Test: rezolvarea triunghiurilor oarecare

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Pentru părinți și profesori

„A rezolva un triunghi" înseamnă a-i determina toate cele șase elemente — trei laturi și trei unghiuri — pornind de la trei dintre ele. Testul verifică exact această competență, pe cele patru situații care apar în practică: LLL (trei laturi), LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU (o latură și două unghiuri) și LLU (două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele). Cea mai importantă deprindere evaluată nu este calculul în sine, ci alegerea instrumentului potrivit: teorema cosinusului este singura care funcționează la LLL și LUL, teorema sinusurilor este cea mai scurtă cale la ULU, iar la LLU se combină cele două, cu prudență. Cazul LLU este tratat pe larg, pentru că este singurul în care datele pot conduce la două triunghiuri diferite, la unul singur sau la niciunul — o lecție de rigoare care depășește cu mult trigonometria. Un obicei cerut sistematic în barem: după fiecare rezolvare se verifică inegalitatea triunghiului și faptul că suma unghiurilor este $180^{\circ }$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească tabelul de valori trigonometrice sau un calculator, așa cum prevede programa. Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: valorile trigonometrice se iau cu 4 zecimale, lungimile se rotunjesc la 2 zecimale, iar unghiurile la o zecimală de grad. Acolo unde rezultatul este exact (radical sau fracție), se cere forma exactă, iar aproximarea se dă doar dacă enunțul o cere.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe recunoașterea cazului și pe discuția din cazul LLU.
• Formule de reținut: teorema cosinusului $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, cu forma echivalentă $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$; teorema sinusurilor $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$; suma unghiurilor $A+B+C=180^{\circ }$. Strategia pe cazuri:

Discuția cazului LLU (se cunosc $a$, $b$ și unghiul $A$, opus laturii $a$): se calculează $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$. Dacă $\sin B>1$, nu există triunghi; dacă $\sin B=1$, există unul singur, dreptunghic în $B$; dacă $\sin B<1$, se examinează ambele valori $B$ și $180^{\circ }-B$ și se păstrează cele pentru care $A+B<180^{\circ }$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recunoașterea cazului și rezolvări directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-un triunghi se cunosc două laturi și unghiul dintre ele. Rezolvarea începe cu: A. teorema sinusurilor; B. teorema cosinusului; C. suma unghiurilor; D. inegalitatea triunghiului.

b) În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=50^{\circ }$, $m(\angle B)=70^{\circ }$ și $c=10$. Măsura unghiului $C$ este: A. $50^{\circ }$; B. $60^{\circ }$; C. $70^{\circ }$; D. nu se poate determina.

c) Dacă într-un triunghi se cunosc două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele, atunci problema poate avea: A. exact o soluție; B. exact două soluții; C. niciuna, una sau două soluții; D. o infinitate de soluții.

Itemul 2 (6 puncte)

(Cazul LUL.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=15$, $AC=7$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

a) Calculează $BC$. (2 p) b) Calculează $\cos B$ și $\cos C$. (2 p) c) Precizează natura triunghiului, justificând. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

(Cazul ULU.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=60^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$ și $a=BC=12$. Din tabel: $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$. a) Calculează $m(\angle C)$. (1 p) b) Calculează $2R$, în formă exactă și aproximată la patru zecimale. (1,5 p) c) Calculează latura $b$, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (1,5 p) d) Calculează latura $c$, rotunjită la două zecimale. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Un triunghi este complet determinat dacă i se cunosc cele trei unghiuri." b) „În cazul LUL, triunghiul este întotdeauna unic determinat." c) „Dacă se cunosc $a$, $b$ și unghiul $A$, iar $a\ge b$, atunci există cel mult un triunghi." d) „Oricare trei numere strict pozitive pot fi lungimile laturilor unui triunghi."

