Test: reprezentarea grafică a funcțiilor

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua jumătate a unității: „schema în nouă pași" — cei opt pași ai studiului variației, fixați în clasa a XI-a, completați cu intersecțiile și simetriile la pasul 1, cu asimptotele la pasul 3 și cu trasarea graficului ca pas al nouălea. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: pașii noi — intersecțiile cu axele (pasul 1b), paritatea și periodicitatea (pasul 1c) și economia pe care o aduc, adică studiul pe jumătate de domeniu urmat de simetrizare. Al doilea: tabelul de variație complet, în formatul canonic — patru rânduri, coloane alternând punct și interval, $2k+4$ coloane pentru $k$ puncte interioare marcate, bară la punctele și la capetele finite excluse, celulă goală numai la $\pm \infty$, marcaje $\text{M}$, $\text{m}$ și $\text{I}$ în rândul funcției. Al treilea: cele cinci familii de funcții din lecțiile unității — polinomiale, raționale, cu radicali, exponențiale și logaritmice, trigonometrice sau cu modul — fiecare cu capcana ei. Al patrulea: două reguli de format care se confundă des — un domeniu din care lipsește un interval întreg cere câte un tabel pe fiecare interval, pe când un punct exclus rămâne într-un singur tabel, cu bară; iar marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde funcția este derivabilă, deci colțurile nu sunt puncte de inflexiune. Al cincilea: citirea tabelului și trasarea propriu-zisă, cu cele patru controale finale.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare studiu se cer toate celulele tabelului completate și, sub tabel, citirea în cuvinte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se începe întotdeauna cu domeniul, apoi intersecțiile și paritatea, apoi limitele și asimptotele, și abia apoi derivatele. Se depunctează: marcarea pe axă numai a rădăcinilor lui $f^{\prime }$ (inflexiunile rămân fără coloană), lăsarea goală a coloanelor de la capetele finite, marcajul $\text{I}$ pus într-un colț sau într-un punct în care $f^{\prime \prime }$ se anulează fără schimbare de semn, formularea monotoniei sau a convexității pe o reuniune de intervale și un desen în care curba nu respectă simbolul de convexitate din tabel.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe construcția tabelului complet și pe pașii 1b, 1c și 9.
• Formule de reținut: Schema în nouă pași: (1) domeniul, plus (1b) intersecțiile cu axele și (1c) paritatea sau periodicitatea $\to$ (2) continuitatea și derivabilitatea $\to$ (3) limitele la capete plus asimptotele $\to$ (4) $f^{\prime }$: puncte critice și semn $\to$ (5) $f^{\prime \prime }$: zerouri și semn $\to$ (6) valorile în punctele marcate $\to$ (7) tabelul de variație complet $\to$ (8) citirea tabelului $\to$ (9) trasarea graficului. Intersecțiile: cu $Oy$, punctul $(0,f(0))$, dacă $0\in D$; cu $Ox$, soluțiile ecuației $f(x)=0$. Paritatea: $f(-x)=f(x)$ dă grafic simetric față de $Oy$; $f(-x)=-f(x)$ dă grafic simetric față de origine — în ambele cazuri se studiază numai $[0,+\infty )\cap D$ și se simetrizează. Tabelul complet: rândurile $x$ (antetul), $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$; $2k+4$ coloane pentru $k$ puncte interioare marcate; $\nearrow$ crescătoare, $\searrow$ descrescătoare, $\cup$ convexă („ține apa"), $\cap$ concavă („varsă apa"), scrise imediat după săgeată; $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$ după valoare; $\nexists$ în rândul derivatei care nu există. Punct exclus din domeniu: bară $|$ pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale despărțite de $|$ pe rândul funcției, într-un singur tabel. Interval exclus din domeniu: câte un tabel pe fiecare interval. La $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală; într-un capăt finit exclus se pune bara; într-un capăt închis se scriu valoarea derivatei laterale (sau $\pm \infty$, dacă este infinită) și valoarea funcției, cu marcaj de extrem. Punctul de inflexiune cere ca $f^{\prime \prime }$ să-și schimbe semnul și ca $f$ să fie derivabilă acolo: un colț nu este punct de inflexiune. Pasul 9: reperul cu scări $\to$ asimptotele punctat $\to$ punctele din tabel $\to$ arcele, respectând săgeata și simbolul de convexitate $\to$ lista asimptotelor sub grafic. Cele patru controale finale: numărul de ramuri, punctele marcate, potrivirea fiecărui arc cu tabelul, apropierea de fiecare asimptotă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Schema în nouă pași și pașii ei noi

