Test: șiruri recurente și matrice de rotație

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și operații cu matrice

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie seria metodelor elementare de ridicare la putere a unei matrice și verifică ultimele două dintre ele: șirurile recurente și matricea de rotație. Reamintim numărătoarea folosită în tot capitolul: calculul direct este procedeul de bază, nu o metodă; cele patru metode elementare sunt inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente și structura matricei de rotație. Toate patru sunt permise la acest test, iar unii itemi cer chiar compararea a două drumuri. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: mecanismul recurențelor — se scrie $A^n$ cu elementele notate ca șiruri, se identifică în egalitatea $A^{n+1}=A\cdot A^n$ și se obține un sistem de patru relații, cu valorile de pornire citite din $A$ însăși. Al doilea: rezolvarea celor patru tipare de recurență (geometric, cu adaos variabil, afin cu punct fix, sistem cuplat decuplat prin sumă și diferență), inclusiv cazul în care recurența însăși este răspunsul, ca la matricea lui Fibonacci. Al treilea: matricea de rotație $R(\theta )$, legea de compunere și consecința ei, $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$, cu demonstrațiile lor. Al patrulea: periodicitatea — reducerea unui exponent uriaș prin împărțire cu rest — și forma generală $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\rho R(\theta )$, la care factorul ${\rho }^n$ nu are voie să se piardă.

Testul se dă după lecția a douăsprezecea a unității. Determinanții nu se folosesc nicăieri (ei se studiază din lecția 15), iar a cincea metodă, cea bazată pe ecuația Hamilton-Cayley, se predă abia la lecția 27 și nu este necesară la niciun item.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare formulă pentru $A^n$ se consideră completă doar dacă este verificată pe $n=1$ și $n=2$, prin comparație cu $A$ și cu $A^2$ calculate direct. Se depunctează: valorile de pornire luate din $I_2$ în loc de $A$, rezolvarea unei recurențe afine ca și cum ar fi geometrică (fără punct fix), amestecarea relațiilor venite din $A\cdot A^n$ cu cele venite din $A^n\cdot A$, presupunerea nejustificată a egalităților $c_n=b_n$ și $d_n=a_n$, semnul minus pus jos-stânga în matricea de rotație, uitarea factorului ${\rho }^n$ și restul greșit la împărțirea exponentului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe scrierea completă a sistemului de recurențe și pe reducerea exponentului prin împărțire cu rest.
• Formule de reținut: mecanismul recurențelor — se scrie $A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$, se calculează $A\cdot A^n$ și se identifică elementele cu cele ale lui $A^{n+1}$; valorile de pornire sunt $a_1$, $b_1$, $c_1$, $d_1$, adică elementele lui $A$, pentru că $A^1=A$. Cele patru tipare: $x_{n+1}=q{x}_n$ dă $x_n=x_1{q}^{n-1}$; $x_{n+1}=x_n+t_n$ se rezolvă adunând relațiile, $x_n=x_1+t_1+\cdots +t_{n-1}$; $x_{n+1}=q{x}_n+c$ cu $q\ne 1$ se rezolvă cu punctul fix $\ell =\frac{c}{1-q}$, de unde $$x_n=\ell +(x_1-\ell )q^{n-1};$$ iar sistemul cuplat $x_{n+1}=\alpha x_n+\beta y_n$, $y_{n+1}=\beta x_n+\alpha y_n$ se decuplează prin sumă și diferență, $s_{n+1}=(\alpha +\beta )s_n$ și $p_{n+1}=(\alpha -\beta )p_n$, cu $x_n=\frac{s_n+p_n}{2}$, $y_n=\frac{s_n-p_n}{2}$. Matricea de rotație: $$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta ),R(\theta {)}^n=R(n\theta ).$$ Periodicitate: dacă $\theta =\frac{2\pi }{p}$, atunci $R(\theta {)}^p=I_2$; pentru exponenți mari se împarte cu rest, $n=pq+r$, și $R(\theta {)}^n=R(r\theta )$. Rotație cu schimbare de scară: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ cu $(a,b)\ne (0,0)$ se ia $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$, iar din $\cos \theta =\frac{a}{\rho }$, $\sin \theta =\frac{b}{\rho }$ se obține $A=\rho R(\theta )$ și $$A^n={\rho }^{n}R(n\theta )={\rho }^n\left(\begin{array}{cc}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array}\right).$$

