Test: schimbarea de variabilă

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă a doua metodă mare de integrare din unitate — lecțiile despre formula schimbării de variabilă, substituțiile tipice și primitivele cu trinom de gradul al doilea — și verifică cinci lucruri. Primul: formula însăși, cu ipotezele ei, și cei trei pași ai schimbării de variabilă, cu revenirea obligatorie la variabila $x$. Al doilea: recunoașterea tiparului $f(u(x))u^{\prime }(x)$, adică deprinderea de a vedea derivata funcției din interior acolo unde ea chiar este, și de a nu o inventa acolo unde nu este — aici lucrează testul raportului și regula „o constantă lipsă se fabrică, o funcție lipsă nu". Al treilea: tabelul primitivelor compuse și scurtătura pentru expresiile de gradul întâi dinăuntru. Al patrulea: substituția cu radical, singura la care integrandul își schimbă forma, cu exprimarea lui $x$ prin noua variabilă. Al cincilea: rețeta trinomului, cu Etapa 1, Etapa 2 și Etapa 3, și cu decizia luată din semnul discriminantului și al coeficientului dominant.

Testul cere o redactare pe care baremele examenului o punctează literal: substituția anunțată ($u(x)=\dots$, $u^{\prime }(x)=\dots$), integrala în noua variabilă calculată efectiv, revenirea la $x$ și intervalul precizat. Un rezultat corect lăsat în variabila $t$ sau scris fără interval nu primește punctajul de finalizare, oricât de bun ar fi calculul din spate.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare integrală se cere substituția scrisă, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare răspuns se încheie cu $+\mathcal{C}$ și cu intervalul pe care e valabil. Se depunctează: împărțirea la $a$ uitată la $\int f(ax+b)dx$, semnul minus pierdut la substituția $u=\cos x$, rezultatul lăsat în variabila de lucru, modulul pus la un trinom cu discriminant negativ sau scos fără justificare de la un factor de gradul întâi, completarea pătratului fără scoaterea prealabilă a coeficientului dominant și arctangenta folosită la un trinom cu discriminant nul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre schimbarea de variabilă și despre primitivele cu trinom, cu accent pe testul raportului și pe tabelul de decizie al rețetei.
• Formule de reținut: Formula schimbării de variabilă: dacă $u:I\to J$ este derivabilă, iar $f:J\to \mathbb{R}$ admite primitiva $F$, atunci $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$. Cei trei pași ai schimbării de variabilă: (1) numești funcția din interior, calculezi $u^{\prime }$ și verifici tiparul; (2) calculezi o primitivă a funcției din exterior; (3) revii la $x$, punând $u(x)$ în locul lui $t$. Tabelul primitivelor compuse: $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ pentru $n\ne -1$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C}$; $\int e^u{u}^{\prime }dx=e^u+\mathcal{C}$; $\int u^{\prime }\sin udx=-\cos u+\mathcal{C}$; $\int u^{\prime }\cos udx=\sin u+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{u}{a}+\mathcal{C}$. Scurtătura pentru gradul întâi dinăuntru: $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$, $a\ne 0$. Testul raportului: dacă alături de funcția compusă stă expresia $g(x)$, iar derivata interiorului este $u^{\prime }(x)$, atunci $\lambda =\frac{g(x)}{u^{\prime }(x)}$ trebuie să iasă constant; altfel substituția e greșită. Substituția cu radical: notezi radicalul cu $u$, exprimi $x$ prin $u$ și tot ce a rămas devine un polinom în $u$. Rețeta trinomului, cu $T(x)=a{x}^2+bx+c$: Etapa 1 scrie $mx+n=\alpha (2ax+b)+\beta$; Etapa 2 dă $\int \frac{T^{\prime }}{T}dx=\ln |T(x)|+\mathcal{C}$ la fracție și $\int \frac{T^{\prime }}{\sqrt{T}}dx=2\sqrt{T(x)}+\mathcal{C}$ la radical; Etapa 3 completează pătratul, cu $t=x+\frac{b}{2a}$, și alege rândul din tabel după semnul lui $\Delta$ și al lui $a$: la fracție $\Delta <0$ dă $\frac{1}{k}\mathrm{arctg}\frac{t}{k}$, $\Delta =0$ dă $-\frac{1}{t}$, $\Delta >0$ dă $\frac{1}{2k}\ln \left|\frac{t-k}{t+k}\right|$; la radical $a>0$ și $\Delta <0$ dau $\ln \left(t+\sqrt{t^2+k^2}\right)$, $a>0$ și $\Delta >0$ dau $\ln \left|t+\sqrt{t^2-k^2}\right|$, iar $a<0$ dă $\arcsin \frac{t}{k}$. Factorul din față este $\frac{1}{a}$ la fracție și $\frac{1}{\sqrt{|a|}}$ la radical, iar coeficientul dominant se scoate înaintea completării pătratului. Regula modulului: $\ln |x-a|$ la un factor de gradul întâi, dar $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul când $p^2-4q<0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Formula, cei trei pași și tabelul primitivelor compuse

