Test: reuniune, intersecție și eveniment contrar

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Probabilități

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică modul în care cuvintele „și", „sau", „nu" din limba română se transformă în operații cu mulțimi și, mai departe, în formule de probabilitate. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: traducerea — „$A$ sau $B$" înseamnă $A\cup B$, „$A$ și $B$" înseamnă $A\cap B$, „nu $A$" înseamnă $\overline{A}$. Al doilea: formula reuniunii $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, cu tot ce ține de ea — de ce se scade partea comună, când se simplifică (evenimente disjuncte) și cum se folosește invers, pentru a afla $P(A\cap B)$ din celelalte trei mărimi. Al treilea: evenimentul contrar și reflexul de examen care decurge din el — contrarul lui „cel puțin unul" este „niciunul", iar acest drum ocolit scurtează rezolvarea de la mai multe cazuri la unul singur. Al patrulea: distincția dintre disjunct și contrar, o confuzie foarte răspândită; două evenimente disjuncte se exclud reciproc, dar devin contrare doar dacă, împreună, acoperă tot $\Omega$. Ultima parte cere și o demonstrație scrisă a formulei reuniunii, precum și încadrarea probabilității intersecției între marginile ei — un tip de raționament care apare frecvent la examen.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un răspuns este complet doar dacă se vede ce formulă se folosește și de ce este ea aplicabilă — în special, folosirea formulei simplificate $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ trebuie însoțită de constatarea că evenimentele sunt disjuncte. Fracțiile se dau simplificate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe scăderea intersecției și pe distincția disjunct/contrar.
• Formule de reținut: operații cu evenimente — „$A$ sau $B$" $=A\cup B$; „$A$ și $B$" $=A\cap B$; „nu $A$" $=\overline{A}=\Omega \setminus A$. Formula reuniunii, valabilă pentru orice două evenimente: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$$ cu cazul particular $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ dacă și numai dacă $A\cap B=\varnothing$. Forma inversă, folosită des la examen: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$. Evenimentul contrar: $$A\cup \overline{A}=\Omega ,A\cap \overline{A}=\varnothing ,P(A)+P(\overline{A})=1.$$ Contrarul lui „cel puțin unul" este „niciunul". Margini pentru intersecție: $P(A\cap B)\le \min \{P(A),P(B)\}$ și $P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1$. Diagrama Venn are patru regiuni — doar $A$, $A\cap B$, doar $B$, în afara amândurora —, iar suma lor dă $\mathrm{card}(\Omega )$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Operații cu evenimente și evenimentul contrar

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $P(A)=\frac{3}{10}$, atunci $P(\overline{A})$ este: A. $\frac{3}{10}$; B. $\frac{7}{10}$; C. $\frac{13}{10}$; D. $0$.

b) Dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt disjuncte, atunci $P(A\cap B)$ este: A. $0$; B. $1$; C. $P(A)\cdot P(B)$; D. $P(A)+P(B)$.

c) Contrarul evenimentului „cel puțin un elev a răspuns corect" este: A. „toți elevii au răspuns corect"; B. „niciun elev nu a răspuns corect"; C. „cel mult un elev a răspuns corect"; D. „exact un elev a răspuns corect".

Itemul 2 (6 puncte)

Se aruncă un zar echilibrat, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. Se consideră evenimentele $A$ = „numărul obținut este par" și $B$ = „numărul obținut este mai mare decât $3$". Scrie ca mulțimi (câte 1,5 puncte): a) $A\cup B$; b) $A\cap B$; c) $\overline{A}$; d) verifică egalitatea $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt disjuncte, atunci $B=\overline{A}$." b) „Pentru orice două evenimente, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$." c) „$P(A)+P(\overline{A})=1$ pentru orice eveniment $A$." d) „Dacă $P(A)=\frac{3}{5}$ și $P(B)=\frac{7}{10}$, atunci $A$ și $B$ nu pot fi disjuncte."

Itemul 4 (6 puncte)

a) O urnă conține $5$ bile albe și $7$ bile negre. Se extrage o bilă. Calculează probabilitatea ca bila să nu fie albă, în două moduri: prin numărare directă și prin evenimentul contrar. (2 p) b) Se aruncă un zar. Fie $A$ = „numărul obținut este divizibil cu $3$". Calculează $P(A)$ și $P(\overline{A})$. (2 p) c) Se aruncă două zaruri. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un $6$, folosind evenimentul contrar. (2 p)

Partea a II-a – Formula reuniunii și tehnica complementului

Itemul 5 (8 puncte)

Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ practică un sport, $12$ studiază un instrument muzical, iar $7$ fac amândouă. Se alege un elev la întâmplare. Fie $A$ = „elevul practică un sport" și $B$ = „elevul studiază un instrument". Calculează (câte 2 puncte): a) $P(A)$; b) $P(A\cap B)$; c) $P(A\cup B)$; d) probabilitatea ca elevul ales să nu facă niciuna dintre cele două activități.