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Sistemul de recurențe și tiparele lui

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$. Relația obținută pentru $b$ prin identificare în $A^{n+1}=A\cdot A^n$ este: A. $b_{n+1}=3b_n$; B. $b_{n+1}=3b_n+d_n$; C. $b_{n+1}=b_n+3$; D. $b_{n+1}=3b_n+c_n$.

b) Pentru orice $\theta \in \mathbb{R}$ și orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, matricea $R(\theta {)}^n$ este egală cu: A. $R({\theta }^n)$; B. $nR(\theta )$; C. $R(n\theta )$; D. $R(\theta )$.

c) Cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $R{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^n=I_2$ este: A. $4$; B. $6$; C. $8$; D. $12$.

Itemul 2 (6 puncte)

Determină $A^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, prin metoda șirurilor recurente; scrie de fiecare dată sistemul de recurențe și valorile de pornire (câte 1,5 puncte): a) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 4\end{array}\right)$; b) $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$; c) $A=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$; d) $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Valorile de pornire ale șirurilor $a_n$, $b_n$, $c_n$, $d_n$ sunt elementele matricei $I_2$." b) „Recurența $x_{n+1}=3x_n+2$, cu $x_1=2$, are termenul general $x_n=2\cdot 3^{n-1}$." c) „Matricea $S=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$ este matricea unei rotații." d) „Dacă $A=\rho R(\theta )$, cu $\rho >0$ și $\rho \ne 1$, atunci există $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $A^n=I_2$."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$ și se notează $A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$. a) Scrie sistemul celor patru recurențe și arată că egalitățile $c_n=b_n$ și $d_n=a_n$ se păstrează la fiecare pas. (2 p) b) Decuplează sistemul rămas prin sumă și diferență și determină $a_n$ și $b_n$. (3 p) c) Verifică formula obținută pentru $n=2$. (1 p)

Partea a II-a – Matricea de rotație și periodicitatea

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, folosind $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$ și împărțirea cu rest a exponentului (câte 2 puncte): a) $R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2027}$; b) $R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^{100}$; c) $R(\pi {)}^{2025}$; d) $A^{2024}$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$. a) Determină $\rho$ și $\theta \in [0,2\pi )$ pentru care $A=\rho R(\theta )$. (2 p) b) Calculează $A^3$. (2 p) c) Calculează $A^{2026}$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $R{\left(\frac{2\pi }{5}\right)}^n=I_2$. (2 p) b) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $R{\left(\frac{3\pi }{4}\right)}^n=I_2$. (2 p) c) Determină toate valorile $\theta \in [0,2\pi )$ pentru care $R(\theta {)}^6=I_2$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$, pentru orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. (3 p) b) Deduce prin inducție că $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, și explică de ce două matrice de rotație comută între ele. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) (Problemă aplicată.) Un desen de pe ecran este rotit, la fiecare apăsare a unui buton, cu $45^{\circ }$ în jurul originii, în sens trigonometric. Scrie matricea unei apăsări, află după câte apăsări desenul revine exact în poziția inițială și precizează ce matrice corespunde apăsării cu numărul $2026$. (3 p) b) Calculează $R(\theta )\cdot R(-\theta )$ și $R(\theta )+R(-\theta )$, exprimând rezultatele cu ajutorul lui $I_2$, apoi particularizează pentru $\theta =\frac{\pi }{3}$. (3 p)

