Test recapitulativ: metode de integrare

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test recapitulează întreaga unitate — de la noțiunea de primitivă și tabelul canonic până la metodele combinate și la sinteza în formatul examenului — și verifică șase lucruri. Primul: alegerea metodei, adică deprinderea de a clasifica o integrală înainte de a o calcula, cu arborele de decizie parcurs în ordinea lui și cu pasul zero — rescrierea algebrică — făcut întotdeauna primul. Al doilea: cele patru metode de calcul, luate una câte una — tabelul cu liniaritatea, integrarea prin părți cu regula descreșterii, schimbarea de variabilă cu cei trei pași ai ei și descompunerea în fracții simple —, plus tabelul de decizie trigonometric și tabelul de decizie pentru radicali și exponențiale, cu regula de triaj. Al treilea: lanțul de metode, scris cu săgeți înainte de calcul, cu ultima verigă mereu în tabel. Al patrulea: ce se citește despre o primitivă direct din funcție — tabelul de traducere $f\to F$ — și rețeta constantei, pentru primitiva care îndeplinește o condiție. Al cincilea: relațiile de recurență, cu convenția că $I_n$ desemnează o primitivă fixată, iar constanta se scrie o singură dată, la răspunsul final. Al șaselea: cele opt capcane ale unității Primitive, în ordinea în care apar într-o rezolvare.

Testul cere redactarea din lista de control a unității: intervalul scris și motivat, metoda numită înainte de calcul, calculul pe rânduri scurte, rezultatul complet cu $+\mathcal{C}$ și cu intervalul repetat, iar la final verificarea prin derivare. Partea a III-a reproduce formatul problemei de primitive din Subiectul al III-lea: subpunctul a) o verificare pregătitoare, b) calculul, c) o proprietate a primitivei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute (test recapitulativ de unitate); la fiecare integrală se cere metoda numită, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: alegerea metodei înaintea rescrierii, fracțiile simple aplicate fără împărțire, rezultatul lăsat în variabila de substituție, modulul pus sau scos fără justificare, logaritmul scris în locul puterii negative, constanta uitată sau repetată la fiecare verigă a lanțului, monotonia enunțată pe o reuniune de intervale și confuzia dintre semnul lui $f$ (care dă monotonia lui $F$) și monotonia lui $f$ (care dă convexitatea lui $F$).
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea unității pe lista de control, rând cu rând, începând cu tabelul canonic și cu arborele de decizie.
• Formule de reținut: Definiția: $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$; mulțimea primitivelor se scrie $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$. Existența: orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo; exclud primitivele o discontinuitate de speța I sau o imagine care nu este interval. Arborele de decizie: pasul zero (rescrierea) $\to$ tabel și liniaritate $\to$ schimbare de variabilă $\to$ integrare prin părți $\to$ funcții raționale $\to$ trigonometrice, radicali și exponențiale $\to$ recurență; te oprești la primul „da". Integrarea prin părți: $\int f{g}^{\prime }dx=fg-\int f^{\prime }gdx$, cu regula descreșterii — derivezi ce se simplifică ($\ln$, inversele trigonometrice, polinomul), integrezi ce nu se complică ($e^{ax}$, $\sin ax$, $\cos ax$, puterile). Schimbarea de variabilă: $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$, cu revenirea obligatorie la $x$. Tabelul de decizie trigonometric: puteri pare $\to$ liniarizare, cu ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$; un exponent impar $\to$ rupi factorul impar și substitui cealaltă funcție; produse cu argumente diferite $\to$ transformare în sumă, cu $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$. Regula de triaj: radical dintr-o expresie de gradul întâi $\Rightarrow$ raționalizare; radical dintr-o expresie de gradul al doilea $\Rightarrow$ părți sau forma canonică a trinomului. Tabelul de traducere $f\to F$: $f>0$ pe $I$ dă $F$ strict crescătoare; $f<0$ dă $F$ strict descrescătoare; un zerou al lui $f$ cu schimbare de semn dă punct de extrem al lui $F$ (din $+$ în $-$ maxim, din $-$ în $+$ minim); $f$ crescătoare dă $F$ convexă, $f$ descrescătoare dă $F$ concavă; punctele de extrem ale lui $f$ dau punctele de inflexiune ale lui $F$. Rețeta constantei: determini mulțimea primitivelor, scrii $F(x)=G(x)+c$, impui condiția și verifici prin derivare. Convenția $I_n$: într-un lanț de recurență, $I_n$ desemnează o primitivă fixată, fără constantă, iar $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la răspunsul final. Cele opt capcane ale unității Primitive: primitiva căutată în afara unui interval; $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$; modulul la logaritm, pus sau scos fără motiv; „nu e continuă, deci nu are primitive"; fracțiile simple aplicate fără împărțire; rezultatul lăsat în variabila de substituție; constante independente pe ramuri; rândul greșit din tabel.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Alegerea metodei și lista de control

