) c) Calculează $13\ast 13\ast 13$. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+4(x+y)+m$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină valoarea lui $m$ pentru care legea este asociativă și scrie legea sub formă factorizată. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, determină elementul neutru al legii și simetricul elementului $-2$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină ultima cifră a numărului $3^{2027}+8^{2027}$. (3 p) b) Determină restul împărțirii numărului $4^{2027}$ la $13$. (3 p)

Itemul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Din $\hat{4}\cdot \hat{x}=\hat{4}\cdot \hat{y}$ în ${\mathbb{Z}}_{10}$ rezultă $\hat{x}=\hat{y}$." b) „Dacă o ecuație are soluții modulo $7$, atunci ea are soluții și în mulțimea numerelor întregi." c) „Orice grup cu patru elemente este ciclic." d) „Într-un grup finit, ordinul oricărui element divide numărul de elemente al grupului."

Partea a II-a – Grupuri, subgrupuri, ordine și teorema lui Lagrange

Itemul 6 (7 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=x+y-11$, despre care se știe că determină o structură de grup comutativ. a) Determină elementul neutru al legii și simetricul unui element oarecare $x\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Arată că $H=\{11+5k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al grupului $(\mathbb{R},\ast )$. (3 p) c) Calculează compusul a zece factori egali cu $6$, adică $\underset{10\text{ factori}}{\underbrace{6\ast 6\ast \cdots \ast 6}}$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{35},+)$. a) Determină $\mathrm{ord}\left(\widehat{15}\right)$. (2 p) b) Determină subgrupul $⟨\widehat{15}⟩$, scriindu-l ca mulțime. (3 p) c) Determină toate elementele de ordinul $5$ ale grupului și precizează câte sunt. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Rezolvă cerințele următoare (câte 2 puncte): a) determină numărul natural $d$ pentru care $9\mathbb{Z}\cap 12\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$; b) determină numărul natural $p$ pentru care $\{9a+12b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=p\mathbb{Z}$; c) determină toate subgrupurile finite ale grupului $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ conținute în $U_{16}$.

Itemul 9 (6 puncte)

a) Un grup finit $G$ are $\mathrm{card}G=30$. Ce cardinale pot avea subgrupurile lui? (2 p) b) Arată că într-un grup cu $30$ de elemente nu există niciun element de ordinul $4$. (2 p) c) Fie $G$ un grup cu $\mathrm{card}G=17$. Arată că $G$ este ciclic și precizează câți generatori are. (2 p)

Partea a III-a – Morfisme, aritmetică și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

a) Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}$. Arată că $f:{\mathbb{Z}}_7\to U_7$, $f\left(\hat{k}\right)={\epsilon }^k$, este izomorfism de la $({\mathbb{Z}}_7,+)$ la $(U_7,\cdot )$. (4 p) b) Arată că grupurile $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și $(U({\mathbb{Z}}_9,\cdot ),\cdot )$ sunt izomorfe, iar grupurile $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și $(S_3,\circ )$ nu sunt. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Arată că $6\mid n^3+11n$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$. (4 p) b) Arată că ecuația $x^2+y^2=2027$ nu are soluții în $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{12}$ ecuația $\hat{9}\cdot \hat{x}=\hat{6}$ și precizează numărul soluțiilor. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ecuația $4x+9y=5$. (4 p)

Itemul 13 (10 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Pe mulțimea $M=(-8,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy+8x+8y+56$. a) Arătați că $x\ast y=(x+8)(y+8)-8$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și că $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. (3 p) b) Arătați că $(M,\ast )$ este grup comutativ și că funcția $f:M\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=x+8$, este izomorfism de la $(M,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$. (3 p) c) Rezolvați în $M$ ecuația $x\ast x\ast x\ast x=8$ și precizați numărul soluțiilor. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) A. Punând $a=-\alpha$ în forma canonică $(x-a)(y-a)+a$ și desfăcând paranteza, obținem $xy+\alpha (x+y)+a^2+a$, deci condiția este $\beta =a^2+a={\alpha }^2-\alpha$. Varianta B confundă $a$ cu $\alpha$, uitând semnul.

b) (2 p) D. În ${\mathbb{Z}}_{10}$, puterile lui $\hat{2}$ se repetă din patru în patru începând de la exponentul $1$: $\hat{2},\hat{4},\hat{8},\hat{6}$. Cum $2027=4\cdot 506+3$, ultima cifră este a treia din ciclu, adică $8$.