Partea a III-a – Metode comparate și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 1& 6\end{array}\right)$. a) Determină $A^n$ prin metoda șirurilor recurente. (4 p) b) Determină $A^n$ a doua oară, cu binomul lui Newton, scriind $A=5I_2+J$ cu $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, și compară cele două rezultate. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}\end{array}\right)$. a) Calculează $A^2$ și scrie $A$ sub forma $\rho R(\theta )$. (2 p) b) Arată că $A^8=256I_2$. (3 p) c) Calculează $A^{2026}$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Fiecare dintre rezolvările de mai jos conține exact o greșeală. Găsește-o, explic-o în două rânduri și scrie rezolvarea corectă. a) „Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Matricea are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, deci $A=R\left(\frac{\pi }{4}\right)$ și atunci $A^{2026}=R\left(\frac{2026\pi }{4}\right)=R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$." (4 p) b) „Fie $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$. Din sistemul de recurențe rezultă $b_{n+1}=3b_n+4$, cu $b_1=4$. Șirul $b_n$ este deci geometric, de rație $3$, adică $b_n=4\cdot 3^{n-1}$." (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și se notează $A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$ și $A^3$. (2 p) b) Arătați că $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, pentru orice $n\ge 2$, și scrieți $A^n$ cu ajutorul termenilor șirului lui Fibonacci $(F_1=F_2=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n-1})$. (3 p) c) Calculați $A^8$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Produsul este $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}3a_n+c_n& 3b_n+d_n\\ 2c_n& 2d_n\end{array}\right)$; identificând elementul de pe linia întâi, coloana a doua, obținem $b_{n+1}=3b_n+d_n$. Varianta D confundă coloanele, iar A uită termenul adus de a doua coloană a lui $A$. b) C. A aplica de $n$ ori o rotație de unghi $\theta$ înseamnă a roti cu $n\theta$; algebric, rezultatul se obține prin inducție din legea $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$. c) C. Condiția $R\left(\frac{n\pi }{4}\right)=I_2$ cere $\frac{n\pi }{4}=2k\pi$, adică $n=8k$; cel mai mic număr natural nenul este $n=8$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p sistemul de recurențe cu valorile de pornire, 1 p rezolvarea și formula finală).