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $u$ este derivabilă pe intervalul $I$, ia valori în intervalul $J$, iar $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $J$, atunci $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx$ este egală cu: A. $F(x)u(x)+\mathcal{C}$; B. $F(u(x))+\mathcal{C}$; C. $f(u(x))u(x)+\mathcal{C}$; D. $F^{\prime }(u(x))+\mathcal{C}$.

b) Pentru $a\ne 0$ și $F$ o primitivă a lui $f$, are loc $\int f(ax+b)dx$ egal cu: A. $F(ax+b)+\mathcal{C}$; B. $aF(ax+b)+\mathcal{C}$; C. $\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$; D. $\frac{F(ax+b)}{ax+b}+\mathcal{C}$.

c) Pentru $\int x^2{\left(x^3+7\right)}^{5}dx$, alegerea $u(x)=x^3+7$ dă, prin testul raportului, constanta de reparat: A. $\frac{1}{2}$; B. $\frac{1}{3}$; C. $\frac{x}{3}$; D. $3$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Pe $\mathbb{R}$ are loc $\int \sin (5x)dx=-\cos (5x)+\mathcal{C}$." b) „Dacă $u$ este derivabilă pe intervalul $I$ și $u(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln (u(x))+\mathcal{C}$ pe $I$." c) „Din $\int e^{x^2}dx$ se poate scoate în fața integralei factorul $\frac{1}{2x}$, ca să apară derivata funcției din interior." d) „Pe intervalul $(6,+\infty )$ are loc $\int \frac{dx}{x^2-12x+36}=\frac{1}{6}\mathrm{arctg}\frac{x-6}{6}+\mathcal{C}$."

Itemul 3 (6 puncte)

Calculează, folosind scurtătura $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$ (câte 2 puncte): a) $\int (5x+2{)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \cos (7x)dx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int \frac{dx}{4x+3}$, $x\in \left(-\frac{3}{4},+\infty \right)$.

Itemul 4 (7 puncte)

Parcurge cei trei pași ai schimbării de variabilă, scriind de fiecare dată $u(x)$, $u^{\prime }(x)$ și intervalul.

a) Calculează $\int (2x+5){\left(x^2+5x+1\right)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Calculează $\int \frac{x}{x^2+6}dx$, $x\in \mathbb{R}$, și explică de ce modulul dispare din logaritm. (2 p) c) Calculează $\int \frac{{\left(\mathrm{arctg}x\right)}^3}{1+x^2}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (2 p)

Partea a II-a – Substituțiile tipice, radicalul și rețeta trinomului

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, precizând substituția aleasă (câte 2 puncte): a) $\int \frac{e^{3x}}{e^{3x}+2}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^4+3}}dx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int \frac{(2+\ln x{)}^3}{x}dx$, $x\in (0,+\infty )$; d) $\int \frac{x}{{\left(x^2+2\right)}^3}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 6 (8 puncte)

Folosește substituția cu radical, scriind explicit $x$ în funcție de noua variabilă și expresia lui $dx$.

a) Calculează $\int x\sqrt{x+2}dx$, $x\in (-2,+\infty )$. (4 p) b) Calculează $\int \frac{x+3}{\sqrt{x-1}}dx$, $x\in (1,+\infty )$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+5}{x^2-2x+37}$.

a) Etapa 1 a rețetei trinomului: scrie numărătorul sub forma $\alpha (2x-2)+\beta$ și precizează valorile lui $\alpha$ și $\beta$. (2 p) b) Etapa 2: calculează $\int \frac{2x-2}{x^2-2x+37}dx$ și justifică de ce modulul nu este necesar. (3 p) c) Etapa 3: adu trinomul la forma canonică și scrie rezultatul final al lui $\int f(x)dx$. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+8x+20}}$, precizând domeniul pe care lucrezi. (4 p) b) Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{12+4x-x^2}}$, precizând intervalul pe care rezultatul are sens. (3 p)