Itemul 6 (7 puncte)

Se păstrează datele de la itemul 5. a) Completează cele patru regiuni ale diagramei Venn cu numărul de elevi din fiecare și verifică suma. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca elevul ales să practice exact una dintre cele două activități. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca elevul ales să practice un sport, dar să nu studieze un instrument. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Un aparat are două componente. Probabilitatea ca prima să se defecteze într-un an este $\frac{1}{10}$, probabilitatea ca a doua să se defecteze este $\frac{1}{5}$, iar probabilitatea ca amândouă să se defecteze este $\frac{1}{50}$. a) Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre componente să se defecteze într-un an. (4 p) b) Calculează probabilitatea ca niciuna să nu se defecteze. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se știe că $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{1}{3}$ și $P(A\cup B)=\frac{2}{3}$. a) Calculează $P(A\cap B)$. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca niciunul dintre cele două evenimente să nu se producă. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) La aruncarea unui zar, fie $A$ = „numărul obținut este par" și $B$ = „se obține faţa $1$". Arată că $A$ și $B$ sunt disjuncte, dar că $B\ne \overline{A}$. (3 p) b) Demonstrează afirmația: dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte și $P(A)+P(B)=1$, atunci $B=\overline{A}$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează, prin numărarea cazurilor într-un model clasic cu $\mathrm{card}(\Omega )=n$ rezultate egal posibile, formula $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ (5 p) b) Deduce cazul evenimentelor disjuncte și aplică-l la aruncarea unui zar, pentru $A$ = „numărul obținut este par" și $B$ = „se obține faţa $5$". (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. Fie $A$ = „suma feţelor este $8$" și $B$ = „cele două feţe sunt egale". a) Scrie elementele lui $A$ și calculează $P(A)$. (3 p) b) Calculează $P(B)$. (2 p) c) Calculează $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Despre două evenimente se știe doar că $P(A)=\frac{2}{3}$ și $P(B)=\frac{1}{2}$. a) Arată că $P(A\cap B)\ge \frac{1}{6}$. (3 p) b) Arată că $P(A\cap B)\le \frac{1}{2}$. (3 p) c) Pot fi evenimentele $A$ și $B$ disjuncte? Justifică. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,20\}$. Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$. Fie $A$ = „numărul ales este divizibil cu $3$" și $B$ = „numărul ales este divizibil cu $4$". a) Calculați $P(A)$ și $P(B)$. (3 p) b) Calculați $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$. (3 p) c) Calculați probabilitatea ca numărul ales să nu fie divizibil nici cu $3$, nici cu $4$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$.

b) A. Evenimentele disjuncte nu se pot produce simultan, deci $A\cap B=\varnothing$ și $P(A\cap B)=P(\varnothing )=0$. Varianta C este formula independenței, care este cu totul altceva; varianta D este probabilitatea reuniunii, nu a intersecției.

c) B. Negarea propoziției „există cel puțin un elev care a răspuns corect" este „nu există niciunul", adică „niciun elev nu a răspuns corect". Aceasta este perechea „cel puțin unul" $\leftrightarrow$ „niciunul", folosită în toată unitatea.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte.

Avem $A=\{2,4,6\}$ și $B=\{4,5,6\}$.

a) $A\cup B=\{2,4,5,6\}$.

b) $A\cap B=\{4,6\}$.

c) $\overline{A}=\Omega \setminus A=\{1,3,5\}$.

d) $\mathrm{card}(A)=3$, $\mathrm{card}(B)=3$, $\mathrm{card}(A\cap B)=2$, iar $3+3-2=4=\mathrm{card}(A\cup B)$ ✓ Elementele $4$ și $6$ au fost numărate de două ori în suma $3+3$, de aceea se scade o dată intersecția.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Disjunct înseamnă doar $A\cap B=\varnothing$; contrar înseamnă, în plus, $A\cup B=\Omega$. Contraexemplu pe zar: $A=\{2,4,6\}$ și $B=\{1\}$ sunt disjuncte, dar $\overline{A}=\{1,3,5\}\ne B$. Formula scurtă de reținut: contrar = disjunct + acoperă tot.

