Test: rezolvarea grafică a ecuațiilor

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și verifică ultimele trei lecții ale ei: numărarea soluțiilor unei ecuații cu ajutorul graficului și cu șirul lui Rolle, plus citirea graficelor care vin din fizică. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: discuția după parametru la ecuația $f(x)=m$ — identificarea valorilor-prag (extremele locale și limitele finite de la capetele domeniului), plimbarea dreptei $y=m$ și scrierea răspunsului într-un tabel cu exact două coloane, intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor, care trebuie să acopere toată axa reală, fără goluri și fără suprapuneri. Al doilea: „regula capătului deschis" — la $m$ egal cu ordonata unei asimptote orizontale sau cu o limită finită neatinsă, ramura respectivă nu aduce soluție; este greșeala cea mai frecventă la acest tip de problemă. Al treilea: ecuația $f(x)=g(x)$, pe cele trei etape ale citirii — domeniul comun, comportarea la capete, monotoniile — cu deosebirea fermă dintre ce arată desenul și ce demonstrează calculul. Al patrulea: șirul lui Rolle, în formatul canonic cu trei rânduri, cu limitele scrise la capete, cu regula celor două tabele la domeniu întrerupt și cu cazul parametrului, în care rândul semnelor nu se poate completa dinainte. Al cincilea: graficele din fizică, cu unitățile de măsură scrise la rezultat și cu interpretarea asimptotei orizontale ca mărime-limită.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare discuție se cere tabelul cu două coloane complet, iar la fiecare șir al lui Rolle, tabelul cu cele trei rânduri.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice concluzie despre numărul soluțiilor trebuie sprijinită pe tabelul de variație sau pe șirul lui Rolle, nu pe desen. Se depunctează: coloana din stânga a tabelului de discuție care nu acoperă toată axa reală, numărarea unei soluții la nivelul unei asimptote orizontale, un singur tabel al șirului lui Rolle pe un domeniu întrerupt, rândul semnelor completat înainte de separarea cazurilor la o discuție cu parametru și rezultatul dat fără unitate de măsură la problemele din fizică.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe valorile-prag și pe regula capătului deschis.
• Formule de reținut: Rețeta discuției, în cinci pași: separarea parametrului $\to$ studiul funcției și trasarea graficului $\to$ scrierea valorilor-prag în ordine crescătoare $\to$ numărarea intersecțiilor pe fiecare interval dintre praguri și chiar în praguri $\to$ tabelul cu două coloane. Valorile-prag sunt extremele locale și limitele finite de la capetele domeniului (ordonatele asimptotelor orizontale și valorile din capetele închise). Regula capătului deschis: când o ramură are la un capăt o limită finită $\ell$ neatinsă, valoarea $m=\ell$ nu aduce soluție de pe acea ramură; când capătul este atins, aduce exact una. Cele trei etape ale citirii intersecției a două grafice: (1) domeniul comun; (2) comportarea la capete, cu consecința de semn a proprietății valorilor intermediare aplicată lui $h=f-g$; (3) monotoniile lui $h$, citite din tabelul de variație, care mărginesc numărul de soluții. Trecerea $f(x)=g(x)⟺h(x)=0$, cu $h=f-g$, este echivalentă; ridicarea la pătrat și înmulțirea cu o expresie care se poate anula nu sunt. Șirul lui Rolle, în cinci pași: domeniul și derivabilitatea $\to$ rădăcinile lui $h^{\prime }$ din domeniu, în ordine crescătoare $\to$ valorile în ele și limitele la capetele fiecărui interval $\to$ tabelul cu rândurile $x$, $h(x)$, semnul $\to$ citirea. Citirea: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție, și anume multiplă; între două valori de același semn, nicio soluție. La domeniu întrerupt se scriu două tabele, câte unul pe interval, pentru că proprietatea valorilor intermediare cere continuitate pe un interval. La discuția cu parametru, punctele critice nu depind de parametrul care apare ca termen liber, iar rândul semnelor se completează abia după separarea cazurilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Valorile-prag, regula capătului deschis și tabelul cu două coloane

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) La discuția, după $m$, a numărului soluțiilor ecuației $f(x)=m$, valorile-prag ale lui $m$ sunt: A. rădăcinile ecuației $f(x)=0$; B. valorile extreme locale ale funcției și limitele finite de la capetele domeniului; C. zerourile derivatei a doua; D. abscisele asimptotelor verticale.