Partea a III-a – Sinteză, cele patru cazuri și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x-8}{x^2-4x+29}$.

a) Arată că numărătorul este un multiplu al derivatei numitorului și determină $\int f(x)dx$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(0)=0$. (4 p) c) Calculează $\int \frac{dx}{x^2-4x+29}$ pe $\mathbb{R}$, parcurgând Etapa 3 a rețetei trinomului. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Pentru fiecare integrală, precizează întâi semnul discriminantului și al coeficientului dominant, apoi calculează (câte 2,5 puncte): a) $\int \frac{dx}{x^2+8x+41}$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \frac{dx}{x^2-14x+49}$, $x\in (7,+\infty )$; c) $\int \frac{dx}{x^2-2x-15}$, $x\in (5,+\infty )$; d) $\int \frac{dx}{4x^2-8x+8}$, $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema a doua.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+7}{x^2+2x+26}$.

a) Arătați că $f(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+26}+\frac{6}{(x+1{)}^2+25}$, pentru orice număr real $x$. (5 p) b) Determinați $\int f(x)dx$, $x\in \mathbb{R}$. (5 p) c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(-1)=\ln 5$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Este chiar concluzia teoremei: regula de derivare a funcțiilor compuse dă $(F\circ u{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))u^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x)$, deci $F\circ u$ este o primitivă a integrandului, iar pe un interval toate celelalte diferă de ea printr-o constantă. Varianta D confundă primitiva cu derivata ei, iar A și C amestecă produsul cu compunerea.

b) C. Interiorul $u(x)=ax+b$ are derivata constantă $u^{\prime }(x)=a$, care lipsește din integrand; se fabrică prin liniaritate, iar factorul $\frac{1}{a}$ rămâne în fața rezultatului. Este scurtătura „integrezi ca și cum înăuntru ar fi $x$, apoi împarți la coeficientul lui $x$".

c) B. Derivata interiorului este $u^{\prime }(x)=3x^2$, iar alături de funcția compusă stă $g(x)=x^2$, deci raportul este $\lambda =\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$ — un număr, deci substituția e legitimă. Varianta C ar fi răspunsul dacă interiorul ar fi $x^2$, caz în care raportul nu mai este constant și metoda nu se aplică sub această formă.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Interiorul este $u(x)=5x$, cu $u^{\prime }(x)=5$, deci scurtătura cere împărțirea la $5$: rezultatul corect este $-\frac{\cos (5x)}{5}+\mathcal{C}$. Controlul, într-o secundă: derivata expresiei din enunț este $5\sin (5x)$, adică de cinci ori integrandul.

b) A. Este rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ din tabelul primitivelor compuse, cu $f(t)=\frac{1}{t}$. Formula generală se scrie cu modul, $\ln |u|+\mathcal{C}$, dar ipoteza $u>0$ pe $I$ face ca $|u|=u$, deci modulul se poate înlătura — cu justificarea scrisă, exact cum cere baremul.

c) F. Din integrală ies numai constantele; $\frac{1}{2x}$ depinde de $x$ și nu are voie să treacă în fața semnului de integrare. Regula fixată este „o constantă lipsă se fabrică, o funcție lipsă nu se fabrică". De altfel $e^{x^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive, dar niciuna nu se scrie cu funcțiile uzuale.

d) F. Discriminantul este $\Delta =144-144=0$, deci trinomul este pătratul perfect $(x-6{)}^2$, iar integrala este o simplă putere: $\int (x-6{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-6}+\mathcal{C}$. Arctangenta apare numai la discriminant strict negativ.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) $u(x)=5x+2$, deci $a=5$ și $f(t)=t^4$, cu primitiva $\frac{t^5}{5}$: $$\int (5x+2{)}^{4}dx=\frac{1}{5}\cdot \frac{(5x+2{)}^5}{5}+\mathcal{C}=\frac{(5x+2{)}^5}{25}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) $u(x)=7x$, deci $a=7$, iar primitiva cosinusului este sinusul: $$\int \cos (7x)dx=\frac{\sin (7x)}{7}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

c) $u(x)=4x+3$, deci $a=4$; pe intervalul dat $4x+3>0$, deci modulul se înlătură: $$\int \frac{dx}{4x+3}=\frac{1}{4}\ln (4x+3)+\mathcal{C},x\in \left(-\frac{3}{4},+\infty \right).$$