b) F. Formula generală este $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; forma din enunț este valabilă numai dacă $A\cap B=\varnothing$. Altfel, rezultatele din intersecție ar fi numărate de două ori.

c) A. Evenimentele $A$ și $\overline{A}$ sunt disjuncte și reuniunea lor este $\Omega$, deci $P(A)+P(\overline{A})=P(\Omega )=1$.

d) A. Dacă ar fi disjuncte, am avea $$P(A\cup B)=\frac{3}{5}+\frac{7}{10}=\frac{6}{10}+\frac{7}{10}=\frac{13}{10}>1,$$ ceea ce este imposibil. Deci $A\cap B\ne \varnothing$; mai precis, $P(A\cap B)\ge \frac{13}{10}-1=\frac{3}{10}$.

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) În urnă sunt $5+7=12$ bile. Direct: cazurile favorabile sunt cele $7$ bile negre, deci $P=\frac{7}{12}$ (1 p). Prin contrar: $P(\text{alba˘})=\frac{5}{12}$, deci $$P(\text{nu e alba˘})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}✓$$ (1 p).

b) (2 p) $A=\{3,6\}$, deci $P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (1 p) și $P(\overline{A})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ (1 p).

c) (2 p) Contrarul lui „cel puțin un $6$" este „niciun $6$", adică ambele feţe sunt din $\{1,2,3,4,5\}$: $5\cdot 5=25$ cazuri din $36$ (1 p). Prin urmare $$P(\text{cel puțin un }6)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$ (1 p). (Observă că răspunsul nu este $2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}=\frac{12}{36}$ — probabilitățile nu se adună la repetarea unei probe.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) $P(A)=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$.

b) $P(A\cap B)=\frac{7}{30}$ (cei $7$ elevi care fac amândouă).

c) Prin formula reuniunii: $$P(A\cup B)=\frac{18}{30}+\frac{12}{30}-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}.$$ (În elevi: $18+12-7=23$ elevi fac cel puțin una dintre activități.)

d) „Niciuna" este contrarul lui „cel puțin una", deci $$P=1-\frac{23}{30}=\frac{7}{30}.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Se pleacă din intersecție, spre exterior (1 p):

(1,5 p) Verificare: $11+7+5+7=30=\mathrm{card}(\Omega )$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) „Exact una" înseamnă regiunile „doar sport" și „doar muzică": $11+5=16$ elevi (1 p), deci $$P=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$$ (1 p).

c) (2 p) Este regiunea „doar sport", cu $11$ elevi (1 p), deci $P=\frac{11}{30}$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Fie $A$ = „prima componentă se defectează" și $B$ = „a doua componentă se defectează". „Cel puțin una" înseamnă $A\cup B$ (1 p). Cele două evenimente nu sunt disjuncte (se pot defecta amândouă), deci se folosește formula generală (1 p): $$P(A\cup B)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}-\frac{1}{50}=\frac{5}{50}+\frac{10}{50}-\frac{1}{50}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}$$ (2 p).

b) (3 p) „Niciuna nu se defectează" este contrarul evenimentului de la punctul a) (1,5 p), deci $$P=1-\frac{7}{25}=\frac{18}{25}$$ (1,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Se folosește formula reuniunii scrisă invers (1 p): $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{4}{6}=\frac{1}{6}$$ (2 p).

b) (3 p) „Niciunul nu se produce" înseamnă că nu se produce nici $A$, nici $B$, adică nu se produce $A\cup B$; este deci contrarul reuniunii (1,5 p): $$P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$ (1,5 p). (Aceasta este una dintre relațiile lui De Morgan: contrarul lui „$A$ sau $B$" este „nu $A$ și nu $B$".)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $A=\{2,4,6\}$ și $B=\{1\}$, deci $A\cap B=\varnothing$ — evenimentele sunt disjuncte (1,5 p). Pe de altă parte $\overline{A}=\{1,3,5\}$, iar $B=\{1\}\ne \{1,3,5\}$ (1 p). Diferența se vede și în probabilități: $P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\ne 1$ (0,5 p).

b) (3 p) Presupunem $A\cap B=\varnothing$ și $P(A)+P(B)=1$. Fiind disjuncte, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1$ (1 p). Într-un model clasic cu $n$ rezultate egal posibile, $P(A\cup B)=1$ înseamnă $\mathrm{card}(A\cup B)=n$, adică $A\cup B=\Omega$ (1 p). Așadar $A$ și $B$ sunt disjuncte și acoperă tot $\Omega$, deci $B=\Omega \setminus A=\overline{A}$ (1 p). $■$

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $\mathrm{card}(A)=a$, $\mathrm{card}(B)=b$ și $\mathrm{card}(A\cap B)=c$.