b) Răspunsul discuției se scrie: A. ca o singură inecuație; B. ca un tabel cu exact două coloane — intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor; C. numai ca desen; D. ca un tabel de variație.

c) Dacă o ramură a graficului are la un capăt asimptota orizontală $y=\ell$, atunci, pentru $m=\ell$, acea ramură aduce: A. o soluție; B. două soluții; C. nicio soluție; D. o infinitate de soluții.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Propoziția «din desen se vede că ecuația are trei soluții» este o justificare matematică suficientă." b) „Trecerea de la ecuația $f(x)=g(x)$ la ecuația $h(x)=0$, unde $h=f-g$, nu pierde și nu câștigă soluții." c) „Dacă domeniul funcției are un punct exclus, șirul lui Rolle se scrie într-un singur tabel, cu bara $|$ în coloana acelui punct." d) „O valoare nulă în rândul $h(x)$ al șirului lui Rolle arată că punctul respectiv este el însuși soluție a ecuației."

Itemul 3 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$.

a) Alcătuiește tabelul de variație al funcției și scrie valorile-prag ale lui $m$. (4 p) b) Discută, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $\frac{8}{x^2+4}=m$, scriind răspunsul în tabelul cu două coloane. (3 p) c) Explică de ce valoarea $m=0$ nu aduce nicio soluție, deși $0$ este limita funcției la ambele capete. (1 p)

Itemul 4 (9 puncte)

Se consideră ecuația $2x^3-9x^2+12x=m$, unde $m$ este un număr real.

a) Studiază variația funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x$, și alcătuiește tabelul ei de variație. (4 p) b) Scrie valorile-prag și discuția completă, în tabelul cu două coloane. (4 p) c) Verifică, prin descompunere în factori, că pentru $m=4$ una dintre soluții este dublă. (1 p)

Partea a II-a – Ecuația $f(x)=g(x)$ și șirul lui Rolle

Itemul 5 (9 puncte)

Se consideră ecuația $2\ln x=x-1$.

a) Parcurge Etapa 1 și Etapa 2 ale citirii: scrie domeniul comun al celor două funcții și comportarea funcției $h(x)=2\ln x-x+1$ la capetele domeniului. (3 p) b) Alcătuiește șirul lui Rolle pentru $h$ și arată că ecuația are exact două soluții reale, precizând intervalele în care se află. (4 p) c) Arată prin calcul direct că $x=1$ este una dintre cele două soluții și precizează în care dintre intervalele găsite se află. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră ecuația $\cos x=x-1$.

a) Folosind mărginirea funcției cosinus, arată că orice soluție a ecuației se află în intervalul $[0,2]$. (3 p) b) Arată că funcția $h:[0,2]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\cos x-x+1$, este strict descrescătoare. (2 p) c) Alcătuiește șirul lui Rolle pentru $h$ pe $[0,2]$ și arată că ecuația are exact o soluție reală. (3 p)

Itemul 7 (9 puncte)

Se consideră ecuația $\frac{x^2+9}{x-4}=-6$.

a) Scrie domeniul, arată că $\frac{x^2+9}{x-4}=x+4+\frac{25}{x-4}$ și calculează derivata funcției $h(x)=\frac{x^2+9}{x-4}+6$. (3 p) b) Alcătuiește șirul lui Rolle, respectând regula domeniului întrerupt, și precizează numărul soluțiilor pe fiecare interval. (4 p) c) Confirmă rezultatul rezolvând algebric ecuația și verificând că soluțiile aparțin intervalului prezis. (2 p)

Partea a III-a – Discuția cu parametru, grafice din fizică și item de tip examen

Itemul 8 (10 puncte)

Se consideră ecuația $x^3-27x=m$, unde $m$ este un număr real.

a) Determină punctele critice ale funcției $h(x)=x^3-27x-m$ și arată că ele nu depind de $m$; calculează $h$ în aceste puncte. (3 p) b) Scrie tabelul șirului lui Rolle în forma lui generală și explică de ce rândul semnelor nu se poate completa încă. (2 p) c) Separă cazurile după $m$, scrie pentru fiecare șirul de semne și dă răspunsul în tabelul cu două coloane; la valorile-limită, confirmă soluția dublă printr-o descompunere în factori. (5 p)

Itemul 9 (10 puncte)

Un corp pornește din repaus și cade într-un mediu cu frecare; viteza lui, în metri pe secundă, după $t$ secunde, este dată de modelul $v:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $v(t)=30\left(1-e^{-t/5}\right)$.

