Test recapitulativ: studiul complet al funcțiilor

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor

Pentru părinți și profesori

Acest test recapitulează toată unitatea, de la definiția asimptotei până la discuția după parametru, și are formatul unei lucrări de sinteză. Sunt evaluate cinci lucruri, în ordinea în care apar la Subiectul al III-lea al examenului. Primul: asimptotele, cu „schema asimptotelor în patru pași" — domeniul, verticalele, apoi separat cele două capete infinite — și cu „procedura în trei pași" a oblicei, în care se calculează întâi panta, se verifică dacă este finită și nenulă, și abia apoi termenul liber. Al doilea: studiul complet, pe „schema în nouă pași", cu tabelul de variație complet în formatul canonic și cu citirea lui în cuvinte. Al treilea: cele două reguli de format pe care le confundă cel mai des elevii — un punct exclus rămâne într-un singur tabel, cu bară pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale pe rândul funcției, pe când un interval exclus cere câte un tabel pe fiecare interval al domeniului. Al patrulea: rezolvarea grafică, cu valorile-prag, cu „regula capătului deschis" și cu tabelul de discuție cu exact două coloane. Al cincilea: șirul lui Rolle, în formatul canonic cu trei rânduri, inclusiv cazul în care o valoare din tabel este nulă, adică punctul respectiv este el însuși soluție, și anume multiplă.

Testul acoperă cele cincisprezece lecții ale unității și poate fi folosit fie ca lucrare de recapitulare la sfârșitul capitolului, fie ca antrenament pentru problema de analiză matematică de clasa a XI-a – a XII-a din Subiectul al III-lea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute (două ore de curs), fiind test recapitulativ de unitate; la fiecare studiu se cer toate celulele tabelului completate și, sub tabel, citirea în cuvinte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice studiu începe cu domeniul scris ca reuniune de intervale, continuă cu intersecțiile și paritatea, apoi cu limitele și asimptotele, și abia apoi cu derivatele. Se depunctează: capătul nemenționat la o asimptotă orizontală sau oblică, calculul lui $n$ înaintea lui $m$, listarea unei orizontale și a unei oblice spre același capăt, un singur tabel de variație pe un domeniu cu interval exclus, marcajul $\text{I}$ pus într-un colț, coloana din stânga a tabelului de discuție care nu acoperă toată axa reală și numărarea unei soluții la nivelul unei asimptote orizontale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe schema asimptotelor și pe tabelul de variație complet.
• Formule de reținut: Asimptotă orizontală spre $+\infty$: $y=\ell$, cu $\ell =\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\in \mathbb{R}$; capetele se studiază separat. Asimptotă oblică spre $+\infty$: $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R}$. Asimptotă verticală: $x=a$, dacă cel puțin o limită laterală în $a$ este infinită; se precizează la stânga, la dreapta sau bilaterală. Propoziția de excludere reciprocă: spre același capăt nu pot exista și orizontală, și oblică. Cele patru situații în care oblica nu există: panta nu există; panta este infinită; panta este nulă; termenul liber nu este finit sau nu există. Schema asimptotelor în patru pași: domeniul $\to$ verticalele $\to$ spre $-\infty$ $\to$ spre $+\infty$. Schema în nouă pași: domeniul, plus intersecțiile (1b) și paritatea (1c) $\to$ continuitatea și derivabilitatea $\to$ limitele și asimptotele $\to$ $f^{\prime }$ $\to$ $f^{\prime \prime }$ $\to$ valorile $\to$ tabelul complet $\to$ citirea $\to$ trasarea. Tabelul complet: rândurile $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$, cu $2k+4$ coloane pentru $k$ puncte interioare marcate; $\nearrow$, $\searrow$, $\cup$, $\cap$, marcajele $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$ și $\nexists$ acolo unde derivata nu există. Punct exclus: bară pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției, într-un singur tabel; interval exclus: câte un tabel pe interval. Marcajul $\text{I}$ se pune numai unde $f$ este derivabilă și convexitatea se schimbă. Valorile-prag sunt extremele locale și limitele finite de la capete; regula capătului deschis: la $m$ egal cu o limită finită neatinsă, ramura nu aduce soluție. Șirul lui Rolle: trei rânduri, $x$ / $h(x)$ / semnul, cu limitele scrise la capete; semne contrare $\Rightarrow$ exact o soluție, valoare nulă $\Rightarrow$ soluție multiplă, semne egale $\Rightarrow$ nicio soluție.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Asimptote și schema în patru pași