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pe $\mathbb{R}$, integrala $\int \frac{dx}{x^2+16}$ este egală cu: A. $\ln \left(x^2+16\right)+\mathcal{C}$; B. $\frac{1}{4}\mathrm{arctg}\frac{x}{4}+\mathcal{C}$; C. $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+16\right)+\mathcal{C}$; D. $\mathrm{arctg}\frac{x}{4}+\mathcal{C}$.

b) Metoda potrivită pentru $\int (3x-1)\sin xdx$ este: A. tabelul și liniaritatea; B. schimbarea de variabilă; C. integrarea prin părți; D. descompunerea în fracții simple.

c) Dintre funcțiile de mai jos, nu admite primitive pe $\mathbb{R}$ funcția: A. $f(x)=|x|$; B. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 1\\ x+2,& x>1\end{array}$; C. $f(x)=e^{-x^2}$; D. $f(x)=x|x|$.

Itemul 2 (8 puncte)

Alegerea metodei — fără niciun calcul. Pentru fiecare pereche, scrie numai metoda sau lanțul de metode potrivit fiecărei integrale și semnalul din integrand care ți-a indicat-o (câte 2 puncte):

a) $\int \frac{2x}{x^2+11}dx$ și $\int \frac{dx}{x^2+11}$, pe $\mathbb{R}$; b) $\int (x+4)e^{2x}dx$ pe $\mathbb{R}$ și $\int \frac{x^4}{x+1}dx$ pe $(-1,+\infty )$; c) $\int {\sin }^{6}x\cos xdx$ și $\int {\cos }^2(5x)dx$, pe $\mathbb{R}$; d) $\int \frac{e^x}{e^{2x}+6e^x+8}dx$ pe $\mathbb{R}$ și $\int x^n{e}^{2x}dx$ pe $\mathbb{R}$, cu $n\in \mathbb{N}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ nu este continuă, atunci ea nu admite primitive pe $\mathbb{R}$." b) „Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, două primitive ale funcției $f(x)=\frac{1}{x^2}$ diferă printr-o constantă." c) „Dacă $f$ este continuă și $f(x)>0$ pentru orice $x$ din intervalul $I$, atunci orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $I$." d) „Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$, iar $f$ este descrescătoare pe $I$, atunci $F$ este descrescătoare pe $I$."

Itemul 4 (6 puncte)

Pasul zero. Rescrie întâi integrandul, apoi calculează (câte 2 puncte): a) $\int \frac{4x^2+9}{x^2+1}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \frac{{\left(\sqrt{x}+3\right)}^2}{x}dx$, $x\in (0,+\infty )$; c) $\int \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}dx$, $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$.

Partea a II-a – Metodele de calcul, una câte una

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, numind metoda înainte de calcul (câte 2 puncte): a) $\int (3x-1)e^{2x}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int (2x+1)\cos 3xdx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int \frac{x+2}{x^2+4x+9}dx$, $x\in \mathbb{R}$; d) $\int \frac{dx}{\sqrt{25-4x^2}}$, $x\in \left(-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$.

