Test: forma matriceală a unui sistem și regula lui Cramer

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Sisteme de ecuații liniare

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a capitolului de sisteme liniare, adică exact ce se poate face cât timp determinantul matricei sistemului este nenul. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: limbajul matriceal — trecerea, în ambele sensuri, între sistemul scris cu litere și ecuația $AX=B$, cu matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea extinsă $\overline{A}$, în care coeficienții lipsă se scriu $0$. Al doilea: definiția sistemului de tip Cramer — două condiții simultane, tot atâtea ecuații câte necunoscute și $\Delta =\det A\ne 0$ — împreună cu consecința ei, unicitatea soluției. Al treilea: algoritmul lui Cramer la ordinele $2$, $3$ și $4$, cu construcția corectă a determinanților auxiliari (se înlocuiește o coloană, nu o linie) și cu organizarea calculului la ordinul $4$, unde regula lui Sarrus nu se mai aplică. Al patrulea: metoda matricei inverse, $X=A^{-1}B$, cu înmulțirea făcută la stânga și cu avantajul ei propriu — o singură inversă rezolvă mai multe sisteme cu aceeași matrice.

Testul nu cere nicăieri compararea a două matrice prin numărul lor de linii independente: acea unealtă se predă în lecțiile următoare. Cazurile cu $\Delta =0$ apar aici doar acolo unde răspunsul se poate citi direct din ecuații (o ecuație este multiplul alteia sau două ecuații se contrazic).

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 70 de minute; orientativ, $15$ minute pentru Partea I, $30$ pentru Partea a II-a și $25$ pentru Partea a III-a. Dacă ora de curs are $50$ de minute, proba se poate da în două reprize — Partea I împreună cu Partea a II-a ($58$ de puncte) într-o oră, Partea a III-a ($32$ de puncte) în ora următoare —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare sistem rezolvat se consideră complet doar dacă soluția este substituită în toate ecuațiile, nu doar în cea din care a ieșit. Se depunctează: construirea lui ${\Delta }_k$ prin înlocuirea unei linii în loc de o coloană, calculul determinanților auxiliari înainte de $\Delta$, folosirea regulii lui Sarrus la ordinul $4$, scrierea soluției ca $X=B{A}^{-1}$, omiterea zerourilor din matricea sistemului și transformarea fracțiilor ordinare în zecimale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe construcția determinanților auxiliari și pe verificarea finală.
• Formule de reținut: forma matriceală — orice sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute se scrie $AX=B$, unde $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, iar $\overline{A}\in {\mathcal{M}}_{m,n+1}(\mathbb{C})$ se obține adăugând la dreapta lui $A$ coloana termenilor liberi. Sistem de tip Cramer = sistem cu $n$ ecuații, $n$ necunoscute și $\Delta =\det A\ne 0$; un astfel de sistem este compatibil determinat, iar $$x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta },k=1,2,\dots ,n,$$ unde ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi. Metoda matricei inverse: dacă $\det A\ne 0$, atunci $X=A^{-1}B$, cu $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$; înmulțirea se face la stânga. La ordinul $4$, regula lui Sarrus nu se aplică: se fabrică zerouri cu transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$ (care nu schimbă valoarea determinantului — Proprietatea 8 din lecția 19), apoi se dezvoltă după coloana curățată. Cele trei situații poartă numele fixe incompatibil (nicio soluție), compatibil determinat (soluție unică) și compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții, scrise cu parametri $\alpha$, $\beta$).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Forma matriceală, terminologie și sisteme de ordinul al doilea

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Matricea extinsă a unui sistem cu $3$ ecuații liniare și $4$ necunoscute are: A. $3$ linii și $4$ coloane; B. $4$ linii și $5$ coloane; C. $3$ linii și $5$ coloane; D. $4$ linii și $3$ coloane.

b) Determinantul principal al sistemului $2x+3y=7$, $4x+6y=5$ este: A. $0$; B. $2$; C. $-2$; D. $24$.

c) La un sistem de tip Cramer cu trei necunoscute, determinantul ${\Delta }_2$ se obține din $\Delta$: A. înlocuind linia a doua cu coloana termenilor liberi; B. înlocuind coloana a doua cu coloana termenilor liberi; C. ștergând coloana a doua; D. înmulțind coloana a doua cu termenii liberi.

