Test: reguli de calcul într-un grup

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea „abstractă" a unității: regulile care se demonstrează o singură dată, din cele trei axiome, și care se aplică apoi în orice grup — de numere, de clase de resturi, de matrice, de permutări sau de transformări geometrice. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: regulile de simplificare, la stânga și la dreapta, cu observația că factorul comun trebuie să stea de aceeași parte în ambii membri. Al doilea: inversul unui produs, $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, cu ordinea răsturnată — greșeala care nu se vede în grupurile comutative și care costă puncte în cele necomutative. Al treilea: ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$, fiecare cu soluție unică, dar cu soluții în general diferite; redactarea cerută este „înmulțim ambii membri, la stânga (respectiv la dreapta), cu $a^{-1}$", niciodată „împărțim". Al patrulea: tabla unui grup finit, în care fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană — teoremă care servește și la verificarea calculelor, și la completarea unei table date parțial. Al cincilea: puterile unui element cu exponent întreg, periodicitatea lor într-un grup finit și rețeta în trei pași pentru exponenți uriași — se află perioada, se împarte exponentul la ea, se păstrează restul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii de demonstrație se cere numit, la fiecare pas, ce proprietate a fost folosită.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice ecuație se scrie explicit de care parte se înmulțește cu simetricul. La orice putere cu exponent mare se scrie explicit împărțirea cu rest. Se depunctează: scrierea $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$, simplificarea de părți diferite, folosirea unei „împărțiri" într-un grup, confundarea celor două ecuații, folosirea comutativității fără ca ea să fie dată sau demonstrată, calcularea puterilor mari prin înmulțiri repetate și amestecarea notațiilor $x^n$ și $nx$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe demonstrațiile din axiome și pe rețeta perioadei.
• Formule de reținut: într-un grup $(G,\cdot )$ elementul neutru $e$ este unic, fiecare element are exact un simetric $x^{-1}$, iar din $xy=e$ rezultă automat $y=x^{-1}$ și $yx=e$. Reguli: ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$, $e^{-1}=e$ și $$(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1},{\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)}^{-1}=x_n^{-1}\cdots x_2^{-1}{x}_1^{-1}.$$ Simplificare: din $ax=ay$ rezultă $x=y$; din $xa=ya$ rezultă $x=y$. Ecuații: $ax=b$ are soluția unică $x=a^{-1}b$, iar $xa=b$ are soluția unică $x=b{a}^{-1}$; cele două coincid numai dacă $a$ și $b$ comută. Tabla unui grup finit: fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană, iar poziția lui $e$ dă simetricul. Puteri: $x^0=e$, $x^{n+1}=x^{n}x$, $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$, cu $x^m{x}^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$ pentru orice exponenți întregi; egalitatea $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ are loc numai dacă $xy=yx$. Într-un grup finit există un cel mai mic număr natural nenul $k$ cu $x^k=e$, numit perioada lui $x$; atunci $x^{-1}=x^{k-1}$ și, dacă $n=kq+r$ cu $0\le r<k$, avem $x^n=x^r$. În notație aditivă: neutrul este $0$, simetricul este $-x$, puterile se numesc multipli și se scriu $nx$, cu $mx+nx=(m+n)x$ și $n(mx)=(nm)x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Reguli de calcul și ecuații într-un grup

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-un grup $(G,\cdot )$, pentru orice $x,y\in G$ are loc: A. $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$; B. $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$; C. $(xy{)}^{-1}=xy$; D. $(xy{)}^{-1}=yx$.

b) Soluția ecuației $x\cdot a=b$ într-un grup $(G,\cdot )$ este: A. $x=a^{-1}b$; B. $x=b{a}^{-1}$; C. $x=a{b}^{-1}$; D. $x=ba$.

c) Într-un grup $(G,\cdot )$, dacă $xy=e$, atunci: A. $x=y$; B. $y=x^{-1}$; C. $x=e$; D. $yx\ne e$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă fiecare ecuație în grupul indicat, precizând de care parte compui cu simetricul, și verifică soluția (câte 2 puncte): a) $\hat{7}+x=\hat{2}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_9,+)$; b) $\hat{4}\cdot x=\hat{9}$ în grupul $(U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot ),\cdot )$; c) ${\sigma }_4\circ x={\sigma }_1$ în grupul $(S_3,\circ )$, unde ${\sigma }_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și ${\sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$ sunt permutările cu numele fixate la lecție.

