Test: reguli de derivare și derivatele funcțiilor uzuale

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Funcții derivabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică motorul de calcul al întregului capitol de derivate: partea care se folosește apoi în absolut fiecare problemă de variație. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: tabelul canonic al derivatelor, cu cele trei informații ale fiecărui rând — funcția, mulțimea pe care este derivabilă și derivata; domeniul nu este un detaliu de redactare, ci face parte din răspuns, iar cele trei rânduri ale puterii ($x^n$ pe $\mathbb{R}$, $x^{-n}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $x^r$ pe $(0,+\infty )$) nu se contopesc. Al doilea: cele patru reguli de operare — sumă, înmulțire cu o constantă, produs și cât —, cu ordinea corectă a termenilor la cât și cu obiceiul de a scrie domeniul înaintea calculului. Al treilea: derivarea funcțiilor compuse, adică regula $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$, cu factorul $u^{\prime }$ care nu se pierde niciodată și cu deosebirea dintre domeniul de definiție și cel de derivabilitate. Al patrulea: derivata de ordinul al doilea, calculată în doi pași (derivezi, simplifici, derivezi din nou) și folosită pentru verificarea unor relații de tipul $f^{\prime \prime }-4f^{\prime }+4f=0$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare derivată se consideră completă doar dacă rezolvarea conține, în această ordine, domeniul de derivabilitate, regula folosită și calculul. Se depunctează: scrierea formulei $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $[0,+\infty )$ în loc de $(0,+\infty )$; confundarea puterii $x^n$ cu exponențiala $a^x$; inversarea termenilor de la numărătorul regulii câtului; pierderea factorului $u^{\prime }$ la funcțiile compuse; trecerea la $f^{\prime \prime }$ fără simplificarea intermediară a lui $f^{\prime }$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelul canonic și pe regula funcțiilor compuse.
• Formule de reținut: tabelul canonic — $c^{\prime }=0$ și $x^{\prime }=1$ pe $\mathbb{R}$; $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$, $(x^{-n}{)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$ pe $(0,+\infty )$; $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ pe $(0,+\infty )$; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ pe $(0,+\infty )$; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ și $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$; $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ pe $\mathbb{R}$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Regulile de derivare: $$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime };(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime };(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime };{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0;$$ $$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$ Derivatele compuse: $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$, $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$, $(a^u{)}^{\prime }=a^u{u}^{\prime }\ln a$, $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$, $(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$. Derivata de ordinul al doilea: $f^{\prime \prime }={\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }$; funcția este de două ori derivabilă acolo unde $f^{\prime }$ este derivabilă. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, panta tangentei fiind $f^{\prime }(x_0)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Tabelul canonic și domeniul de derivabilitate

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5^x$, este: A. $5^x$; B. $x\cdot 5^{x-1}$; C. $5^x\ln 5$; D. $\frac{5^x}{\ln 5}$.

b) Derivata funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{3}x$, este: A. $\frac{1}{x}$; B. $\frac{1}{x\ln 3}$; C. $\frac{\ln 3}{x}$; D. $3^x\ln 3$.

c) Formula $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$ pentru $r=\frac{2}{5}$ se aplică pe mulțimea: A. $\mathbb{R}$; B. ${\mathbb{R}}^{\ast }$; C. $(0,+\infty )$; D. $[0,+\infty )$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, folosind tabelul derivatelor (câte 1,5 puncte): a) $f^{\prime }(-1)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^9$; b) $f^{\prime }(2)$ pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-5}$; c) $f^{\prime }(25)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$; d) $f^{\prime }(27)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcția $f(x)=x^{-3}$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$." b) „Are loc egalitatea ${\left(3^x\right)}^{\prime }=x\cdot 3^{x-1}$." c) „Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ este continuă în $0$, dar nu este derivabilă în $0$." d) „Are loc egalitatea $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$. Calculează $f^{\prime }(2)$ și scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=2$. (3 p) b) Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $g:\left(\frac{1}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $g(x)=\ln (2x-1)$, în punctul de abscisă $x_0=1$. (3 p)