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Procedura în trei pași a asimptotei oblice se încheie cu succes dacă: A. $m$ este finit; B. $m$ este finit și nenul, iar $n$ este finit; C. $n$ este nenul; D. funcția este derivabilă pe tot domeniul.

b) Dacă din domeniul unei funcții lipsește un interval întreg, atunci studiul variației se scrie: A. într-un singur tabel, cu bara $|$; B. în câte un tabel pe fiecare interval al domeniului; C. fără niciun tabel; D. într-un tabel de semn.

c) La discuția, după $m$, a ecuației $f(x)=m$, o valoare-prag egală cu ordonata unei asimptote orizontale: A. aduce o soluție de pe ramura respectivă; B. nu aduce nicio soluție de pe ramura respectivă; C. aduce două soluții; D. aduce o infinitate de soluții.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Nicio funcție polinomială nu are asimptote." b) „Într-un capăt finit și închis al domeniului nu poate exista asimptotă verticală." c) „Funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are în $0$ un punct de întoarcere." d) „Marcajul $\text{I}$ se poate pune și într-un punct în care $f^{\prime \prime }$ nu există, cu condiția ca $f$ să fie derivabilă acolo și convexitatea să se schimbe."

Itemul 3 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+3}}$.

a) Arată că domeniul maxim de definiție este $\mathbb{R}$ și că graficul nu are nicio asimptotă verticală. (2 p) b) Determină asimptotele orizontale spre $+\infty$ și spre $-\infty$, tratând separat cele două capete. (4 p) c) Explică de ce graficul nu are asimptotă oblică spre niciun capăt. (2 p)

Itemul 4 (8 puncte)

Aplică schema asimptotelor în patru pași funcției $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-3}$.

a) Pasul 1: determină domeniul maxim de definiție și scrie-l ca reuniune de intervale. (2 p) b) Pasul 2: determină asimptotele verticale, cu limitele laterale scrise și cu felul asimptotei precizat. (3 p) c) Pașii 3 și 4: studiază separat cele două capete infinite și scrie rezultatul final ca listă de drepte cu ecuațiile lor. (3 p)

Partea a II-a – Studiul complet și tabelul de variație

Itemul 5 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+8}{x^2-4}$.

a) Parcurge pasul 1 complet — domeniul, intersecțiile cu axele, paritatea — și arată că $f(x)=1+\frac{12}{x^2-4}$. (3 p) b) Determină toate asimptotele graficului. (2 p) c) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, alcătuiește tabelul de variație complet și citește-l în cuvinte, precizând imaginea funcției. (5 p)

Itemul 6 (9 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}$.

a) Determină domeniul maxim de definiție, arată că funcția este pară și determină toate asimptotele graficului. (4 p) b) Știind că $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\left(x^2-9\right)\sqrt{x^2-9}}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x^2+9}{{\left(x^2-9\right)}^2\sqrt{x^2-9}}$, alcătuiește tabelele de variație complete, respectând regula domeniului cu interval exclus. (4 p) c) Precizează imaginea funcției. (1 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x-x$.

a) Determină intersecțiile graficului cu axele și limitele funcției la capetele domeniului. (3 p) b) Arată că graficul nu are asimptotă verticală și nici asimptotă oblică. (2 p) c) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, alcătuiește tabelul de variație complet și precizează imaginea funcției. (3 p)

Partea a III-a – Rezolvarea grafică și itemi de tip examen

Itemul 8 (10 puncte)

Folosind tabelul funcției $f(x)=x\ln x-x$ de la Itemul 7, discută, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $$x\ln x-x=m.$$

a) Scrie valorile-prag și imaginile celor două ramuri de monotonie. (4 p) b) Scrie discuția completă, în tabelul cu două coloane. (4 p) c) Explică, folosind regula capătului deschis, de ce pentru $m=0$ ecuația are o singură soluție, deși $0$ este limita funcției la capătul din stânga al domeniului. (2 p)

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră ecuația $3x^4-4x^3-12x^2+5=0$.

a) Determină punctele critice ale funcției $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$, și calculează valorile lui $h$ în acestea. (4 p) b) Alcătuiește șirul lui Rolle și stabilește numărul exact al soluțiilor reale, precizând intervalele în care se află. (4 p) c) Explică de ce una dintre soluții este multiplă și confirmă printr-o descompunere în factori. (2 p)

