Test recapitulativ: probabilități (clasa a X-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de recapitulare a capitolului „Probabilități", pe traseul de trunchi comun al clasei a X-a. Capitolul are o singură formulă de bază — cazuri favorabile pe cazuri posibile —, dar toată dificultatea lui stă înainte de formulă: în a număra corect cele două mulțimi. De aceea proba este, pe jumătate, o probă de combinatorică deghizată: extragerile simultane se numără cu combinări, experimentele în etape se citesc de pe un arbore, iar „cel puțin unul" se calculează aproape întotdeauna prin evenimentul contrar. A doua idee verificată insistent este distincția dintre evenimente independente și evenimente disjuncte — două noțiuni pe care elevii le confundă cel mai des, deși ele nu au nimic în comun.

Harta materiei acoperite:

• Definiția clasică și evenimentul contrar — cazuri favorabile și posibile, experimente cu urne, zaruri și cărți, probabilitatea contrarului. (Itemii 1, 2, 3 — 18 puncte)
• Reuniune și intersecție — evenimente compatibile și incompatibile, diagrame Venn, formula $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. (Itemii 4, 5 — 14 puncte)
• Probabilități condiționate și independență — definiția lui $P(B\mid A)$, testul de independență, citirea unui arbore cu două etape. (Itemii 6, 12 — 15 puncte)
• Numărarea cazurilor cu combinatorică — extrageri simultane, alegeri cu revenire și fără revenire, submulțimi. (Itemii 7, 8, 9, 10, 11 — 35 de puncte)
• Probabilități în situații practice — un test grilă completat la întâmplare, un lot de piese cu defecte, drumul spre școală. (Itemii 9, 10, 12, 13 — 30 de puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute pentru proba întreagă, dată dintr-o bucată, „ca la examen". La clasă, dacă se lucrează într-o singură oră de curs de $50$ de minute, se dau Partea I și Partea a II-a ($58$ de puncte), iar Partea a III-a rămâne pentru ora următoare; oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate rezultatele se lasă sub formă de fracții ireductibile (sau de numere zecimale exacte, acolo unde datele sunt date zecimal). O probabilitate scrisă ca fracție nesimplificată primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă. Se punctează explicit numărarea: câte cazuri posibile, câte favorabile și de ce — un raport corect apărut din senin nu primește punctajul întreg.
• La profilul real: tot capitolul de mai sus este comun ambelor programe. Schemele clasice (Bernoulli, hipergeometrică, Poisson) și legea probabilității totale nu fac obiectul acestei probe, deși elevii de la matematică-informatică le-au studiat: itemul 12 se rezolvă integral cu arborele și cu definiția probabilității condiționate, adică din trunchiul comun.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• Definiția clasică (cazuri egal probabile): $P(A)=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$, cu $0\le P(A)\le 1$.
• Evenimentul contrar: $P(\overline{A})=1-P(A)$. Se folosește ori de câte ori apare „cel puțin unul".
• Reuniunea: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; dacă $A$ și $B$ sunt incompatibile ($A\cap B=\varnothing$), atunci $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• Probabilitatea condiționată: $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, pentru $P(A)\ne 0$; de aici $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ — regula de înmulțire de pe ramurile arborelui.
• Evenimente independente: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. (A nu se confunda cu „incompatibile": două evenimente incompatibile de probabilitate nenulă nu sunt niciodată independente.)
• Numărarea cazurilor: extragere simultană (sau „deodată") $\to$ combinări $C_n^k$; extragere una după alta, cu revenire $\to$ regula produsului, $n^k$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Se aruncă un zar. Probabilitatea de a obține un număr par este: A. $\frac{1}{6}$; B. $\frac{1}{3}$; C. $\frac{1}{2}$; D. $\frac{2}{3}$.

b) Dacă $P(A)=0,3$, atunci probabilitatea evenimentului contrar este: A. $0,03$; B. $0,7$; C. $1,3$; D. $0,3$.

c) Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ de cărți de joc. Probabilitatea ca ea să fie damă este: A. $\frac{1}{13}$; B. $\frac{1}{4}$; C. $\frac{1}{52}$; D. $\frac{4}{13}$.