Partea a II-a – Cele patru cazuri, cu discuție

Itemul 5 (8 puncte)

(Cazul LLL.) Triunghiul $ABC$ are laturile $a=5$, $b=6$, $c=7$. a) Calculează $\cos A$, $\cos B$ și $\cos C$. (3 p) b) Determină cele trei unghiuri, rotunjite la o zecimală de grad. (3 p) c) Verifică suma unghiurilor și precizează natura triunghiului. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

(Cazul LLU — două soluții.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=10$, $b=10\sqrt{3}$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$.

a) Calculează $\sin B$ și determină ambele valori posibile pentru $m(\angle B)$. (2 p) b) Rezolvă complet triunghiul în primul caz. (2,5 p) c) Rezolvă complet triunghiul în al doilea caz. (2,5 p)

Itemul 7 (7 puncte)

(Cazul LLU — o singură soluție.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=14$, $b=9$ și $m(\angle A)=65^{\circ }$. Din tabel: $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$. a) Calculează $\sin B$ și determină $m(\angle B)$, rotunjită la o zecimală de grad. (3 p) b) Arată că a doua valoare posibilă pentru $m(\angle B)$ trebuie respinsă. (2 p) c) Calculează $m(\angle C)$ și latura $c$, rotunjită la două zecimale, știind că $\sin 79,4^{\circ }\approx 0,9828$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) O parcelă are forma triunghiului $ABC$, cu $AB=120$ m, $AC=90$ m și $m(\angle A)=55^{\circ }$. Din tabel: $\cos 55^{\circ }\approx 0,5736$. a) Calculează lungimea laturii $BC$, rotunjită la două zecimale. (3 p) b) Calculează lungimea gardului necesar pentru a împrejmui parcela. (1 p) c) Calculează $\cos B$, determină $m(\angle B)$ și apoi $m(\angle C)$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

(Cazul LLU — nicio soluție.) Se dau $a=5$, $b=12$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$. Din tabel: $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$. a) Calculează valoarea pe care ar trebui să o aibă $\sin B$. (2 p) b) Explică de ce nu există niciun triunghi cu aceste date. (2 p) c) Determină valorile lui $a$ pentru care, păstrând $b=12$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$, există cel puțin un triunghi. (2 p)

Partea a III-a – Probleme practice și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=24$, $AC=11$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculează $BC$. (3 p) b) Calculează $\cos B$ și $\cos C$. (3 p) c) Determină $m(\angle B)$ și $m(\angle C)$, rotunjite la o zecimală de grad, și verifică suma celor trei unghiuri. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $a=12$, $b=17$, $c=25$. a) Arătați că $\cos C=-\frac{8}{17}$ și că unghiul $C$ este obtuz. (3 p) b) Calculați $\sin C$. (2 p) c) Calculați $\sin A$ și $\sin B$, folosind teorema sinusurilor. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, cu $AB=42$ m, $BC=56$ m, $m(\angle ABC)=90^{\circ }$, $CD=30$ m și $m(\angle ADC)=120^{\circ }$.

a) Calculează diagonala $AC$. (2 p) b) Notând $AD=x$, scrie teorema cosinusului în triunghiul $ACD$ și adu relația la forma unei ecuații de gradul al doilea în $x$. (3 p) c) Rezolvă ecuația, justifică respingerea uneia dintre rădăcini și verifică rezultatul. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră un triunghi $ABC$ cu $b=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$, în care latura $a$ poate lua diferite valori strict pozitive. a) Arătați că $\sin B=\frac{5}{a}$. (2 p) b) Determinați valorile lui $a$ pentru care nu există niciun triunghi cu aceste date. (2 p) c) Arătați că pentru $a=5$ există exact un triunghi și că el este dreptunghic. (2 p) d) Pentru $a=5\sqrt{2}$, determinați cele două triunghiuri posibile, precizând în fiecare caz $m(\angle B)$ și $m(\angle C)$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Teorema sinusurilor are nevoie de o pereche completă „latură – unghi opus", pereche pe care cazul LUL nu o oferă. Teorema cosinusului folosește exact datele disponibile: două laturi și unghiul dintre ele. b) B. $m(\angle C)=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$. Latura $c=10$ nu este necesară pentru acest calcul; ea servește mai departe, la aflarea celorlalte laturi. c) C. Este cazul LLU: din $\sin B$ pot rezulta două unghiuri suplementare, unul singur (dacă cealaltă valoare este incompatibilă cu suma unghiurilor) sau niciunul (dacă valoarea calculată depășește $1$).