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) Pasul 1: $u(x)=x^2+5x+1$, deci $u^{\prime }(x)=2x+5$, iar exteriorul este $f(t)=t^4$; integrandul este exact $f(u(x))u^{\prime }(x)$ (1 p). Pasul 2: $\int t^{4}dt=\frac{t^5}{5}+\mathcal{C}$ (1 p). Pasul 3: revenim la $x$ (1 p): $$\int (2x+5){\left(x^2+5x+1\right)}^{4}dx=\frac{{\left(x^2+5x+1\right)}^5}{5}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) (2 p) Aici $u(x)=x^2+6$, cu $u^{\prime }(x)=2x$, iar în integrand stă $x$, adică jumătate din cât trebuie; constanta se fabrică prin liniaritate (1 p): $$\int \frac{x}{x^2+6}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+6}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+6\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Modulul dispare pentru că $x^2+6\ge 6>0$ pentru orice $x$ real, deci argumentul logaritmului este strict pozitiv (1 p).

c) (2 p) Interiorul este $u(x)=\mathrm{arctg}x$, cu $u^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ — chiar factorul care înmulțește puterea; exteriorul este $f(t)=t^3$ (1 p). Prin urmare $$\int \frac{{\left(\mathrm{arctg}x\right)}^3}{1+x^2}dx=\frac{{\left(\mathrm{arctg}x\right)}^4}{4}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) $u(x)=e^{3x}+2$, cu $u^{\prime }(x)=3e^{3x}$; în integrand stă $e^{3x}$, deci factorul de reparat este $\frac{1}{3}$. Cum $e^{3x}+2>2>0$, modulul cade: $$\int \frac{e^{3x}}{e^{3x}+2}dx=\frac{1}{3}\ln \left(e^{3x}+2\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) $u(x)=x^4+3>0$, cu $u^{\prime }(x)=4x^3$, deci factorul de reparat este $\frac{1}{4}$, iar rândul folosit este $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$, care dă $2\sqrt{u}$: $$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^4+3}}dx=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{x^4+3}+\mathcal{C}=\frac{\sqrt{x^4+3}}{2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

c) $u(x)=2+\ln x$, cu $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ — exact factorul prezent; exteriorul este $f(t)=t^3$: $$\int \frac{(2+\ln x{)}^3}{x}dx=\frac{(2+\ln x{)}^4}{4}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

d) $u(x)=x^2+2$, cu $u^{\prime }(x)=2x$, factorul de reparat $\frac{1}{2}$, iar $f(t)=t^{-3}$ are primitiva $-\frac{1}{2t^2}$: $$\int \frac{x}{{\left(x^2+2\right)}^3}dx=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2{\left(x^2+2\right)}^2}\right)+\mathcal{C}=-\frac{1}{4{\left(x^2+2\right)}^2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 6. (8 p)

a) (4 p) Notăm $u=\sqrt{x+2}$, deci $u^2=x+2$, adică $x=u^2-2$ și $dx=2udu$; pe intervalul dat $u>0$ (1 p). Rescriem integrandul complet prin $u$ (1,5 p): $$\int x\sqrt{x+2}dx=\int \left(u^2-2\right)\cdot u\cdot 2udu=2\int \left(u^4-2u^2\right)du=\frac{2u^5}{5}-\frac{4u^3}{3}.$$ Revenim la $x$, cu $u^5=(x+2{)}^2\sqrt{x+2}$ și $u^3=(x+2)\sqrt{x+2}$ (1,5 p): $$\int x\sqrt{x+2}dx=\frac{2(x+2{)}^2\sqrt{x+2}}{5}-\frac{4(x+2)\sqrt{x+2}}{3}+\mathcal{C},x\in (-2,+\infty ).$$ Verificare prin derivare: $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}(x+2{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}(x+2{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x+2}[(x+2)-2]=x\sqrt{x+2}$. ✓

b) (4 p) Notăm $u=\sqrt{x-1}$, deci $x=u^2+1$, $x+3=u^2+4$ și $dx=2udu$, cu $u>0$ (1 p). Atunci (1,5 p) $$\int \frac{x+3}{\sqrt{x-1}}dx=\int \frac{u^2+4}{u}\cdot 2udu=2\int \left(u^2+4\right)du=\frac{2u^3}{3}+8u.$$ Revenind la $x$ (1,5 p): $$\int \frac{x+3}{\sqrt{x-1}}dx=\frac{2(x-1)\sqrt{x-1}}{3}+8\sqrt{x-1}+\mathcal{C},x\in (1,+\infty ).$$ Verificare: derivata este $\sqrt{x-1}+\frac{4}{\sqrt{x-1}}=\frac{(x-1)+4}{\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{\sqrt{x-1}}$. ✓

