Test recapitulativ: statistică matematică și sondaje (clasa a X-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Recapitulare și sinteză

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de recapitulare a capitolelor „Statistică matematică" și „Sondaje", pe traseul de trunchi comun al clasei a X-a. Este singurul capitol al anului în care calculul e ușor, iar dificultatea stă în citire: ce spune, de fapt, un număr despre un set de date. De aceea proba pune sistematic două mărimi față în față — media și mediana, media și abaterea standard, eșantionul și populația — și cere de fiecare dată nu doar valoarea, ci și interpretarea ei. Ideea centrală, verificată în trei itemi diferiți, este că media singură nu descrie un set de date: două seturi cu aceeași medie pot fi complet diferite, iar deosebirea o face împrăștierea.

Harta materiei acoperite:

• Organizarea datelor — tabele de frecvențe absolute, relative și cumulate, procente, diagrame cu bare și diagrame circulare. (Itemii 2, 3, 9 — 18 puncte)
• Indicatori de poziție — media aritmetică și media ponderată, mediana, modul, media pe subgrupe. (Itemii 1, 2b, 2c, 9c, 10 — 22 de puncte)
• Indicatori de împrăștiere — amplitudine, cuartile, abaterea intercuartilică, diagrama boxplot, rezumatul în cinci numere. (Itemii 4, 7 — 13 puncte)
• Abaterea standard — formula pentru populație și cea pentru eșantion, interpretarea ei, compararea a două seturi de date cu aceeași medie. (Itemii 5, 6, 11, 13c, 13d — 29 de puncte)
• Sondaje și eșantionare — populație și eșantion, sondaj aleator simplu și sondaj stratificat, extinderea unui rezultat de la eșantion la populație, surse de părtinire. (Itemii 8, 12 — 14 puncte)

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute pentru proba întreagă, dată dintr-o bucată, „ca la examen". La clasă, dacă se lucrează într-o singură oră de curs de $50$ de minute, se dau Partea I și Partea a II-a ($58$ de puncte), iar Partea a III-a rămâne pentru ora următoare; oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate seturile de date au fost alese astfel încât mediile să iasă numere întregi sau zecimale scurte, iar sumele pătratelor abaterilor să fie divizibile cu efectivul, deci abaterile standard să iasă exacte.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă. La itemii de interpretare (compararea a două seturi, părtinirea unui sondaj), un răspuns fără justificare primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului: aici se evaluează raționamentul statistic, nu aritmetica.
• La profilul real: tot capitolul de mai sus este comun ambelor programe, deci proba se dă integral și de elevii de la matematică-informatică.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut:

• Frecvența relativă: $f_i=\frac{n_i}{n}$, exprimată și în procente; suma tuturor frecvențelor relative este $1$ (adică $100\%$).
• Unghiul la centru într-o diagramă circulară: ${\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }$; suma tuturor unghiurilor este $360^{\circ }$.
• Media ponderată: $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$.
• Mediana taie setul ordonat în două părți egale: dacă $n$ este impar, este valoarea din mijloc; dacă $n$ este par, este media valorilor de pe pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$. Modul este valoarea cu cea mai mare frecvență.
• Cuartilele $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$: $Q_2$ este mediana setului, $Q_1$ mediana jumătății inferioare, $Q_3$ mediana jumătății superioare, valoarea mediană fiind exclusă din jumătăți atunci când $n$ este impar.
• Amplitudinea $=x_{\max }-x_{\min }$; abaterea intercuartilică $\text{IQR}=Q_3-Q_1$; într-un boxplot, valorile din afara intervalului $[Q_1-1,5\cdot \text{IQR},Q_3+1,5\cdot \text{IQR}]$ se consideră valori extreme.
• Abaterea standard a populației: $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$; a unui eșantion: $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$.
• Într-un sondaj stratificat, fiecare strat este reprezentat proporțional: din stratul de mărime $N_i$ se aleg $N_i\cdot \frac{n}{N}$ indivizi, unde $\frac{n}{N}$ este fracția de sondaj.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Media aritmetică a numerelor $4$, $7$, $10$ și $11$ este egală cu: A. $7$; B. $8$; C. $8,5$; D. $9$.

b) Modul setului de date $3,5,5,7,8,8,8,9$ este: A. $5$; B. $7$; C. $8$; D. $9$.

c) Într-un set ordonat crescător, format din $12$ valori, mediana este: A. a șasea valoare; B. a șaptea valoare; C. media valorilor de pe pozițiile a șasea și a șaptea; D. media tuturor celor $12$ valori.