Numărarea (2,5 p). Când adunăm $a+b$, rezultatele din $A\cap B$ sunt numărate de două ori: o dată ca elemente ale lui $A$ și o dată ca elemente ale lui $B$. Ca să obținem numărul corect de elemente ale reuniunii, scădem o dată această suprapunere: $$\mathrm{card}(A\cup B)=a+b-c.$$ Riguros: reuniunea se descompune în trei părți disjuncte — „doar $A$" cu $a-c$ elemente, „$A$ și $B$" cu $c$ elemente și „doar $B$" cu $b-c$ elemente —, iar $(a-c)+c+(b-c)=a+b-c$.

Trecerea la probabilități (2 p). Împărțim egalitatea la $n=\mathrm{card}(\Omega )>0$: $$\frac{\mathrm{card}(A\cup B)}{n}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n}-\frac{c}{n},$$ adică exact $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (0,5 p pentru concluzie). $■$

b) (3 p) Dacă $A\cap B=\varnothing$, atunci $P(A\cap B)=0$ și formula devine $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (1 p). Pe zar: $A=\{2,4,6\}$, $B=\{5\}$, iar $A\cap B=\varnothing$ (0,5 p), deci $$P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ (1 p). Verificare directă: $A\cup B=\{2,4,5,6\}$, cu $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) $\mathrm{card}(\Omega )=36$ (0,5 p). Suma $8$ se obține pentru perechile $$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$$ (1,5 p), deci $\mathrm{card}(A)=5$ și $P(A)=\frac{5}{36}$ (1 p). (Atenție: $(2,6)$ și $(6,2)$ sunt rezultate diferite; perechea $(4,4)$ apare o singură dată.)

b) (2 p) $B$ conține cele șase „dubluri" $(1,1),(2,2),\dots ,(6,6)$ (1 p), deci $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ (1 p).

c) (3 p) $A\cap B=\{(4,4)\}$, singurul dublu cu suma $8$, deci $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$ (1,5 p). Prin formula reuniunii: $$P(A\cup B)=\frac{5}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$$ (1,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Din formula reuniunii, $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ (1 p). Cum $P(A\cup B)\le 1$ pentru orice eveniment (1 p), rezultă $$P(A\cap B)\ge \frac{2}{3}+\frac{1}{2}-1=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}-\frac{6}{6}=\frac{1}{6}$$ (1 p).

b) (3 p) Din $A\cap B\subseteq A$ și $A\cap B\subseteq B$, prin monotonie (1,5 p): $$P(A\cap B)\le \min \left\{\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right\}=\frac{1}{2}$$ (1,5 p). Așadar $P(A\cap B)\in \left[\frac{1}{6},\frac{1}{2}\right]$.

c) (2 p) Nu. Dacă ar fi disjuncte, ar rezulta $P(A\cap B)=0$, ceea ce contrazice marginea de la punctul a), $P(A\cap B)\ge \frac{1}{6}>0$ (1 p). Intuitiv: două evenimente care „ocupă" împreună mai mult decât întregul $\Omega$ trebuie neapărat să se suprapună (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) $\mathrm{card}(\Omega )=20$ (0,5 p). Multiplii lui $3$ din $M$ sunt $3,6,9,12,15,18$ — șase numere, deci $$P(A)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$ (1,25 p). Multiplii lui $4$ sunt $4,8,12,16,20$ — cinci numere, deci $P(B)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ (1,25 p).

b) (3 p) Un număr este divizibil și cu $3$, și cu $4$ dacă și numai dacă este divizibil cu $12$ (numerele $3$ și $4$ fiind prime între ele) (1 p). În $M$ există un singur astfel de număr, $12$, deci $P(A\cap B)=\frac{1}{20}$ (1 p). Prin formula reuniunii: $$P(A\cup B)=\frac{6}{20}+\frac{5}{20}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$$ (1 p).

c) (2 p) Este contrarul reuniunii (1 p): $$P=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ (1 p). (Control prin listă: numerele care nu se divid nici cu $3$, nici cu $4$ sunt $1,2,5,7,10,11,13,14,17,19$ — exact zece din douăzeci ✓)