Itemul 2 (6 puncte)

a) Scrie sub forma $AX=B$ sistemul $3x-y+2z=4$, $x+5z=1$, $2x+4y-z=3$, precizând $A$, $X$ și $B$, și scrie matricea extinsă $\overline{A}$. (3 p)

b) Scrie sistemul de ecuații care corespunde ecuației matriceale de mai jos și stabilește care dintre perechile $(3,-2)$ și $(6,0)$ este soluție a lui. (3 p) $$\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -5\end{array}\right)$$

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute este de tip Cramer dacă determinantul matricei sale este nenul."

b) „Dacă determinantul principal al unui sistem pătratic este nul, atunci sistemul este incompatibil."

c) „La un sistem de tip Cramer cu $\Delta =5$ și ${\Delta }_2=0$, a doua necunoscută este egală cu $0$."

d) „Soluția ecuației matriceale $AX=B$, cu $A$ pătratică și $\det A\ne 0$, se scrie $X=B{A}^{-1}$."

Itemul 4 (6 puncte)

Rezolvă cu regula lui Cramer, verificând soluția în ambele ecuații (câte 3 puncte):

a) $3x+2y=12$, $x-y=-1$;

b) $2x+5y=4$, $4x-3y=-5$.

Partea a II-a – Sisteme cu trei necunoscute

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y+z=8\\ 2x-y+3z=9\\ 3x+y-z=2\end{array}$$

a) Calculează determinantul principal $\Delta$ și arată că sistemul este de tip Cramer. (3 p)

b) Calculează ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$ și determină soluția. (4 p)

c) Verifică soluția în toate cele trei ecuații. (1 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+y=2\\ x+z=2\\ y+2z=4\end{array}$$

a) Scrie matricea sistemului, cu toate zerourile la locul lor, și calculează $\Delta$, dezvoltând după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. (2,5 p)

b) Calculează ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$ și determină soluția, lăsând rezultatele sub formă de fracții ordinare. (4 p)

c) Verifică soluția în toate cele trei ecuații. (0,5 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră sistemul $x+y=3$, $y+z=5$, $x+2z=7$.

a) Scrie matricea $A$ a sistemului și calculează $\det A$. (1 p)

b) Determină $A^{-1}$ cu ajutorul matricei adjuncte și verifică rezultatul calculând prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$. (4 p)

c) Rezolvă sistemul folosind $X=A^{-1}B$ și verifică soluția în toate ecuațiile. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) Un atelier a livrat într-o zi $10$ piese, de trei tipuri. Pentru fiecare piesă de tipul I s-au folosit $2$ ore de manoperă, pentru fiecare piesă de tipul al II-lea $3$ ore, iar pentru fiecare piesă de tipul al III-lea $5$ ore — în total $29$ de ore. Numărul pieselor de tipul I este egal cu numărul pieselor de celelalte două tipuri la un loc.

a) Notează necunoscutele, scrie sistemul și matricea extinsă $\overline{A}$. (2 p)

b) Calculează $\Delta$ și ${\Delta }_1$. (2 p)

c) Știind că ${\Delta }_2=12$ și ${\Delta }_3=8$, află câte piese s-au livrat din fiecare tip, verifică soluția în toate ecuațiile și spune de ce rezultatul are sens în contextul problemei. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră sistemul $mx+2y=4$, $2x+my=4$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer, apoi rezolvă-l pentru $m=0$. (3 p)

b) Arată că pentru $m=2$ sistemul este compatibil nedeterminat și scrie mulțimea $S$ a soluțiilor, iar pentru $m=-2$ arată că sistemul este incompatibil. (3 p)