a) Din $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n+c_n& b_n+d_n\\ 4c_n& 4d_n\end{array}\right)$ obținem $a_{n+1}=a_n+c_n$, $b_{n+1}=b_n+d_n$, $c_{n+1}=4c_n$, $d_{n+1}=4d_n$, cu $a_1=b_1=1$, $c_1=0$, $d_1=4$. Din $c_1=0$ rezultă $c_n=0$, deci $a_n=1$; apoi $d_n=4^n$, iar $b_{n+1}=b_n+4^n$ se rezolvă adunând relațiile: $$b_n=1+4+4^2+\cdots +4^{n-1}=\frac{4^n-1}{3},A^n=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{4^n-1}{3}\\ 0& 4^n\end{array}\right).$$ Control: pentru $n=2$, $\frac{15}{3}=5$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 16\end{array}\right)$ ✓ b) Din $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}4a_n+c_n& 4b_n+d_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$ și $c_1=0$, $d_1=1$ rezultă $c_n=0$, $d_n=1$, $a_n=4^n$ și $b_{n+1}=4b_n+1$, cu $b_1=1$ — recurență afină. Punctul fix: $\ell =\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$, deci șirul $b_n+\frac{1}{3}$ este geometric de rație $4$, cu primul termen $\frac{4}{3}$: $$b_n+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\cdot 4^{n-1}=\frac{4^n}{3}\Rightarrow b_n=\frac{4^n-1}{3},A^n=\left(\begin{array}{cc}{4}^n& \frac{4^n-1}{3}\\ 0& 1\end{array}\right).$$ c) Din $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}5a_n& 5b_n\\ 2a_n+c_n& 2b_n+d_n\end{array}\right)$ și $b_1=0$ rezultă $b_n=0$, $a_n=5^n$, $d_n=1$, iar $c_{n+1}=c_n+2\cdot 5^n$, cu $c_1=2$. Adunând relațiile: $$c_n=2(1+5+\cdots +5^{n-1})=2\cdot \frac{5^n-1}{4}=\frac{5^n-1}{2},A^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 0\\ \frac{5^n-1}{2}& 1\end{array}\right).$$ Control: pentru $n=2$, $\frac{24}{2}=12$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}25& 0\\ 12& 1\end{array}\right)$ ✓ d) Din $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}{c}_n& d_n\\ 2c_n& 2d_n\end{array}\right)$ și $a_1=0$, $b_1=1$, $c_1=0$, $d_1=2$ obținem $c_{n+1}=2c_n$, deci $c_n=0$; apoi $a_{n+1}=c_n=0$, deci $a_n=0$; $d_{n+1}=2d_n$ dă $d_n=2^n$, iar $b_{n+1}=d_n=2^n$ dă $b_n=2^{n-1}$ (formulă valabilă și pentru $n=1$, unde $2^0=1$). Deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}0& 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Șirurile pornesc de la $n=1$, iar $A^1=A$, deci $a_1$, $b_1$, $c_1$, $d_1$ sunt elementele matricei $A$. (Valorile lui $I_2$ ar fi valorile de pornire numai dacă am indexa de la $n=0$.) b) F. Recurența este afină, nu geometrică: termenul liber $2$ nu se poate ignora. Termenii reali sunt $2,8,26,80$, în timp ce $2\cdot 3^{n-1}$ dă $2,6,18,54$. Corect: punctul fix este $\ell =\frac{2}{1-3}=-1$, șirul $x_n+1$ este geometric de rație $3$ cu primul termen $3$, deci $x_n+1=3^n$, adică $x_n=3^n-1$. c) F. Matricea de rotație are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$: aceleași numere pe diagonală și numere opuse în afara ei, cu minusul sus-dreapta. La $S$, elementele de pe diagonală sunt opuse, iar cele din afara ei egale. De altfel $S^2=I_2$ (folosind ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$), deci $S$ este o simetrie, nu o rotație. d) F. Din $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$, egalitatea $A^n=I_2$ ar cere ${\rho }^n\sin n\theta =0$ și ${\rho }^n\cos n\theta =1$. Cum ${\rho }^n\ne 0$, prima relație dă $\sin n\theta =0$, deci $\cos n\theta =\pm 1$; a doua devine atunci ${\rho }^n\cdot (\pm 1)=1$, iar cazul $-1$ este imposibil pentru $\rho >0$. Rămâne ${\rho }^n=1$ — imposibil, la rândul lui, pentru $\rho >0$ și $\rho \ne 1$. Exemplu: pentru $A=2R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$, elementele cresc ca $2^n$ și nu revin niciodată la cele ale lui $I_2$.

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Produsul dă $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}2a_n+3c_n& 2b_n+3d_n\\ 3a_n+2c_n& 3b_n+2d_n\end{array}\right)$, deci sistemul este $$a_{n+1}=2a_n+3c_n,b_{n+1}=2b_n+3d_n,c_{n+1}=3a_n+2c_n,d_{n+1}=3b_n+2d_n,$$ cu $a_1=d_1=2$ și $b_1=c_1=3$ (1 p). Egalitățile $c_1=b_1$ și $d_1=a_1$ sunt adevărate; dacă la un rang $n$ avem $c_n=b_n$ și $d_n=a_n$, atunci $c_{n+1}=3a_n+2b_n$ și $b_{n+1}=2b_n+3a_n$ coincid, iar $a_{n+1}=2a_n+3b_n$ și $d_{n+1}=3b_n+2a_n$ coincid și ele — deci egalitățile se transmit la rangul următor (1 p).

b) (3 p) Rămâne sistemul cuplat $a_{n+1}=2a_n+3b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ (0,5 p). Adunând relațiile, $s_{n+1}=5s_n$ cu $s_1=5$, deci $s_n=5^n$ (1 p). Scăzându-le, $p_{n+1}=-p_n$ cu $p_1=-1$, deci $p_n=(-1{)}^n$ (1 p). Prin urmare $$a_n=\frac{s_n+p_n}{2}=\frac{5^n+(-1{)}^n}{2},b_n=\frac{s_n-p_n}{2}=\frac{5^n-(-1{)}^n}{2}$$ (0,5 p).

c) (1 p) Pentru $n=2$: $a_2=\frac{25+1}{2}=13$ și $b_2=\frac{25-1}{2}=12$, iar calculul direct dă $A^2=\left(\begin{array}{cc}4+9& 6+6\\ 6+6& 9+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 12\\ 12& 13\end{array}\right)$ ✓

