Test recapitulativ: metode de numărare (clasa a X-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de recapitulare a capitolului „Metode de numărare", pe traseul de trunchi comun al clasei a X-a. Capitolul este cel mai bine definit din tot anul — se rezolvă cu patru-cinci formule —, dar și cel în care greșelile nu vin din calcul, ci din alegerea instrumentului: aranjamente sau combinări, adică ordinea contează sau nu. De aceea proba nu cere formule mari, ci decizii corecte: aproape fiecare item are un subpunct în care metoda trebuie aleasă, nu aplicată. A doua idee verificată insistent este numărarea prin complement — „cel puțin unul" se numără scăzând din tot, nu adunând cazuri.

Harta materiei acoperite:

• Reguli de numărare și factorial — regula produsului, regula sumei, diagrame arborescente, factorialul și simplificarea rapoartelor de factoriale. (Itemii 1a, 2 — 8 puncte)
• Permutări, aranjamente, combinări — cele trei formule, alegerea metodei potrivite, ecuații simple cu $A_n^k$ și $C_n^k$, permutări cu restricții. (Itemii 1b, 3, 5, 6 — 27 de puncte)
• Triunghiul lui Pascal și identități binomiale — combinări complementare, formula de recurență, suma coeficienților binomiali, suma alternantă. (Itemii 4, 11 — 14 puncte)
• Binomul lui Newton — dezvoltarea puterii unui binom, termenul general, termenul care nu îl conține pe $x$, numărul de termeni. (Itemii 7, 13c, 13d — 11 puncte)
• Numărare prin complement și probleme practice — numere cu cifre distincte, submulțimi, drumuri minime într-un caroiaj, extrageri. (Itemii 1c, 8, 9, 10, 12 — 30 de puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute pentru proba întreagă, dată dintr-o bucată, „ca la examen". La clasă, dacă se lucrează într-o singură oră de curs de $50$ de minute, se dau Partea I și Partea a II-a ($58$ de puncte), iar Partea a III-a rămâne pentru ora următoare; oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate numerele au fost alese ca simplificările să se facă în minte, iar rapoartele de factoriale să se reducă înainte de orice înmulțire.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La itemii de numărare, un rezultat corect fără raționamentul care îl susține primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului: aici se punctează de ce s-au folosit combinări, nu doar valoarea lor.
• La profilul real: întregul capitol „Metode de numărare" este comun ambelor programe, deci proba se dă integral și de elevii de la matematică-informatică. Ei pot folosi, în plus, notația $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$; baremul acceptă ambele scrieri.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$, cu $0!=1$; $\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$.
• $P_n=n!$ · $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ · $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, cu legătura $A_n^k=C_n^k\cdot k!$.
• Combinări complementare: $C_n^k=C_n^{n-k}$. Formula de recurență (triunghiul lui Pascal): $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$.
• Binomul lui Newton: $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$; dezvoltarea are $n+1$ termeni.
• $\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n$ (numărul submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente) și $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k=0$ pentru $n\ge 1$.
• Numărare prin complement: $\#(\text{cel puțin unul})=\#(\text{tot})-\#(\text{niciunul})$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea raportului $\frac{6!}{4!}$ este egală cu: A. $2$; B. $\frac{3}{2}$; C. $30$; D. $360$.

b) Valoarea lui $C_{10}^8$ este egală cu: A. $10$; B. $45$; C. $80$; D. $90$.

c) Numărul submulțimilor unei mulțimi cu $6$ elemente este: A. $12$; B. $36$; C. $64$; D. $720$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră cifrele $1,2,3,4,5$. Se formează numere de trei cifre folosind numai aceste cifre.

a) Câte astfel de numere se pot forma dacă cifrele se pot repeta? (2 p) b) Câte se pot forma dacă cifrele sunt distincte? (2 p) c) Câte dintre numerele de la punctul b) sunt pare? (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

a) Calculează $P_5$, $A_7^2$ și $C_8^3$. (2 p) b) Determină numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2=42$. (2 p) c) Verifică prin calcul egalitatea $C_9^4=C_9^5$ și precizează proprietatea pe care o ilustrează. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Scrie linia corespunzătoare lui $n=5$ din triunghiul lui Pascal. (2 p) b) Folosind numai formula de recurență $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ și linia de la punctul a), calculează $C_6^3$. (2 p) c) Dezvoltă $(x+2{)}^3$ cu binomul lui Newton. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Șase persoane, printre care Ana și Bogdan, se așază pe șase scaune puse în rând.

