Test: sondaje și eșantionare

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea de statistică și verifică ceea ce transformă un tabel de numere într-o afirmație despre lume: modul în care au fost culese datele. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: deosebirea dintre recensământ (se întreabă toată populația) și sondaj (se întreabă un eșantion, iar concluzia se extinde, cu o marjă de incertitudine), împreună cu identificarea corectă a populației-țintă, a eșantionului și a caracteristicii. Al doilea: metodele de eșantionare — sondajul aleator simplu, în care fiecare individ are aceeași șansă de a fi ales, și sondajul stratificat, cu alocare proporțională $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ și verificarea obligatorie $\sum n_{i} = n$ . Al treilea: erorile care nu se repară mărind eșantionul — autoselecția, non-răspunsul, cadrul incomplet și întrebarea părtinitoare; doar eroarea de eșantionare scade odată cu volumul. Al patrulea: extrapolarea rezultatului la populație și comunicarea lui onestă, cu „estimăm", cu mărimea eșantionului și cu limitările. Testul verifică și convenția de calcul: pe un eșantion se folosește $s$ (împărțire la $n - 1$ ), pe populație $σ$ (împărțire la $n$ ).

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii de argumentare se cere un răspuns scris în propoziții complete, nu doar un cuvânt.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Convenția de scriere, aceeași peste tot în test: procentele se dau exact acolo unde împărțirea este exactă și rotunjite la două zecimale în rest; abaterile standard se dau în formă exactă (întreg sau radical), cu aproximarea zecimală alături, la două zecimale. Orice estimare la nivelul populației se scrie obligatoriu cu cuvântul „estimăm".
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe alocarea proporțională și pe erorile pe care volumul nu le repară.
Formule de reținut: fracția de sondaj $\frac{n}{N}$ (ce parte din populație a fost efectiv studiată) și rata de răspuns $\frac{r a ˘ spunsuri primite}{chestionare trimise}$ — două mărimi diferite, care nu se confundă. Alocarea proporțională în sondajul stratificat: $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n, i = 1 \sum k n_{i} = n, i = 1 \sum k N_{i} = N .$ Extrapolarea: dacă în eșantion proporția este $f = \frac{m}{n}$ , atunci numărul estimat în populație este $f \cdot N$ . Cele șapte etape ale unui sondaj: obiectiv, populație-țintă, eșantion, chestionar, culegerea datelor, prelucrare, interpretare cu limitări. Abaterea standard: pe eșantion $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ , pe populație $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ ; pe aceleași date $s > σ$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recensământ, sondaj, populație și eșantion

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Un studiu care chestionează toate unitățile populației se numește: A. sondaj; B. recensământ; C. eșantion; D. strat.

b) Într-un liceu cu $1200$ de elevi sunt chestionați $120$ . Fracția de sondaj este: A. $1%$ ; B. $10%$ ; C. $12%$ ; D. $120%$ .

c) Într-un sondaj stratificat, populația de $1200$ de persoane are un strat de $480$ de persoane, iar eșantionul are $100$ de persoane. Prin alocare proporțională, din acel strat se aleg: A. $40$ ; B. $48$ ; C. $50$ ; D. $60$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Primăria unui oraș cu $40000$ de locuitori vrea să afle ce părere au cetățenii despre o nouă pistă de biciclete. Sunt chestionate $250$ de persoane, alese aleatoriu din registrul de evidență a populației. a) Precizează populația-țintă, unitatea statistică și eșantionul. (3 p) b) Precizează caracteristica studiată și tipul ei. (2 p) c) Calculează fracția de sondaj. (1 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Un eșantion de $2000$ de persoane care s-au oferit singure să răspundă este mai bun decât unul de $500$ de persoane alese aleatoriu." b) „Într-un sondaj stratificat cu alocare proporțională, suma efectivelor alese din straturi este egală cu volumul eșantionului." c) „Rezultatul obținut pe un eșantion demonstrează ce se întâmplă în întreaga populație." d) „Abaterea standard calculată pe un eșantion este, în general, egală cu abaterea standard a populației."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Dintr-o populație de $2500$ de angajați se studiază un eșantion de $125$ . Calculează fracția de sondaj. (2 p) b) O firmă a trimis $800$ de chestionare și a primit $320$ de răspunsuri. Calculează rata de răspuns. (2 p) c) Explică de ce o rată de răspuns mică este o problemă, chiar dacă numărul absolut de răspunsuri primite este mare. (2 p)

Partea a II-a – Metode de eșantionare, extrapolare și erori

Itemul 5 (8 puncte)