Partea a III-a – Ordinul al patrulea, demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3+x_4=12\\ x_1+2x_2+x_3+x_4=11\\ x_1+x_2+2x_3+x_4=13\\ x_1+x_2+x_3+2x_4=14\end{array}$$

a) Calculează $\Delta$ fabricând mai întâi zerouri pe prima coloană (scrie explicit fiecare transformare) și dezvoltând apoi după acea coloană. Arată că sistemul este de tip Cramer. (4 p)

b) Se dau ${\Delta }_1=10$, ${\Delta }_2=5$, ${\Delta }_3=15$, ${\Delta }_4=20$. Scrie soluția sistemului și verific-o în toate cele patru ecuații. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Se consideră sistemul general $a_{11}x+a_{12}y=b_1$, $a_{21}x+a_{22}y=b_2$. Deduce, prin metoda reducerii, relațiile $\Delta \cdot x={\Delta }_1$ și $\Delta \cdot y={\Delta }_2$, precizând ce determinanți sunt $\Delta$, ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ și în ce moment al raționamentului intervine condiția $\Delta \ne 0$. (5 p)

b) Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ cu $\det A\ne 0$ și $B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$. Arată că sistemul $AX=B$ nu poate avea două soluții distincte. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și sistemele $AX=B_1$, $AX=B_2$, unde $B_1=\left(\begin{array}{c}8\\ 11\end{array}\right)$ și $B_2=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right)$.

a) Calculează $\det A$ și $A^{-1}$. (2 p)

b) Așază cele două coloane într-o singură matrice $B$ de tip $2\times 2$ și rezolvă ambele sisteme printr-un singur produs $A^{-1}B$. Verifică fiecare soluție în ambele ecuații ale sistemului ei. (4 p)

c) Câți determinanți ar fi cerut rezolvarea celor două sisteme cu regula lui Cramer? Explică, în două fraze, avantajul metodei matricei inverse când se schimbă numai coloana termenilor liberi. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y+z=4\\ 2x+y+mz=5\\ x-y+2z=1\end{array}$$

cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Calculați determinantul matricei sistemului, în funcție de $m$. (2 p)

b) Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer. (2 p)

c) Pentru $m=1$, rezolvați sistemul cu regula lui Cramer și explicați ce înseamnă valoarea obținută pentru ${\Delta }_3$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Matricea sistemului are $3$ linii (câte ecuații) și $4$ coloane (câte necunoscute), iar matricea extinsă are o coloană în plus, cea a termenilor liberi: $3$ linii și $5$ coloane, adică $\overline{A}\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$. Varianta A descrie pe $A$, nu pe $\overline{A}$.

b) A. $\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right|=12-12=0$. A doua linie este dublul primei, deci determinantul se anulează prin Proprietatea 7 din lecția 19 (linii proporționale).

c) B. Se înlocuiește coloana a doua, cea care „aparține" necunoscutei $y$; înlocuirea unei linii dă un număr fără nicio legătură cu soluția.

Itemul 2. (6 p)

a) (3 p) În ecuația a doua lipsește $y$, deci pe locul lui se scrie $0$ (0,5 p). Forma matriceală este $AX=B$, cu $$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 0& 5\\ 2& 4& -1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$ (1,5 p), iar matricea extinsă se obține alipind coloana lui $B$ la dreapta lui $A$: $$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 4\\ 1& 0& 5& 1\\ 2& 4& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$$ (1 p). Control: $A$ are exact trei coloane, cât numărul necunoscutelor.

b) (3 p) Fiecare linie a produsului dă câte o ecuație (1 p): $$2x-3y=12,x+4y=-5.$$ Pentru $(6,0)$: prima ecuație dă $12-0=12$ ✓, dar a doua dă $6+0=6\ne -5$ ✗ — perechea nu este soluție (1 p). Pentru $(3,-2)$: $6+6=12$ ✓ și $3-8=-5$ ✓, deci aceasta este soluția (0,5 p). Cum $\Delta =8+3=11\ne 0$, ea este și singura (0,5 p).