a) În câte moduri se pot așeza cele șase persoane? (2 p) b) În câte dintre aceste moduri Ana și Bogdan stau alături? (2 p) c) În câte moduri Ana și Bogdan nu stau alături? (2 p) d) În câte moduri Ana stă la unul dintre cele două capete ale rândului? (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Dintr-o clasă cu $10$ fete și $8$ băieți se alege o echipă de $5$ elevi.

a) Câte echipe diferite se pot forma? (2 p) b) Câte echipe au exact $3$ fete? (2 p) c) Câte echipe au cel puțin $4$ fete? (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$, unde $x\ne 0$.

a) Scrie termenul general $T_{k+1}$ al dezvoltării și adu puterea lui $x$ la forma cea mai simplă. (2 p) b) Determină termenul dezvoltării care nu îl conține pe $x$. (3 p) c) Câți termeni are dezvoltarea și cât este suma coeficienților binomiali $C_9^0+C_9^1+\cdots +C_9^9$? (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Câte numere naturale de patru cifre există? (2 p) b) Câte dintre ele au toate cifrele distincte? (2 p) c) Câte dintre ele au cel puțin două cifre egale? (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,8\}$.

a) Câte submulțimi are mulțimea $A$? (2 p) b) Câte submulțimi cu exact $3$ elemente are mulțimea $A$? (2 p) c) Câte dintre submulțimile cu $3$ elemente ale lui $A$ îl conțin pe elementul $8$? (2 p)

Partea a III-a – Probleme, aplicații practice și itemi de tip Bacalaureat (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Străzile unui cartier formează un caroiaj. Un elev pleacă din colțul $A$ și merge la școală, aflată în colțul $B$, deplasându-se doar spre est sau spre nord. Din $A$ până în $B$ sunt $4$ intervale spre est și $3$ intervale spre nord.

a) Câte drumuri minime duc din $A$ în $B$? (2 p) b) Câte dintre ele trec prin nodul $P$, situat la $2$ intervale est și $1$ interval nord de $A$? (3 p) c) Câte drumuri minime nu trec prin $P$? (2 p) d) Justifică de ce orice drum minim din $A$ în $B$ are exact $7$ intervale. (1 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează, pornind de la formula cu factoriale, egalitatea $C_n^k=C_n^{n-k}$, pentru $0\le k\le n$. (2 p) b) Verifică, prin calculul ambilor membri, egalitatea $C_9^3+C_9^4=C_{10}^4$ și precizează ce formulă generală ilustrează. (2 p) c) Calculează $S=C_7^0+C_7^1+C_7^2+\cdots +C_7^7$, justificând rezultatul cu ajutorul binomului lui Newton. (2 p) d) Calculează $T=C_7^0-C_7^1+C_7^2-\cdots -C_7^7$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Într-o urnă sunt $15$ bile numerotate de la $1$ la $15$. Se extrag simultan $4$ bile.

a) Câte rezultate diferite ale extragerii sunt posibile? (2 p) b) În câte dintre ele apare bila cu numărul $7$? (2 p) c) În câte dintre ele apar exact două numere pare? (2 p) d) Calculează probabilitatea ca extragerea să conțină exact două numere pare, dând rezultatul ca fracție ireductibilă. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.)

a) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=28$. (2 p) b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2+C_n^2=30$. (2 p) c) Determinați termenul din mijloc al dezvoltării $(x+1{)}^6$. (2 p) d) Calculați suma $C_6^0+C_6^2+C_6^4+C_6^6$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Raportul se simplifică fără a calcula factorialele întregi: $$\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5=30.$$ (Varianta A, $2$, apare dacă se împarte greșit $6$ la $4$; varianta D, $360$, este $\frac{6!}{2!}$.)

b) B. Se folosesc combinările complementare: $C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. (Varianta D, $90$, este $A_{10}^2$ — adică s-a uitat împărțirea la $2!$.)