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Schema în nouă pași se obține din cei opt pași ai studiului variației adăugând: A. derivata de ordinul al treilea; B. intersecțiile cu axele și paritatea la pasul 1, asimptotele la pasul 3 și trasarea graficului ca pas al nouălea; C. numai trasarea graficului; D. tabelul de semn al funcției.

b) Într-o coloană-interval pe care $f^{\prime }(x)>0$ și $f^{\prime \prime }(x)<0$, în rândul $f(x)$ se scrie: A. $\nearrow \cup$; B. $\searrow \cup$; C. $\nearrow \cap$; D. $\searrow \cap$.

c) Graficul unei funcții impare este simetric față de: A. axa $Ox$; B. axa $Oy$; C. originea reperului; D. prima bisectoare.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci în dreptul lui $x_0$ se scrie marcajul $\text{I}$ în rândul $f(x)$." b) „Dacă din domeniu lipsește un interval întreg, se alcătuiește câte un tabel de variație pe fiecare dintre intervalele rămase." c) „Colțurile graficului funcției $f(x)=|x^2-4x+3|$ sunt puncte de inflexiune ale graficului." d) „La $\pm \infty$, în rândul $f^{\prime }(x)$ al tabelului de variație se scrie bara $|$."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, parcurge pasul 1 complet: domeniul maxim de definiție, intersecțiile cu axele (pasul 1b) și paritatea (pasul 1c). Nu deriva. (câte 2 puncte) a) $f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+1}$; b) $f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}$; c) $f(x)=x^4-10x^2+9$.

Itemul 4 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

a) Parcurge pașii 1–3: domeniul, intersecțiile cu axele, paritatea, limitele la capete și asimptotele. (2 p) b) Parcurge pașii 4–7: calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, determină punctele marcate și numărul de coloane, apoi alcătuiește tabelul de variație complet. (4 p) c) Parcurge pasul 8: citește tabelul în cuvinte și precizează imaginea funcției. (2 p)

Partea a II-a – Funcții raționale, cu radicali și cu logaritmi

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+9}{x}$.

a) Arată că funcția este impară și explică ce economie aduce acest lucru la pasul 1c. (2 p) b) Determină toate asimptotele graficului. (2 p) c) Alcătuiește tabelul de variație complet numai pe $(0,+\infty )$, apoi descrie graficul pe tot domeniul, folosind simetria, și precizează imaginea funcției. (4 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x-3}$.

a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-2)}{2\sqrt{x-3}}$ pentru $x>3$ și că $f$ nu este derivabilă în $3$, precizând ce se vede pe grafic în acest punct. (3 p) b) Știind că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3(x-4)}{4(x-3)\sqrt{x-3}}$, alcătuiește tabelul de variație complet, tratând corect capătul închis $3$. (4 p) c) Arată că graficul nu are nicio asimptotă și precizează imaginea funcției. (1 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\ln \left(x^2-2x-3\right)$.

a) Determină domeniul maxim de definiție și intersecțiile graficului cu axele. (2 p) b) Determină asimptotele graficului, cu partea precizată la fiecare asimptotă verticală. (2 p) c) Știind că $f^{\prime }(x)=\frac{2x-2}{x^2-2x-3}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-2\left(x^2-2x+5\right)}{{\left(x^2-2x-3\right)}^2}$, alcătuiește tabelele de variație complete, respectând regula domeniului cu interval exclus, și precizează imaginea funcției. (4 p)

Partea a III-a – Exponențiale, modul, trigonometrice și item de tip examen

Itemul 8 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+3)e^{-x}$.

a) Determină intersecțiile cu axele și asimptotele graficului. (3 p) b) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ și alcătuiește tabelul de variație complet. (4 p) c) Determină imaginea funcției. (1 p)

Itemul 9 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-9\right|$.

a) Arată că funcția este pară, calculează derivatele laterale în $3$ și precizează natura acestui punct. (3 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet, cu simbolul potrivit în punctele $-3$ și $3$. (3 p) c) Explică de ce punctele $-3$ și $3$ nu sunt puncte de inflexiune ale graficului. (1 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sin x-x$.

a) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ și determină punctele marcate din interiorul intervalului, precum și numărul de coloane al tabelului. (3 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet, tratând corect cele două capete închise. (5 p) c) Precizează punctul de inflexiune al graficului și imaginea funcției. (2 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 1.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2+\ln x}{x}$.

a) Determinați intersecțiile graficului cu axele, limitele funcției la capetele domeniului și asimptotele graficului. (5 p) b) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-1-\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$, și determinați intervalele de monotonie și punctul de maxim al funcției. (5 p) c) Arătați că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1+2\ln x}{x^3}$, alcătuiți tabelul de variație complet, determinați punctul de inflexiune al graficului și imaginea funcției. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Pașii 2 și 4–8 rămân exact cei fixați la clasa a XI-a; noutățile clasei a XII-a sunt sub-pașii 1b și 1c, asimptotele adăugate la pasul 3 și pasul al nouălea, trasarea propriu-zisă. Derivata de ordinul al treilea nu este în programă.

b) C. Săgeata vine din semnul lui $f^{\prime }$ — pozitiv înseamnă $\nearrow$ —, iar simbolul de convexitate vine din semnul lui $f^{\prime \prime }$ — negativ înseamnă $\cap$, adică graficul „varsă apa". În cuvinte: funcția crește tot mai încet.

c) C. Din $f(-x)=-f(x)$ rezultă că, odată cu punctul $(x,f(x))$, graficul conține și punctul $(-x,-f(x))$, adică simetricul lui față de originea reperului. Simetria față de $Oy$ este a funcțiilor pare.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Anularea lui $f^{\prime \prime }$ este doar o condiție necesară: mai trebuie ca $f^{\prime \prime }$ să-și schimbe semnul în $x_0$, iar $x_0$ să fie interior domeniului. Contraexemplul standard este $f(x)=x^4$, care are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ nu-și schimbă semnul, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu primește niciun marcaj.

b) A. Când domeniul este o reuniune de intervale despărțite de un interval întreg exclus, nu există nicio coloană care să lege cele două bucăți, deci se alcătuiește câte un tabel pe fiecare interval. Regula cu bara $|$ și cele două limite laterale într-un singur tabel se aplică numai când din domeniu lipsește un punct.

c) F. Marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde funcția este derivabilă și își schimbă convexitatea. În $x=1$ și $x=3$ funcția $|x^2-4x+3|$ are derivate laterale finite și diferite, deci graficul are două semitangente distincte, adică un colț — puncte unghiulare, nu puncte de inflexiune.

d) F. La $\pm \infty$ celula rămâne goală, pentru că acolo nu există niciun punct al axei și deci nicio valoare a derivatei de scris. Bara $|$ se pune într-un capăt finit exclus sau într-un punct exclus dinăuntrul domeniului, unde punctul există pe axă, dar funcția nu este definită.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Numitorul $x^2+1$ nu se anulează niciodată, deci $D=\mathbb{R}$. Intersecțiile cu $Ox$: $x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0$, deci punctele $(-2,0)$, $(0,0)$ și $(2,0)$; intersecția cu $Oy$ este tot originea, pentru că $f(0)=0$. Cum $$f(-x)=\frac{-x^3+4x}{x^2+1}=-f(x),$$ funcția este impară, deci graficul este simetric față de originea reperului.

b) Numitorul $x^2+3$ este strict pozitiv, deci $D=\mathbb{R}$. Intersecția cu $Ox$: $x-1=0$, adică punctul $(1,0)$; intersecția cu $Oy$: $f(0)=-\frac{1}{3}$, adică punctul $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$. Funcția nu este nici pară, nici impară: $f(2)=\frac{1}{7}$, iar $f(-2)=-\frac{3}{7}$, care nu este nici $f(2)$, nici $-f(2)$.

c) Funcție polinomială, deci $D=\mathbb{R}$. Intersecțiile cu $Ox$: notăm $t=x^2$ și rezolvăm $t^2-10t+9=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=9$, deci $x\in \{-3,-1,1,3\}$ și graficul taie axa în patru puncte; intersecția cu $Oy$ este $(0,9)$. Toți exponenții fiind pari, $f(-x)=f(x)$: funcția este pară, cu grafic simetric față de axa $Oy$.