Itemul 3 (6 puncte)

Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$. a) Demonstrează regula de simplificare la dreapta: dacă $xa=ya$, atunci $x=y$. Numește, la fiecare pas, proprietatea folosită. (3 p) b) Demonstrează că, dacă un element $a\in G$ verifică $a\cdot a=a$, atunci $a=e$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Într-un grup oarecare are loc $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$." b) „Din $ax=ya$ rezultă $x=y$, într-un grup oarecare." c) „În tabla unui grup finit, fiecare element apare exact o dată în fiecare linie." d) „Dacă într-un grup $x^6=e$, atunci perioada lui $x$ este $6$."

Partea a II-a – Puteri, perioade și tabele

Itemul 5 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $(U({\mathbb{Z}}_{13},\cdot ),\cdot )$ al claselor inversabile modulo $13$. a) Calculează puterile succesive ale clasei $\hat{5}$ până obții $\hat{1}$ și precizează perioada ei. (3 p) b) Calculează ${\hat{5}}^{2027}$. (3 p) c) Scrie simetricul lui $\hat{5}$ ca putere naturală a lui $\hat{5}$ și verifică rezultatul. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră permutarea $\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 4& 5& 3\end{array}\right)$ din grupul $(S_5,\circ )$. a) Calculează ${\sigma }^2$ și ${\sigma }^3$ și determină perioada lui $\sigma$. (4 p) b) Calculează ${\sigma }^{2027}$ și scrie simetricul lui $\sigma$ ca putere naturală a lui $\sigma$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se știe că mulțimea $G=\{e,a,b,c\}$, cu o lege notată multiplicativ, este grup cu elementul neutru $e$ și că $a\cdot a=b$, $a\cdot b=c$. a) Completează tabla operației, justificând fiecare celulă nouă cu teorema care spune că, în tabla unui grup finit, fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană. (4 p) b) Determină simetricul fiecărui element și perioada lui $a$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Rezolvă cerințele următoare, scriind de fiecare dată împărțirea cu rest: a) în grupul $({\mathbb{Z}}_{14},+)$, calculează $2027\cdot \hat{3}$; (3 p) b) în grupul $\mathcal{R}$ al rotațiilor în jurul originii, calculează ${\left(R_{\frac{\pi }{5}}\right)}^{2027}$. (3 p)

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 9 (6 puncte)

Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și fie $x\in G$ cu $x^7=e$. a) Arată că $x^{-3}=x^4$. (3 p) b) Arată că ${\left(x^3\right)}^5=x$. (3 p)

Itemul 10 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ și se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$. a) Arată că $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$ și calculează $A^{-1}$. (2 p) b) Rezolvă ecuația $AX=B$. (3 p) c) Rezolvă ecuația $XA=B$ și explică de ce cele două soluții sunt diferite. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și fie $a,b,x\in G$. a) Rezolvă în $G$ ecuația $ax{a}^{-1}=b$ și arată că soluția este unică. (4 p) b) Arată că ${\left(ax{a}^{-1}\right)}^n=a{x}^n{a}^{-1}$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $(U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot ),\cdot )$. a) Determină elementele mulțimii $U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )$ și numărul lor. (2 p) b) Alcătuiește tabelul puterilor tuturor elementelor și precizează perioada fiecăruia. (4 p) c) Calculează ${\hat{9}}^{2027}$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{18},\cdot )$ a claselor inversabile modulo $18$, împreună cu înmulțirea claselor. a) Determinați elementele mulțimii $U({\mathbb{Z}}_{18},\cdot )$ și arătați că ${\hat{5}}^6=\hat{1}$. (2 p) b) Determinați perioada clasei $\hat{7}$ și simetricul ei. (3 p) c) Calculați ${\hat{5}}^{2027}\cdot {\hat{7}}^{2027}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Se verifică imediat: $(xy)\left(y^{-1}{x}^{-1}\right)=x\left(y{y}^{-1}\right)x^{-1}=xe{x}^{-1}=e$, iar simetricul este unic. Varianta A este adevărată doar când $x$ și $y$ comută.