c) C. O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, deci $2^6=64$. (Varianta D, $720$, este $6!$, adică numărul de ordonări ale celor $6$ elemente, nu numărul de submulțimi.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Fiecare dintre cele trei poziții se completează independent, cu oricare dintre cele $5$ cifre — regula produsului (1 p): $$5\cdot 5\cdot 5=5^3=125\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Cifrele fiind distincte și ordinea contând (numerele $123$ și $321$ sunt diferite), sunt aranjamente (1 p): $$A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Numărul este par dacă ultima cifră este $2$ sau $4$, deci pentru ultima poziție avem $2$ variante (1 p). Primele două poziții se completează apoi cu două dintre cele $4$ cifre rămase, în ordine: $A_4^2=4\cdot 3=12$. Prin urmare $$2\cdot 12=24\text{(1 p)}.$$ (Poziția cu restricție se completează întotdeauna prima — altfel nu se mai știe câte cifre au rămas pentru ea.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $P_5=5!=120$; $A_7^2=7\cdot 6=42$; $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56$ (câte 0,5–0,75 p; 2 p pentru toate trei corecte).

b) (2 p) $A_n^2=n(n-1)=42$, deci $n^2-n-42=0$ (1 p). Cu $\Delta =1+168=169$ obținem $n=\frac{1+13}{2}=7$; soluția $-6$ se respinge, $n$ fiind natural (1 p). (Control: $A_7^2=7\cdot 6=42$ ✓.)

c) (2 p) $C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=126$ și $C_9^5=C_9^4=126$, iar prin calcul direct $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=126$ (1 p). Egalitatea ilustrează proprietatea combinărilor complementare, $C_n^k=C_n^{n-k}$: a alege $4$ elemente dintre $9$ înseamnă, de fapt, a alege care $5$ rămân pe dinafară (1 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Linia $n=5$ este formată din $C_5^0,C_5^1,\dots ,C_5^5$: $$1,5,10,10,5,1\text{(2 p)}.$$ (Linia are $6$ numere, e simetrică, iar suma lor este $2^5=32$ — trei controale rapide.)

b) (2 p) Formula de recurență spune că fiecare număr al liniei următoare este suma celor doi vecini de deasupra (1 p): $$C_6^3=C_5^2+C_5^3=10+10=20\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Cu $a=x$, $b=2$, $n=3$ (1 p): $$(x+2{)}^3=C_3^0{x}^3+C_3^1{x}^2\cdot 2+C_3^{2}x\cdot 2^2+C_3^3\cdot 2^3={\mathbf{x}}^3+6{\mathbf{x}}^2+12x+8\text{(1 p)}.$$ (Control cu $x=1$: $3^3=27$, iar $1+6+12+8=27$ ✓.)

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Se așază toate cele $6$ persoane, deci sunt permutări (1 p): $$P_6=6!=720\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Ana și Bogdan se lipesc într-un singur „bloc"; rămân $5$ obiecte de așezat ($4$ persoane + blocul), în $5!$ moduri, iar în interiorul blocului cei doi pot sta în $2$ ordini (1 p): $$2\cdot 5!=2\cdot 120=240\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Prin complement: din toate așezările se scad cele în care stau alături (1 p): $$720-240=480\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Pentru Ana sunt $2$ variante (capătul din stânga sau cel din dreapta), iar celelalte $5$ persoane se așază oricum pe locurile rămase, în $5!$ moduri (1 p): $$2\cdot 5!=240\text{(1 p)}.$$ (Coincidența cu punctul b) e întâmplătoare: acolo blocul putea sta în $5$ poziții, aici Ana are doar $2$, dar în schimb nu se lipește de nimeni.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Clasa are $10+8=18$ elevi, iar o echipă nu are ordine internă, deci se folosesc combinări (0,5 p): $$C_{18}^5=\frac{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=8568\text{(1,5 p)}.$$

b) (2 p) Se aleg $3$ fete dintre $10$ și $2$ băieți dintre $8$ — regula produsului (0,5 p): $$C_{10}^3\cdot C_8^2=120\cdot 28=3360\text{(1,5 p)}.$$