Itemul 6 (8 puncte)

Tabelul de decizie trigonometric. Precizează rândul din tabel pe care intri și calculează (câte 2 puncte): a) $\int {\sin }^2(5x)dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int \sin 6x\cos 2xdx$, $x\in \mathbb{R}$; d) $\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+9}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 7 (7 puncte)

Regula de triaj. Precizează, la fiecare subpunct, ce substituție raționalizează integrandul — la a), pornind de la gradul expresiei de sub radical.

a) Calculează $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}dx$, $x\in (0,+\infty )$. (4 p) b) Calculează $\int \frac{e^{3x}}{e^{2x}+1}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 8 (8 puncte)

Lanțul de metode. Scrie mai întâi lanțul, cu săgeți, apoi fă calculul.

a) Calculează $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x-7\cos x+12}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (4 p) b) Calculează $\int \frac{x^3}{x^2+4}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (4 p)

Partea a III-a – Modelări, recurență și item de tip examen

Itemul 9 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează pe o dreaptă cu viteza $v(t)=3t^2-6t-24$ metri pe secundă, pentru $t\ge 0$, și pornește din punctul de abscisă $2$ metri.

a) Determină legea de mișcare $s(t)$, folosind rețeta constantei. (3 p) b) Determină momentul în care mobilul își schimbă sensul de mers și precizează pe ce intervale de timp înaintează. (3 p) c) Folosind tabelul de traducere $f\to F$, precizează intervalele de convexitate ale lui $s$ pe $[0,+\infty )$. (2 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Pentru $n\in \mathbb{N}$ se consideră $R_n=\int x^n{e}^{3x}dx$, $x\in \mathbb{R}$. Conform convenției pentru relațiile de recurență, $R_n$ desemnează o primitivă fixată, iar constanta se adaugă o singură dată, la răspunsul final.

a) Calculează $R_0$ și $R_1$. (3 p) b) Arată că $R_n=\frac{x^n{e}^{3x}}{3}-\frac{n}{3}{R}_{n-1}$, pentru orice $n\ge 1$. (4 p) c) Determină $R_2$ și explică de ce, la această recurență, un singur termen de plecare este de ajuns, spre deosebire de recurențele care coboară din doi în doi. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema a doua.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=-\frac{2\ln x+1}{4x^2}$, este o primitivă a funcției $f$. (5 p) b) Determinați primitiva $G$ a funcției $f$ pentru care $G(1)=0$ și calculați $G(e)$. (5 p) c) Studiați monotonia funcției $F$ și determinați punctul ei de extrem. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Numărătorul este constant, deci nu poate fi derivata numitorului: suntem pe rândul $12$ al tabelului canonic, cu $a=4$, care dă $\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}$. Variantele A și C ar fi răspunsul dacă la numărător ar sta $2x$, respectiv $x$ — este chiar a opta capcană a unității: numărătorul decide, nu numitorul.

b) C. Integrandul este un produs de funcții de naturi diferite — un polinom și o funcție trigonometrică —, fără nicio legătură de derivare între factori. Prin regula descreșterii se derivează polinomul, care se simplifică, și se integrează sinusul, care nu se complică.

c) B. Limita la stânga în $1$ este $1$, limita la dreapta este $3$, iar $f(1)=1$: sunt finite și diferite, deci $f$ are în $1$ o discontinuitate de speța I. O funcție care admite primitive are proprietatea valorilor intermediare, prin teorema lui Darboux, deci nu poate avea o astfel de discontinuitate. Celelalte trei funcții sunt continue pe $\mathbb{R}$, deci admit primitive.