Itemul 2 (6 puncte)

O urnă conține $4$ bile albe, $6$ bile negre și $5$ bile roșii. Se extrage o bilă la întâmplare.

a) Calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie albă. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca bila extrasă să nu fie roșie. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca bila extrasă să fie neagră sau roșie. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul albastru, și se notează perechea de numere obținute.

a) Câte rezultate posibile are experimentul? (2 p) b) Calculează probabilitatea ca suma numerelor obținute să fie egală cu $8$. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca suma numerelor obținute să fie cel puțin $10$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,3,\dots ,30\}$. Se consideră evenimentele $A$: „numărul ales este divizibil cu $3$" și $B$: „numărul ales este divizibil cu $5$".

a) Calculează $P(A)$. (2 p) b) Calculează $P(B)$. (2 p) c) Calculează $P(A\cup B)$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Într-o clasă cu $30$ de elevi, $18$ fac sport, $14$ fac muzică, iar $6$ fac și sport, și muzică. Se alege la întâmplare un elev al clasei; $S$ este evenimentul „elevul ales face sport", iar $M$ evenimentul „elevul ales face muzică".

a) Câți elevi ai clasei fac cel puțin una dintre cele două activități? (2 p) b) Câți elevi nu fac niciuna dintre ele? (2 p) c) Calculează $P(S\cup M)$. (2 p) d) Calculează probabilitatea ca elevul ales să facă exact una dintre cele două activități. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se păstrează datele de la itemul 5.

a) Calculează $P(M\mid S)$, adică probabilitatea ca elevul ales să facă muzică, știind că face sport. (2 p) b) Calculează $P(S\mid M)$. (2 p) c) Stabilește, cu justificare, dacă evenimentele $S$ și $M$ sunt independente. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

O urnă conține $5$ bile roșii și $3$ bile albastre. Se extrag simultan două bile.

a) Câte perechi de bile se pot extrage? (2 p) b) Calculează probabilitatea ca ambele bile extrase să fie roșii. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca bilele extrase să fie de culori diferite. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se aruncă o monedă de trei ori la rând și se notează, în ordine, fețele obținute (stemă sau ban).

a) Câte rezultate posibile are experimentul? (2 p) b) Calculează probabilitatea de a obține exact două steme. (2 p) c) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin o stemă. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Un test grilă are $5$ întrebări, fiecare cu $4$ variante de răspuns, dintre care exact una corectă. Un elev completează testul răspunzând la întâmplare la fiecare întrebare.

a) În câte moduri diferite poate fi completat testul? (2 p) b) Calculează probabilitatea ca elevul să răspundă corect la toate întrebările. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca elevul să greșească toate întrebările. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, aplicații practice și itemi de tip Bacalaureat (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Într-o cutie sunt $12$ becuri, dintre care $4$ sunt defecte. Se aleg la întâmplare $3$ becuri, deodată.

a) În câte moduri se pot alege cele $3$ becuri? (2 p) b) Calculează probabilitatea ca toate cele trei becuri alese să fie bune. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact unul dintre becurile alese să fie defect. (2 p) d) Calculează probabilitatea ca cel puțin unul dintre becurile alese să fie defect. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) O urnă conține $10$ bile numerotate de la $1$ la $10$. Se extrag simultan $3$ bile.

a) Determină numărul cazurilor posibile. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca exact două dintre numerele extrase să fie pare. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca cel mai mare dintre numerele extrase să fie $8$. (2 p) d) Calculează probabilitatea ca cele trei numere extrase să fie consecutive. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un elev merge la școală cu autobuzul, cu probabilitatea $0,6$, sau pe jos, cu probabilitatea $0,4$. Dacă merge cu autobuzul, întârzie cu probabilitatea $0,1$; dacă merge pe jos, întârzie cu probabilitatea $0,25$.

a) Calculează probabilitatea ca elevul să meargă cu autobuzul și să întârzie. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca elevul să meargă pe jos și să întârzie. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca elevul să întârzie. (2 p) d) Într-o zi în care elevul a întârziat, calculează probabilitatea ca el să fi mers cu autobuzul. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,12\}$.

a) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $A$. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu $4$. (2 p) b) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $A$. Calculați probabilitatea ca acesta să fie număr prim. (2 p) c) Se aleg la întâmplare două elemente distincte ale mulțimii $A$. Calculați probabilitatea ca ambele să fie numere pare. (2 p) d) Se aleg la întâmplare două elemente distincte ale mulțimii $A$. Calculați probabilitatea ca produsul lor să fie număr par. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Numerele pare de pe zar sunt $2,4,6$, deci $3$ cazuri favorabile din $6$ posibile: $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

b) B. $P(\overline{A})=1-0,3=0,7$. (Varianta C, $1,3$, este imposibilă: o probabilitate nu depășește niciodată $1$ — un control care se face din ochi.)

c) A. Într-un pachet sunt $4$ dame, deci $P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$. (Varianta D, $\frac{4}{13}$, apare dacă se simplifică greșit; varianta B, $\frac{1}{4}$, este probabilitatea de a extrage o carte de o culoare anume.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Numărul total de bile este $4+6+5=12+3=15$ (1 p), deci $$P(\text{alba˘})=\frac{4}{15}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Bilele care nu sunt roșii sunt $4+6=10$ (1 p), deci $$P(\overline{\text{roșie}})=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\text{(1 p)}.$$ (Se putea și prin contrar: $1-\frac{5}{15}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ✓.)