c) (3 p) „Cel puțin $4$ fete" înseamnă exact $4$ fete sau exact $5$ fete — cazuri disjuncte, deci se adună (1 p): $$C_{10}^4\cdot C_8^1+C_{10}^5\cdot C_8^0=210\cdot 8+252\cdot 1\text{(1 p)},$$ $$=1680+252=1932\text{(1 p)}.$$ (Aici complementul NU ajută: „cel puțin 4 din 5" are doar două cazuri, iar contrarul lui are patru.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Cu $a=x^2$, $b=\frac{1}{x}=x^{-1}$ și $n=9$ (1 p): $$T_{k+1}=C_9^k{\left(x^2\right)}^{9-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_9^k{x}^{18-2k-k}={\mathbf{C}}_9^{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}^{18-3k}\text{(1 p)},$$ unde $k\in \{0,1,\dots ,9\}$.

b) (3 p) Termenul nu îl conține pe $x$ atunci când exponentul se anulează (1 p): $$18-3k=0⟹k=6\text{(1 p)}.$$ Termenul căutat este așadar al șaptelea: $$T_7=C_9^6=C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84\text{(1 p)}.$$ (Atenție la indice: $k=6$ dă termenul $T_7$, nu $T_6$.)

c) (2 p) Dezvoltarea unei puteri de exponent $n$ are $n+1$ termeni, deci $10$ termeni (1 p). Suma coeficienților binomiali este $$\sum _{k=0}^9{C}_9^k=2^9=512\text{(1 p)}.$$

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Numerele de patru cifre sunt cele de la $1000$ la $9999$ (1 p): $$9999-1000+1=9000\text{(1 p)}.$$ (Se poate număra și direct: $9$ variante pentru prima cifră, $10$ pentru fiecare dintre celelalte trei, adică $9\cdot 10^3=9000$.)

b) (2 p) Prima cifră nu poate fi $0$, deci are $9$ variante; a doua poate fi orice cifră diferită de prima, inclusiv $0$, deci tot $9$ variante; a treia are $8$, a patra $7$ (1 p): $$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) „Cel puțin două cifre egale" este contrarul lui „toate cifrele distincte" (1 p): $$9000-4536=4464\text{(1 p)}.$$ (A număra direct cazurile cu două, trei sau patru cifre egale ar cere zeci de subcazuri — de aceea complementul e obligatoriu aici, nu doar comod.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Fiecare element poate să fie sau să nu fie în submulțime, adică $2$ variante pentru fiecare dintre cele $8$ elemente (1 p): $$2^8=256\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) O submulțime nu are ordine internă, deci sunt combinări (0,5 p): $$C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) Elementul $8$ fiind fixat, mai rămân de ales $2$ elemente dintre celelalte $7$ (1 p): $$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\text{(1 p)}.$$ (Control de bun-simț: dintre cele $56$ de submulțimi cu $3$ elemente, fiecare element apare în $21$; într-adevăr, $\frac{8\cdot 21}{3}=56$ ✓.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Orice drum minim este o succesiune de $4$ pași spre est ($E$) și $3$ pași spre nord ($N$); un drum se identifică prin pozițiile pașilor spre nord în șirul de $7$ pași (1 p): $$C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}=35\text{(1 p)}.$$ (Egal cu $C_7^4=35$ — alegerea pașilor spre est dă același rezultat, prin combinări complementare.)

b) (3 p) Un drum care trece prin $P$ se compune din două bucăți independente, deci se aplică regula produsului (1 p). De la $A$ la $P$ sunt $2$ pași est și $1$ pas nord: $$C_3^1=3\text{(1 p)}.$$ De la $P$ la $B$ mai rămân $4-2=2$ pași est și $3-1=2$ pași nord, deci $C_4^2=6$. Prin urmare $$3\cdot 6=18\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Prin complement, din toate drumurile minime se scad cele care trec prin $P$ (1 p): $$35-18=17\text{(1 p)}.$$