Itemul 4. (8 p)

a) (2 p) Pasul 1: funcție polinomială, deci $D=\mathbb{R}$. 1b: $f(0)=5$, deci graficul taie $Oy$ în $(0,5)$; ecuația $x^3-3x^2-9x+5=0$ nu are rădăcini raționale — valorile în $\pm 1$ și $\pm 5$ sunt $-6$, $10$, $10$ și $-150$ —, deci nu se rezolvă elementar, iar semnul funcției se va citi din tabel (1 p). 1c: funcția nu este nici pară, nici impară, având și termeni de grad par, și termeni de grad impar. Pasul 2: fiind polinomială, este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$. Pasul 3: coeficientul dominant fiind pozitiv, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$; o funcție polinomială de grad cel puțin doi nu are nicio asimptotă, pentru că $\frac{f(x)}{x}$ tinde la infinit (1 p).

b) (4 p) Pașii 4 și 5: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1),f^{\prime \prime }(x)=6x-6$$ (1,5 p). Rădăcinile lui $f^{\prime }$ sunt $-1$ și $3$, iar rădăcina lui $f^{\prime \prime }$ este $1$; punctele marcate sunt $-1$, $1$, $3$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane (0,5 p). Pasul 6: $f(-1)=-1-3+9+5=10$, $f(1)=1-3-9+5=-6$, $f(3)=27-27-27+5=-22$; în plus $f^{\prime }(1)=3-6-9=-12$, $f^{\prime \prime }(-1)=-12$ și $f^{\prime \prime }(3)=12$ (1 p). Pasul 7:

(1 p)

c) (2 p) Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,3]$; are punctul de maxim local $x=-1$, cu valoarea maximă locală $f(-1)=10$, și punctul de minim local $x=3$, cu valoarea minimă locală $f(3)=-22$; este concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$, cu punctul de inflexiune al graficului $(1,-6)$ (1,5 p). Funcția fiind continuă pe $\mathbb{R}$, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capete, $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este simetric față de origine, deci verificarea are sens (0,5 p). Pentru orice $x\ne 0$, $$f(-x)=\frac{x^2+9}{-x}=-\frac{x^2+9}{x}=-f(x),$$ deci funcția este impară (1 p). Economia adusă de pasul 1c: este de ajuns studiul pe $(0,+\infty )$, iar graficul de pe $(-\infty ,0)$ se obține prin simetrie față de originea reperului (0,5 p).

b) (2 p) Scriem $f(x)=x+\frac{9}{x}$. În $0$ numărătorul tinde la $9\ne 0$, deci limitele laterale sunt infinite: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ deci dreapta $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală (1 p). Cum $\frac{9}{x}\to 0$ spre ambele capete, avem $m=1$ și $n=0$, deci dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ (1 p).

c) (4 p) Derivatele (1 p): $$f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{18}{x^3}.$$ Pe $(0,+\infty )$ singurul punct critic este $3$, cu $f(3)=6$ și $f^{\prime \prime }(3)=\frac{2}{3}$; derivata a doua este strict pozitivă pe tot $(0,+\infty )$, deci funcția este convexă acolo și nu are puncte de inflexiune (1 p). Un singur punct interior marcat dă $2\cdot 1+4=6$ coloane; capătul $0$ este exclus, deci primește bară.

(1 p)

Citirea tabelului: pe $(0,+\infty )$ funcția scade pe $(0,3]$, crește pe $[3,+\infty )$, are minimul $f(3)=6$ și este convexă peste tot. Prin simetrie față de origine, pe $(-\infty ,0)$ funcția crește pe $(-\infty ,-3]$, scade pe $[-3,0)$, are maximul $f(-3)=-6$ și este concavă. Prin urmare $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-6]\cup [6,+\infty )$$ (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Pe $(3,+\infty )$ derivăm produsul (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=\sqrt{x-3}+\frac{x}{2\sqrt{x-3}}=\frac{2(x-3)+x}{2\sqrt{x-3}}=\frac{3x-6}{2\sqrt{x-3}}=\frac{3(x-2)}{2\sqrt{x-3}}.$$ În capătul $3$ funcția este definită, cu $f(3)=0$, dar $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{3(x-2)}{2\sqrt{x-3}}=+\infty ,$$ deci, prin consecința limitei derivatei, $f$ are derivată la dreapta egală cu $+\infty$: derivata nu este finită, deci $f$ nu este derivabilă în $3$ (1 p). Pe grafic se vede o semitangentă verticală în punctul $(3,0)$ (0,5 p).