Itemul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4x+8}{x-2}$.

a) Arătați că $f(x)=x-2+\frac{4}{x-2}$ și determinați asimptotele graficului funcției $f$. (5 p) b) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$, alcătuiți tabelul de variație complet, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{(x-2{)}^3}$, și determinați imaginea funcției. (5 p) c) Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $f(x)=m$, scriind răspunsul în tabelul cu două coloane. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Cei trei pași sunt: panta $m$, care trebuie să fie finită și nenulă; termenul liber $n$, calculat cu acest $m$ și care trebuie să fie finit; concluzia. Dacă panta iese nulă, dreapta candidată ar fi orizontală; dacă $n$ nu este finit, asimptota oblică nu există, chiar dacă panta este bună.

b) B. Peste un interval întreg lipsă nu există nicio coloană care să lege cele două bucăți ale domeniului, deci se scrie câte un tabel pe fiecare interval. Regula cu bara $|$ și cele două limite laterale într-un singur tabel se aplică numai la un punct exclus.

c) B. O asimptotă orizontală este o limită, nu o valoare: ramura ia toate valorile dintre $\ell$ și celălalt capăt al ei, fără să atingă $\ell$. Este exact conținutul regulii capătului deschis.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Afirmația este adevărată numai pentru gradul cel puțin doi, unde $\frac{f(x)}{x}$ tinde la infinit, deci panta nu este finită. O funcție polinomială de gradul întâi are drept grafic chiar o dreaptă; acolo nu vorbim de apropiere, ci de coincidență, și este situația a doua dintre cele patru situații în care asimptota oblică nu există.

b) A. Într-un capăt finit închis funcția este definită și continuă, deci limita laterală este finită și egală cu valoarea funcției; o limită finită nu poate fi infinită. Candidații la asimptotă verticală sunt numai capetele finite deschise și punctele de discontinuitate.

c) F. În $0$ funcția $\sqrt[3]{x}$ are derivata $+\infty$ din ambele părți, deci graficul are o tangentă verticală, nu un punct de întoarcere. Punctul de întoarcere cere derivate laterale infinite și de semne contrare; el apare, de pildă, la $\sqrt[3]{x^2}$.

d) A. Definiția punctului de inflexiune cere continuitate și schimbarea convexității; practica pe care o folosim cere, în plus, ca funcția să fie derivabilă acolo, adică graficul să aibă o tangentă unică. Faptul că $f^{\prime \prime }$ nu există în acel punct nu împiedică nimic: colțurile sunt excluse pentru că acolo lipsește tangenta, nu derivata a doua.

Itemul 3. (8 p)

a) (2 p) Radicandul $x^2+3$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real, deci numitorul este definit și nenul peste tot: $D=\mathbb{R}$ (1 p). Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, iar domeniul nu are niciun capăt finit, deci nu există niciun candidat la asimptotă verticală (1 p).

b) (4 p) Spre $+\infty$. Pentru $x>0$ avem $\sqrt{x^2+3}=x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+3}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}=2,$$ deci dreapta $y=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p). Spre $-\infty$. Acum $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, deci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+3}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}=-2,$$ deci dreapta $y=-2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ (2 p). Cele două capete dau drepte diferite, tocmai din cauza modulului.

c) (2 p) La fiecare capăt limita funcției este finită, deci există asimptotă orizontală acolo (1 p); conform Propoziției de excludere reciprocă, spre același capăt nu pot exista și orizontală, și oblică, deci graficul nu are nicio asimptotă oblică (1 p).

Itemul 4. (8 p)

a) (2 p) Condiția de existență este $e^x-3\ne 0$, adică $e^x\ne 3$, deci $x\ne \ln 3$ (1 p). Prin urmare $$D=(-\infty ,\ln 3)\cup (\ln 3,+\infty )$$ (1 p).

b) (3 p) Singurul candidat este $\ln 3$, capăt finit deschis al ambelor intervale. Numărătorul tinde la $e^{2\ln 3}=9\ne 0$, iar numitorul la $0$ (1 p). Funcția exponențială fiind strict crescătoare, $e^x-3<0$ pentru $x<\ln 3$ și $e^x-3>0$ pentru $x>\ln 3$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to \ln 3\\ x<\ln 3\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to \ln 3\\ x>\ln 3\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1,5 p), și dreapta $x=\ln 3$ este asimptotă verticală bilaterală (0,5 p).