c) (2 p) B. Sunt inversabile clasele cu reprezentantul nedivizibil nici cu $3$, nici cu $7$. Din cele $21$ de clase se scot cele $7$ cu reprezentant multiplu de $3$ și cele $3$ cu reprezentant multiplu de $7$, dintre care una — clasa $\hat{0}$ — a fost numărată de două ori: $21-7-3+1=12$.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Desfacem paranteza: $$(x-11)(y-11)+11=xy-11x-11y+121+11=xy-11x-11y+132=x\ast y,$$ egalitate valabilă pentru orice numere reale.

b) (2 p) Din $x\ast e=x$ obținem $(x-11)(e-11)+11=x$, adică $(x-11)(e-11)=x-11$; cum $x\ne 11$, rezultă $e-11=1$, deci $e=12$ (1 p). Simetricul lui $13$: din $(13-11)(x^{\prime }-11)=1$ obținem $2(x^{\prime }-11)=1$, deci $x^{\prime }=\frac{23}{2}$; verificare: $13\ast \frac{23}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+11=12=e$ ✓ (1 p).

c) (2 p) $13\ast 13=(13-11)(13-11)+11=4+11=15$ (1 p), apoi $15\ast 13=(15-11)(13-11)+11=8+11=19$. Deci $13\ast 13\ast 13=19$ (1 p).

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Aici $\alpha =4$, deci condiția de asociativitate este $m={\alpha }^2-\alpha =16-4=12$ (1,5 p). Cu $a=-\alpha =-4$, legea se scrie $$x\ast y=(x+4)(y+4)-4,$$ ceea ce se verifică desfăcând paranteza: $(x+4)(y+4)-4=xy+4x+4y+16-4=xy+4(x+y)+12$ ✓ (1,25 p). Control pe numere mici: $1\ast 1=5\cdot 5-4=21$ și $1\ast 2=5\cdot 6-4=26$, deci $(1\ast 1)\ast 2=25\cdot 6-4=146$ și $1\ast (1\ast 2)=5\cdot 30-4=146$ ✓ (0,25 p).

b) (3 p) Din forma factorizată, elementul neutru este $e=a+1=-3$ (1,25 p); verificare: $(-3)\ast x=(-3+4)(x+4)-4=x$ ✓ (0,5 p). Simetricul lui $-2$: din $(-2+4)(x^{\prime }+4)=1$ obținem $2(x^{\prime }+4)=1$, deci $x^{\prime }+4=\frac{1}{2}$ și $x^{\prime }=-\frac{7}{2}$ (1 p); verificare: $(-2)\ast \left(-\frac{7}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-4=-3=e$ ✓ (0,25 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Ultima cifră este restul la împărțirea cu $10$, deci lucrăm în ${\mathbb{Z}}_{10}$ (0,5 p). Puterile lui $\hat{3}$ sunt $\hat{3},\hat{9},\hat{7},\hat{1}$, deci se repetă din patru în patru; la fel, puterile lui $\hat{8}$ sunt $\hat{8},\hat{4},\hat{2},\hat{6}$ (1 p). Cum $2027=4\cdot 506+3$ (0,5 p), obținem ${\hat{3}}^{2027}={\hat{3}}^3=\hat{7}$ și ${\hat{8}}^{2027}={\hat{8}}^3=\hat{2}$ (0,75 p), deci $${\hat{3}}^{2027}+{\hat{8}}^{2027}=\hat{7}+\hat{2}=\hat{9},$$ adică ultima cifră este $9$ (0,25 p).

b) (3 p) Cum $(4,13)=1$, clasa $\hat{4}$ aparține grupului $U({\mathbb{Z}}_{13},\cdot )$ (0,5 p). Calculăm puterile, reducând modulo $13$: ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{3}$, ${\hat{4}}^3=\widehat{12}$, ${\hat{4}}^4=\widehat{48}=\hat{9}$, ${\hat{4}}^5=\widehat{36}=\widehat{10}$, ${\hat{4}}^6=\widehat{40}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{4}\right)=6$ (1,5 p). Din $2027=6\cdot 337+5$ (0,5 p) rezultă ${\hat{4}}^{2027}={\hat{4}}^5=\widehat{10}$, deci restul căutat este $10$ (0,5 p).