b) (4 p) Pe $(3,+\infty )$ avem $x-2>0$ și $\sqrt{x-3}>0$, deci $f^{\prime }>0$: funcția este strict crescătoare pe tot domeniul (1 p). Derivata a doua se anulează numai în $4$, este negativă pe $(3,4)$ și pozitivă pe $(4,+\infty )$, iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }{f}^{\prime \prime }(x)=-\infty$ (1 p). Valorile: $f(3)=0$, $f(4)=4\cdot 1=4$ și $f^{\prime }(4)=\frac{3\cdot 2}{2\cdot 1}=3$ (0,5 p). Un singur punct interior marcat dă $6$ coloane; în capătul închis $3$ se scriu derivatele infinite, nu bară.

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $[3,+\infty )$, cu minimul global $f(3)=0$ atins în capătul închis; este concavă pe $[3,4]$ și convexă pe $[4,+\infty )$, cu punctul de inflexiune al graficului $(4,4)$ — acolo funcția este derivabilă, deci marcajul $\text{I}$ este legitim (0,5 p).

c) (1 p) Domeniul are un singur capăt finit, $3$, care este închis, deci nu există candidat la asimptotă verticală. Spre $+\infty$ limita este $+\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}=\sqrt{x-3}\to +\infty$: panta nu este finită, deci nu există nici asimptotă orizontală, nici oblică. Imaginea este $\mathrm{Im}f=[0,+\infty )$.

Itemul 7. (8 p)

a) (2 p) Condiția de existență este $x^2-2x-3>0$, adică $(x-3)(x+1)>0$, deci $$D=(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$$ (1 p). Cum $0\notin D$, graficul nu taie axa $Oy$. Intersecțiile cu $Ox$: $\ln u=0$ înseamnă $u=1$, adică $x^2-2x-4=0$, cu soluțiile $x=1\pm \sqrt{5}$; ambele aparțin domeniului, pentru că $1-\sqrt{5}<-1$ și $1+\sqrt{5}>3$ (1 p).

b) (2 p) În capetele finite deschise argumentul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci logaritmul tinde la $-\infty$: dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală la stânga, iar dreapta $x=3$ este asimptotă verticală la dreapta (1 p). Spre $\pm \infty$ argumentul tinde la $+\infty$, deci $f(x)\to +\infty$ și nu există asimptotă orizontală; iar $m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\ln \left(x^2-2x-3\right)}{x}=0$, deci panta este nulă și nu există nici asimptotă oblică (1 p).

c) (4 p) Semnul lui $f^{\prime }$: numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul este dat de $2x-2$, negativ pe $(-\infty ,-1)$ și pozitiv pe $(3,+\infty )$; punctul critic $x=1$ nu aparține domeniului (1 p). Semnul lui $f^{\prime \prime }$: numărătorul este $-2\left[(x-1{)}^2+4\right]<0$, iar numitorul este un pătrat, deci $f^{\prime \prime }<0$ pe tot domeniul: funcția este concavă pe fiecare interval și nu are puncte de inflexiune (1 p). Domeniul are un interval exclus, deci se scriu două tabele, câte unul pe fiecare interval (0,5 p):

(1 p)

Citirea tabelelor: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1)$ și strict crescătoare pe $(3,+\infty )$, concavă pe fiecare dintre cele două intervale, fără extreme și fără inflexiuni. Pe fiecare interval funcția este continuă și ia toate valorile dintre $-\infty$ și $+\infty$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ (0,5 p).

Itemul 8. (8 p)

a) (3 p) Exponențiala nu se anulează, deci $f(x)=0$ numai pentru $x=-3$: graficul taie $Ox$ în $(-3,0)$, iar $f(0)=3$ dă intersecția cu $Oy$ în $(0,3)$ (1 p). Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, deci nu are asimptote verticale (0,5 p). Spre $+\infty$, exponențiala învinge polinomul, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+3)e^{-x}=0$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1 p). Spre $-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+3)e^{-x}=-\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}=\left(1+\frac{3}{x}\right)e^{-x}\to +\infty$: panta nu este finită, deci nu există asimptotă spre $-\infty$ (0,5 p).

b) (4 p) Derivăm produsul, de două ori (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=e^{-x}-(x+3)e^{-x}=-(x+2)e^{-x},f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}+(x+2)e^{-x}=(x+1)e^{-x}.$$ Cum $e^{-x}>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-(x+2)$ și semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x+1$ (0,5 p). Punctele marcate sunt $-2$ și $-1$, deci $k=2$ și tabelul are $2\cdot 2+4=8$ coloane. Valorile: $f(-2)=e^2$, $f(-1)=2e$, $f^{\prime }(-1)=-e$ și $f^{\prime \prime }(-2)=-e^2$ (1 p).