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Derivata trinomului este $T^{\prime }(x)=2x-2$. Căutăm $\alpha$ din condiția ca $\alpha \cdot 2x$ să dea $3x$, deci $\alpha =\frac{3}{2}$; atunci $\frac{3}{2}(2x-2)=3x-3$, iar $\beta =5-(-3)=8$ (1,5 p). Așadar $$3x+5=\frac{3}{2}(2x-2)+8$$ (0,5 p).

b) (3 p) Prima bucată are la numărător exact derivata numitorului, deci este rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ din tabelul primitivelor compuse, cu $u=x^2-2x+37$ (1 p): $$\int \frac{2x-2}{x^2-2x+37}dx=\ln \left|x^2-2x+37\right|+\mathcal{C}=\ln \left(x^2-2x+37\right)+\mathcal{C}$$ (1 p). Modulul nu este necesar pentru că $\Delta =4-148=-144<0$ și coeficientul dominant este $1>0$, deci trinomul nu se anulează niciodată și este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ — este chiar regula modulului a unității (1 p).

c) (2 p) Forma canonică este $x^2-2x+37=(x-1{)}^2+36$, deci $t=x-1$ și $k=6$, iar rândul arctangentei dă $\int \frac{dx}{(x-1{)}^2+36}=\frac{1}{6}\mathrm{arctg}\frac{x-1}{6}+\mathcal{C}$ (1 p). Adunând cele două bucăți, cu factorii $\frac{3}{2}$ și $8$ din Etapa 1 (1 p): $$\int \frac{3x+5}{x^2-2x+37}dx=\frac{3}{2}\ln \left(x^2-2x+37\right)+\frac{4}{3}\mathrm{arctg}\frac{x-1}{6}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R},$$ unde $8\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{3}$.

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, iar $\Delta =64-80=-16<0$, deci trinomul este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$ și radicalul are sens pe tot $\mathbb{R}$ (1 p). Forma canonică (1,5 p): $$x^2+8x+20=(x+4{)}^2+4.$$ Cu $t=x+4$ și $k=2$ suntem pe rândul $\frac{1}{\sqrt{t^2+k^2}}$, care dă un logaritm fără modul, pentru că $t+\sqrt{t^2+k^2}>0$ oricare ar fi $t$ (1,5 p): $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+8x+20}}=\ln \left(x+4+\sqrt{x^2+8x+20}\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) (3 p) Coeficientul dominant este $-1<0$, deci dăm factor $-1$ și completăm pătratul (1 p): $$12+4x-x^2=-\left(x^2-4x-12\right)=-\left[(x-2{)}^2-16\right]=16-(x-2{)}^2.$$ Expresia este strict pozitivă exact pentru $|x-2|<4$, adică pe intervalul $(-2,6)$ (1 p). Cu $t=x-2$ și $k=4$, rândul arcsinusului dă (1 p) $$\int \frac{dx}{\sqrt{12+4x-x^2}}=\arcsin \frac{x-2}{4}+\mathcal{C},x\in (-2,6).$$

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Derivata numitorului este ${\left(x^2-4x+29\right)}^{\prime }=2x-4$, iar numărătorul este $4x-8=2(2x-4)$, adică dublul ei (1 p). Suntem deci pe rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu factorul $2$ în față (1 p); discriminantul trinomului este $\Delta =16-116=-100<0$ și $a=1>0$, deci trinomul e strict pozitiv și modulul cade (1 p): $$\int \frac{4x-8}{x^2-4x+29}dx=2\ln \left(x^2-4x+29\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) (4 p) Scriem $F(x)=2\ln \left(x^2-4x+29\right)+c$, cu $c\in \mathbb{R}$ (1 p). În $x=0$ trinomul valorează $29$, deci $F(0)=2\ln 29+c$ (1,5 p); condiția $F(0)=0$ dă $c=-2\ln 29$ (1 p) și, folosind proprietatea logaritmului, $$F(x)=2\ln \left(x^2-4x+29\right)-2\ln 29=2\ln \frac{x^2-4x+29}{29},x\in \mathbb{R}$$ (0,5 p).