Un liceu are $1200$ de elevi, repartizați astfel: clasa a IX-a — $480$ , clasa a X-a — $360$ , clasa a XI-a — $240$ , clasa a XII-a — $120$ . Se dorește un sondaj stratificat pe un eșantion de $120$ de elevi. a) Verifică $\sum N_{i} = N$ și calculează ponderea fiecărui strat în populație. (2 p) b) Calculează, prin alocare proporțională, câți elevi se aleg din fiecare clasă și verifică $\sum n_{i} = n$ . (4 p) c) Calculează fracția de sondaj și explică ce înseamnă ea aici. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

În sondajul primăriei de la itemul 2, dintre cele $250$ de persoane chestionate, $90$ s-au declarat favorabile pistei de biciclete. a) Calculează frecvența relativă și procentul respondenților favorabili. (2 p) b) Estimează câți dintre cei $40000$ de locuitori sunt favorabili pistei. (3 p) c) Scrie concluzia sondajului într-o formulare corectă din punct de vedere statistic. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Pentru fiecare situație, numește eroarea de eșantionare și explică de ce concluzia este nesigură: a) Un post de radio îi invită pe ascultători să sune și să spună dacă sunt de acord cu o măsură; se primesc $3000$ de apeluri. (2 p) b) Un reporter chestionează primii $50$ de trecători din fața unei săli de sport, ca să afle cât sport fac locuitorii orașului. (2 p) c) Un sondaj despre obiceiurile tinerilor se face apelând numere de telefon fix din cartea de telefon. Explică de ce mărirea eșantionului la $10000$ de apeluri nu repară problema. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Rescrie fiecare întrebare de chestionar astfel încât să fie corectă, explicând ce era greșit (câte 2 puncte): a) „Nu credeți că este normal ca elevii să aibă mai puține teme?" b) „Cât de des faceți sport și mâncați sănătos?" c) „Câte ore petreceți zilnic pe telefon? $0$ – $2$ ore; $2$ – $4$ ore; $4$ – $6$ ore."

Itemul 9 (6 puncte)

a) Descrie, pas cu pas, cum se realizează practic un sondaj aleator simplu de $60$ de elevi într-un liceu cu $1200$ de elevi. (3 p) b) Explică de ce autoselecția și non-răspunsul nu se repară mărind eșantionul, în timp ce eroarea de eșantionare scade. (3 p)

Partea a III-a – Alocare, abateri standard și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

O firmă cu $900$ de angajați are trei departamente: producție — $405$ , vânzări — $315$ , administrativ — $180$ . Se face un sondaj stratificat pe un eșantion de $60$ de angajați. a) Calculează ponderea fiecărui departament. (2 p) b) Calculează efectivele alese din fiecare departament și verifică suma. (4 p) c) Explică ce se face atunci când formula alocării proporționale nu dă numere întregi. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Pentru a estima timpul de așteptare la un ghișeu, s-au măsurat, pe un eșantion de $5$ clienți, timpii (în minute): $12, 14, 15, 16, 18.$ a) Calculați media timpilor din eșantion. (2 p) b) Calculați abaterea standard a eșantionului, $s$ , în formă exactă și aproximată la două zecimale. (3 p) c) Presupunând acum că cei $5$ clienți sunt întreaga populație studiată, calculați $σ$ și comparați cele două rezultate. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Enumeră cele șapte etape ale realizării unui sondaj. (3 p) b) Un elev raportează rezultatul unui sondaj astfel: „ $57%$ dintre elevii din România preferă manualele digitale." Precizează trei elemente care lipsesc din formulare. (3 p) c) Precizează câte un avantaj și câte un dezavantaj pentru recensământ și pentru sondaj. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) O firmă cu $5000$ de clienți a trimis chestionare de satisfacție la $500$ dintre ei, alese aleatoriu. Au răspuns $200$ de clienți, dintre care $72$ s-au declarat foarte mulțumiți. a) Calculați rata de răspuns. (2 p) b) Calculați procentul respondenților foarte mulțumiți. (2 p) c) Estimați numărul clienților foarte mulțumiți din întreaga bază de clienți și explicați de ce această estimare trebuie privită cu prudență. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B (2 p). Recensământul întreabă toată populația; sondajul întreabă un eșantion și extinde concluzia, cu o marjă de incertitudine. b) B (2 p). Fracția de sondaj este $\frac{n}{N} = \frac{120}{1200} = \frac{1}{10} = 10%$ . c) A (2 p). Alocarea proporțională dă $n_{1} = \frac{480}{1200} \cdot 100 = 0, 4 \cdot 100 = 40$ persoane. Varianta B, $48$ , ar corespunde unui eșantion de $120$ , nu de $100$ .