Itemul 2. (8 p) — câte 2 puncte; se punctează metoda și semnalul, nu calculul.

a) La prima, schimbare de variabilă: numărătorul $2x$ este exact derivata numitorului, deci tiparul este $\frac{u^{\prime }}{u}$ și rezultatul un logaritm. La a doua, tabelul canonic, rândul $12$ cu $a=\sqrt{11}$: numărătorul e constant, deci rezultatul este o arctangentă. Aceleași cinci simboluri la numitor, două ramuri diferite ale arborelui.

b) La prima, integrarea prin părți, cu regula descreșterii: produs de tipuri diferite, polinom înmulțit cu exponențială; se derivează polinomul. La a doua, pasul zero — împărțirea cu rest: gradul numărătorului îl depășește pe al numitorului, deci se scrie $\frac{x^4}{x+1}=x^3-x^2+x-1+\frac{1}{x+1}$ și se citește din tabel.

c) La prima, schimbare de variabilă cu $u=\sin x$: exponentul cosinusului este impar, iar $\cos x$ este derivata sinusului. La a doua, liniarizare: exponentul este par, nu există factor care să fie derivata interiorului, deci se coboară puterea cu ${\cos }^2(5x)=\frac{1+\cos 10x}{2}$.

d) La prima, lanțul substituție $t=e^x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel: numitorul este un trinom în $e^x$, iar la numărător stă exact $e^x$, adică derivata substituției, iar $t^2+6t+8=(t+2)(t+4)$ se descompune. La a doua, relație de recurență: în integrand apare exponentul $n\in \mathbb{N}$, deci nu se calculează integrala pentru fiecare $n$, ci se leagă $R_n$ de $R_{n-1}$ printr-o integrare prin părți.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Implicația merge invers: continuitatea garantează existența primitivelor, dar o funcție discontinuă poate avea primitive. Ce le exclude este o discontinuitate de speța I sau o imagine care nu este interval. Este a patra capcană a unității.

b) F. Enunțul „două primitive diferă printr-o constantă" este adevărat pe un interval, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este o reuniune de două intervale. Contraexemplu: funcțiile $-\frac{1}{x}$ și funcția care valorează $-\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ și $-\frac{1}{x}+7$ pe $(-\infty ,0)$ sunt amândouă primitive ale lui $\frac{1}{x^2}$, iar diferența lor nu este constantă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

c) A. Cum $F$ este primitivă a lui $f$, avem $F^{\prime }=f>0$ pe $I$, iar prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $F$ este strict crescătoare pe intervalul $I$. Este primul rând al tabelului de traducere $f\to F$.

d) F. Se confundă cele două informații: semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$, iar monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$. Contraexemplu: $f(x)=-x$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$, dar primitiva $F(x)=-\frac{x^2}{2}+\mathcal{C}$ este crescătoare pe $(-\infty ,0]$. Ce rezultă corect din ipoteză este că $F$ este concavă.

Itemul 4. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Gradele sunt egale, deci rescriem adunând și scăzând același termen: $\frac{4x^2+9}{x^2+1}=\frac{4\left(x^2+1\right)+5}{x^2+1}=4+\frac{5}{x^2+1}$. A doua bucată este rândul $12$, cu $a=1$: $$\int \frac{4x^2+9}{x^2+1}dx=4x+5\mathrm{arctg}x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) Desfacem pătratul și împărțim termen cu termen: $\frac{x+6\sqrt{x}+9}{x}=1+\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{9}{x}$. Folosim rândurile $10$ și $3$ ale tabelului, iar pe $(0,+\infty )$ modulul se scoate: $$\int \frac{{\left(\sqrt{x}+3\right)}^2}{x}dx=x+12\sqrt{x}+9\ln x+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

c) Formula unghiului dublu, citită invers, factorizează numărătorul: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$. Pe intervalul dat $\cos x>\sin x$, deci simplificarea e legitimă și rămâne o sumă din tabel: $$\int \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}dx=\int (\cos x+\sin x)dx=\sin x-\cos x+\mathcal{C},x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right).$$