c) (2 p) Evenimentele „neagră" și „roșie" sunt incompatibile (o bilă nu poate fi și neagră, și roșie), deci probabilitățile se adună fără corecție (1 p): $$P=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}\text{(1 p)}.$$ Rezultat: $\frac{11}{15}$.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Fiecare zar are $6$ fețe, iar cele două aruncări sunt independente — regula produsului (1 p): $$6\cdot 6=36\text{(1 p)}.$$ (Zarurile fiind de culori diferite, perechile $(2,6)$ și $(6,2)$ sunt rezultate DISTINCTE.)

b) (2 p) Perechile cu suma $8$ sunt $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$, adică $5$ cazuri favorabile (1 p): $$P=\frac{5}{36}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Suma este cel puțin $10$ pentru sumele $10$, $11$ și $12$: $(4,6),(5,5),(6,4)$; $(5,6),(6,5)$; $(6,6)$ — în total $3+2+1=6$ cazuri (1 p): $$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\text{(1 p)}.$$

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Multiplii de $3$ din mulțime sunt $3,6,\dots ,30$, adică $30:3=10$ numere (1 p): $$P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Multiplii de $5$ sunt $5,10,\dots ,30$, adică $30:5=6$ numere (1 p): $$P(B)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Evenimentele sunt compatibile: numerele divizibile și cu $3$, și cu $5$ sunt multiplii de $15$, adică $15$ și $30$, deci $P(A\cap B)=\frac{2}{30}$ (1 p). Prin urmare $$P(A\cup B)=\frac{10}{30}+\frac{6}{30}-\frac{2}{30}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\text{(1 p)}.$$ (Fără scăderea intersecției, numerele $15$ și $30$ ar fi numărate de două ori.)

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Din principiul includerii și excluderii (1 p): $$18+14-6=26\text{elevi}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Restul clasei (1 p): $$30-26=4\text{elevi}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) $$P(S\cup M)=\frac{26}{30}=\frac{13}{15}\text{(2 p)}.$$

d) (2 p) „Exact una" înseamnă doar sport sau doar muzică: $18-6=12$ elevi fac doar sport și $14-6=8$ fac doar muzică, deci $12+8=20$ (1 p): $$P=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\text{(1 p)}.$$ (Control pe diagramă: $12+6+8+4=30$ ✓.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Prin definiție, $P(M\mid S)=\frac{P(S\cap M)}{P(S)}=\frac{6/30}{18/30}$ (1 p), deci $$P(M\mid S)=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$ (Interpretare directă: dintre cei $18$ elevi care fac sport, $6$ fac și muzică.)

b) (2 p) Analog, cu populația restrânsă la cei $14$ care fac muzică (1 p): $$P(S\mid M)=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Testul de independență cere compararea lui $P(S\cap M)$ cu produsul $P(S)\cdot P(M)$ (1 p): $$P(S)\cdot P(M)=\frac{18}{30}\cdot \frac{14}{30}=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{15}=\frac{21}{75}=\frac{7}{25}\text{(1 p)},$$ $$P(S\cap M)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}=\frac{5}{25}.$$ Cum $\frac{7}{25}\ne \frac{5}{25}$, evenimentele nu sunt independente (1 p). (Observație: ele nu sunt nici incompatibile — $6$ elevi fac amândouă. „Incompatibil" și „independent" sunt noțiuni diferite, care nu se implică una pe alta.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Bilele se extrag simultan, deci ordinea nu contează — combinări (1 p): $$C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Cazurile favorabile sunt perechile formate din două dintre cele $5$ bile roșii: $C_5^2=10$ (1 p), deci $$P=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Culori diferite înseamnă o bilă roșie și o bilă albastră, deci regula produsului (1 p): $$5\cdot 3=15\text{cazuri favorabile}\text{(1 p)},$$ $$P=\frac{15}{28}\text{(1 p)}.$$ (Control: cele trei evenimente „ambele roșii", „ambele albastre" și „culori diferite" acoperă tot: $\frac{10}{28}+\frac{3}{28}+\frac{15}{28}=\frac{28}{28}=1$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Fiecare aruncare are $2$ rezultate, iar aruncările sunt independente (1 p): $$2^3=8\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Rezultatele cu exact două steme sunt $SSB$, $SBS$, $BSS$, adică $3$ (1 p): $$P=\frac{3}{8}\text{(1 p)}.$$ (Se putea și cu combinări: se aleg pozițiile celor două steme dintre cele $3$ aruncări, $C_3^2=3$.)

c) (2 p) Prin contrar: singurul rezultat fără nicio stemă este $BBB$ (1 p), deci $$P=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\text{(1 p)}.$$