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p perioada, 0,5 p împărțirea cu rest, 1 p matricea finală).

a) Perioada este $4$, pentru că $4\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi$. Din $2027=4\cdot 506+3$ rezultă $$R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2027}=R\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),$$ folosind $\cos \frac{3\pi }{2}=0$ și $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$. b) Perioada este $12$, pentru că $12\cdot \frac{\pi }{6}=2\pi$. Din $100=12\cdot 8+4$ rezultă $R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^{100}=R\left(\frac{4\pi }{6}\right)=R\left(\frac{2\pi }{3}\right)$, adică $$R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^{100}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$ c) $R(\pi {)}^{2025}=R(2025\pi )$; cum $\cos 2025\pi =-1$ și $\sin 2025\pi =0$ (exponent impar), obținem $R(\pi {)}^{2025}=-I_2$. Mai scurt: $R(\pi )=-I_2$, deci $R(\pi {)}^n=(-1{)}^n{I}_2$. d) $A=R\left(\frac{\pi }{2}\right)$, cu perioada $4$; cum $2024=4\cdot 506$, restul este $0$ și $A^{2024}=I_2$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Matricea are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, cu $a=-1$ și $b=\sqrt{3}$ (0,5 p). Atunci $\rho =\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$ (0,5 p) și $$\cos \theta =\frac{a}{\rho }=-\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{b}{\rho }=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ deci unghiul este în cadranul al doilea: $\theta =\frac{2\pi }{3}$ și $A=2R\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ (1 p).

b) (2 p) $A^3=2^{3}R\left(3\cdot \frac{2\pi }{3}\right)=8R(2\pi )=8I_2$ (2 p). (Control: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1-3& \sqrt{3}+\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}-\sqrt{3}& -3+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\sqrt{3}\\ -2\sqrt{3}& -2\end{array}\right)$, iar $A^2\cdot A=8I_2$.)

c) (3 p) Împărțim exponentul la perioada puterilor lui $A$, care este $3$: $2026=3\cdot 675+1$ (1 p). Atunci $$A^{2026}=(A^3{)}^{675}\cdot A=(8I_2{)}^{675}A=8^{675}A=2^{2025}\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$$ (2 p). (Pe cealaltă cale: $A^{2026}=2^{2026}R\left(\frac{2\cdot 2026\pi }{3}\right)=2^{2026}R\left(\frac{2\pi }{3}\right)=2^{2026}\cdot \frac{A}{2}$ — același rezultat.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Condiția $R\left(\frac{2n\pi }{5}\right)=I_2$ cere $\frac{2n\pi }{5}=2k\pi$, adică $n=5k$ (1,5 p); cel mai mic număr natural nenul este $n=5$ (0,5 p).

b) (2 p) Condiția devine $\frac{3n\pi }{4}=2k\pi$, adică $3n=8k$ (1 p). Cum $3$ și $8$ nu au divizori comuni, $n$ trebuie să fie multiplu de $8$, deci cel mai mic este $n=8$ (1 p). (Verificare: $8\cdot \frac{3\pi }{4}=6\pi =3\cdot 2\pi$ ✓)

c) (3 p) Din $R(\theta {)}^6=R(6\theta )$, condiția este $R(6\theta )=R(0)$, adică $\cos 6\theta =1$ și $\sin 6\theta =0$, deci $6\theta =2k\pi$ cu $k\in \mathbb{Z}$, de unde $\theta =\frac{k\pi }{3}$ (1,5 p). Impunând $\theta \in [0,2\pi )$ rămân șase soluții (1,5 p): $$\theta \in \left\{0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right\}.$$

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Înmulțim după regula linie pe coloană (1 p): $$R(\alpha )R(\beta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}\right).$$ Folosind formulele pentru suma a două unghiuri, $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ și $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ (1,5 p), matricea devine $$\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& -\sin (\alpha +\beta )\\ \sin (\alpha +\beta )& \cos (\alpha +\beta )\end{array}\right)=R(\alpha +\beta )$$ (0,5 p).