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Cu $b=AC=7$, $c=AB=15$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$B{C}^2=7^2+15^2-2\cdot 7\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=49+225-105=169,$$ deci $BC=13$. (Inegalitatea triunghiului: $7+13=20>15$ ✓.)

b) (2 p) $\cos B=\frac{169+225-49}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{345}{390}=\frac{23}{26}\approx 0,8846$ și $\cos C=\frac{169+49-225}{2\cdot 13\cdot 7}=\frac{-7}{182}=-\frac{1}{26}\approx -0,0385$.

c) (2 p) Cum $\cos C<0$, unghiul $C$ este obtuz, deci triunghiul este obtuzunghic (1,5 p). Este un caz „la limită": $C\approx 92,2^{\circ }$, foarte aproape de un unghi drept, ceea ce arată de ce o simplă privire pe desen nu este suficientă — decide semnul cosinusului (0,5 p). (Control: $B\approx 27,8^{\circ }$ și $60^{\circ }+27,8^{\circ }+92,2^{\circ }=180^{\circ }$ ✓.)

Itemul 3. (6 p)

a) (1 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$.

b) (1,5 p) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\approx 13,8564$.

c) (1,5 p) $b=2R\sin B=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}\approx 9,80$.

d) (2 p) $c=2R\sin C\approx 13,8564\cdot 0,9659\approx 13,38$. (Verificări: cel mai mare unghi este $C=75^{\circ }$, deci $c$ trebuie să fie cea mai lungă latură ✓; inegalitatea triunghiului $9,80+12=21,80>13,38$ ✓.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Cunoscând doar unghiurile, obținem o infinitate de triunghiuri asemenea între ele, de mărimi diferite. Pentru determinare este nevoie de cel puțin o latură. b) A. Teorema cosinusului dă a treia latură într-un singur mod ($a^2$ este complet determinat, iar $a>0$), după care cele două unghiuri rămase rezultă unic din cosinusurile lor. Nu apare nicio ambiguitate. c) A. Din $\sin B=\frac{b\sin A}{a}\le \sin A$ (pentru că $b\le a$) rezultă $B\le A$, deci $B$ nu poate fi obtuz dacă $A$ este ascuțit; valoarea suplementară $180^{\circ }-B$ ar da $A+(180^{\circ }-B)\ge 180^{\circ }$ și se respinge. Rămâne cel mult o soluție. d) F. Este necesară inegalitatea triunghiului. De exemplu, $2$, $3$ și $9$ nu pot fi laturile unui triunghi, pentru că $2+3=5<9$.

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Triunghiul există: $5+6=11>7$ ✓ (0,5 p). Apoi $$\cos A=\frac{36+49-25}{2\cdot 6\cdot 7}=\frac{60}{84}=\frac{5}{7},\cos B=\frac{25+49-36}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{38}{70}=\frac{19}{35},\cos C=\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$ (2,5 p).

b) (3 p) Din tabel sau cu calculatorul: $\cos A=\frac{5}{7}\approx 0,7143\Rightarrow m(\angle A)\approx 44,4^{\circ }$ (1 p); $\cos B=\frac{19}{35}\approx 0,5429\Rightarrow m(\angle B)\approx 57,1^{\circ }$ (1 p); $\cos C=0,2\Rightarrow m(\angle C)\approx 78,5^{\circ }$ (1 p).

c) (2 p) $44,4^{\circ }+57,1^{\circ }+78,5^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ (1 p). Toate cele trei cosinusuri sunt pozitive, deci toate unghiurile sunt ascuțite: triunghiul este ascuțitunghic (1 p). Se observă și aici că ordinea unghiurilor urmează ordinea laturilor: $a<b<c$ și $A<B<C$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Din teorema sinusurilor, $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p), de unde $$m(\angle B)=60^{\circ }\text{sau}m(\angle B)=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$ (1 p). Ambele merită examinate, pentru că $a=10<10\sqrt{3}=b$.

b) (2,5 p) Cazul $m(\angle B)=60^{\circ }$. Atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$ (1 p). Cu $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$, obținem $c=2R\sin C=20\cdot 1=20$ (1 p). Triunghiul este dreptunghic, cu laturile $10$, $10\sqrt{3}\approx 17,32$ și $20$; verificare: $10^2+(10\sqrt{3}{)}^2=100+300=400=20^2$ ✓ (0,5 p).