Itemul 2 (6 puncte)

Numărul de frați ai celor $25$ de elevi ai unei clase este dat în tabelul următor:

a) Calculează frecvențele relative, exprimate în procente, pentru valorile $0$ și $1$. (2 p) b) Calculează numărul mediu de frați pe elev. (2 p) c) Determină mediana și modul setului de date. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Cei $200$ de elevi ai unui liceu sunt repartizați pe profiluri astfel: $90$ la real, $60$ la uman și $50$ la tehnologic.

a) Calculează frecvențele relative, exprimate în procente, pentru cele trei profiluri. (2 p) b) Calculează măsurile unghiurilor la centru corespunzătoare celor trei sectoare dintr-o diagramă circulară. (2 p) c) Verifică suma măsurilor obținute la punctul b) și explică de ce trebuia să iasă această valoare. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră setul de date: $12,15,9,20,7,18,11$.

a) Ordonează crescător datele și determină mediana $Q_2$. (2 p) b) Determină cuartilele $Q_1$ și $Q_3$. (2 p) c) Calculează amplitudinea și abaterea intercuartilică. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Itemul 5 (8 puncte)

Numărul de cărți citite într-un an de cinci elevi este: $3,5,6,7,9$.

a) Calculează media setului de date. (2 p) b) Calculează suma pătratelor abaterilor față de medie. (2 p) c) Considerând cele cinci valori drept întreaga populație studiată, calculează abaterea standard $\sigma$. (2 p) d) Considerând aceleași valori drept un eșantion dintr-o clasă mai mare, calculează abaterea standard $s$ și explică de ce cele două rezultate diferă. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Două mașini de îmbuteliat umplu sticle de $500$ ml. S-au măsurat, pentru fiecare mașină, cinci sticle luate la întâmplare (valorile sunt în mililitri):

$$\text{mașina }{M}_1:497,499,500,501,503\text{mașina }{M}_2:491,497,500,503,509.$$

Se consideră fiecare set drept întreaga populație studiată.

a) Calculează media fiecărui set de date. (2 p) b) Calculează abaterea standard a setului $M_1$. (2 p) c) Calculează abaterea standard a setului $M_2$. (2 p) d) Care dintre cele două mașini este mai precisă? Justifică, arătând de ce media singură nu poate răspunde la această întrebare. (1 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră setul ordonat de date: $$3,5,6,8,9,11,12,14,15,18,21.$$

a) Determină mediana $Q_2$. (2 p) b) Determină cuartilele $Q_1$ și $Q_3$. (2 p) c) Calculează abaterea intercuartilică și stabilește dacă setul conține valori extreme, folosind regula intervalului $[Q_1-1,5\cdot \text{IQR},Q_3+1,5\cdot \text{IQR}]$. (2 p) d) Scrie rezumatul în cinci numere al setului de date. (1 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Într-o școală cu $600$ de elevi sunt $240$ de elevi la ciclul primar, $216$ la gimnaziu și $144$ la liceu. Se realizează un sondaj pe un eșantion stratificat de $50$ de elevi.

a) Câți elevi se aleg de la fiecare ciclu? (3 p) b) Verifică rezultatul obținut. (1 p) c) Explică de ce, în această situație, un sondaj stratificat este preferabil unui sondaj aleator simplu. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Notele obținute de cei $40$ de elevi ai unei clase la o lucrare sunt date în tabelul următor:

a) Întocmește tabelul frecvențelor cumulate crescătoare. (2 p) b) Câți elevi au obținut cel puțin nota $8$ și ce procent din clasă reprezintă ei? (2 p) c) Determină mediana setului de note. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, aplicații practice și itemi de tip Bacalaureat (32 de puncte)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Într-o clasă cu $25$ de elevi, media notelor obținute la teză este $7,6$. Cei $10$ băieți ai clasei au media $7$.

a) Calculează suma tuturor notelor din clasă. (2 p) b) Calculează suma notelor băieților. (2 p) c) Calculează media notelor fetelor. (2 p) d) Un elev care obținuse nota $4$ se transferă la altă școală, iar nota lui iese din calcul. Calculează noua medie a clasei. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Temperaturile maxime, în grade Celsius, măsurate în cinci zile ale aceleiași săptămâni, în două orașe, sunt:

$$\text{orașul }A:11,17,20,23,29\text{orașul }B:17,19,20,21,23.$$

Se consideră fiecare set de date drept întreaga populație studiată.