a) Calculează $v(0)$, $v^{\prime }$ și $v^{\prime \prime }$, apoi precizează monotonia și convexitatea funcției, cu semnificația lor fizică. (4 p) b) Determină asimptota orizontală a graficului, alcătuiește tabelul de variație complet și explică ce mărime fizică reprezintă ordonata asimptotei. (4 p) c) Determină momentul în care viteza atinge $24$ m/s și arată că ecuația $v(t)=30$ nu are nicio soluție, invocând regula capătului deschis. (2 p)

Itemul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2(x-2{)}^2$.

a) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x-2)$, $x\in \mathbb{R}$, și alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$. (5 p) b) Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^2(x-2{)}^2=m$, scriind răspunsul în tabelul cu două coloane. (5 p) c) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația are exact patru soluții reale și arătați, rezolvând algebric, că pentru $m=1$ ecuația are trei soluții reale, dintre care una dublă. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Plimbând dreapta $y=m$ de jos în sus, numărul intersecțiilor rămâne constant pe intervale întregi și sare exact la înălțimile la care dreapta părăsește o ramură sau intră pe alta — adică la extremele locale și la limitele finite de la capete.

b) B. Coloana din stânga trebuie să acopere toată axa reală, fără goluri și fără suprapuneri; citită de sus în jos, ea este o partiție a lui $\mathbb{R}$. Este cea mai ieftină verificare de corectitudine a răspunsului.

c) C. O asimptotă orizontală este o limită, nu o valoare: ramura ia toate valorile dintre $\ell$ și celălalt capăt al ei, dar nu ia valoarea $\ell$, deci capătul intervalului-imagine este deschis. Este exact conținutul regulii capătului deschis.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Un desen nu deosebește două curbe care se ating de două care trec una lângă alta fără să se atingă, nu arată ce se întâmplă în afara ferestrei desenate și nu exclude o intersecție foarte departe. Raționamentul devine riguros abia când intervalele de monotonie provin din tabelul de variație stabilit prin calculul semnului derivatei.

b) A. Egalitatea $f(x)=g(x)$ este echivalentă cu $f(x)-g(x)=0$ pentru orice $x$ din domeniul comun, deci mulțimea soluțiilor este aceeași. Nu tot așa se întâmplă la ridicarea la pătrat sau la înmulțirea cu o expresie care se poate anula, care pot adăuga soluții străine.

c) F. La domeniu întrerupt se scriu două tabele, câte unul pe fiecare interval, pentru că citirea „exact o soluție între două semne contrare" folosește proprietatea valorilor intermediare, care cere continuitate pe un interval; peste o gaură din domeniu nu se poate trece. Un singur tabel cu bara $|$ este regula tabelului de variație, care descrie axa în întregime.

d) A. Dacă $h(x_i)=0$, atunci $x_i$ verifică ecuația; în plus, fiind și rădăcină a lui $h^{\prime }$, el este rădăcină multiplă, iar graficul este tangent axei $Ox$ în acel punct.

Itemul 3. (8 p)

a) (4 p) Numitorul $x^2+4$ este strict pozitiv, deci $D=\mathbb{R}$, iar funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=-\frac{8\cdot 2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{-16x}{{\left(x^2+4\right)}^2}$$ (1 p). Numitorul fiind pozitiv, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-16x$: pozitiv pentru $x<0$, negativ pentru $x>0$; punctul critic este $0$, cu $f(0)=2$ (0,5 p). Limitele: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{8}{x^2+4}=0$, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete (0,5 p). (Pentru discuția numărului de soluții este de ajuns tabelul cu derivata întâi: convexitatea nu schimbă numărul intersecțiilor cu o orizontală.)

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,0]$ și scade pe $[0,+\infty )$, cu maximul global $f(0)=2$; imaginea funcției este $(0,2]$, valoarea $0$ nefiind atinsă. Valorile-prag sunt, în ordine crescătoare, $0$ (limita de la ambele capete) și $2$ (maximul) (0,5 p).

b) (3 p) Imaginile celor două ramuri sunt $(0,2]$ pe $(-\infty ,0]$ și $(0,2]$ pe $[0,+\infty )$, cu valoarea $2$ atinsă în același punct $x=0$ (1 p).

(2 p)

c) (1 p) Valoarea $0$ este limita funcției la $\pm \infty$, nu o valoare a ei: funcția este strict pozitivă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că numărătorul este $8$ și numitorul este pozitiv. Capătul intervalului-imagine este deschis, deci, conform regulii capătului deschis, la $m=0$ nicio ramură nu aduce soluție.