Itemul 2. (6 p)

a) (3 p) Populația-țintă este mulțimea celor $40000$ de locuitori ai orașului (1 p); unitatea statistică este un locuitor (1 p); eșantionul este format din cele $250$ de persoane efectiv chestionate (1 p).

b) (2 p) Caracteristica studiată este părerea despre noua pistă de biciclete (de acord / împotrivă / nu știu) (1 p). Ea este o caracteristică calitativă: valorile ei sunt cuvinte, pe care nu le putem aduna sau împărți (1 p).

c) (1 p) $\frac{n}{N} = \frac{250}{40 000} = \frac{1}{160} = 0, 625%$ .

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F (1,5 p). Cei care se oferă singuri să răspundă nu sunt un eșantion reprezentativ — este autoselecție: răspund tocmai persoanele cu opinii puternice. Reprezentativitatea se obține prin metodă, nu prin mărime; $500$ de persoane alese aleatoriu spun mai mult despre populație decât $2000$ de voluntari. b) A (1,5 p). Din $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ rezultă $\sum n_{i} = \frac{n}{N} \sum N_{i} = \frac{n}{N} \cdot N = n$ . Această egalitate este chiar verificarea obligatorie a alocării. c) F (1,5 p). Un rezultat obținut pe eșantion estimează, nu demonstrează. Un alt eșantion, extras corect din aceeași populație, ar da un rezultat puțin diferit; de aceea concluzia se comunică întotdeauna cu o marjă de incertitudine. d) F (1,5 p). Abaterea standard a unui eșantion diferă, în general, de cea a populației și variază de la un eșantion la altul. Pe eșantion se folosește $s$ (împărțire la $n - 1$ ), pe populație $σ$ (împărțire la $n$ ).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) $\frac{n}{N} = \frac{125}{2500} = \frac{1}{20} = 0, 05 = 5%$ .

b) (2 p) Rata de răspuns este $\frac{320}{800} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%$ ; non-răspunsul este de $60%$ , adică $480$ de chestionare rămase fără răspuns.

c) (2 p) Problema nu este numărul celor care au răspuns, ci cine sunt cei care nu au răspuns (1 p). Dacă cei $480$ de nerespondenți se deosebesc sistematic de ceilalți (de exemplu, clienții nemulțumiți nu se mai obosesc să răspundă), rezultatul este deformat în aceeași direcție, indiferent cât de mare este numărul răspunsurilor primite. Non-răspunsul este o eroare sistematică, iar erorile sistematice nu se micșorează prin volum (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $480 + 360 + 240 + 120 = 1200 = N$ ✓ (1 p). Ponderile straturilor sunt $\frac{480}{1200} = 40%, \frac{360}{1200} = 30%, \frac{240}{1200} = 20%, \frac{120}{1200} = 10%$ (1 p).

b) (4 p) Se aplică $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ cu $n = 120$ (1 p): $n_{1} = \frac{480}{1200} \cdot 120 = 48, n_{2} = \frac{360}{1200} \cdot 120 = 36, n_{3} = \frac{240}{1200} \cdot 120 = 24, n_{4} = \frac{120}{1200} \cdot 120 = 12$ (2 p).

Clasa	a IX-a	a X-a	a XI-a	a XII-a	Total
$N_{i}$	$480$	$360$	$240$	$120$	$1200$
pondere	$40%$	$30%$	$20%$	$10%$	$100%$
$n_{i}$	$48$	$36$	$24$	$12$	$120$

Verificarea: $48 + 36 + 24 + 12 = 120 = n$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Fracția de sondaj este $\frac{120}{1200} = \frac{1}{10} = 10%$ (1 p). Ea arată că a fost efectiv chestionat un elev din zece; observăm că aceeași fracție se regăsește și în fiecare strat ( $48$ din $480$ , $36$ din $360$ etc.) — exact acesta este sensul alocării proporționale: eșantionul reproduce structura populației pe clase (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) $f = \frac{90}{250} = \frac{9}{25} = 0, 36$ , adică $36%$ dintre respondenți.

b) (3 p) Extrapolarea se face înmulțind frecvența relativă cu volumul populației (1 p): $0, 36 \cdot 40000 = 14400 locuitori$ (2 p).