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Fiecare dintre cele $5$ întrebări se poate completa în $4$ moduri, independent de celelalte (1 p): $$4^5=1024\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Există o singură completare integral corectă (1 p): $$P=\frac{1}{1024}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) La fiecare întrebare sunt $3$ variante greșite, deci $3^5=243$ completări integral greșite (1 p): $$P=\frac{243}{1024}\text{(1 p)}.$$ (Aproximativ $0,237$: cine răspunde la întâmplare are aproape o șansă din patru să nu nimerească absolut nimic.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Becurile se aleg deodată, deci ordinea nu contează (0,5 p): $$C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=220\text{(1,5 p)}.$$

b) (2 p) Becurile bune sunt $12-4=8$, iar cazurile favorabile sunt alegerile de $3$ becuri dintre acestea: $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$ (1 p). Prin urmare $$P=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Se alege $1$ bec defect dintre cele $4$ și $2$ bune dintre cele $8$ (0,5 p): $$C_4^1\cdot C_8^2=4\cdot 28=112\text{(1 p)},$$ $$P=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}\text{(0,5 p)}.$$

d) (2 p) „Cel puțin unul defect" este contrarul lui „toate bune", calculat la punctul b) (1 p): $$P=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}\text{(1 p)}.$$ (A număra direct cazurile cu unul, doi sau trei becuri defecte ar da $112+C_4^2{C}_8^1+C_4^3=112+48+4=164$, iar $\frac{164}{220}=\frac{41}{55}$ ✓ — același rezultat, cu de trei ori mai mult calcul.) $■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Extragerea fiind simultană, cazurile posibile sunt submulțimile cu $3$ elemente ale mulțimii bilelor (0,5 p): $$C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120\text{(1,5 p)}.$$

b) (2 p) Printre numerele $1,\dots ,10$ sunt $5$ pare și $5$ impare. Se aleg $2$ pare și $1$ impar (0,5 p): $$C_5^2\cdot C_5^1=10\cdot 5=50\text{(1 p)},$$ $$P=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}\text{(0,5 p)}.$$

c) (2 p) Dacă cel mai mare număr extras este $8$, atunci bila $8$ este extrasă, iar celelalte două se aleg strict dintre $1,2,\dots ,7$ (1 p): $$C_7^2=21,P=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}\text{(1 p)}.$$ (Condiția „cel mai mare este $8$" nu înseamnă doar „conține pe $8$": $9$ și $10$ trebuie excluse.)

d) (2 p) Tripletele de numere consecutive sunt $(1,2,3),(2,3,4),\dots ,(8,9,10)$, adică $8$ (1 p): $$P=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}\text{(1 p)}.$$ (Numărare rapidă: un triplet consecutiv e determinat de primul său element, care poate fi orice număr de la $1$ la $8$.) $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Pe ramura „autobuz apoi întârziere" se înmulțesc probabilitățile, a doua fiind condiționată de prima (1 p): $$P=0,6\cdot 0,1=0,06\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Analog, pe ramura „pe jos apoi întârziere" (1 p): $$P=0,4\cdot 0,25=0,10\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Elevul poate întârzia în două feluri care se exclud reciproc — cu autobuzul sau pe jos —, deci probabilitățile se adună (1 p): $$P(\text{ıˆntaˆrzie})=0,06+0,10=0,16\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Se cere o probabilitate condiționată, cu evenimentul „a întârziat" drept nouă mulțime a cazurilor posibile (1 p): $$P(\text{autobuz}\mid \text{ıˆntaˆrzie})=\frac{0,06}{0,16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\text{(1 p)}.$$ (Merită observat: deși în $60\%$ dintre zile merge cu autobuzul, doar în $37,5\%$ dintre zilele cu întârziere autobuzul e „vinovatul" — mersul pe jos întârzie mai des.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Numerele divizibile cu $4$ din mulțime sunt $4,8,12$, adică $3$ (1 p): $$P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Numerele prime din $A$ sunt $2,3,5,7,11$, adică $5$ (1 p); atenție, $1$ nu este prim: $$P=\frac{5}{12}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Cazurile posibile sunt perechile neordonate: $C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66$; numerele pare din $A$ sunt $6$, deci cazurile favorabile sunt $C_6^2=15$ (1 p): $$P=\frac{15}{66}=\frac{5}{22}\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Produsul a două numere este impar doar dacă amândouă sunt impare; în $A$ sunt $6$ numere impare, deci $C_6^2=15$ cazuri (1 p). Prin contrar: $$P(\text{produs par})=1-\frac{15}{66}=\frac{51}{66}=\frac{17}{22}\text{(1 p)}.$$ (Aceeași valoare ca la punctul c) pentru evenimentul contrar — coincidență datorată faptului că mulțimea are exact tot atâtea numere pare cât impare.) $■$