a) Calculează media fiecărui set de date. (2 p) b) Calculează suma pătratelor abaterilor față de medie pentru orașul $A$. (2 p) c) Calculează abaterea standard a setului $A$. (2 p) d) Calculează abaterea standard a setului $B$ și compară climatul celor două orașe în săptămâna respectivă. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un liceu are $720$ de elevi: $300$ la profilul real, $240$ la profilul uman și $180$ la profilul tehnologic. Consiliul elevilor vrea să afle câți elevi ar dori o zi liberă în plus la sfârșitul semestrului și realizează un sondaj pe un eșantion stratificat de $60$ de elevi.

a) Câți elevi se aleg de la fiecare profil? (3 p) b) În eșantion, $39$ de elevi au răspuns „da". Estimează câți elevi din tot liceul ar răspunde „da". (2 p) c) Explică de ce un sondaj făcut doar printre elevii de la profilul real ar fi părtinitor. (2 p) d) Precizează care este populația și care este eșantionul în această situație. (1 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $7,9,10,x,13$, unde $x$ este un număr natural. Setul se consideră a fi întreaga populație studiată.

a) Determinați $x$, știind că media setului de date este egală cu $10$. (2 p) b) Pentru valoarea găsită, determinați mediana și amplitudinea setului de date. (2 p) c) Calculați abaterea standard a setului de date. (2 p) d) Fiecare valoare a setului se mărește cu $5$. Precizați, cu justificare, cum se modifică media și cum se modifică abaterea standard. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (itemii 1–4) · Partea a II-a – 34 p (itemii 5–9) · Partea a III-a – 32 p (itemii 10–13).

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $\frac{4+7+10+11}{4}=\frac{32}{4}=8$. (Varianta C, $8,5$, este mediana setului, adică $\frac{7+10}{2}$ — de aici și confuzia.)

b) C. Valoarea care apare cel mai des este $8$ (de trei ori), deci modul este $8$. (Varianta A, $5$, apare de doar două ori.)

c) C. Efectivul fiind par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $\frac{12}{2}=6$ și $\frac{12}{2}+1=7$. (Varianta D descrie media aritmetică, nu mediana.)

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Efectivul total este $n=25$ (0,5 p): $$f_0=\frac{6}{25}=0,24=24\%\text{(0,75 p)},f_1=\frac{10}{25}=0,40=40\%\text{(0,75 p)}.$$

b) (2 p) Media ponderată (1 p): $$\bar{x}=\frac{0\cdot 6+1\cdot 10+2\cdot 5+3\cdot 3+4\cdot 1}{25}=\frac{0+10+10+9+4}{25}=\frac{33}{25}=1,32\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Frecvențele cumulate crescătoare sunt $6,16,21,24,25$. Cum $n=25$ este impar, mediana este a $13$-a valoare din șirul ordonat; a $13$-a valoare se află în grupa valorii $1$ (care ocupă pozițiile $7$–$16$) (1 p), deci $$Q_2=1.$$ Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare, adică tot $1$ (apare la $10$ elevi) (1 p).

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Efectivul total este $200$ (0,5 p): $$f_{\text{real}}=\frac{90}{200}=45\%,f_{\text{uman}}=\frac{60}{200}=30\%,f_{\text{tehn}}=\frac{50}{200}=25\%\text{(1,5 p)}.$$

b) (2 p) Unghiul la centru este proporțional cu frecvența relativă (0,5 p): $${\alpha }_{\text{real}}=0,45\cdot 360^{\circ }=162^{\circ },{\alpha }_{\text{uman}}=0,30\cdot 360^{\circ }=108^{\circ },{\alpha }_{\text{tehn}}=0,25\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) $162^{\circ }+108^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }$ (1 p). Trebuia să iasă exact $360^{\circ }$ deoarece cele trei sectoare acoperă întregul disc, iar suma frecvențelor relative este $1$; înmulțind cu $360^{\circ }$, suma unghiurilor devine $1\cdot 360^{\circ }$ (1 p). (Este controlul standard al oricărei diagrame circulare: dacă suma nu dă $360^{\circ }$, undeva s-a greșit un procent.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Ordonat crescător: $7,9,11,12,15,18,20$ (1 p). Cum $n=7$ este impar, mediana este valoarea din mijloc, a patra: $$Q_2=12\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți (0,5 p). Jumătatea inferioară este $7,9,11$, iar cea superioară $15,18,20$; fiecare are trei valori, deci mediana ei este valoarea din mijloc: $$Q_1=9,Q_3=18\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) Amplitudinea: $20-7=13$ (1 p). Abaterea intercuartilică: $$\text{IQR}=Q_3-Q_1=18-9=9\text{(1 p)}.$$ (Control de bun-simț: $7\le 9\le 12\le 18\le 20$ ✓, iar $\text{IQR}\le$ amplitudine, mereu.)