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Metoda: integrare prin părți, produs polinom–exponențială. Derivăm $3x-1$ și integrăm $e^{2x}$, a cărui primitivă este $\frac{e^{2x}}{2}$: $$\int (3x-1)e^{2x}dx=\frac{(3x-1)e^{2x}}{2}-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx=\frac{(3x-1)e^{2x}}{2}-\frac{3e^{2x}}{4}=\frac{(6x-5)e^{2x}}{4}+\mathcal{C}.$$

b) Metoda: integrare prin părți, produs polinom–trigonometrică. Derivăm $2x+1$ și integrăm $\cos 3x$, cu primitiva $\frac{\sin 3x}{3}$: $$\int (2x+1)\cos 3xdx=\frac{(2x+1)\sin 3x}{3}-\frac{2}{3}\int \sin 3xdx=\frac{(2x+1)\sin 3x}{3}+\frac{2\cos 3x}{9}+\mathcal{C}.$$

c) Metoda: schimbare de variabilă, tiparul $\frac{u^{\prime }}{u}$. Derivata numitorului este $2x+4$, iar $x+2$ este jumătate din ea; cum $\Delta =16-36=-20<0$ și coeficientul dominant e pozitiv, trinomul e strict pozitiv și modulul cade: $$\int \frac{x+2}{x^2+4x+9}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4x+9\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

d) Metoda: tabelul canonic, rândul $15$, după scoaterea coeficientului dominant de sub radical: $25-4x^2=4\left(\frac{25}{4}-x^2\right)$, deci factorul din față este $\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$, iar $a=\frac{5}{2}$: $$\int \frac{dx}{\sqrt{25-4x^2}}=\frac{1}{2}\arcsin \frac{2x}{5}+\mathcal{C},x\in \left(-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right).$$

Itemul 6. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Rândul întâi al tabelului de decizie: putere pară, deci liniarizare. Din ${\sin }^2(5x)=\frac{1-\cos 10x}{2}$ rezultă $$\int {\sin }^2(5x)dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 10x}{20}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) Rândul al doilea: exponentul sinusului este impar, deci rupem un $\sin x$ și scriem ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$; cu $t=\cos x$, unde $dt=-\sin xdx$, rămâne $-\int \left(t^4-t^6\right)dt$, deci $$\int {\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx=-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\frac{{\cos }^{7}x}{7}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

c) Rândul al treilea: produs cu argumente diferite, deci transformare în sumă, cu $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$ pentru $\alpha =6x$ și $\beta =2x$: $$\int \sin 6x\cos 2xdx=\frac{1}{2}\int (\sin 8x+\sin 4x)dx=-\frac{\cos 8x}{16}-\frac{\cos 4x}{8}+\mathcal{C}.$$

d) Rândul al doilea, cu $\cos x$ liber: substituția $u=\sin x$, cu $u^{\prime }=\cos x$, duce integrandul pe rândul arctangentei, cu $a=3$: $$\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+9}dx=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{\sin x}{3}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Sub radical stă $x$, o expresie de gradul întâi, deci regula de triaj trimite la raționalizare: notăm $t=\sqrt{x}$, de unde $x=t^2$ și $dx=2tdt$, cu $t>0$ (1 p). Integrandul devine o funcție rațională în $t$ (1 p): $$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}dx=\int \frac{t}{t+2}\cdot 2tdt=2\int \frac{t^2}{t+2}dt.$$ Gradul numărătorului îl depășește pe al numitorului, deci împărțim: $\frac{t^2}{t+2}=t-2+\frac{4}{t+2}$, cu primitiva $\frac{t^2}{2}-2t+4\ln (t+2)$ (1 p). Revenind la $x$ (1 p): $$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}dx=x-4\sqrt{x}+8\ln \left(\sqrt{x}+2\right)+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