Observație de barem: itemul pedepsește exact greșeala din enunțul lecției — verificarea într-o singură ecuație. Perechea $(6,0)$ trece prima ecuație tocmai ca să prindă această scurtătură.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute are matricea de tip $3\times 4$, care nu este pătratică, deci nu are determinant; condiția din afirmație nici măcar nu se poate scrie. Un sistem de tip Cramer are, prin definiție, tot atâtea ecuații câte necunoscute.

b) F. Un determinant principal nul înseamnă doar că sistemul nu este de tip Cramer. El poate fi incompatibil, dar poate fi și compatibil nedeterminat: sistemul $x+3y=7$, $2x+6y=14$ are $\Delta =0$ și mulțimea soluțiilor $S=\{(7-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$ (pentru $\alpha =0$, $1$, $-2$ obținem $(7,0)$, $(4,1)$, $(13,-2)$, care verifică ambele ecuații).

c) A. Cum $\Delta =5\ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat, iar $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }=\frac{0}{5}=0$. Un determinant auxiliar nul nu spune nimic despre existența soluției, ci doar că necunoscuta corespunzătoare este $0$.

d) F. Din $AX=B$ se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$, pentru că numai așa apare $A^{-1}A=I_n$; rezultă $X=A^{-1}B$. În plus, $B$ este de tip $n\times 1$ și $A^{-1}$ de tip $n\times n$, deci produsul $B{A}^{-1}$ nici nu se poate efectua pentru $n\ge 2$.

Itemul 4. (6 p) — câte 3 puncte (0,5 p pentru $\Delta$ calculat primul, 1,5 p pentru auxiliari, 0,5 p pentru soluție, 0,5 p pentru verificare).

a) $\Delta =\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -1\end{array}\right|=-3-2=-5\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. Apoi $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}12& 2\\ -1& -1\end{array}\right|=-12+2=-10,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}3& 12\\ 1& -1\end{array}\right|=-3-12=-15,$$ deci $x=\frac{-10}{-5}=2$ și $y=\frac{-15}{-5}=3$. Verificare: $6+6=12$ ✓ și $2-3=-1$ ✓, deci $S=\{(2,3)\}$.

b) $\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& -3\end{array}\right|=-6-20=-26\ne 0$. Apoi $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ -5& -3\end{array}\right|=-12+25=13,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& -5\end{array}\right|=-10-16=-26,$$ deci $x=\frac{13}{-26}=-\frac{1}{2}$ și $y=\frac{-26}{-26}=1$. Verificare: $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+5=-1+5=4$ ✓ și $4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-3=-2-3=-5$ ✓, deci $S=\left\{\left(-\frac{1}{2},1\right)\right\}$. Rezultatul se lasă sub formă de fracție ordinară.

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& -1\end{array}\right)$ (0,5 p). Cu regula lui Sarrus (aplicabilă, fiind ordinul $3$): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& -1\end{array}\right|=(1+18+2)-(-3+3-4)=21+4=25$$ (2 p). Cum sistemul are trei ecuații, trei necunoscute și $\Delta =25\ne 0$, el este de tip Cramer, deci compatibil determinat (0,5 p).

b) (4 p) Înlocuim, pe rând, câte o coloană cu coloana termenilor liberi (câte 1 p pentru fiecare determinant): $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}8& 2& 1\\ 9& -1& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right|=25,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 8& 1\\ 2& 9& 3\\ 3& 2& -1\end{array}\right|=50,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 2& -1& 9\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=75.$$ De pildă, dezvoltând ${\Delta }_1$ după prima linie: $8(1-3)-2(-9-6)+1(9+2)=-16+30+11=25$. Împărțind, $x=\frac{25}{25}=1$, $y=\frac{50}{25}=2$, $z=\frac{75}{25}=3$ (1 p).