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $$\bar{x}=\frac{3+5+6+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6\text{(2 p)}.$$

b) (2 p) Abaterile față de medie sunt $-3,-1,0,1,3$ (1 p), deci $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=9+1+0+1+9=20\text{(1 p)}.$$ (Control: suma abaterilor, fără pătrate, trebuie să fie $0$: $-3-1+0+1+3=0$ ✓.)

c) (2 p) Pentru o populație se împarte la $n=5$ (0,5 p): $$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\text{(1,5 p)}.$$

d) (2 p) Pentru un eșantion se împarte la $n-1=4$ (0,5 p): $$s=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}\approx 2,24\text{(1 p)}.$$ Valoarea este mai mare deoarece, într-un eșantion, media calculată este chiar media eșantionului, iar abaterile față de ea ies „prea mici" față de abaterile reale din populație; împărțirea la $n-1$ în loc de $n$ corectează această subestimare (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Ambele seturi au suma $2500$: $${\bar{x}}_1=\frac{497+499+500+501+503}{5}=\frac{2500}{5}=500,{\bar{x}}_2=\frac{491+497+500+503+509}{5}=\frac{2500}{5}=500\text{(2 p)}.$$

b) (2 p) Abaterile setului $M_1$ sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma pătratelor $9+1+0+1+9=20$ (1 p), deci $${\sigma }_1=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\text{ml}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Abaterile setului $M_2$ sunt $-9,-3,0,3,9$, cu suma pătratelor $81+9+0+9+81=180$ (1 p), deci $${\sigma }_2=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6\text{ml}\text{(1 p)}.$$

d) (1 p) Mașina $M_1$ este mai precisă: ${\sigma }_2=3{\sigma }_1$, deci abaterile de la cantitatea nominală sunt, în medie, de trei ori mai mari la $M_2$. Media nu poate răspunde la întrebare pentru că este aceeași la ambele mașini ($500$ ml) — ea spune că, în medie, ambele umplu corect, dar nu spune nimic despre cât de des greșesc (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Setul este deja ordonat și are $n=11$ valori, număr impar, deci mediana este a șasea valoare (1 p): $$Q_2=11\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Valoarea mediană se exclude din jumătăți (0,5 p). Jumătatea inferioară este $3,5,6,8,9$, iar cea superioară $12,14,15,18,21$; fiecare are cinci valori, deci mediana ei este a treia: $$Q_1=6,Q_3=15\text{(1,5 p)}.$$

c) (2 p) $\text{IQR}=15-6=9$, iar $1,5\cdot \text{IQR}=13,5$ (1 p). Intervalul de referință este $$[6-13,5;15+13,5]=[-7,5;28,5],$$ iar toate valorile setului, de la $3$ la $21$, se află în interiorul lui — deci setul nu conține valori extreme (1 p).

d) (1 p) Rezumatul în cinci numere, în ordine minim, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, maxim: $$(3;6;11;15;21)\text{(1 p)}.$$ (Într-un boxplot, cutia s-ar întinde de la $6$ la $15$, cu linia medianei la $11$, iar mustățile ar merge până la $3$ și până la $21$.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Fracția de sondaj este $\frac{50}{600}=\frac{1}{12}$ (1 p), iar fiecare strat se reprezintă proporțional: $$\text{primar: }\frac{240}{12}=20,\text{gimnaziu: }\frac{216}{12}=18,\text{liceu: }\frac{144}{12}=12\text{(2 p)}.$$

b) (1 p) Control: $20+18+12=50$, adică exact mărimea cerută a eșantionului (1 p).

c) (2 p) Cele trei cicluri diferă mult între ele ca vârstă și ca experiență școlară, deci și ca răspunsuri (1 p). Un sondaj aleator simplu ar putea, din întâmplare, să selecteze mult prea mulți elevi dintr-un ciclu și aproape niciunul din altul, iar concluzia ar descrie acel ciclu, nu școala. Stratificarea garantează că fiecare ciclu este reprezentat exact în proporția lui reală (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Frecvențele cumulate se obțin adunând succesiv (1 p):

(1 p) (Ultima valoare trebuie să fie egală cu efectivul total, $40$ — controlul obligatoriu al tabelului.)

b) (2 p) Elevii cu cel puțin nota $8$ sunt $10+5+3=18$ (1 p), adică $$\frac{18}{40}=0,45=45\%\text{din clasa˘}\text{(1 p)}.$$ (Se putea citi și direct din tabelul cumulat: $40-22=18$.)