Itemul 4. (9 p)

a) (4 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$$ (1,5 p). Rădăcinile sunt $1$ și $2$; derivata este pozitivă în afara lor și negativă între ele. Valorile: $f(1)=2-9+12=5$ și $f(2)=16-36+24=4$ (1 p). Coeficientul dominant fiind pozitiv, limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$; funcția polinomială de gradul al treilea nu are asimptote.

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,1]$ și pe $[2,+\infty )$ și scade pe $[1,2]$, cu maximul local $f(1)=5$ și minimul local $f(2)=4$.

b) (4 p) Valorile-prag sunt, în ordine crescătoare, $4$ și $5$; limitele de la capete fiind infinite, ele nu produc praguri (1 p). Imaginile celor trei ramuri de monotonie sunt $(-\infty ,5]$, $[4,5]$ și $[4,+\infty )$ (1 p).

(2 p)

c) (1 p) Pentru $m=4$ ecuația se scrie $2x^3-9x^2+12x-4=0$, iar $$2x^3-9x^2+12x-4=(x-2{)}^2(2x-1),$$ verificare făcută prin desfacerea parantezelor. Soluțiile sunt $x=2$, dublă, și $x=\frac{1}{2}$, deci două soluții distincte — exact ce dă tabelul. (Analog, pentru $m=5$: $2x^3-9x^2+12x-5=(x-1{)}^2(2x-5)$.)

Itemul 5. (9 p)

a) (3 p) Etapa 1 — domeniul comun. Logaritmul cere $x>0$, iar dreapta este definită peste tot, deci $D=(0,+\infty )$ (1 p). Fie $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=2\ln x-x+1$, derivabilă pe domeniu. Etapa 2 — comportarea la capete. La dreapta lui $0$, $2\ln x\to -\infty$ și $-x+1\to 1$, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }h(x)=-\infty$ (1 p). La $+\infty$, termenul $-x$ domină logaritmul, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=-\infty$ (1 p). Ambele capete dau $-\infty$: dacă funcția urcă undeva deasupra axei, va tăia axa de două ori.

b) (4 p) Etapa 3 și șirul lui Rolle. Derivata (1 p): $$h^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x},$$ pozitivă pe $(0,2)$ și negativă pe $(2,+\infty )$, deci singurul punct critic este $x=2$, cu $h(2)=2\ln 2-1$ (1 p). Cum $\ln 2\approx 0,693$, avem $2\ln 2-1\approx 0,386>0$ (0,5 p).

(1 p)

Citire: două schimbări de semn, deci ecuația are exact două soluții reale, una în intervalul $(0,2)$ și una în intervalul $(2,+\infty )$ (0,5 p).

c) (2 p) Pentru $x=1$ obținem $2\ln 1=0$ și $1-1=0$, deci egalitatea este verificată: $x=1$ este soluție (1 p). Cum $0<1<2$, ea este soluția din intervalul $(0,2)$; cealaltă soluție se află în $(2,+\infty )$ și nu se exprimă prin radicali (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Pentru orice $x$ real avem $-1\le \cos x\le 1$ (1 p). Dacă $x$ este soluție, atunci $x-1=\cos x$, deci $-1\le x-1\le 1$ (1 p), adică $0\le x\le 2$: toate soluțiile se află în $[0,2]$, iar în afara acestui interval căutarea nu are rost (1 p).

b) (2 p) Funcția $h(x)=\cos x-x+1$ este derivabilă, cu $$h^{\prime }(x)=-\sin x-1\le 0$$ (1 p), egalitatea având loc numai când $\sin x=-1$, adică pentru $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ — valori care nu se află în $[0,2]$. Prin urmare $h^{\prime }<0$ pe tot intervalul și $h$ este strict descrescătoare acolo (1 p).

c) (3 p) Derivata nu are nicio rădăcină în interval, deci tabelul are numai coloanele capetelor (0,5 p). Valorile: $h(0)=1-0+1=2>0$ și $h(2)=\cos 2-1\approx -1,416<0$, pentru că $\cos 2<0$ (1 p).

(1 p)

Citire: o singură schimbare de semn pe un interval pe care funcția este strict monotonă, deci ecuația $\cos x=x-1$ are exact o soluție reală, situată în intervalul $(0,2)$ (0,5 p).