b) (3 p) Integrandul este o expresie rațională în $e^x$, deci substituția este $t=e^x$, cu $dx=\frac{dt}{t}$ și $t>0$; în plus $e^{3x}=t^3$ și $e^{2x}=t^2$ (1 p). Atunci (1 p) $$\int \frac{e^{3x}}{e^{2x}+1}dx=\int \frac{t^3}{t^2+1}\cdot \frac{dt}{t}=\int \frac{t^2}{t^2+1}dt=\int \left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt=t-\mathrm{arctg}t.$$ Revenind la $x$ (1 p): $$\int \frac{e^{3x}}{e^{2x}+1}dx=e^x-\mathrm{arctg}\left(e^x\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 8. (8 p)

a) (4 p) Lanțul de metode: substituție $t=\cos x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel (0,5 p). Numitorul se factorizează: $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)$, iar pentru $t=\cos x\in [-1,1]$ ambele paranteze sunt strict negative, deci numitorul nu se anulează și funcția e continuă pe $\mathbb{R}$ (1 p). Cu $dt=-\sin xdx$ (0,5 p): $$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x-7\cos x+12}dx=-\int \frac{dt}{(t-3)(t-4)}.$$ Descompunerea $\frac{1}{(t-3)(t-4)}=-\frac{1}{t-3}+\frac{1}{t-4}$ dă, după înmulțirea cu semnul minus, $\ln |t-3|-\ln |t-4|$ (1 p). Revenind la $x$ și scriind rapoartele fără modul, pentru că $3-\cos x>0$ și $4-\cos x>0$ (1 p): $$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x-7\cos x+12}dx=\ln \frac{3-\cos x}{4-\cos x}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) (4 p) Lanțul de metode: împărțire $\to$ schimbare de variabilă $\to$ tabel (0,5 p). Gradul numărătorului îl depășește pe al numitorului, deci prima verigă este împărțirea (1,5 p): $$\frac{x^3}{x^2+4}=x-\frac{4x}{x^2+4}.$$ A doua bucată are la numărător, până la factorul $2$, derivata numitorului, iar $x^2+4>0$, deci modulul cade (1,5 p). Prin urmare (0,5 p) $$\int \frac{x^3}{x^2+4}dx=\frac{x^2}{2}-2\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 9. (8 p)

a) (3 p) Poziția este o primitivă a vitezei, iar constanta este poziția inițială (0,5 p). Etapa 1 a rețetei constantei: $s(t)=t^3-3t^2-24t+c$ (1,5 p). Etapa 2: din $s(0)=c=2$ obținem $c=2$ (0,5 p), deci $$s(t)=t^3-3t^2-24t+2\text{(metri)}.$$ Etapa 3, verificarea: $s^{\prime }(t)=3t^2-6t-24=v(t)$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Factorizăm viteza: $v(t)=3\left(t^2-2t-8\right)=3(t-4)(t+2)$ (1 p). Pentru $t\ge 0$ factorul $t+2$ este strict pozitiv, deci semnul lui $v$ este semnul lui $t-4$: negativ pe $[0,4)$ și pozitiv pe $(4,+\infty )$ (1 p). Mobilul se întoarce pe intervalul de timp $[0,4]$ și înaintează pe $[4,+\infty )$; își schimbă sensul de mers la momentul $t=4$ secunde, care este punct de minim al poziției, cu $s(4)=-78$ metri (1 p).

c) (2 p) Din tabelul de traducere $f\to F$: convexitatea lui $s$ se citește din monotonia vitezei, adică din semnul lui $s^{\prime \prime }=v^{\prime }$ (0,5 p). Avem $v^{\prime }(t)=6t-6=6(t-1)$, negativ pe $[0,1)$ și pozitiv pe $(1,+\infty )$ (1 p), deci $s$ este concavă pe $[0,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$, cu un punct de inflexiune la momentul $t=1$ secundă (0,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Pentru $n=0$ integrandul este $e^{3x}$, iar compunerea cu $3x$ aduce împărțirea la $3$ (1 p): $$R_0=\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}.$$ Pentru $R_1$ integrăm prin părți, derivând $x$ și integrând $e^{3x}$ (1,5 p): $$R_1=\int x{e}^{3x}dx=\frac{x{e}^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x{e}^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9}=\frac{(3x-1)e^{3x}}{9}$$ (0,5 p).