c) (2,5 p) Cazul $m(\angle B)=120^{\circ }$. Atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$ (1 p) și $c=20\cdot \sin 30^{\circ }=10$ (1 p). Triunghiul este isoscel, cu $a=c=10$ și $b=10\sqrt{3}\approx 17,32$; inegalitatea triunghiului: $10+10=20>17,32$ ✓ (0,5 p). Datele din enunț determină, așadar, două triunghiuri diferite.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ (1 p), adică $$\sin B\approx \frac{9\cdot 0,9063}{14}=\frac{8,1567}{14}\approx 0,5826$$ (1,5 p), de unde $m(\angle B)\approx 35,6^{\circ }$ (0,5 p).

b) (2 p) A doua valoare posibilă ar fi $180^{\circ }-35,6^{\circ }=144,4^{\circ }$ (1 p). Ea se respinge, pentru că $65^{\circ }+144,4^{\circ }=209,4^{\circ }>180^{\circ }$, iar suma a două unghiuri ale unui triunghi este strict mai mică decât $180^{\circ }$ (1 p). Explicația de fond: $a=14>9=b$, deci $A>B$, iar $B$ nu poate fi obtuz.

c) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-65^{\circ }-35,6^{\circ }=79,4^{\circ }$ (1 p) și $$c=\frac{a\sin C}{\sin A}\approx \frac{14\cdot 0,9828}{0,9063}=\frac{13,7592}{0,9063}\approx 15,18$$ (1 p). (Verificare: $9+14=23>15,18$ ✓, iar cea mai lungă latură, $c$, se opune celui mai mare unghi, $C$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $B{C}^2=120^2+90^2-2\cdot 120\cdot 90\cdot \cos 55^{\circ }$ (1 p), adică $$B{C}^2\approx 14400+8100-21600\cdot 0,5736=22500-12389,76=10110,24$$ (1 p), deci $BC\approx \sqrt{10110,24}\approx 100,55$ m (1 p).

b) (1 p) Gardul are lungimea perimetrului: $P\approx 120+90+100,55=310,55$ m.

c) (2 p) $\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}\approx \frac{10110,24+14400-8100}{2\cdot 100,55\cdot 120}=\frac{16410,24}{24132}\approx 0,6800$, deci $m(\angle B)\approx 47,2^{\circ }$ (1,5 p). Atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-55^{\circ }-47,2^{\circ }=77,8^{\circ }$ (0,5 p). (Control: calculul direct al lui $\cos C\approx 0,2105$ dă tot $C\approx 77,8^{\circ }$ ✓.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) $\sin B=\frac{b\sin A}{a}\approx \frac{12\cdot 0,6428}{5}=\frac{7,7136}{5}\approx 1,5427$.

b) (2 p) Sinusul oricărui unghi aparține intervalului $[-1,1]$, deci valoarea $1,5427>1$ este imposibilă: nu există niciun triunghi cu datele din enunț (1 p). Geometric: latura $a=5$ este prea scurtă pentru a ajunge de la vârful $C$ până la a doua latură a unghiului $A$; distanța minimă de la $C$ la acea dreaptă este $b\sin A\approx 7,71>5$ (1 p).

c) (2 p) Condiția $\sin B\le 1$ înseamnă $\frac{12\sin 40^{\circ }}{a}\le 1$, adică $a\ge 12\sin 40^{\circ }$ (1 p). Numeric, $$a\ge 12\cdot 0,6428=7,7136\approx 7,71$$ (1 p). Discuția completă: pentru $a=12\sin 40^{\circ }\approx 7,71$ există exact un triunghi (dreptunghic în $B$), pentru $12\sin 40^{\circ }<a<12$ există două, iar pentru $a\ge 12$ există unul singur.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Cu $b=AC=11$, $c=AB=24$ și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (1 p): $$B{C}^2=11^2+24^2-2\cdot 11\cdot 24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=121+576+264=961$$ (1,5 p), deci $BC=31$ (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $11+24=35>31$ ✓.)

b) (3 p) $\cos B=\frac{961+576-121}{2\cdot 31\cdot 24}=\frac{1416}{1488}=\frac{59}{62}\approx 0,9516$ (1,5 p) și $\cos C=\frac{961+121-576}{2\cdot 31\cdot 11}=\frac{506}{682}=\frac{23}{31}\approx 0,7419$ (1,5 p).

c) (2 p) $m(\angle B)\approx 17,9^{\circ }$ și $m(\angle C)\approx 42,1^{\circ }$ (1 p). Verificare: $120^{\circ }+17,9^{\circ }+42,1^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ (1 p). Ambele cosinusuri sunt pozitive, deci ambele unghiuri sunt ascuțite — corect, pentru că triunghiul are deja un unghi obtuz.