b) (2 p) B. Necunoscuta stă la stânga lui $a$, deci se înmulțește la dreapta cu $a^{-1}$: $x=b{a}^{-1}$. Varianta A este soluția celeilalte ecuații, $ax=b$.

c) (2 p) B. Înmulțind $xy=e$ la stânga cu $x^{-1}$ obținem $\left(x^{-1}x\right)y=x^{-1}$, adică $y=x^{-1}$; de aici și $yx=x^{-1}x=e$, deci varianta D este falsă.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p rezolvarea, 0,5 p verificarea).

a) (2 p) Adunăm la stânga opusul lui $\hat{7}$, care este $\widehat{9-7}=\hat{2}$: $x=\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}$. Verificare: $\hat{7}+\hat{4}=\widehat{11}=\hat{2}$ ✓

b) (2 p) Simetricul lui $\hat{4}$ este $\hat{3}$, pentru că $\hat{4}\cdot \hat{3}=\widehat{12}=\hat{1}$. Înmulțim ecuația la stânga cu $\hat{3}$: $x=\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{9}$ ✓

c) (2 p) Compunem la stânga cu ${\sigma }_4^{-1}$. Din ${\sigma }_4\circ {\sigma }_5=e$, unde ${\sigma }_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$, rezultă ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$, deci $x={\sigma }_5\circ {\sigma }_1$. Aplicând întâi ${\sigma }_1$: $x(1)={\sigma }_5(1)=3$, $x(2)={\sigma }_5(3)=2$, $x(3)={\sigma }_5(2)=1$, adică $x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)={\sigma }_2$. Verificare: $\left({\sigma }_4\circ {\sigma }_2\right)(1)={\sigma }_4(3)=1$, $\left({\sigma }_4\circ {\sigma }_2\right)(2)={\sigma }_4(2)=3$, $\left({\sigma }_4\circ {\sigma }_2\right)(3)={\sigma }_4(1)=2$, adică exact ${\sigma }_1$ ✓

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Fie $x,y,a\in G$ cu $xa=ya$. Cum $G$ este grup, elementul $a$ are simetric $a^{-1}\in G$ (0,5 p). Înmulțim ambii membri la dreapta cu $a^{-1}$: $$(xa)a^{-1}=(ya)a^{-1}$$ (1 p). Prin asociativitate, $x\left(a{a}^{-1}\right)=y\left(a{a}^{-1}\right)$ (0,75 p), adică $xe=ye$ prin definiția simetricului (0,5 p), deci $x=y$ prin definiția elementului neutru (0,25 p). $■$

b) (3 p) Din $a\cdot a=a$ scriem membrul drept ca $a=a\cdot e$ (1 p), deci $a\cdot a=a\cdot e$ (0,5 p). Simplificăm la stânga cu $a$ — ceea ce este permis într-un grup, pentru că $a$ are simetric — și obținem $a=e$ (1,5 p). $■$ (Altfel: înmulțim $a\cdot a=a$ la stânga cu $a^{-1}$ și obținem direct $a=e$.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Formula corectă este $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, cu ordinea răsturnată. Contraexemplu în $(S_3,\circ )$: ${\left({\sigma }_4\circ {\sigma }_3\right)}^{-1}={\sigma }_2^{-1}={\sigma }_2$, în timp ce ${\sigma }_4^{-1}\circ {\sigma }_3^{-1}={\sigma }_5\circ {\sigma }_3={\sigma }_1\ne {\sigma }_2$. Egalitatea din enunț are loc doar când $x$ și $y$ comută.

b) (1,5 p) F. Simplificarea cere ca factorul comun să stea de aceeași parte în ambii membri; aici $a$ este la stânga într-un membru și la dreapta în celălalt. Corect este numai: din $ax=ay$ rezultă $x=y$, iar din $xa=ya$ rezultă $x=y$.