c) (3 p) Numărătorul este acum constant, deci Etapele 1 și 2 nu au ce face și trecem direct la Etapa 3 (0,5 p). Forma canonică este (1 p) $$x^2-4x+29=(x-2{)}^2+25.$$ Cu $t=x-2$ și $k=5$, rândul arctangentei dă (1,5 p) $$\int \frac{dx}{x^2-4x+29}=\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{5}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 10. (10 p) — câte 2,5 puncte.

a) $\Delta =64-164=-100<0$ și $a=1>0$, deci rezultatul va fi o arctangentă. Forma canonică este $x^2+8x+41=(x+4{)}^2+25$, deci $t=x+4$ și $k=5$: $$\int \frac{dx}{x^2+8x+41}=\frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+4}{5}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

b) $\Delta =196-196=0$, deci trinomul este pătratul perfect $(x-7{)}^2$ și nu apare nicio arctangentă, ci puterea $t^{-2}$: $$\int \frac{dx}{x^2-14x+49}=\int (x-7{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-7}+\mathcal{C},x\in (7,+\infty ).$$ (Aceeași formulă e valabilă, cu altă constantă, și pe $(-\infty ,7)$.)

c) $\Delta =4+60=64>0$ și $a=1>0$, deci rezultatul este logaritmul unui raport. Forma canonică este $x^2-2x-15=(x-1{)}^2-16$, deci $t=x-1$ și $k=4$, iar $t-k=x-5$, $t+k=x+3$: $$\int \frac{dx}{x^2-2x-15}=\frac{1}{8}\ln \left|\frac{x-5}{x+3}\right|+\mathcal{C}=\frac{1}{8}\ln \frac{x-5}{x+3}+\mathcal{C},x\in (5,+\infty ),$$ unde modulul s-a înlăturat pentru că pe $(5,+\infty )$ ambele paranteze sunt strict pozitive.

d) Coeficientul dominant nu este $1$, deci se scoate înaintea completării pătratului: $4x^2-8x+8=4\left(x^2-2x+2\right)=4\left[(x-1{)}^2+1\right]$, cu $t=x-1$ și $k=1$: $$\int \frac{dx}{4x^2-8x+8}=\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1{)}^2+1}=\frac{1}{4}\mathrm{arctg}(x-1)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Derivata numitorului este ${\left(x^2+2x+26\right)}^{\prime }=2x+2$, iar Etapa 1 a rețetei trinomului dă $x+7=\frac{1}{2}(2x+2)+6$, pentru că $\frac{1}{2}(2x+2)=x+1$ și $7-1=6$ (2 p). Discriminantul este $\Delta =4-104=-100<0$, cu $a=1>0$, deci trinomul este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, iar forma canonică este $x^2+2x+26=(x+1{)}^2+25$ (2 p). Împărțind egalitatea din Etapa 1 la numitor și folosind forma canonică la a doua bucată, obținem exact scrierea cerută (1 p): $$\frac{x+7}{x^2+2x+26}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+26}+\frac{6}{(x+1{)}^2+25}.$$

b) (5 p) Prima bucată este rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+2x+26>0$, deci dă un logaritm fără modul (2 p): $$\int \frac{1}{2}\cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+26}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+26\right)+\mathcal{C}.$$ A doua este rândul arctangentei, cu $t=x+1$ și $k=5$ (2 p): $$\int \frac{6dx}{(x+1{)}^2+25}=6\cdot \frac{1}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{5}+\mathcal{C}=\frac{6}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{5}+\mathcal{C}.$$ Adunând (1 p): $$\int f(x)dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+26\right)+\frac{6}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{5}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

c) (5 p) Scriem $F(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+26\right)+\frac{6}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{5}+c$ (1 p). În $x=-1$ trinomul valorează $1-2+26=25$, iar argumentul arctangentei este $0$ (2 p), deci $$F(-1)=\frac{1}{2}\ln 25+\frac{6}{5}\mathrm{arctg}0+c=\ln 5+c.$$ Condiția $F(-1)=\ln 5$ dă $c=0$ (1 p), prin urmare (1 p) $$F(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+26\right)+\frac{6}{5}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{5},x\in \mathbb{R}.$$ (Rezultatul se controlează derivând: se regăsesc cele două bucăți de la subpunctul a).)