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$ și strict descrescătoare pe $[-2,+\infty )$, cu punctul de maxim $x=-2$ și valoarea maximă $f(-2)=e^2$; este concavă pe $(-\infty ,-1]$ și convexă pe $[-1,+\infty )$, cu punctul de inflexiune al graficului $\left(-1,2e\right)$.

c) (1 p) Maximul fiind global, iar limitele la capete fiind $-\infty$ și $0$, funcția ia toate valorile până la $e^2$ inclusiv: $\mathrm{Im}f=\left(-\infty ,e^2\right]$.

Itemul 9. (7 p)

a) (3 p) Pentru orice $x$ real, $f(-x)=\left|x^2-9\right|=f(x)$, deci funcția este pară, cu grafic simetric față de axa $Oy$ (1 p). Pe $(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$ avem $f(x)=x^2-9$, iar pe $[-3,3]$ avem $f(x)=9-x^2$ (0,5 p); prin urmare $$f_s^{\prime }(3)={(9-x^2{)}^{\prime }|}_{x=3}=-6,f_d^{\prime }(3)={(x^2-9{)}^{\prime }|}_{x=3}=6$$ (1 p). Derivatele laterale există, sunt finite și diferite, deci $f$ nu este derivabilă în $3$, iar graficul are acolo două semitangente distincte: punctul $(3,0)$ este punct unghiular (0,5 p).

b) (3 p) Semnul derivatei: $f^{\prime }(x)=2x$ pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(3,+\infty )$, deci negativ pe prima ramură și pozitiv pe a treia; $f^{\prime }(x)=-2x$ pe $(-3,3)$, deci pozitiv pe $(-3,0)$ și negativ pe $(0,3)$ (1 p). Derivata a doua este $2$ pe $|x|>3$ și $-2$ pe $|x|<3$, deci nu se anulează nicăieri; în $\pm 3$ nici $f^{\prime }$, nici $f^{\prime \prime }$ nu există (0,5 p). Punctele marcate sunt $-3$, $0$, $3$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane; $f(0)=9$, $f(\pm 3)=0$ (0,5 p).

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,-3]$, crește pe $[-3,0]$, scade pe $[0,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$; are minimele globale $f(\pm 3)=0$ și maximul local $f(0)=9$; este convexă pe $(-\infty ,-3]$ și pe $[3,+\infty )$ și concavă pe $[-3,3]$. Imaginea este $[0,+\infty )$.

c) (1 p) Convexitatea se schimbă într-adevăr în $-3$ și în $3$, dar marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde funcția este derivabilă; în aceste două puncte derivatele laterale sunt diferite, deci graficul are un colț, nu o tangentă unică în jurul căreia să treacă de la $\cup$ la $\cap$. Punctele $(-3,0)$ și $(3,0)$ sunt puncte unghiulare, nu puncte de inflexiune.

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Funcția este de două ori derivabilă pe $[0,2\pi ]$, ca sumă de funcții elementare (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=2\cos x-1,f^{\prime \prime }(x)=-2\sin x$$ (1 p). Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $\cos x=\frac{1}{2}$, deci, pe $[0,2\pi ]$, $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=\frac{5\pi }{3}$; ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ dă $\sin x=0$, deci $x\in \{0,\pi ,2\pi \}$, dintre care numai $\pi$ este interior (1 p). Punctele marcate din interior sunt $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane (0,5 p).

b) (5 p) Valorile funcției (1,5 p): $$f(0)=0,f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3},f(\pi )=-\pi ,f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}-\frac{5\pi }{3},f(2\pi )=-2\pi .$$ Valorile derivatelor: $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2\pi )=1$, $f^{\prime }(\pi )=-3$, $f^{\prime \prime }(0)=f^{\prime \prime }(2\pi )=0$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ (1 p). Semnele: $f^{\prime }>0$ pe $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$ și pe $\left(\frac{5\pi }{3},2\pi \right)$, $f^{\prime }<0$ între; $f^{\prime \prime }<0$ pe $(0,\pi )$ și $f^{\prime \prime }>0$ pe $(\pi ,2\pi )$ (1 p). Capetele fiind închise, în coloanele lor se scriu valorile, nu limite, iar funcția fiind monotonă lângă fiecare, ele primesc marcaj de extrem (0,5 p).