c) (1,5 p) A. Linia elementului $a$ conține produsele $a{g}_1,\dots ,a{g}_n$; dacă $a{g}_i=a{g}_j$, prin simplificare la stânga rezultă $g_i=g_j$. Fiind $n$ elemente distincte într-o mulțime cu $n$ elemente, ele epuizează grupul.

d) (1,5 p) F. Din $x^6=e$ rezultă doar că perioada divide $6$, deci poate fi $1$, $2$, $3$ sau $6$. Contraexemplu: în $(U({\mathbb{Z}}_7,\cdot ),\cdot )$ avem ${\hat{2}}^6=\hat{1}$, dar ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{1}$, deci perioada lui $\hat{2}$ este $3$.

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Calculăm, reducând de fiecare dată modulo $13$ (2 p): $${\hat{5}}^1=\hat{5},{\hat{5}}^2=\widehat{25}=\widehat{12},{\hat{5}}^3=\widehat{12}\cdot \hat{5}=\widehat{60}=\hat{8},{\hat{5}}^4=\hat{8}\cdot \hat{5}=\widehat{40}=\hat{1}.$$ Primul exponent natural nenul care dă $\hat{1}$ este $4$, deci perioada lui $\hat{5}$ este $k=4$ (1 p).

b) (3 p) Împărțim exponentul la perioadă: $2027=4\cdot 506+3$ (1,5 p), deci $${\hat{5}}^{2027}={\left({\hat{5}}^4\right)}^{506}\cdot {\hat{5}}^3={\hat{1}}^{506}\cdot \hat{8}=\hat{8}$$ (1,5 p).

c) (2 p) Din $\hat{5}\cdot {\hat{5}}^3={\hat{5}}^4=\hat{1}$ rezultă ${\hat{5}}^{-1}={\hat{5}}^3=\hat{8}$ (1,5 p). Verificare: $\hat{5}\cdot \hat{8}=\widehat{40}=\hat{1}$ ✓ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Compunem cu regula „întâi cea din dreapta" (0,5 p): $${\sigma }^2(1)=\sigma (2)=1,{\sigma }^2(2)=\sigma (1)=2,{\sigma }^2(3)=\sigma (4)=5,{\sigma }^2(4)=\sigma (5)=3,{\sigma }^2(5)=\sigma (3)=4,$$ deci ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 5& 3& 4\end{array}\right)$ (1,25 p). Mai departe, $${\sigma }^3=\sigma \circ {\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 3& 4& 5\end{array}\right)$$ (1,25 p). Continuând, ${\sigma }^4=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 4& 5& 3\end{array}\right)$, ${\sigma }^5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 5& 3& 4\end{array}\right)$ și ${\sigma }^6=e$; niciun exponent mai mic nu dă permutarea identică, deci perioada lui $\sigma$ este $6$ (1 p).

b) (3 p) Împărțim exponentul la perioadă: $2027=6\cdot 337+5$ (1 p), deci $${\sigma }^{2027}={\sigma }^5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 5& 3& 4\end{array}\right)$$ (1 p). Simetricul: din $\sigma \cdot {\sigma }^5={\sigma }^6=e$ rezultă ${\sigma }^{-1}={\sigma }^5$ (0,5 p). Verificare independentă, prin schimbarea liniilor: din $\sigma (1)=2$, $\sigma (2)=1$, $\sigma (3)=4$, $\sigma (4)=5$, $\sigma (5)=3$ obținem ${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 5& 3& 4\end{array}\right)$ ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Linia și coloana lui $e$ se completează imediat, fiindcă $e$ este element neutru (0,5 p). În linia lui $a$ avem deja $ae=a$, $aa=b$, $ab=c$; cum fiecare element apare exact o dată pe linie, rămâne $ac=e$ (0,75 p). Coloana lui $c$ conține deja $ec=c$ și $ac=e$, deci $bc$ și $cc$ sunt, în vreo ordine, $a$ și $b$; iar linia lui $b$ conține deja $be=b$, deci $bc\ne b$ și rămâne $bc=a$, apoi $cc=b$ (1 p). Coloana lui $b$ conține $eb=b$ și $ab=c$, deci $bb$ și $cb$ sunt, în vreo ordine, $e$ și $a$; în linia lui $b$ elementul $a$ este deja folosit (la $bc$), deci $bb=e$ și $cb=a$ (0,75 p). În fine, în linia lui $b$ rămâne $ba=c$, iar în linia lui $c$ rămâne $ca=e$ (0,5 p). Tabla completă este (0,5 p):