c) (2 p) O formulare corectă: „Pe baza unui sondaj efectuat pe un eșantion aleator de $250$ de locuitori, estimăm că aproximativ $36%$ dintre cei $40000$ de locuitori ai orașului sunt favorabili pistei de biciclete, adică în jur de $14400$ de persoane. Rezultatul este o estimare, cu o marjă de eroare, nu o valoare exactă." (1 p) Elementele obligatorii: cuvântul estimăm, mărimea și modul de alegere ale eșantionului, populația la care se referă concluzia și menționarea limitărilor (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Este autoselecție (eșantion format din voluntari) (1 p). Sună doar cei care ascultă postul respectiv și care au o opinie suficient de puternică încât să facă efortul de a telefona — de regulă, cei nemulțumiți. Cele $3000$ de apeluri nu sunt un eșantion al populației, ci al ascultătorilor motivați; numărul mare dă doar o falsă impresie de siguranță (1 p).

b) (2 p) Este un eșantion de conveniență, cu cadru nepotrivit (1 p). Persoanele din fața unei săli de sport fac, prin natura locului, mult mai mult sport decât locuitorul obișnuit al orașului; concluzia va supraestima sistematic activitatea fizică. Locul și momentul alegerii decid, aici, răspunsul (1 p).

c) (3 p) Este un cadru de eșantionare incomplet: lista din care se extrage nu acoperă toată populația-țintă (1 p). Tinerii au, în marea lor majoritate, telefon mobil, nu fix; mulți dintre ei nu apar deloc în cartea de telefon, deci au probabilitate zero de a fi aleși (1 p). Mărind numărul de apeluri la $10000$ , se extrag tot mai multe persoane din aceeași listă greșită: eșantionul devine mai mare, dar rămâne la fel de nereprezentativ. Volumul reduce numai eroarea de eșantionare (variația întâmplătoare), nu și erorile sistematice, care vin din metodă (1 p).

Itemul 8. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) Întrebarea este părtinitoare: formularea „nu credeți că este normal" sugerează răspunsul dorit și îl face pe cel care nu e de acord să pară nerezonabil. Reformulare neutră: „Considerați că volumul actual al temelor pentru acasă este prea mare, potrivit sau prea mic?"

b) (2 p) Întrebarea conține două idei într-una singură (sport și alimentație), deci nu se poate răspunde la ea: cineva care face sport zilnic, dar mănâncă dezechilibrat, nu are ce bifa. Reformulare: se despart în două întrebări — „Cât de des faceți sport?" și „Cât de des consumați legume și fructe proaspete?"

c) (2 p) Variantele de răspuns se suprapun: cine petrece exact $2$ ore poate bifa și prima, și a doua variantă; în plus, variantele nu acoperă tot (nimic pentru cine petrece peste $6$ ore). Reformulare, cu intervale semideschise care se exclud și acoperă tot: „sub $2$ ore; $[2, 4)$ ore; $[4, 6)$ ore; $6$ ore sau mai mult".

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Pasul 1: se alcătuiește cadrul de eșantionare, adică lista completă a celor $1200$ de elevi, și se numerotează de la $1$ la $1200$ (1 p). Pasul 2: se extrag $60$ de numere distincte între $1$ și $1200$ , folosind un generator de numere aleatoare, o funcție din foaia de calcul sau bile numerotate dintr-o urnă — fără a alege noi, după preferință (1 p). Pasul 3: sunt chestionați exact elevii cu numerele extrase, iar dacă unul lipsește, nu se înlocuiește cu primul elev întâlnit — o astfel de înlocuire ar transforma un non-răspuns într-o alegere de conveniență și ar strica selecția aleatoare. Astfel, fiecare elev are aceeași șansă, $\frac{60}{1200} = 5%$ , de a intra în eșantion (1 p).

b) (3 p) Eroarea de eșantionare este variația întâmplătoare care apare pentru că studiem doar o parte din populație; ea este simetrică — uneori în plus, alteori în minus — și se micșorează pe măsură ce $n$ crește, pentru că eșantionul seamănă tot mai mult cu populația (1 p). Autoselecția și non-răspunsul sunt însă erori sistematice: ele deplasează rezultatul mereu în aceeași direcție, fiindcă exclud constant același tip de persoane (1 p). Mărind eșantionul, adunăm mai multe date deformate în același sens: greșeala nu se anulează, ci se confirmă cu o falsă precizie. Ele se repară numai schimbând metoda — cadru complet, selecție aleatoare, urmărirea nerespondenților (1 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) $405 + 315 + 180 = 900 = N$ ✓ (1 p), iar ponderile sunt $\frac{405}{900} = 45%, \frac{315}{900} = 35%, \frac{180}{900} = 20%$ (1 p).