Itemul 5. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Simplificarea este permisă numai prin clase inversabile, iar $(4,10)=2\ne 1$, deci $\hat{4}$ nu este inversabilă modulo $10$. Contraexemplu: $\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{8}$ și $\hat{4}\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\hat{8}$, deși $\hat{2}\ne \hat{7}$.

b) (1,5 p) F. Reducerea modulo $n$ este un criteriu de respingere, nu de existență: ea pierde informație. De pildă, ecuația $x^2+y^2=2027$ are soluții modulo $7$, dar nu are nicio soluție întreagă, cum se arată reducând modulo $4$.

c) (1,5 p) F. Grupul lui Klein are patru elemente, iar toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$; niciunul nu are ordinul $4$, deci niciunul nu generează tot grupul. Grupul $({\mathbb{Z}}_4,+)$ este, în schimb, ciclic.

d) (1,5 p) A. Este Consecința 1 a teoremei lui Lagrange pentru grupuri finite: mulțimea puterilor lui $x$ este subgrup cu $\mathrm{ord}(x)$ elemente, iar cardinalul unui subgrup divide cardinalul grupului.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Din $x\ast e=x$ obținem $x+e-11=x$, deci $e=11$ (1 p). Din $x\ast x^{\prime }=11$ obținem $x+x^{\prime }-11=11$, deci $x^{\prime }=22-x$ (1 p).

b) (3 p) $H\subseteq \mathbb{R}$, iar pentru $k=0$ obținem $11\in H$, adică tocmai elementul neutru; deci $H\ne \varnothing$ (0,75 p). Stabilitatea: pentru $x=11+5k$ și $y=11+5m$, cu $k,m\in \mathbb{Z}$, $$x\ast y=(11+5k)+(11+5m)-11=11+5(k+m)\in H$$ (1,25 p). Simetricele: simetricul lui $11+5k$ este $22-(11+5k)=11+5(-k)\in H$ (0,75 p). Asociativitatea se moștenește de la legea de pe $\mathbb{R}$, deci $H$ este subgrup (0,25 p).

c) (2 p) Fiecare compunere nouă cu $6$ adaugă $6-11=-5$ la rezultat (1 p). Pornind de la $6$ și făcând nouă compuneri obținem $$\underset{10}{\underbrace{6\ast 6\ast \cdots \ast 6}}=6+9\cdot (-5)=6-45=-39$$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) $(15,35)=5$, deci $\mathrm{ord}\left(\widehat{15}\right)=\frac{35}{5}=7$.

b) (3 p) Adunăm succesiv $\widehat{15}$ și reducem modulo $35$: $\widehat{15}$, $\widehat{30}$, $\widehat{45}=\widehat{10}$, $\widehat{25}$, $\widehat{40}=\hat{5}$, $\widehat{20}$, $\widehat{35}=\hat{0}$ (1,5 p). Prin urmare $$⟨\widehat{15}⟩=\left\{\hat{0},\hat{5},\widehat{10},\widehat{15},\widehat{20},\widehat{25},\widehat{30}\right\}$$ (1 p), mulțime cu $7$ elemente, în acord cu $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$ (0,5 p).

c) (2 p) Cerem $\frac{35}{(a,35)}=5$, adică $(a,35)=7$ (0,75 p). Valorile lui $a$ din $\{0,1,\dots ,34\}$ cu această proprietate sunt $7$, $14$, $21$ și $28$, deci elementele de ordinul $5$ sunt $\hat{7}$, $\widehat{14}$, $\widehat{21}$, $\widehat{28}$ — patru la număr (1,25 p).

Itemul 8. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) Intersecția este mulțimea multiplilor comuni ai lui $9$ și $12$, iar $[9,12]=36$, deci $d=36$ și $9\mathbb{Z}\cap 12\mathbb{Z}=36\mathbb{Z}$.

b) (2 p) Mulțimea combinațiilor este subgrup, deci egală cu $(9,12)\mathbb{Z}=3\mathbb{Z}$, adică $p=3$. Verificare: $3=9\cdot (-1)+12\cdot 1$, iar orice număr de forma $9a+12b$ este multiplu de $3$.

c) (2 p) Un subgrup finit este de forma $U_n$, iar $U_n\subseteq U_{16}$ dacă și numai dacă $n\mid 16$. Divizorii lui $16$ sunt $1,2,4,8,16$, deci subgrupurile căutate sunt $U_1$, $U_2$, $U_4$, $U_8$ și $U_{16}$ — cinci la număr.