c) (1 p) Verificare în toate cele trei ecuații: $1+4+3=8$ ✓; $2-2+9=9$ ✓; $3+2-3=2$ ✓. Așadar $S=\{(1,2,3)\}$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2,5 p) Matricea sistemului, cu zerourile scrise, este $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ (1 p). Dezvoltăm după prima linie: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=2(0-1)-1(2-0)+0=-2-2=-4\ne 0$$ (1,5 p), deci sistemul este de tip Cramer.

b) (4 p) Auxiliarii, dezvoltați tot după linia sau coloana cu zerouri (câte 1 p): $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 2& 0& 1\\ 4& 1& 2\end{array}\right|=-2,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 4& 2\end{array}\right|=-4,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& 0& 2\\ 0& 1& 4\end{array}\right|=-6.$$ Prin urmare $$x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2},y=\frac{-4}{-4}=1,z=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$$ (1 p). Soluțiile fracționare sunt normale și se lasă ca fracții ordinare.

c) (0,5 p) Verificare în toate ecuațiile: $2\cdot \frac{1}{2}+1=2$ ✓; $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$ ✓; $1+2\cdot \frac{3}{2}=4$ ✓. Deci $S=\left\{\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)\right\}$.

Itemul 7. (7 p)

a) (1 p) În fiecare ecuație lipsește câte o necunoscută, deci $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right),\det A=1(2-0)-1(0-1)+0=2+1=3\ne 0.$$

b) (4 p) Calculăm cei nouă complemenți algebrici ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, unde ${\Delta }_{ij}$ este minorul obținut ștergând linia $i$ și coloana $j$ (2 p):

Matricea adjunctă este transpusa acestui tablou (pe poziția $(i,j)$ stă ${\delta }_{ji}$), deci (1,5 p) $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 1& 2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$ Control: prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$ este $\frac{1}{3}(2+1,-2+2,1-1)=(1,0,0)$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Cu $B$ având elementele $3$, $5$, $7$, $$X=A^{-1}B=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}6-10+7\\ 3+10-7\\ -3+5+7\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$$ (1,5 p), deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $1+2=3$ ✓; $2+3=5$ ✓; $1+6=7$ ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Fie $x$, $y$, $z$ numărul de piese de tipul I, al II-lea, respectiv al III-lea (0,5 p). Cele trei condiții („câte piese", „câte ore", „relația dintre tipuri") dau $$\{\begin{array}{l}x+y+z=10\\ 2x+3y+5z=29\\ x-y-z=0\end{array}$$ (1 p), iar matricea extinsă este $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 10\\ 2& 3& 5& 29\\ 1& -1& -1& 0\end{array}\right)$ (0,5 p).

b) (2 p) Cu regula lui Sarrus, $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 1& -1& -1\end{array}\right|=(-3+5-2)-(3-5-2)=0+4=4\ne 0$$ (1 p), deci sistemul este de tip Cramer, iar $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}10& 1& 1\\ 29& 3& 5\\ 0& -1& -1\end{array}\right|=10(-3+5)-1(-29-0)+1(-29-0)=20+29-29=20$$ (1 p).

c) (2 p) Din ${\Delta }_2=12$ și ${\Delta }_3=8$ obținem $$x=\frac{20}{4}=5,y=\frac{12}{4}=3,z=\frac{8}{4}=2$$ (1 p). Verificare în toate ecuațiile: $5+3+2=10$ ✓; $10+9+10=29$ ✓; $5-3-2=0$ ✓ (0,5 p). Rezultatul are sens în context: toate cele trei numere sunt întregi și pozitive, iar $5=3+2$ confirmă relația din enunț; un număr de piese negativ sau fracționar ar fi arătat o eroare de model sau de calcul (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Sistemul are două ecuații și două necunoscute, deci rămâne condiția asupra determinantului (0,5 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 2& m\end{array}\right|=m^2-4\ne 0⟺m\ne 2\text{și}m\ne -2,$$ adică $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$ (1 p). Pentru $m=0$ sistemul devine $2y=4$, $2x=4$, cu $\Delta =-4$, $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 0\end{array}\right|=-8,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 2& 4\end{array}\right|=-8,$$ deci $x=2$ și $y=2$ (1 p). Verificare: $0\cdot 2+2\cdot 2=4$ ✓ și $2\cdot 2+0\cdot 2=4$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $m=2$ ambele ecuații devin $2x+2y=4$, adică $x+y=2$: a doua nu aduce nicio informație nouă, deci rămâne o singură condiție pentru două necunoscute (1 p). Notând $y=\alpha$, obținem $$S=\{(2-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\},$$ deci sistemul este compatibil nedeterminat (0,5 p). Control pentru $\alpha =0$, $2$, $-3$: perechile $(2,0)$, $(0,2)$, $(5,-3)$ verifică ambele ecuații (0,5 p).