Partea a II-a – Sumă, produs, cât și funcții compuse

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează derivata, precizând mulțimea pe care lucrezi (câte 2 puncte): a) $f(x)=3x^4-2x^3+7x-5$, $x\in \mathbb{R}$; b) $f(x)=x^3\ln x$, $x\in (0,+\infty )$; c) $f(x)=\left(2x^2-1\right)(x+3)$, $x\in \mathbb{R}$, pe două căi; d) $f(x)=\frac{x-2}{x^2+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(3x^2+2\right)}^5$. (2 p) b) Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+9\right)$. (2 p) c) Se consideră funcția $f(x)=\sqrt{x^2-9}$. Determină domeniul ei de definiție, domeniul de derivabilitate și calculează $f^{\prime }(x)$ acolo unde există. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{-2x}$, și scrie rezultatul în formă factorizată. (3 p) b) Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{3x}}{x+1}$, și scrie rezultatul în formă factorizată. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile, atunci ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ în punctele în care $g$ nu se anulează." b) „Funcția $f(x)=\ln \left(x^2\right)$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$." c) „Derivata funcției $f(x)=e^{x^2}$ este $e^{2x}$." d) „Dacă $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $g(x)=f(2x)$, atunci $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x)$."

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină $a\in \mathbb{R}$ știind că tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+ax$, în punctul de abscisă $x_0=1$, are panta $7$. (3 p) b) (Problemă aplicată.) Un obiect se deplasează pe o dreaptă, iar poziția lui la momentul $t$ este $s(t)=t^3-9t^2+24t$ metri, timpul $t$ fiind măsurat în secunde, cu $0\le t\le 6$. Calculează viteza $v(t)=s^{\prime }(t)$ și momentele în care viteza este nulă. (3 p)

Partea a III-a – Derivata de ordinul al doilea și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Calculează $f^{\prime \prime }$, precizând mulțimea pe care funcția este de două ori derivabilă (câte 2 puncte): a) $f(x)=x^5-4x^3+2x$, $x\in \mathbb{R}$; b) $f(x)=e^{4x}$, $x\in \mathbb{R}$; c) $f(x)=x^2{e}^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$; d) $f(x)=\frac{1}{x-1}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Itemul 11 (8 puncte)

a) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x}(x+1)$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(x)$, apoi arată că $$f^{\prime \prime }(x)-4f^{\prime }(x)+4f(x)=0\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$ (5 p) b) Arată că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\cos (4x)$, verifică relația $g^{\prime \prime }(x)+16g(x)=0$ pentru orice $x$ real. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(x^2-4x+5\right)}^3$, și arată că $f^{\prime }(x)=0$ numai pentru $x=2$. (4 p) b) Arată că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x^2+2x+5}$, este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ și calculează $g^{\prime }(x)$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$, și scrieți rezultatul în formă factorizată. (3 p) b) Determinați punctele în care $f^{\prime }(x)=0$ și calculați valorile funcției în acele puncte. (3 p) c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Variabila stă la exponent, deci se aplică rândul $a^x$ al tabelului: ${\left(5^x\right)}^{\prime }=5^x\ln 5$. Varianta A ar fi corectă numai pentru baza $e$, iar varianta B confundă exponențiala cu puterea $x^n$. b) B. Din rândul ${\log }_{a}x$: ${\left({\log }_{3}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 3}$, pe $(0,+\infty )$. Varianta A este derivata lui $\ln x$, adică exact cazul $a=e$. c) C. Exponentul $\frac{2}{5}$ nu este întreg, deci se aplică rândul $x^r$, valabil pe $(0,+\infty )$ — acolo se definește puterea cu exponent real. Rândurile $x^n$ și $x^{-n}$ (variantele A și B) sunt pentru exponenți întregi, iar în $0$ funcția nu este derivabilă, ceea ce elimină varianta D.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p rândul din tabel, 1 p calculul). a) $f^{\prime }(x)=9x^8$ pe $\mathbb{R}$, deci $f^{\prime }(-1)=9\cdot (-1{)}^8=9$. Exponentul fiind par, semnul se pierde. b) $f^{\prime }(x)=-5x^{-6}=-\frac{5}{x^6}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci $$f^{\prime }(2)=-\frac{5}{64}.$$ c) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$, deci $f^{\prime }(25)=\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$. d) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pe $(0,+\infty )$, iar $\sqrt[3]{27^2}=9$, deci $f^{\prime }(27)=\frac{1}{27}$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Funcția $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ nici măcar nu este definită în $0$, deci nu poate fi derivabilă acolo. Rândul corect din tabel este $x^{-n}$, derivabilă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu ${\left(x^{-3}\right)}^{\prime }=-3x^{-4}$. b) F. La $3^x$ variabila stă la exponent, deci ${\left(3^x\right)}^{\prime }=3^x\ln 3$. Formula din enunț este cea a puterii $x^n$, aplicată greșit unei exponențiale — confuzia clasică a capitolului. c) A. Funcția radical este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$: raportul de diferențe în $0$ este $\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$, deci limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este finită. d) F. Formula este corectă, dar nu pe tot $\mathbb{R}$: tangenta nu este definită în punctele în care $\cos x=0$. Domeniul corect este $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Din rândul ${\log }_{a}x$ al tabelului, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 2}$ pe $(0,+\infty )$ (1 p), deci $$f^{\prime }(2)=\frac{1}{2\ln 2}$$ (0,5 p). Punctul de tangență are ordonata $f(2)={\log }_{2}2=1$ (0,5 p), iar ecuația tangentei este $$y-1=\frac{1}{2\ln 2}(x-2)$$ (1 p). Răspunsul se lasă în formă exactă; nu se cere valoarea aproximativă.

b) (3 p) Interiorul $u(x)=2x-1$ este strict pozitiv pe $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$, cu $u^{\prime }(x)=2$, deci, din $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ (1 p), $$g^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-1}.$$ Punctul de tangență: $g(1)=\ln 1=0$, iar panta este $g^{\prime }(1)=\frac{2}{1}=2$ (1 p). Cu formula $y-g(x_0)=g^{\prime }(x_0)(x-x_0)$: $$y-0=2(x-1),\text{adica˘}y=2x-2$$ (0,5 p). Verificare: pentru $x=1$ dreapta dă $y=0=g(1)$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p domeniul și regula, 1,5 p calculul).

a) Funcție polinomială, derivabilă pe $\mathbb{R}$; derivăm termen cu termen, cu regula sumei și cu $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=12x^3-6x^2+7.$$ Termenul liber $-5$ dispare.

b) Se lucrează pe $(0,+\infty )$, singura mulțime pe care logaritmul are sens. Regula produsului dă $$f^{\prime }(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2=x^2\left(3\ln x+1\right).$$ Forma factorizată este cea care se cere în redactarea de examen.

c) Calea 1 — regula produsului, cu $u=2x^2-1$ și $v=x+3$, derivabile pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=4x(x+3)+\left(2x^2-1\right)\cdot 1=4x^2+12x+2x^2-1=6x^2+12x-1.$$ Calea 2 — desfacerea parantezelor: $f(x)=2x^3+6x^2-x-3$, cu derivata $6x^2+12x-1$. Cele două rezultate coincid, ceea ce confirmă calculul.

d) Numitorul $x^2+1$ nu se anulează niciodată, deci $f$ este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$. Regula câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+1\right)-(x-2)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2+4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+4x+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$$ Numărătorul se reduce, numitorul se lasă în formă factorizată.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Interiorul este $u(x)=3x^2+2$, cu $u^{\prime }(x)=6x$ (0,5 p); aplicăm $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=5{\left(3x^2+2\right)}^4\cdot 6x=30x{\left(3x^2+2\right)}^4$$ (1,5 p). Funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$, interiorul fiind polinomial.