c) (3 p) Pasul 3 — spre $-\infty$: $e^x\to 0$ și $e^{2x}\to 0$, deci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^{2x}}{e^x-3}=\frac{0}{-3}=0,$$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ (1 p). Pasul 4 — spre $+\infty$: împărțind cu $e^x$, $f(x)=\frac{e^x}{1-3e^{-x}}\to +\infty$, deci nu există orizontală; trecem la pantă (0,5 p): $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^{2x}}{x\left(e^x-3\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x\left(1-3e^{-x}\right)}=+\infty ,$$ pentru că exponențiala învinge orice putere a lui $x$; panta nefiind finită, nu există nici asimptotă oblică spre $+\infty$ (1 p). Rezultatul final: dreapta $x=\ln 3$ este asimptotă verticală bilaterală, iar dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$; spre $+\infty$ graficul nu are nicio asimptotă (0,5 p).

Itemul 5. (10 p)

a) (3 p) Numitorul se anulează în $-2$ și $2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, domeniu simetric față de origine (0,5 p). Intersecțiile cu $Ox$: $x^2+8=0$ nu are soluții reale, deci graficul nu taie axa $Ox$; intersecția cu $Oy$: $f(0)=\frac{8}{-4}=-2$, deci punctul $(0,-2)$ (1 p). Cum $f(-x)=\frac{x^2+8}{x^2-4}=f(x)$, funcția este pară și graficul este simetric față de axa $Oy$ (0,5 p). În sfârșit, $$\frac{x^2+8}{x^2-4}=\frac{\left(x^2-4\right)+12}{x^2-4}=1+\frac{12}{x^2-4}$$ (1 p).

b) (2 p) Cum $\frac{12}{x^2-4}\to 0$ spre ambele capete, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=1$, deci dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1 p). În $\pm 2$ numărătorul tinde la $12\ne 0$: lângă $-2$, $x^2-4>0$ la stânga și $<0$ la dreapta, deci limitele sunt $+\infty$ și $-\infty$; lângă $2$, invers, $-\infty$ și $+\infty$. Dreptele $x=-2$ și $x=2$ sunt asimptote verticale bilaterale (1 p).

c) (5 p) Derivăm forma obținută la subpunctul a) (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=-\frac{12\cdot 2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{-24x}{{\left(x^2-4\right)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{24\left(3x^2+4\right)}{{\left(x^2-4\right)}^3}.$$ Numitorul lui $f^{\prime }$ este un pătrat, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-24x$: pozitiv pentru $x<0$, negativ pentru $x>0$; singurul punct critic este $0$, cu $f(0)=-2$ (1 p). Numărătorul lui $f^{\prime \prime }$ este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui ${\left(x^2-4\right)}^3$: pozitiv pentru $|x|>2$, negativ pentru $|x|<2$; $f^{\prime \prime }(0)=\frac{96}{-64}=-\frac{3}{2}$, iar puncte de inflexiune nu există, pentru că $\pm 2$ nu aparțin domeniului (0,5 p). Punctele marcate sunt $-2$, $0$, $2$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane; în coloanele punctelor excluse se pune bară pe rândurile derivatelor și se scriu cele două limite laterale pe rândul funcției (0,5 p).

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(-2,0]$ și strict descrescătoare pe $[0,2)$ și pe $(2,+\infty )$; are un singur extrem, maximul local $f(0)=-2$; este convexă pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(2,+\infty )$ și concavă pe $(-2,2)$, fără puncte de inflexiune. Pe ramurile exterioare funcția ia valorile din $(1,+\infty )$, iar pe ramura din mijloc valorile din $(-\infty ,-2]$, deci $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-2]\cup (1,+\infty )$$ (0,5 p).

Itemul 6. (9 p)

a) (4 p) Radicalul de ordin par cere $x^2-9\ge 0$, iar numitorul cere ca el să fie nenul, deci $x^2-9>0$ (0,5 p), adică $$D=(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$$ (0,5 p). Domeniul este simetric față de origine, iar $f(-x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}=f(x)$, deci funcția este pară (1 p). Capetele finite $-3$ și $3$ sunt deschise; când $x\to -3$, $x<-3$, respectiv $x\to 3$, $x>3$, radicandul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci $f(x)\to +\infty$: dreapta $x=-3$ este asimptotă verticală la stânga, iar dreapta $x=3$ este asimptotă verticală la dreapta (1,5 p). Spre $\pm \infty$ numitorul tinde la $+\infty$, deci $f(x)\to 0$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete (0,5 p).