b) (3 p) Baza: pentru $n=1$, egalitatea $R(\theta {)}^1=R(\theta )$ este evidentă (0,5 p). Pasul: presupunem $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$; atunci, folosind punctul a), $$R(\theta {)}^{n+1}=R(\theta {)}^{n}R(\theta )=R(n\theta )R(\theta )=R(n\theta +\theta )=R((n+1)\theta )$$ (1,5 p), deci formula este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Comutativitatea: $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )=R(\beta +\alpha )=R(\beta )R(\alpha )$, pentru că adunarea numerelor reale este comutativă (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Cum $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$, o apăsare are matricea $$R\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$$ (1 p). Desenul revine în poziția inițială când $\frac{n\pi }{4}=2k\pi$, adică după $n=8$ apăsări (1 p). Din $2026=8\cdot 253+2$, apăsarea cu numărul $2026$ lasă desenul în poziția dată de $$R{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{2026}=R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ (1 p).

b) (3 p) Din legea de compunere, $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$ (1 p). Pentru sumă, folosim $\cos (-\theta )=\cos \theta$ și $\sin (-\theta )=-\sin \theta$: termenii cu sinus se anulează, iar cei cu cosinus se dublează (1 p), deci $$R(\theta )+R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}2\cos \theta & 0\\ 0& 2\cos \theta \end{array}\right)=2\cos \theta \cdot I_2.$$ Pentru $\theta =\frac{\pi }{3}$, cum $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, suma este $I_2$, iar produsul rămâne $I_2$ (1 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Din $A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}6a_n+c_n& 6b_n+d_n\\ a_n+6c_n& b_n+6d_n\end{array}\right)$ obținem sistemul, cu $a_1=d_1=6$ și $b_1=c_1=1$ (1 p). Matricea fiind simetrică și cu diagonala constantă, egalitățile $c_n=b_n$ și $d_n=a_n$ se păstrează la fiecare pas (relațiile pentru $b$ și $c$, respectiv pentru $a$ și $d$, devin identice) (0,5 p), deci rămâne sistemul cuplat $$a_{n+1}=6a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+6b_n.$$ Suma: $s_{n+1}=7s_n$, $s_1=7$, deci $s_n=7^n$ (1 p). Diferența: $p_{n+1}=5p_n$, $p_1=5$, deci $p_n=5^n$ (1 p). Prin urmare $$A^n=\left(\begin{array}{cc}\frac{7^n+5^n}{2}& \frac{7^n-5^n}{2}\\ \frac{7^n-5^n}{2}& \frac{7^n+5^n}{2}\end{array}\right)$$ (0,5 p). Control pentru $n=2$: $\frac{49+25}{2}=37$ și $\frac{49-25}{2}=12$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}36+1& 6+6\\ 6+6& 1+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}37& 12\\ 12& 37\end{array}\right)$ ✓

b) (4 p) Avem $A-5I_2=J$, iar $5I_2$ comută cu $J$, deci binomul se poate aplica (0,5 p). Din $J^2=2J$ rezultă, prin inducție, $J^k=2^{k-1}J$ pentru orice $k\ge 1$ (1 p). Atunci $$A^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{5}^{n-k}{J}^k=5^n{I}_2+\sum _{k=1}^n{C}_n^k{5}^{n-k}{2}^{k-1}J=5^n{I}_2+\frac{J}{2}\sum _{k=1}^n{C}_n^k{5}^{n-k}{2}^k$$ (1 p). Cum $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{5}^{n-k}{2}^k=(5+2{)}^n=7^n$, suma rămasă este $7^n-5^n$ (1 p), deci $$A^n=5^n{I}_2+\frac{7^n-5^n}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),$$ adică exact matricea de la punctul a), pentru că $5^n+\frac{7^n-5^n}{2}=\frac{7^n+5^n}{2}$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $A^2=\left(\begin{array}{cc}2-2& -2-2\\ 2+2& -2+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& 0\end{array}\right)$ (1 p). Matricea are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ cu $a=b=\sqrt{2}$, deci $\rho =\sqrt{2+2}=2$, $\cos \theta =\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\theta =\frac{\pi }{4}$, adică $A=2R\left(\frac{\pi }{4}\right)$ (1 p).