Itemul 7. (9 p)

a) (3 p) Numitorul se anulează în $4$, deci $D=(-\infty ,4)\cup (4,+\infty )$ (0,5 p). Împărțim cu rest: $(x-4)(x+4)=x^2-16$, iar $x^2-16+25=x^2+9$, deci $$\frac{x^2+9}{x-4}=x+4+\frac{25}{x-4}$$ (1 p). Fie $h(x)=x+10+\frac{25}{x-4}$; atunci (1,5 p) $$h^{\prime }(x)=1-\frac{25}{(x-4{)}^2}=\frac{(x-4{)}^2-25}{(x-4{)}^2}=\frac{(x-9)(x+1)}{(x-4{)}^2}.$$

b) (4 p) Punctele critice sunt $-1$ și $9$, primul în intervalul $(-\infty ,4)$, al doilea în $(4,+\infty )$ (0,5 p). Valorile: $h(-1)=-1+10-5=4$ și $h(9)=9+10+5=24$ (0,5 p). Limitele: la $\pm \infty$ funcția tinde la $\mp \infty$, respectiv $+\infty$, iar în $4$ limitele laterale sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta (1 p). Domeniul fiind întrerupt, se scriu două tabele (0,5 p):

(1 p)

Citire: pe $(-\infty ,4)$ sunt două schimbări de semn, deci două soluții, una în $(-\infty ,-1)$ și una în $(-1,4)$; pe $(4,+\infty )$ toate semnele sunt egale, deci nicio soluție. În total, ecuația are exact două soluții reale, amândouă mai mici decât $4$ (0,5 p).

c) (2 p) Înmulțind cu $x-4\ne 0$, ecuația devine $x^2+9=-6x+24$, adică $x^2+6x-15=0$, cu $\Delta =36+60=96$ și soluțiile $x=-3\pm 2\sqrt{6}$ (1 p). Cum $2\sqrt{6}\approx 4,899$, avem $x_1\approx -7,899$ și $x_2\approx 1,899$, amândouă mai mici decât $4$ și diferite de $4$ — exact cum prezisese șirul lui Rolle (1 p).

Itemul 8. (10 p)

a) (3 p) Fie $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^3-27x-m$, funcție polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Parametrul apare ca termen liber, deci dispare prin derivare: $$h^{\prime }(x)=3x^2-27=3(x-3)(x+3)$$ (1,5 p), iar punctele critice $x_1=-3$ și $x_2=3$ sunt aceleași pentru orice $m$ (0,5 p). Valorile: $h(-3)=-27+81-m=54-m$ și $h(3)=27-81-m=-54-m$ (0,5 p).

b) (2 p) Limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, independent de $m$ (0,5 p).

(1 p)

Rândul semnelor nu se poate completa încă: semnele valorilor $54-m$ și $-54-m$ depind de $m$, iar rândul „semnul" acceptă numai $+$, $-$ sau $0$. Cazurile se obțin comparând $m$ cu $-54$ și cu $54$ (0,5 p).

c) (5 p) Discuția, pe cele cinci cazuri (2,5 p pentru cele cinci șiruri de semne, 1 p pentru cele două descompuneri, 1,5 p pentru tabelul final):

• $m<-54$: $54-m>0$ și $-54-m>0$, deci semnele sunt $-,+,+,+$: o singură schimbare, deci o soluție, în $(-\infty ,-3)$;
• $m=-54$: $54-m=108>0$ și $-54-m=0$, deci semnele sunt $-,+,0,+$: o schimbare plus o valoare nulă, deci două soluții distincte, dintre care $x=3$ este dublă, fiindcă $x^3-27x+54=(x-3{)}^2(x+6)$;
• $-54<m<54$: $54-m>0$ și $-54-m<0$, deci semnele sunt $-,+,-,+$: trei schimbări, deci trei soluții distincte;
• $m=54$: $54-m=0$ și $-54-m=-108<0$, deci semnele sunt $-,0,-,+$: o valoare nulă plus o schimbare, deci două soluții distincte, dintre care $x=-3$ este dublă, fiindcă $x^3-27x-54=(x+3{)}^2(x-6)$;
• $m>54$: ambele valori sunt negative, deci semnele sunt $-,-,-,+$: o singură schimbare, deci o soluție, în $(3,+\infty )$.