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Triunghiul există: $12+17=29>25$ ✓ (0,5 p). Unghiul $C$ se opune laturii $c=25$: $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{144+289-625}{2\cdot 12\cdot 17}=\frac{-192}{408}=-\frac{8}{17}$$ (2 p). Cum $\cos C<0$, unghiul $C$ este obtuz ($C\approx 118,1^{\circ }$) (0,5 p).

b) (2 p) Sinusul unui unghi de triunghi este pozitiv, deci $$\sin C=\sqrt{1-{\left(\frac{8}{17}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$

c) (3 p) Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{c}{\sin C}=\frac{25}{\frac{15}{17}}=\frac{85}{3}$ (1,5 p), deci $$\sin A=\frac{a}{2R}=\frac{12\cdot 3}{85}=\frac{36}{85}\approx 0,4235,\sin B=\frac{b}{2R}=\frac{17\cdot 3}{85}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$$ (1,5 p). (Control: $A\approx 25,1^{\circ }$, $B\approx 36,9^{\circ }$, $C\approx 118,1^{\circ }$, cu suma $180^{\circ }$ ✓. Ambele unghiuri sunt ascuțite, deci pentru ele valoarea sinusului determină unghiul fără ambiguitate.)

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, deci, din teorema lui Pitagora, $$A{C}^2=42^2+56^2=1764+3136=4900⟹AC=70\text{ m}.$$ (Se recunoaște triunghiul $3$–$4$–$5$ mărit de $14$ ori.)

b) (3 p) În triunghiul $ACD$ cunoaștem $AC=70$, $CD=30$, $AD=x$ și unghiul $D$ dintre laturile $CD$ și $AD$, cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (1 p): $$70^2=30^2+x^2-2\cdot 30\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)⟺4900=900+x^2+30x$$ (1,5 p), adică $x^2+30x-4000=0$ (0,5 p).

c) (3 p) $\Delta =900+16000=16900$, $\sqrt{\Delta }=130$ (1 p), deci $x=\frac{-30\pm 130}{2}$, adică $x_1=50$ și $x_2=-80$ (1 p). Rădăcina negativă se respinge, o lungime fiind strict pozitivă, deci $AD=50$ m (0,5 p). Verificare: $\cos D=\frac{30^2+50^2-70^2}{2\cdot 30\cdot 50}=\frac{900+2500-4900}{3000}=-\frac{1}{2}$ ✓, iar inegalitatea triunghiului în $ACD$: $30+50=80>70$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, deci $$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\cdot \sin 30^{\circ }}{a}=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{a}=\frac{5}{a}.$$

b) (2 p) Nu există triunghi atunci când $\sin B>1$ (1 p), adică $\frac{5}{a}>1$, ceea ce, pentru $a>0$, înseamnă $$a<5$$ (1 p).

c) (2 p) Pentru $a=5$ obținem $\sin B=1$, deci $m(\angle B)=90^{\circ }$ — singura posibilitate, pentru că $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$ dă aceeași valoare (1 p). Atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-90^{\circ }=60^{\circ }$, iar triunghiul este dreptunghic în $B$, cu $c=2R\sin C=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ (1 p). (Verificare: $5^2+(5\sqrt{3}{)}^2=25+75=100=10^2$ ✓.)

d) (2 p) Pentru $a=5\sqrt{2}\approx 7,07$ avem $\sin B=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $m(\angle B)=45^{\circ }$ sau $m(\angle B)=135^{\circ }$ (1 p). Cum $5<5\sqrt{2}<10$, ambele variante sunt compatibile cu suma unghiurilor: – $m(\angle B)=45^{\circ }\Rightarrow m(\angle C)=105^{\circ }$, iar $c=2R\sin C\approx 10\sqrt{2}\cdot 0,9659\approx 13,66$; – $m(\angle B)=135^{\circ }\Rightarrow m(\angle C)=15^{\circ }$, iar $c\approx 10\sqrt{2}\cdot 0,2588\approx 3,66$ (1 p). (Inegalitatea triunghiului: în primul caz $7,07+10=17,07>13,66$ ✓; în al doilea $3,66+7,07=10,73>10$ ✓.)