b) (3 p) Simetricele se citesc din pozițiile lui $e$ din interiorul tablei: $e^{-1}=e$, $a^{-1}=c$, $b^{-1}=b$, $c^{-1}=a$ (1,5 p). Perioada lui $a$: $a^1=a$, $a^2=b$, $a^3=a\cdot b=c$ și $a^4=a\cdot c=e$, deci perioada este $4$ (1,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) În grup aditiv puterile se numesc multipli și se scriu $n\hat{a}$. Perioada lui $\hat{3}$ este cel mai mic $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $k\hat{3}=\hat{0}$, adică cel mai mic $k$ cu $14\mid 3k$; cum $3$ și $14$ nu au divizori comuni în afară de $1$, rezultă $k=14$ (1 p). Împărțim: $2027=14\cdot 144+11$ (1 p), deci $$2027\cdot \hat{3}=11\cdot \hat{3}=\widehat{33}=\hat{5},$$ fiindcă $33=2\cdot 14+5$ (1 p).

b) (3 p) Din $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$ rezultă ${\left(R_{\frac{\pi }{5}}\right)}^n=R_{\frac{n\pi }{5}}$; perioada este cel mai mic $k$ pentru care $\frac{k\pi }{5}$ este multiplu de $2\pi$, adică $k=10$ (1,5 p). Cum $2027=10\cdot 202+7$ (0,75 p), obținem $${\left(R_{\frac{\pi }{5}}\right)}^{2027}={\left(R_{\frac{\pi }{5}}\right)}^7=R_{\frac{7\pi }{5}}$$ (0,75 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Folosim regula $x^m{x}^n=x^{m+n}$, valabilă pentru orice exponenți întregi (0,5 p): $$x^{-3}=x^{-3}\cdot e=x^{-3}\cdot x^7=x^{-3+7}=x^4$$ (2 p), unde am înlocuit $e$ cu $x^7$, ceea ce este permis prin ipoteză (0,5 p). $■$

b) (3 p) Prin regula ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$ avem ${\left(x^3\right)}^5=x^{15}$ (1 p). Descompunem exponentul: $15=2\cdot 7+1$, deci $$x^{15}={\left(x^7\right)}^2\cdot x=e^2\cdot x=x$$ (1,5 p). Prin urmare ${\left(x^3\right)}^5=x$ (0,5 p). $■$

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) $\det A=2\cdot 3-5\cdot 1=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$ (1 p). Cu formula inversei unei matrice de ordinul al doilea, $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right);$$ verificare: $A{A}^{-1}=I_2$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Necunoscuta stă la dreapta lui $A$, deci înmulțim la stânga cu $A^{-1}$: $X=A^{-1}B$ (1 p). Calculăm: $$X=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-15& 6-35\\ -1+6& -2+14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12& -29\\ 5& 12\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $AX=\left(\begin{array}{cc}-24+25& -58+60\\ -12+15& -29+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Acum necunoscuta stă la stânga lui $A$, deci înmulțim la dreapta cu $A^{-1}$: $X=B{A}^{-1}$ (1 p). Calculăm: $$X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-2& -5+4\\ 9-7& -15+14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$$ (1,5 p). Cele două soluții sunt diferite pentru că grupul $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ nu este comutativ: în general $A^{-1}B\ne B{A}^{-1}$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Înmulțim ecuația la stânga cu $a^{-1}$ și la dreapta cu $a$ (1 p): $$a^{-1}\left(ax{a}^{-1}\right)a=a^{-1}ba⟹\left(a^{-1}a\right)x\left(a^{-1}a\right)=a^{-1}ba⟹x=a^{-1}ba$$ (2 p). Unicitatea: dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluții, atunci $a{x}_1{a}^{-1}=a{x}_2{a}^{-1}$; simplificând la stânga cu $a$ și apoi la dreapta cu $a^{-1}$ obținem $x_1=x_2$ (0,75 p). Verificare: $a\left(a^{-1}ba\right)a^{-1}=\left(a{a}^{-1}\right)b\left(a{a}^{-1}\right)=b$ ✓ (0,25 p).