c) (2 p) Efectivul $n=40$ fiind par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $20$ și $21$. Din frecvențele cumulate, pozițiile $14$–$22$ sunt ocupate de nota $7$, deci ambele valori sunt $7$ (1 p): $$Q_2=\frac{7+7}{2}=7\text{(1 p)}.$$

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Din definiția mediei, suma notelor este produsul dintre medie și efectiv (1 p): $$S=7,6\cdot 25=190\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Analog, pentru cei $10$ băieți (1 p): $$S_b=7\cdot 10=70\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Fetele sunt $25-10=15$, iar suma notelor lor este $190-70=120$ (1 p), deci $${\bar{x}}_f=\frac{120}{15}=8\text{(1 p)}.$$ (Control: media clasei trebuie să fie între cele două medii parțiale, $7<7,6<8$ ✓, și mai aproape de media grupei mai numeroase — fetele — ceea ce se și întâmplă.)

d) (2 p) După plecarea elevului rămân $24$ de elevi, cu suma notelor $190-4=186$ (1 p): $${\bar{x}}_{\text{nou}}=\frac{186}{24}=7,75\text{(1 p)}.$$ (Media a crescut pentru că nota scoasă era sub media clasei — regulă generală, utilă ca verificare rapidă.) $■$

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Ambele seturi au suma $100$: $${\bar{x}}_A=\frac{11+17+20+23+29}{5}=\frac{100}{5}=20{}^{\circ }\text{C},{\bar{x}}_B=\frac{17+19+20+21+23}{5}=\frac{100}{5}=20{}^{\circ }\text{C}\text{(2 p)}.$$ (Mediile fiind egale, ele singure nu deosebesc deloc cele două orașe.)

b) (2 p) Abaterile setului $A$ față de medie sunt $-9,-3,0,3,9$ (1 p), deci $$\sum (x_i-{\bar{x}}_A{)}^2=81+9+0+9+81=180\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Datele fiind considerate întreaga populație, se împarte la $n=5$ (0,5 p): $${\sigma }_A=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6{}^{\circ }\text{C}\text{(1,5 p)}.$$

d) (2 p) Pentru orașul $B$, abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma pătratelor $20$ (0,5 p), deci $${\sigma }_B=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2{}^{\circ }\text{C}\text{(1 p)}.$$ Cum ${\sigma }_A=3{\sigma }_B$, orașul $A$ are, în aceeași săptămână și la aceeași temperatură medie, variații de trei ori mai mari de la o zi la alta: climat continental, cu zile reci și zile calde; orașul $B$ are un climat mult mai constant (0,5 p). $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Fracția de sondaj este $\frac{60}{720}=\frac{1}{12}$ (1 p), deci $$\text{real: }\frac{300}{12}=25,\text{uman: }\frac{240}{12}=20,\text{tehnologic: }\frac{180}{12}=15\text{(1,5 p)}.$$ Control: $25+20+15=60$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Proporția răspunsurilor „da" în eșantion este $\frac{39}{60}=0,65=65\%$ (1 p). Estimarea se obține aplicând aceeași proporție întregii populații: $$0,65\cdot 720=468\text{elevi}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) Un astfel de sondaj ar chestiona un singur strat, care reprezintă doar $\frac{300}{720}\approx 42\%$ din liceu (1 p). Elevii unui profil pot avea, sistematic, alte păreri decât ceilalți (alt orar, alte materii, alt regim de teme), deci rezultatul ar descrie doar profilul real și ar fi extins greșit la tot liceul — aceasta este o părtinire de selecție (1 p).

d) (1 p) Populația este mulțimea celor $720$ de elevi ai liceului, iar eșantionul este submulțimea celor $60$ de elevi chestionați (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Din condiția mediei (1 p): $$\frac{7+9+10+x+13}{5}=10⟹39+x=50⟹x=11\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Setul ordonat este $7,9,10,11,13$; cum $n=5$ este impar, mediana este valoarea din mijloc (0,5 p): $$Q_2=10\text{(0,75 p)},\text{amplitudinea}=13-7=6\text{(0,75 p)}.$$

c) (2 p) Abaterile față de medie sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma pătratelor $9+1+0+1+9=20$ (1 p), deci $$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Noul set este $12,14,15,16,18$. Media crește cu $5$, devenind $15$: fiecare termen al sumei crește cu $5$, deci suma crește cu $5n$, iar media cu $5$ (1 p). Abaterea standard rămâne $2$: fiecare valoare și media se deplasează cu aceeași cantitate, deci abaterile $x_i-\bar{x}$ nu se schimbă deloc, iar $\sigma$ depinde numai de ele (1 p). (Regulă generală de reținut: o translație a datelor mută poziția, dar nu schimbă împrăștierea.) $■$