b) (2 p) Interiorul $u(x)=x^2+9$ este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci logaritmul are sens și este derivabil peste tot (0,5 p); din $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+9}$$ (1,5 p).

c) (3 p) Domeniul de definiție: $x^2-9\ge 0$, adică $x\in (-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$ (1 p). Domeniul de derivabilitate: radicalul este derivabil doar unde interiorul este strict pozitiv, adică $x^2-9>0$, deci pe $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$; în $x=\pm 3$ funcția este definită, dar nu derivabilă (1 p). Derivata, din $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$; al doilea factor cere regula funcțiilor compuse, cu $u(x)=-2x$ și $u^{\prime }=-2$, deci ${\left(e^{-2x}\right)}^{\prime }=-2e^{-2x}$ (1 p). Regula produsului dă $$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot \left(-2e^{-2x}\right)=e^{-2x}(1-2x)$$ (2 p, din care 0,5 p pentru forma factorizată).

b) (4 p) Numitorul se anulează doar în $-1$, punct care nu aparține domeniului, deci $f$ este derivabilă pe tot $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ (0,5 p). Cu $u=e^{3x}$, $u^{\prime }=3e^{3x}$ (regula compunerii) și $v=x+1$, $v^{\prime }=1$ (1 p), regula câtului dă $$f^{\prime }(x)=\frac{3e^{3x}(x+1)-e^{3x}\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{e^{3x}\left(3x+3-1\right)}{(x+1{)}^2}=\frac{e^{3x}(3x+2)}{(x+1{)}^2}$$ (2,5 p).

Itemul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Formula corectă este ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$. Contraexemplu: $f(x)=x^2$ și $g(x)=x$ dau $\frac{f}{g}=x$, cu derivata $1$, în timp ce $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}=\frac{2x}{1}=2x$; în $x=3$ se compară $1$ cu $6$. b) F. Expresia $\ln \left(x^2\right)$ are sens doar pentru $x^2>0$, adică pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; acolo este și derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$. În $0$ funcția nici nu este definită. c) F. Exponentul rămâne neschimbat, iar derivata lui apare ca factor: ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$. Scrierea $e^{2x}$ ar însemna că exponentul însuși a fost derivat în interiorul funcției — două funcții complet diferite ($e^9$ față de $e^6$ în $x=3$). d) A. Este chiar regula funcțiilor compuse, cu $u(x)=2x$ și $u^{\prime }(x)=2$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(2x)\cdot 2=2f^{\prime }(2x)$. Derivata funcției din exterior se calculează în punctul $2x$, nu în $x$.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$ (0,5 p). Avem $f^{\prime }(x)=3x^2+a$ (1 p), deci condiția devine $$f^{\prime }(1)=3+a=7$$ (1 p), de unde $a=4$ (0,5 p). Verificare: pentru $a=4$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4$ și $f^{\prime }(1)=7$ ✓

b) (3 p) Viteza este derivata poziției (0,5 p): $$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)$$ (1,5 p). Viteza se anulează pentru $t=2$ și $t=4$, ambele momente aflându-se între $0$ și $6$ secunde (1 p). Între ele viteza este negativă, deci obiectul se întoarce; interpretarea nu se cere, dar factorizarea o face vizibilă.

Itemul 10. (8 p) — câte 2 puncte (1 p pentru $f^{\prime }$ simplificată, 1 p pentru $f^{\prime \prime }$ și mulțime).

a) $f^{\prime }(x)=5x^4-12x^2+2$, deci $$f^{\prime \prime }(x)=20x^3-24x,x\in \mathbb{R}.$$ Gradul scade cu o unitate la fiecare derivare: de la $5$ la $4$ și apoi la $3$.

b) Cu regula funcțiilor compuse, $f^{\prime }(x)=4e^{4x}$, deci $f^{\prime \prime }(x)=16e^{4x}$ pe $\mathbb{R}$. Fiecare derivare adaugă un factor $4$.

c) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$. Cu regula produsului și cu ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$: $$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=e^{-x}\left(2x-x^2\right).$$ Derivăm încă o dată forma factorizată: $$f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}\left(2x-x^2\right)+e^{-x}(2-2x)=e^{-x}\left(x^2-4x+2\right).$$

d) Scriem $f(x)=(x-1{)}^{-1}$; atunci $f^{\prime }(x)=-(x-1{)}^{-2}$ și, cu regula funcțiilor compuse aplicată încă o dată, $$f^{\prime \prime }(x)=2(x-1{)}^{-3}=\frac{2}{(x-1{)}^3},x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}.$$

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Prima derivare, cu regula produsului și cu ${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=2e^{2x}$: $$f^{\prime }(x)=2e^{2x}(x+1)+e^{2x}\cdot 1=e^{2x}(2x+3)$$ (1,5 p). A doua derivare, pe forma factorizată: $$f^{\prime \prime }(x)=2e^{2x}(2x+3)+e^{2x}\cdot 2=e^{2x}(4x+8)$$ (1,5 p). Înlocuim și scoatem factorul comun $e^{2x}$ (1 p): $$f^{\prime \prime }-4f^{\prime }+4f=e^{2x}[(4x+8)-4(2x+3)+4(x+1)]=e^{2x}\left(4x+8-8x-12+4x+4\right)=e^{2x}\cdot 0=0.$$ Cum $e^{2x}\ne 0$, egalitatea are loc pentru orice $x$ real (0,5 p).

b) (3 p) Cu regula funcțiilor compuse, $g^{\prime }(x)=-4\sin (4x)$ (1 p), apoi $$g^{\prime \prime }(x)=-4\cos (4x)\cdot 4=-16\cos (4x)$$ (1,5 p). Atenție la cei doi factori $4$: unul vine de la prima derivare, celălalt de la a doua. Rezultă $$g^{\prime \prime }(x)+16g(x)=-16\cos (4x)+16\cos (4x)=0$$ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Interiorul este $u(x)=x^2-4x+5$, cu $u^{\prime }(x)=2x-4$; funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Din $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=3{\left(x^2-4x+5\right)}^2(2x-4)=6(x-2){\left(x^2-4x+5\right)}^2$$ (2 p). Scriem trinomul sub formă canonică: $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real (1 p), deci pătratul lui este strict pozitiv și $$f^{\prime }(x)=0⟺x-2=0⟺x=2$$ (0,5 p).

b) (4 p) Interiorul se scrie $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real (1,5 p). Cum radicalul este derivabil acolo unde interiorul este strict pozitiv, iar aici acest lucru se întâmplă pe tot $\mathbb{R}$, funcția $g$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ (1 p). Din $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$g^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+5}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}$$ (1,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Numărătorul și numitorul sunt funcții polinomiale, derivabile pe $\mathbb{R}$, iar numitorul se anulează doar în $1$, punct care nu aparține domeniului: $f$ este derivabilă pe tot $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (0,5 p). Cu regula câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-\left(x^2+3\right)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-3}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$$ (2 p), iar numărătorul se factorizează: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Numitorul fiind strict pozitiv pe domeniu, $f^{\prime }(x)=0$ dacă și numai dacă $(x-3)(x+1)=0$ (1 p), deci $x=3$ sau $x=-1$; ambele aparțin domeniului (0,5 p). Valorile funcției (1,5 p): $$f(3)=\frac{9+3}{2}=6,f(-1)=\frac{1+3}{-2}=-2.$$

c) (2 p) Avem $f(0)=\frac{0+3}{-1}=-3$ și $f^{\prime }(0)=\frac{(0-3)(0+1)}{(0-1{)}^2}=-3$ (1 p). Cu formula $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$: $$y+3=-3(x-0),\text{adica˘}y=-3x-3$$ (1 p). Verificare: pentru $x=0$ dreapta dă $y=-3=f(0)$ ✓