b) (4 p) Demonstrăm prin inducție după $n$ (0,5 p). Pentru $n=1$ egalitatea este chiar ipoteza de scriere (0,5 p). Presupunem ${\left(ax{a}^{-1}\right)}^n=a{x}^n{a}^{-1}$ și calculăm (0,5 p): $${\left(ax{a}^{-1}\right)}^{n+1}={\left(ax{a}^{-1}\right)}^n\left(ax{a}^{-1}\right)=\left(a{x}^n{a}^{-1}\right)\left(ax{a}^{-1}\right)=a{x}^n\left(a^{-1}a\right)x{a}^{-1}=a{x}^{n}x{a}^{-1}=a{x}^{n+1}{a}^{-1}$$ (2 p). Conform principiului inducției, egalitatea este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p). $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Sunt inversabile clasele $\hat{a}$ cu $(a,14)=1$, adică acelea al căror reprezentant nu se divide nici cu $2$, nici cu $7$: $$U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13}\right\},\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{14},\cdot )=6.$$

b) (4 p) Calculăm puterile succesive, reducând de fiecare dată modulo $14$ (2,5 p); de pildă ${\hat{3}}^2=\hat{9}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\widehat{13}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{39}=\widehat{11}$, ${\hat{3}}^5=\widehat{33}=\hat{5}$, ${\hat{3}}^6=\widehat{15}=\hat{1}$. Tabelul complet este (1,5 p):

c) (2 p) Perioada lui $\hat{9}$ este $3$, iar $2027=3\cdot 675+2$ (1 p), deci ${\hat{9}}^{2027}={\hat{9}}^2=\widehat{81}=\widehat{11}$, fiindcă $81=5\cdot 14+11$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Sunt inversabile clasele al căror reprezentant nu se divide nici cu $2$, nici cu $3$: $$U({\mathbb{Z}}_{18},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17}\right\}$$ (1 p). Calculăm puterile lui $\hat{5}$ modulo $18$: ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{7}$, ${\hat{5}}^3=\widehat{35}=\widehat{17}$, ${\hat{5}}^4=\widehat{85}=\widehat{13}$, ${\hat{5}}^5=\widehat{65}=\widehat{11}$, ${\hat{5}}^6=\widehat{55}=\hat{1}$ (1 p).

b) (3 p) Calculăm puterile lui $\hat{7}$: ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\widehat{13}$ și ${\hat{7}}^3=\widehat{91}=\hat{1}$, fiindcă $91=5\cdot 18+1$ (1,5 p). Niciun exponent mai mic nu dă $\hat{1}$, deci perioada lui $\hat{7}$ este $3$ (0,5 p). Din $\hat{7}\cdot {\hat{7}}^2={\hat{7}}^3=\hat{1}$ rezultă ${\hat{7}}^{-1}={\hat{7}}^2=\widehat{13}$ (0,75 p); verificare: $\hat{7}\cdot \widehat{13}=\widehat{91}=\hat{1}$ ✓ (0,25 p).

c) (3 p) Din a), perioada lui $\hat{5}$ este $6$, iar $2027=6\cdot 337+5$, deci ${\hat{5}}^{2027}={\hat{5}}^5=\widehat{11}$ (1 p). Din b), perioada lui $\hat{7}$ este $3$, iar $2027=3\cdot 675+2$, deci ${\hat{7}}^{2027}={\hat{7}}^2=\widehat{13}$ (1 p). Prin urmare $${\hat{5}}^{2027}\cdot {\hat{7}}^{2027}=\widehat{11}\cdot \widehat{13}=\widehat{143}=\widehat{17},$$ fiindcă $143=7\cdot 18+17$ (1 p).