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Din teorema lui Lagrange pentru grupuri finite, cardinalul unui subgrup divide $30$, deci se află printre divizorii lui: $$1,2,3,5,6,10,15,30.$$ Teorema nu garantează însă existența unui subgrup pentru fiecare dintre aceste valori.

b) (2 p) Din Consecința 1, ordinul oricărui element divide $\mathrm{card}G=30$ (1 p). Cum $4$ nu divide $30$, nu poate exista niciun element de ordinul $4$ (1 p).

c) (2 p) $17$ este număr prim, deci, prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, $G$ este ciclic și orice element diferit de elementul neutru îl generează (1,25 p). Prin urmare $G$ are $16$ generatori (0,75 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Buna definire: dacă $\hat{k}=\hat{j}$, atunci $7\mid (k-j)$, deci $k=j+7q$ și ${\epsilon }^k={\epsilon }^j{\left({\epsilon }^7\right)}^q={\epsilon }^j$, fiindcă ${\epsilon }^7=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$ (1,5 p). Morfismul: $f(\hat{k}+\hat{j})=f\left(\widehat{k+j}\right)={\epsilon }^{k+j}={\epsilon }^k{\epsilon }^j=f\left(\hat{k}\right)f\left(\hat{j}\right)$ (1,5 p). Bijectivitatea: orice element al lui $U_7$ este de forma ${\epsilon }^k$ cu $k\in \{0,1,\dots ,6\}$, deci $f$ este surjectivă; cum ambele mulțimi au câte $7$ elemente, ea este și injectivă (1 p).

b) (4 p) Clasele inversabile modulo $9$ sunt cele cu reprezentantul nedivizibil cu $3$: $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\right\}$, deci grupul are $6$ elemente (0,75 p). Puterile lui $\hat{2}$ sunt $\hat{2},\hat{4},\hat{8},\widehat{16}=\hat{7},\widehat{14}=\hat{5},\widehat{10}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{2}\right)=6$ și $\hat{2}$ generează tot grupul (1 p). Funcția $g:{\mathbb{Z}}_6\to U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )$, $g\left(\hat{k}\right)={\hat{2}}^k$, este bine definită (fiindcă ${\hat{2}}^6=\hat{1}$), este morfism (fiindcă ${\hat{2}}^{k+j}={\hat{2}}^k{\hat{2}}^j$) și este bijectivă (cele șase puteri sunt distincte), deci cele două grupuri sunt izomorfe (1,25 p). Pentru a doua parte folosim argumentul comutativității: $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este comutativ, în timp ce $(S_3,\circ )$ nu este — de pildă ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3={\sigma }_2$, iar ${\sigma }_3\circ {\sigma }_4={\sigma }_1$. Cum comutativitatea se păstrează prin izomorfism, cele două grupuri nu sunt izomorfe (1 p).

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Cum $6=2\cdot 3$, iar $2$ și $3$ sunt prime între ele, este de ajuns să arătăm că expresia se divide și cu $2$, și cu $3$ (0,5 p). Modulo $2$: avem $\widehat{11}=\hat{1}$, deci expresia devine ${\hat{n}}^3+\hat{n}$. Pentru $\hat{n}=\hat{0}$ obținem $\hat{0}$; pentru $\hat{n}=\hat{1}$ obținem $\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$. Ambele clase dau $\hat{0}$, deci $2\mid n^3+11n$ (1,5 p). Modulo $3$: avem $\widehat{11}=\hat{2}$, deci expresia devine ${\hat{n}}^3+\hat{2}\hat{n}$ (0,5 p):