Pentru $m=-2$ sistemul devine $-2x+2y=4$, $2x-2y=4$, adică $-x+y=2$ și $x-y=2$ (0,5 p). Adunând cele două ecuații obținem $0=4$, fals, deci nu există nicio pereche care să le verifice pe amândouă: sistemul este incompatibil, $S=\varnothing$ (0,5 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$; regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$ (0,5 p). Alegem drept pivot elementul $1$ de pe linia a doua, coloana întâi, și anulăm celelalte elemente ale primei coloane cu transformările $L_1\leftarrow L_1-2L_2$, $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-L_2$ (toate de forma $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$, deci valoarea determinantului nu se schimbă — Proprietatea 8 din lecția 19) (1,5 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}0& -3& -1& -1\\ 1& 2& 1& 1\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right|.$$ Dezvoltăm după prima coloană; singurul element nenul este pe linia a doua, cu semnul $(-1{)}^{2+1}=-1$ (1 p): $$\Delta =-1\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right|=-[(-3+0+0)-(1+0+1)]=-(-3-2)=5$$ (0,5 p). (Același rezultat, prin dezvoltare după prima linie a minorului: $-3(1-0)-(-1)(-1-0)+(-1)(0+1)=-3-1-1=-5$, deci $\Delta =-(-5)=5$.) Cum sistemul are patru ecuații, patru necunoscute și $\Delta =5\ne 0$, el este de tip Cramer (0,5 p).

b) (4 p) Împărțim fiecare auxiliar la $\Delta =5$ (2 p): $$x_1=\frac{10}{5}=2,x_2=\frac{5}{5}=1,x_3=\frac{15}{5}=3,x_4=\frac{20}{5}=4.$$ Verificare în toate cele patru ecuații (2 p):

• $2\cdot 2+1+3+4=12$ ✓
• $2+2\cdot 1+3+4=11$ ✓
• $2+1+2\cdot 3+4=13$ ✓
• $2+1+3+2\cdot 4=14$ ✓

Control elegant, acceptat ca justificare suplimentară: pe fiecare linie a sistemului, membrul stâng este $x_1+x_2+x_3+x_4$ plus încă o dată necunoscuta de pe diagonală; cum suma este $10$, termenii liberi trebuie să fie $x_i+10$, adică $12$, $11$, $13$, $14$ ✓.

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Pornim de la $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y=b_1\\ a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{array}$$ Eliminarea lui $y$. Înmulțim prima ecuație cu $a_{22}$, a doua cu $a_{12}$ și scădem; termenii în $y$ devin identici și dispar (1,5 p): $$(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x=b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}.$$ Eliminarea lui $x$. Înmulțim prima ecuație cu $a_{21}$, a doua cu $a_{11}$ și scădem prima din a doua (1,5 p): $$(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})y=a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1.$$ Recunoașterea determinanților. Paranteza comună este $\Delta =\det A$, membrul drept al primei relații este determinantul obținut din $\Delta$ înlocuind prima coloană cu coloana termenilor liberi, iar al celei de-a doua — determinantul obținut înlocuind a doua coloană (1 p): $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|.$$ Relațiile devin $\Delta \cdot x={\Delta }_1$ și $\Delta \cdot y={\Delta }_2$. Condiția $\Delta \ne 0$ intervine abia acum, la ultimul pas: numai dacă $\Delta \ne 0$ se poate împărți, obținând $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$ și $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$; dacă $\Delta =0$, împărțirea nu se poate face și metoda se oprește (1 p). $■$