(1 p)

c) (2 p) Derivata a doua își schimbă semnul numai în $\pi$, punct interior în care funcția este derivabilă, deci punctul de inflexiune al graficului este $(\pi ,-\pi )$; în $0$ și în $2\pi$ derivata a doua se anulează, dar acolo nu există vecinătate din domeniu de ambele părți, deci ele nu sunt puncte de inflexiune (1 p). Comparând valorile din punctele critice cu cele din capete, valoarea maximă este $\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$, iar valoarea minimă este $-\sqrt{3}-\frac{5\pi }{3}$; funcția fiind continuă pe un interval, $$\mathrm{Im}f=\left[-\sqrt{3}-\frac{5\pi }{3},\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right]$$ (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Domeniul este $(0,+\infty )$, deci $0\notin D$ și graficul nu taie axa $Oy$ (0,5 p). Intersecția cu $Ox$: $2+\ln x=0$, adică $\ln x=-2$, deci $x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ și punctul este $\left(\frac{1}{e^2},0\right)$ (1 p). La capătul din stânga, numărătorul tinde la $-\infty$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{2+\ln x}{x}=-\infty ,$$ și dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta la graficul funcției $f$ (1,5 p). La capătul din dreapta, logaritmul crește mai încet decât $x$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\ln x}{x}=0,$$ și dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1,5 p). Existând asimptotă orizontală spre $+\infty$, nu poate exista și una oblică spre același capăt (0,5 p).

b) (5 p) Funcția este derivabilă pe $(0,+\infty )$, ca raport de funcții derivabile cu numitorul nenul; aplicăm regula câtului (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(2+\ln x)}{x^2}=\frac{1-2-\ln x}{x^2}=\frac{-1-\ln x}{x^2}.$$ Numitorul fiind strict pozitiv, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-1-\ln x$, care se anulează pentru $\ln x=-1$, adică $x=\frac{1}{e}$ (1,5 p). Pentru $x<\frac{1}{e}$ avem $\ln x<-1$, deci $f^{\prime }(x)>0$; pentru $x>\frac{1}{e}$ avem $f^{\prime }(x)<0$ (1 p). Prin urmare $f$ este strict crescătoare pe $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ și strict descrescătoare pe $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$, cu punctul de maxim $x=\frac{1}{e}$ și valoarea maximă $$f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{2-1}{\frac{1}{e}}=e$$ (1 p).

c) (5 p) Derivăm încă o dată, tot cu regula câtului (1,5 p): $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(-1-\ln x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{-x+2x+2x\ln x}{x^4}=\frac{1+2\ln x}{x^3}.$$ Numitorul fiind strict pozitiv, $f^{\prime \prime }$ se anulează pentru $\ln x=-\frac{1}{2}$, adică $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$, este negativă înainte și pozitivă după (1 p). Cum $\frac{1}{e}<\frac{1}{\sqrt{e}}$, punctele marcate sunt, în ordine, $\frac{1}{e}$ și $\frac{1}{\sqrt{e}}$, deci $k=2$ și tabelul are $8$ coloane. Valorile: $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{e}}}=\frac{3\sqrt{e}}{2}$, $f^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=-\frac{e}{2}$ și $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{e}\right)=-e^3$ (1 p).

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ crește pe $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ și scade pe $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$, cu maximul global $e$; este concavă pe $\left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ și convexă pe $\left[\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)$, deci punctul de inflexiune al graficului este $\left(\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{3\sqrt{e}}{2}\right)$. Funcția fiind continuă pe un interval, urcând de la $-\infty$ până la $e$ și coborând apoi spre $0$ fără să atingă această valoare, imaginea este $$\mathrm{Im}f=\left(-\infty ,e\right]$$ (0,5 p).