(am folosit ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$). Toate cele trei clase dau $\hat{0}$, deci $3\mid n^3+11n$ (1 p). Cum $(2,3)=1$, rezultă $6\mid n^3+11n$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$ (0,5 p). $■$

b) (4 p) Reducem modulo $4$ (0,5 p). Pătratele claselor din ${\mathbb{Z}}_4$ sunt ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{0}$, ${\hat{3}}^2=\hat{1}$, deci un pătrat perfect este, modulo $4$, fie $\hat{0}$, fie $\hat{1}$ (1,5 p). Prin urmare $${\hat{x}}^2+{\hat{y}}^2\in \left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\right\}$$ (1 p). Pe de altă parte, $2027=4\cdot 506+3$, deci $\widehat{2027}=\hat{3}$ (0,75 p), clasă care nu apare printre valorile posibile ale membrului stâng. Contradicție, deci ecuația nu are soluții întregi (0,25 p). $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Cum $(9,12)=3\ne 1$, clasa $\hat{9}$ nu este inversabilă modulo $12$, deci nu putem înmulți cu inversul; verificăm toate cele douăsprezece clase (1 p). Produsele $\hat{9}\cdot \hat{x}$, pentru $x=0,1,\dots ,11$, sunt, în ordine, $$\hat{0},\hat{9},\hat{6},\hat{3},\hat{0},\hat{9},\hat{6},\hat{3},\hat{0},\hat{9},\hat{6},\hat{3}$$ (2 p). Valoarea $\hat{6}$ apare pentru $x\in \{2,6,10\}$, deci ecuația are soluțiile $\hat{2}$, $\hat{6}$, $\widehat{10}$ — în total trei, în acord cu regula generală: cu $d=(9,12)=3$, ecuația are soluții exact pentru că $d\mid 6$, iar atunci ele sunt exact $d=3$ la număr (0,75 p). Verificare: $\hat{9}\cdot \hat{2}=\widehat{18}=\hat{6}$ ✓ (0,25 p).

b) (4 p) Reducem modulo $4$, ca să dispară primul termen (0,75 p): $\hat{9}\hat{y}=\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_4$, adică $\hat{1}\hat{y}=\hat{1}$, deci $\hat{y}=\hat{1}$ și $y=1+4k$, cu $k\in \mathbb{Z}$ (1,5 p). Înlocuim în ecuație: $$4x=5-9(1+4k)=-4-36k⟹x=-1-9k$$ (1,25 p). Soluțiile sunt perechile $(-1-9k,1+4k)$, cu $k\in \mathbb{Z}$ (0,25 p). Verificare pentru $k=0$: $4\cdot (-1)+9\cdot 1=5$ ✓ (0,25 p).

Itemul 13. (10 p)

a) (3 p) Desfacem paranteza: $(x+8)(y+8)-8=xy+8x+8y+64-8=xy+8x+8y+56=x\ast y$, egalitate valabilă pentru orice numere reale (1,5 p). Dacă $x>-8$ și $y>-8$, atunci $x+8>0$ și $y+8>0$, deci $(x+8)(y+8)>0$ și $x\ast y>-8$: mulțimea $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$ (1,5 p).

b) (3 p) Asociativitatea: ambele paranteze conduc la $(x+8)(y+8)(z+8)-8$, expresie simetrică în cele trei variabile (0,75 p). Elementul neutru: din $(x+8)(e+8)-8=x$ obținem $(x+8)(e+8)=x+8$; cum $x+8\ne 0$, rezultă $e+8=1$, deci $e=-7\in M$ (0,5 p). Simetricul: din $(x+8)(x^{\prime }+8)=1$ rezultă $x^{\prime }=-8+\frac{1}{x+8}>-8$, deci $x^{\prime }\in M$; comutativitatea vine din simetria formei factorizate, deci $(M,\ast )$ este grup comutativ (0,75 p). Izomorfismul: $f(x\ast y)=(x\ast y)+8=(x+8)(y+8)=f(x)\cdot f(y)$, deci $f$ este morfism (0,5 p); iar $f$ duce intervalul $(-8,+\infty )$ pe $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, cu inversa $f^{-1}(u)=u-8$, deci este bijectivă (0,5 p).

c) (4 p) Aplicăm izomorfismul, care duce compusul în produs (1 p): $$f(x\ast x\ast x\ast x)=(f(x){)}^4=(x+8{)}^4,f(8)=16,$$ deci ecuația devine $(x+8{)}^4=16$ (1,25 p). Cum $f$ ia numai valori strict pozitive, rămâne $x+8=2$, deci $x=-6\in M$ (1 p). În ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^4=16$ are o singură soluție, deci, prin transferul soluțiilor, și ecuația inițială are exact o soluție (0,5 p). Verificare: $(-6)\ast (-6)=2\cdot 2-8=-4$, apoi $(-4)\ast (-6)=4\cdot 2-8=0$ și $0\ast (-6)=8\cdot 2-8=8$ ✓ (0,25 p).