b) (4 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-x$, pentru că $\left(x^2-9\right)\sqrt{x^2-9}>0$ pe domeniu: derivata este pozitivă pe $(-\infty ,-3)$ și negativă pe $(3,+\infty )$, fără puncte critice (1 p). Numărătorul lui $f^{\prime \prime }$ este strict pozitiv, la fel și numitorul, deci $f^{\prime \prime }>0$ pe tot domeniul: funcția este convexă pe fiecare interval, fără puncte de inflexiune (1 p). Domeniul are un interval exclus, deci se scriu două tabele (0,5 p):

(1 p)

Citirea tabelelor: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-3)$ și strict descrescătoare pe $(3,+\infty )$, convexă pe fiecare dintre cele două intervale, fără extreme și fără inflexiuni; graficul are două ramuri simetrice față de axa $Oy$ (0,5 p).

c) (1 p) Pe fiecare ramură funcția ia toate valorile strict pozitive, de la $0$ (limită neatinsă) până la $+\infty$, deci $\mathrm{Im}f=(0,+\infty )$.

Itemul 7. (8 p)

a) (3 p) Ecuația $f(x)=0$ se scrie $x(\ln x-1)=0$; cum $x>0$, rămâne $\ln x=1$, deci $x=e$ și graficul taie axa $Ox$ în punctul $(e,0)$ (1 p). Cum $0\notin D$, graficul nu taie axa $Oy$ (0,5 p). Limitele (1,5 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(x\ln x-x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }(x\ln x-x)=+\infty ,$$ prima pentru că $x\ln x\to 0$ (nedeterminare $0\cdot \infty$ rezolvată cu regulile lui L'Hôpital), a doua pentru că $x\ln x$ crește mai repede decât $x$.

b) (2 p) Singurul capăt finit al domeniului este $0$, iar limita laterală acolo este finită, egală cu $0$; o asimptotă verticală cere o limită laterală infinită, deci dreapta $x=0$ nu este asimptotă (1 p). Spre $+\infty$ limita este $+\infty$, deci nu există orizontală; iar $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\ln x-x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln x-1)=+\infty ,$$ panta nefiind finită, nu există nici asimptotă oblică (1 p).

c) (3 p) Derivăm produsul (1 p): $$f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x,f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}.$$ Pe $(0,+\infty )$, $f^{\prime }$ se anulează numai în $1$, este negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$; $f^{\prime \prime }>0$ pe tot domeniul, deci funcția este convexă și nu are puncte de inflexiune. Valorile: $f(1)=-1$ și $f^{\prime \prime }(1)=1$ (0,5 p). Un singur punct interior marcat dă $6$ coloane; capătul $0$ este exclus, deci primește bară.

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$, cu minimul global $f(1)=-1$; este convexă pe tot domeniul. Prin urmare $\mathrm{Im}f=[-1,+\infty )$ (0,5 p).

Itemul 8. (10 p)

a) (4 p) Valorile-prag sunt minimul local $-1$ și limita finită de la capătul din stânga, egală cu $0$; limita de la $+\infty$ fiind infinită, nu produce prag (2 p). Imaginile celor două ramuri de monotonie: pe $(0,1]$ funcția coboară de la $0$, valoare neatinsă, până la $-1$, deci acoperă $[-1,0)$; pe $[1,+\infty )$ urcă de la $-1$ la $+\infty$, deci acoperă $[-1,+\infty )$ (2 p).

b) (4 p) Pe fiecare ramură funcția este strict monotonă, deci continuă și injectivă acolo: dreapta $y=m$ o taie cel mult o dată (1 p). Combinând cele două imagini, cu grija ca valoarea $-1$, atinsă în același punct $x=1$, să fie numărată o singură dată (1 p):

(2 p)

c) (2 p) La capătul din stânga, valoarea $0$ este limita funcției, nu o valoare a ei: pe $(0,e)$ funcția este strict negativă, pentru că $x(\ln x-1)<0$ acolo (1 p). Conform regulii capătului deschis, ramura descrescătoare nu aduce nicio soluție pentru $m=0$; singura soluție vine de pe ramura crescătoare și este chiar $x=e$ (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$h^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x\left(x^2-x-2\right)=12x(x-2)(x+1)$$ (2 p). Punctele critice sunt, în ordine crescătoare, $-1$, $0$ și $2$ (0,5 p). Valorile (1 p): $$h(-1)=3+4-12+5=0,h(0)=5,h(2)=48-32-48+5=-27.$$

b) (4 p) Coeficientul dominant fiind pozitiv și gradul par, ambele limite la capete sunt $+\infty$ (0,5 p).