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) În momentul inițial $v(0)=30(1-1)=0$ m/s, ceea ce corespunde pornirii din repaus (1 p). Derivăm funcția compusă (1,5 p): $$v^{\prime }(t)=30\cdot \frac{1}{5}{e}^{-t/5}=6e^{-t/5},v^{\prime \prime }(t)=-\frac{6}{5}{e}^{-t/5}=-1,2e^{-t/5}.$$ Exponențiala fiind strict pozitivă, $v^{\prime }>0$ și $v^{\prime \prime }<0$ pe tot domeniul (0,5 p). Deci viteza este strict crescătoare — corpul accelerează tot timpul — și funcția este concavă, adică viteza crește tot mai încet: accelerația $v^{\prime }(t)$ scade, pentru că frecarea crește odată cu viteza (1 p).

b) (4 p) Cum $e^{-t/5}\to 0$ când $t\to +\infty$, avem $\underset{t\to +\infty }{\lim }v(t)=30$, deci dreapta $v=30$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $v$ (1,5 p). Capătul $0$ este închis, deci în coloana lui se scriu valorile $v^{\prime }(0)=6$ și $v^{\prime \prime }(0)=-1,2$; nu există niciun punct critic, deci tabelul are $4$ coloane (0,5 p).

(1 p)

Citirea tabelului: viteza crește strict de la $0$ m/s, tot mai încet, apropiindu-se de $30$ m/s. Ordonata asimptotei este viteza-limită a corpului: valoarea spre care tinde viteza, atinsă atunci când forța de frecare ar echilibra greutatea (1 p).

c) (2 p) Rezolvăm $30\left(1-e^{-t/5}\right)=24$, adică $e^{-t/5}=\frac{1}{5}$, deci $-\frac{t}{5}=-\ln 5$ și $$t=5\ln 5\approx 8,05\text{secunde}$$ (1 p). Ecuația $v(t)=30$ ar cere $e^{-t/5}=0$, imposibil, pentru că exponențiala este strict pozitivă. Altfel spus, $30$ este limita funcției la capătul $+\infty$, nu o valoare a ei; conform regulii capătului deschis, la acest nivel ramura nu aduce nicio soluție, deci viteza-limită nu se atinge niciodată (1 p).

Itemul 10. (15 p)

a) (5 p) Scriem $f(x)={\left(x^2-2x\right)}^2$ și derivăm funcția compusă (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=2\left(x^2-2x\right)(2x-2)=4x(x-2)(x-1)=4x(x-1)(x-2).$$ Rădăcinile sunt $0$, $1$ și $2$; produsul a trei factori de gradul întâi este negativ pe $(-\infty ,0)$, pozitiv pe $(0,1)$, negativ pe $(1,2)$ și pozitiv pe $(2,+\infty )$ (1,5 p). Valorile: $f(0)=0$, $f(1)=1\cdot 1=1$, $f(2)=0$; limitele la capete sunt amândouă $+\infty$, coeficientul dominant fiind $1$ (1 p). (Pentru discuția care urmează este de ajuns tabelul cu derivata întâi.)

(1 p)

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și pe $[1,2]$ și crește pe $[0,1]$ și pe $[2,+\infty )$; are minimele globale $f(0)=f(2)=0$ și maximul local $f(1)=1$; imaginea este $[0,+\infty )$.

b) (5 p) Valorile-prag sunt $0$ și $1$; limitele de la capete fiind infinite, nu produc praguri (1 p). Imaginile celor patru ramuri de monotonie sunt $[0,+\infty )$, $[0,1]$, $[0,1]$ și $[0,+\infty )$; la $m=1$ ramurile a doua și a treia se întâlnesc în același punct, $x=1$, deci acesta se numără o singură dată (1,5 p).

(2,5 p)

c) (5 p) Ecuația are exact patru soluții reale pentru $$m\in (0,1)$$ (1,5 p), adică exact atunci când dreapta $y=m$ trece strict între cele două minime și maximul local. Pentru $m=1$ ecuația se scrie ${\left[x(x-2)\right]}^2=1$, adică $x(x-2)=1$ sau $x(x-2)=-1$ (1,5 p). Prima ecuație, $x^2-2x-1=0$, are $\Delta =8$ și soluțiile $x=1\pm \sqrt{2}$ (1 p). A doua, $x^2-2x+1=0$, se scrie $(x-1{)}^2=0$ și dă soluția dublă $x=1$ (1 p). În total trei soluții reale distincte, $1-\sqrt{2}$, $1$ și $1+\sqrt{2}$, dintre care $x=1$ este dublă — exact ce dă tabelul de la subpunctul b).