b) (4 p) Alegem, după regula descreșterii, factorul de derivat astfel încât puterea să coboare: $f(x)=x^n$, cu $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$, și $g^{\prime }(x)=e^{3x}$, cu $g(x)=\frac{e^{3x}}{3}$; ambele funcții sunt derivabile pe $\mathbb{R}$ (1,5 p). Formula de integrare prin părți dă (1,5 p) $$R_n=\frac{x^n{e}^{3x}}{3}-\frac{n}{3}\int x^{n-1}{e}^{3x}dx.$$ Integrala rămasă este chiar $R_{n-1}$, adică termenul de indice imediat inferior, deci recurența se închide (1 p): $$R_n=\frac{x^n{e}^{3x}}{3}-\frac{n}{3}{R}_{n-1},n\ge 1.$$

c) (3 p) Aplicăm relația pentru $n=2$, folosind $R_1$ de la subpunctul a) (1,5 p): $$R_2=\frac{x^2{e}^{3x}}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{(3x-1)e^{3x}}{9}=\frac{9x^2{e}^{3x}-2(3x-1)e^{3x}}{27}=\frac{\left(9x^2-6x+2\right)e^{3x}}{27},$$ deci $\int x^2{e}^{3x}dx=\frac{\left(9x^2-6x+2\right)e^{3x}}{27}+\mathcal{C}$ (0,5 p). (Verificare prin derivare: derivata expresiei este $x^2{e}^{3x}$.) Un singur termen de plecare este de ajuns pentru că pasul recurenței este $1$: din $R_n$ se coboară la $R_{n-1}$, deci lanțul $R_0\to R_1\to R_2\to \dots$ trece prin toți indicii (1 p). Când pasul este $2$, cum se întâmplă la puterile sinusului, lanțul par și lanțul impar sunt independente, iar termenul de plecare trebuie ales după paritatea indicelui cerut.

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Funcția $F$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, fiind cât de funcții derivabile, cu numitorul nenul acolo (1 p). Derivăm cu regula câtului (2,5 p): $$F^{\prime }(x)=-\frac{\frac{2}{x}\cdot 4x^2-\left(2\ln x+1\right)\cdot 8x}{16x^4}=-\frac{8x[1-\left(2\ln x+1\right)]}{16x^4}=\frac{16x\ln x}{16x^4}=\frac{\ln x}{x^3}.$$ Cum $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, funcția $F$ este o primitivă a lui $f$ pe acest interval (1,5 p).

b) (5 p) Din a), mulțimea primitivelor lui $f$ este $F(x)+\mathcal{C}$, deci $G(x)=-\frac{2\ln x+1}{4x^2}+c$, cu $c\in \mathbb{R}$ (1,5 p). Din $G(1)=-\frac{0+1}{4}+c=-\frac{1}{4}+c$ și condiția $G(1)=0$ obținem $c=\frac{1}{4}$ (1,5 p), deci $$G(x)=\frac{1}{4}-\frac{2\ln x+1}{4x^2},x\in (0,+\infty )$$ (1 p). Atunci $G(e)=\frac{1}{4}-\frac{2+1}{4e^2}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4e^2}$ (1 p).

c) (5 p) Avem $F^{\prime }=f$, iar $x^3>0$ pe $(0,+\infty )$, deci semnul lui $F^{\prime }$ este semnul logaritmului: negativ pe $(0,1)$, nul în $1$, pozitiv pe $(1,+\infty )$ (2 p). Prin urmare $F$ este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$ (1,5 p). Semnul lui $F^{\prime }$ trece de la minus la plus în $x=1$, deci acolo se află singurul punct de extrem al lui $F$, un punct de minim, cu valoarea $F(1)=-\frac{1}{4}$ (1,5 p). (Minimul este chiar global pe $(0,+\infty )$, pentru că monotonia se schimbă o singură dată.)