(2 p)

Citire: valoarea nulă din dreptul lui $-1$ arată că $x=-1$ este soluție a ecuației; între $-1$ și $0$ semnele sunt $0$ și $+$, deci nu mai apare nicio soluție acolo; între $0$ și $2$ semnele sunt contrare, deci există exact o soluție în $(0,2)$; între $2$ și $+\infty$, la fel, exact o soluție în $(2,+\infty )$; iar pe $(-\infty ,-1)$ semnul rămâne pozitiv, deci nicio soluție (1 p). În total, ecuația are exact trei soluții reale distincte: $-1$, una în $(0,2)$ și una în $(2,+\infty )$ (0,5 p).

c) (2 p) Soluția $x=-1$ este multiplă pentru că anulează și funcția, și derivata ei: $h(-1)=0$ și $h^{\prime }(-1)=12\cdot (-1)\cdot (-3)\cdot 0=0$ (1 p). Confirmarea prin descompunere: $$3x^4-4x^3-12x^2+5=(x+1{)}^2\left(3x^2-10x+5\right),$$ iar trinomul are $\Delta =100-60=40$ și rădăcinile $\frac{5\pm \sqrt{10}}{3}$, adică aproximativ $0,61$ și $2,72$ — exact în intervalele prezise de șirul lui Rolle (1 p).

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Observăm că $x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4$, deci (1,5 p) $$f(x)=\frac{(x-2{)}^2+4}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2},x\ne 2.$$ Asimptota verticală. În $2$ numărătorul tinde la $4\ne 0$, iar numitorul la $0$ (0,5 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ deci dreapta $x=2$ este asimptotă verticală bilaterală la graficul funcției $f$ (1,5 p). Asimptota oblică. Limitele la $\pm \infty$ sunt infinite, deci nu există orizontală; trecem la pantă: $$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-4x+8}{x^2-2x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast },n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-2+\frac{4}{x-2}\right)=-2\in \mathbb{R},$$ deci dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1,5 p).

b) (5 p) Derivăm forma de la subpunctul a) (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-4}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}.$$ Numitorul fiind strict pozitiv pe domeniu, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $x(x-4)$, cu rădăcinile $0$ și $4$. Valorile: $f(0)=\frac{8}{-2}=-4$ și $f(4)=\frac{16-16+8}{2}=4$; iar $f^{\prime \prime }(0)=\frac{8}{-8}=-1$ și $f^{\prime \prime }(4)=\frac{8}{8}=1$ (1 p). Derivata a doua nu se anulează niciodată și își schimbă semnul numai în $2$, punct care nu aparține domeniului, deci graficul nu are puncte de inflexiune. Punctele marcate sunt $0$, $2$, $4$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane (0,5 p).

(1,5 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și pe $[4,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[0,2)$ și pe $(2,4]$; are punctul de maxim local $x=0$, cu valoarea $-4$, și punctul de minim local $x=4$, cu valoarea $4$; este concavă pe $(-\infty ,2)$ și convexă pe $(2,+\infty )$. Pe prima ramură funcția acoperă $(-\infty ,-4]$, pe a doua $[4,+\infty )$, deci $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-4]\cup [4,+\infty )$$ (0,5 p).

c) (5 p) Valorile-prag sunt cele două valori extreme, $-4$ și $4$; limitele de la capete fiind infinite, nu produc praguri (1 p). Pe fiecare dintre cele patru ramuri de monotonie funcția este injectivă, deci dreapta $y=m$ o taie cel mult o dată; imaginile ramurilor sunt $(-\infty ,-4]$, $(-\infty ,-4]$, $[4,+\infty )$ și $[4,+\infty )$ (1,5 p).

(2 p)

Banda $(-4,4)$ nu este atinsă de niciun punct al graficului: acolo dreapta orizontală trece prin „golul" dintre cele două ramuri. La $m=-4$ soluția unică este $x=0$, iar la $m=4$ este $x=4$; în ambele cazuri dreapta este tangentă graficului, deci soluția este dublă (0,5 p).