d) (1 p) Indiferent de traseu, deplasarea totală spre est este de $4$ intervale și cea spre nord de $3$ intervale; cum nu se merge niciodată înapoi, fiecare interval parcurs contribuie la exact una dintre cele două deplasări, deci sunt exact $4+3=7$ intervale (1 p). $■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Se pornește de la definiție și se înlocuiește $k$ cu $n-k$ (1 p): $$C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=C_n^k\text{(1 p)}.$$ (Interpretare: a alege $k$ elemente care intră este același lucru cu a alege cele $n-k$ care rămân afară.) $■$

b) (2 p) Membrul stâng: $$C_9^3+C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}+\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{24}=84+126=210\text{(1 p)}.$$ Membrul drept: $C_{10}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{24}=210$, deci egalitatea este adevărată. Ea ilustrează formula de recurență a combinărilor, $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$, adică regula de construcție a triunghiului lui Pascal (1 p).

c) (2 p) Se aplică binomul lui Newton pentru $a=b=1$ și $n=7$ (1 p): $$(1+1{)}^7=\sum _{k=0}^7{C}_7^k\cdot 1^{7-k}\cdot 1^k=S,\text{deci}S=2^7=128\text{(1 p)}.$$ (Control prin însumare directă: $1+7+21+35+35+21+7+1=128$ ✓. Interpretare: o mulțime cu $7$ elemente are $128$ de submulțimi.)

d) (2 p) Se aplică binomul pentru $a=1$ și $b=-1$ (1 p): $$(1-1{)}^7=\sum _{k=0}^7{C}_7^k\cdot 1^{7-k}\cdot (-1{)}^k=T,\text{deci}T=0^7=0\text{(1 p)}.$$ (Control: $1-7+21-35+35-21+7-1=0$ ✓. Consecință utilă: o mulțime nevidă are tot atâtea submulțimi cu număr par de elemente câte are cu număr impar.) $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Bilele se extrag simultan, deci ordinea nu contează (0,5 p): $$C_{15}^4=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=1365\text{(1,5 p)}.$$

b) (2 p) Bila $7$ fiind fixată, celelalte $3$ se aleg dintre cele $14$ rămase (1 p): $$C_{14}^3=\frac{14\cdot 13\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}=364\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Printre numerele $1,2,\dots ,15$ sunt $7$ numere pare ($2,4,\dots ,14$) și $8$ impare (0,5 p). Se aleg $2$ pare dintre $7$ și $2$ impare dintre $8$: $$C_7^2\cdot C_8^2=21\cdot 28=588\text{(1,5 p)}.$$

d) (2 p) Toate extragerile fiind egal probabile (0,5 p): $$P=\frac{588}{1365}=\frac{588:21}{1365:21}=\frac{28}{65}\text{(1,5 p)}.$$ (Simplificarea se face cu $21$: $588=21\cdot 28$ și $1365=21\cdot 65$. Valoarea este aproximativ $0,43$ — cam patru extrageri din zece.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=28$, deci $n^2-n-56=0$ (1 p). Cu $\Delta =1+224=225$ obținem $n=\frac{1+15}{2}=8$ (soluția $-7$ se respinge) (1 p).

b) (2 p) $A_n^2=n(n-1)$ și $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, deci ecuația devine $$n(n-1)+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{3n(n-1)}{2}=30⟹n(n-1)=20\text{(1 p)}.$$ Din $n^2-n-20=0$, cu $\Delta =81$, rezultă $n=\frac{1+9}{2}=5$ (1 p). (Control: $A_5^2=20$, $C_5^2=10$, iar $20+10=30$ ✓.)

c) (2 p) Dezvoltarea lui $(x+1{)}^6$ are $7$ termeni, deci termenul din mijloc este al patrulea, corespunzător lui $k=3$ (1 p): $$T_4=C_6^3{x}^3=20{\mathbf{x}}^3\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Se calculează direct din linia $n=6$ a triunghiului lui Pascal, $1,6,15,20,15,6,1$ (1 p): $$C_6^0+C_6^2+C_6^4+C_6^6=1+15+15+1=32=2^5\text{(1 p)}.$$ (Nu e coincidență: adunând și scăzând relațiile $\sum C_6^k=2^6$ și $\sum (-1{)}^k{C}_6^k=0$ se obține că suma combinărilor de rang par este egală cu cea de rang impar, adică fiecare valorează $2^6:2=2^5=32$.) $■$