b) (3 p) Cum $\det A\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă (0,5 p). Fie $X_1$ și $X_2$ două soluții, adică $A{X}_1=B$ și $A{X}_2=B$ (0,5 p). Înmulțind fiecare egalitate la stânga cu $A^{-1}$ și folosind asociativitatea, definiția inversei ($A^{-1}A=I_n$) și faptul că $I_n$ este element neutru, obținem (1,5 p) $$X_1=(A^{-1}A)X_1=A^{-1}(A{X}_1)=A^{-1}B,X_2=A^{-1}(A{X}_2)=A^{-1}B.$$ Prin urmare $X_1=X_2=A^{-1}B$: cele două soluții coincid, deci sistemul nu poate avea două soluții distincte, adică este compatibil determinat (0,5 p). $■$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) $\det A=3\cdot 3-2\cdot 4=9-8=1\ne 0$ (1 p). La ordinul $2$, adjuncta se scrie direct: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală și se schimbă semnul celorlalte două, deci $$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Control: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}9-8& -6+6\\ 12-12& -8+9\end{array}\right)=I_2$ ✓.

b) (4 p) Punem cele două coloane într-o singură matrice $B$ de tip $2\times 2$ și facem un singur produs (2 p): $$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 11& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}24-22& 15-12\\ -32+33& -20+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right).$$ Prima coloană este soluția primului sistem, $(2,1)$; a doua este soluția celui de-al doilea, $(3,-2)$ (1 p). Verificare (1 p): pentru $B_1$, $3\cdot 2+2\cdot 1=8$ ✓ și $4\cdot 2+3\cdot 1=11$ ✓; pentru $B_2$, $3\cdot 3+2\cdot (-2)=5$ ✓ și $4\cdot 3+3\cdot (-2)=6$ ✓.

c) (2 p) Cu regula lui Cramer: $\Delta$ se calculează o singură dată, dar auxiliarii conțin coloana termenilor liberi, deci se refac pentru fiecare sistem — în total $1+2+2=5$ determinanți de ordinul al doilea (1 p). Cu metoda matricei inverse se calculează un determinant și o inversă, apoi fiecare sistem nou costă doar un produs de matrice; avantajul crește cu numărul de coloane $B$ și cu ordinul sistemului, pentru că partea scumpă a calculului — inversa — se face o singură dată (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& m\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$ (0,5 p). Dezvoltând după prima linie (1,5 p): $$\det A=1(2+m)-2(4-m)+1(-2-1)=2+m-8+2m-3=3m-9=3(m-3).$$

b) (2 p) Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci este de tip Cramer exact când $\det A\ne 0$, adică $3(m-3)\ne 0$, deci $m\ne 3$: pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{3\}$.

c) (4 p) Pentru $m=1$ avem $\Delta =3(1-3)=-6\ne 0$ (0,5 p), deci sistemul este de tip Cramer. Auxiliarii (câte 0,5 p): $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 5& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right|=-12,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& 5& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=-6,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 1& 5\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0.$$ De pildă, ${\Delta }_1=4(2+1)-2(10-1)+1(-5-1)=12-18-6=-12$. Împărțind (1 p): $$x=\frac{-12}{-6}=2,y=\frac{-6}{-6}=1,z=\frac{0}{-6}=0.$$ Verificare în toate ecuațiile: $2+2+0=4$ ✓; $4+1+0=5$ ✓; $2-1+0=1$ ✓, deci $S=\{(2,1,0)\}$ (0,5 p).

Valoarea ${\Delta }_3=0$ nu înseamnă că sistemul ar avea ceva în neregulă: singurul determinant care decide natura sistemului este $\Delta$, iar el este nenul. Un auxiliar nul înseamnă exact că necunoscuta corespunzătoare este $0$ — aici $z=0$ (0,5 p).