b) (3 p) $A^8=2^{8}R\left(8\cdot \frac{\pi }{4}\right)=256R(2\pi )=256I_2$ (2 p). (Control fără rotații: $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& 0\end{array}\right)$, deci $A^4=(A^2{)}^2=-16I_2$ și $A^8=(A^4{)}^2=256I_2$ ✓) (1 p)

c) (3 p) Din $2026=8\cdot 253+2$, unghiul $\frac{2026\pi }{4}$ se reduce la $\frac{\pi }{2}$ (1 p), iar factorul de scară dă $2^{2026}$ (1 p). Prin urmare $$A^{2026}=2^{2026}R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2^{2026}\\ 2^{2026}& 0\end{array}\right)$$ (1 p). (Aceeași valoare pe cealaltă cale: $A^{2026}=(A^8{)}^{253}{A}^2=256^{253}\cdot \left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& 0\end{array}\right)$, iar $256^{253}\cdot 4=2^{2026}$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Greșeala: a fost uitat factorul de scară. Matricea nu este $R\left(\frac{\pi }{4}\right)$, pentru că elementele ei nu sunt cosinusul și sinusul unui unghi: aici $\rho =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\ne 1$ (1,5 p). Rezolvarea corectă: $A=\sqrt{2}R\left(\frac{\pi }{4}\right)$ (1 p), deci $$A^{2026}=(\sqrt{2}{)}^{2026}R\left(\frac{2026\pi }{4}\right)=2^{1013}R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2^{1013}\\ 2^{1013}& 0\end{array}\right)$$ (1,5 p), unghiul reducându-se la $\frac{\pi }{2}$ pentru că $2026=8\cdot 253+2$.

b) (4 p) Greșeala: recurența este afină, nu geometrică — termenul liber $4$ nu poate fi ignorat, iar formula $x_n=x_1{q}^{n-1}$ se aplică numai la $x_{n+1}=q{x}_n$ (1,5 p). Rezolvarea corectă: punctul fix este $\ell =\frac{4}{1-3}=-2$, deci $b_{n+1}+2=3(b_n+2)$: șirul $b_n+2$ este geometric de rație $3$, cu primul termen $b_1+2=6$ (1,5 p). Rezultă $b_n+2=6\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^n$, adică $b_n=2(3^n-1)$, deci $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 2(3^n-1)\\ 0& 1\end{array}\right)$$ (0,5 p). Control pentru $n=2$: formula dă $b_2=16$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}9& 12+4\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 16\\ 0& 1\end{array}\right)$ ✓ (0,5 p)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1+1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ (1 p) și $A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ (1 p).

b) (3 p) Din $$A\cdot A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n+c_n& b_n+d_n\\ a_n& b_n\end{array}\right)$$ obținem $a_{n+1}=a_n+c_n$, $b_{n+1}=b_n+d_n$, $c_{n+1}=a_n$, $d_{n+1}=b_n$ (1 p). Din ultimele două relații, $c_n=a_{n-1}$ pentru orice $n\ge 2$, deci $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ (1 p) — chiar recurența lui Fibonacci. Cu valorile de pornire $a_1=1$, $a_2=2$ rezultă $a_n=F_{n+1}$; analog $b_{n+1}=b_n+b_{n-1}$ cu $b_1=b_2=1$ dă $b_n=F_n$, iar $c_n=a_{n-1}=F_n$ și $d_n=b_{n-1}=F_{n-1}$ (cu $F_0=0$). Prin urmare $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)$$ (1 p).

c) (3 p) Scriem termenii șirului lui Fibonacci: $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$, $F_6=8$, $F_7=13$, $F_8=21$, $F_9=34$ (1,5 p). Atunci $$A^8=\left(\begin{array}{cc}{F}_9& F_8\\ F_8& F_7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}34& 21\\ 21& 13\end{array}\right)$$ (1,5 p).