b) (4 p) Cu $n = 60$ și $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ (1 p): $n_{1} = 0, 45 \cdot 60 = 27, n_{2} = 0, 35 \cdot 60 = 21, n_{3} = 0, 20 \cdot 60 = 12$ (2 p). Verificarea: $27 + 21 + 12 = 60 = n$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Când formula dă numere zecimale (de exemplu $16, 65$ ), efectivele se rotunjesc la cel mai apropiat întreg, pentru că nu putem chestiona o fracțiune de persoană (1 p). Rotunjirile pot însă strica totalul, așa cum se întâmplă și cu procentele: după rotunjire se reface verificarea $\sum n_{i} = n$ și, dacă suma nu iese exact, se ajustează o cotă cu $\pm 1$ , până când totalul devine chiar volumul dorit al eșantionului. Ajustarea se menționează în raport (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $\overset{x}{ˉ} = \frac{12 + 14 + 15 + 16 + 18}{5} = \frac{75}{5} = 15$ minute.

b) (3 p) Abaterile față de medie sunt $- 3, - 1, 0, 1, 3$ , cu suma $0$ ✓, iar pătratele lor sunt $9, 1, 0, 1, 9$ , cu suma $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = 20$ (1,5 p). Datele provenind dintr-un eșantion, se împarte la $n - 1 = 4$ (0,5 p): $s = \frac{20}{4} = 5 \approx 2, 24 minute$ (1 p).

c) (3 p) Dacă cei $5$ clienți ar fi întreaga populație studiată, s-ar împărți la $n = 5$ (1 p): $σ = \frac{20}{5} = 4 = 2 minute$ (1 p). Comparație: $s = 5 \approx 2, 24 > 2 = σ$ , pe exact aceleași date. Numărătorul este identic, dar numitorul $n - 1$ este mai mic decât $n$ , deci fracția este mai mare. Diferența nu este o chestiune de gust: ea depinde de ce reprezintă setul de date, iar simbolul folosit ( $s$ sau $σ$ ) trebuie să spună cititorului exact acest lucru (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Cele șapte etape, în ordine (3 p): 1. stabilirea obiectivului (ce anume vrem să aflăm); 2. definirea populației-țintă (loc, timp, criteriu); 3. alegerea eșantionului și a metodei de eșantionare; 4. alcătuirea chestionarului; 5. culegerea datelor; 6. prelucrarea lor (tabele, frecvențe, indicatori, grafice); 7. interpretarea rezultatelor, împreună cu limitările studiului.

b) (3 p) Lipsesc: mărimea și modul de alegere ale eșantionului — fără ele nu știm cât de sigură este cifra (1 p); populația-țintă precisă și momentul — „elevii din România" din ce clase, din ce mediu, în ce perioadă a fost făcut sondajul (1 p); caracterul de estimare și limitările — formularea corectă începe cu „estimăm că", menționează marja de eroare, rata de răspuns și felul în care a fost pusă întrebarea (1 p).

c) (2 p) Recensământul: avantaj — dă valoarea exactă, fără eroare de eșantionare, și permite analize pe grupuri mici; dezavantaj — este foarte scump și lent, iar uneori imposibil (când verificarea distruge produsul) (1 p). Sondajul: avantaj — este rapid și ieftin, deci se poate repeta des; dezavantaj — dă doar o estimare, cu o marjă de incertitudine, iar rezultatul depinde de calitatea metodei de eșantionare (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Rata de răspuns este $\frac{200}{500} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%$ .

b) (2 p) Procentul respondenților foarte mulțumiți este $\frac{72}{200} = \frac{9}{25} = 0, 36 = 36%$ .

c) (4 p) Extrapolarea: presupunând că respondenții reprezintă bine întreaga bază de clienți, numărul estimat este (1 p) $0, 36 \cdot 5000 = 1800 clien ț i foarte mul ț umi ț i$ (1 p). Prudența este necesară din două motive. Primul: rata de răspuns este de doar $40%$ , deci $300$ de clienți selectați nu au răspuns; dacă cei nemulțumiți au tendința de a nu răspunde la chestionarele de satisfacție, procentul de $36%$ este supraestimat, iar $1800$ este un număr prea optimist. Al doilea: rezultatul rămâne o estimare obținută pe un eșantion, deci are o marjă de eroare — un alt eșantion de $500$ de clienți ar da un procent puțin diferit (1 p). Formularea corectă a concluziei: „pe baza a $200$ de răspunsuri primite din $500$ de chestionare trimise, estimăm că în jur de $1800$ dintre cei $5000$ de clienți sunt foarte mulțumiți; estimarea este afectată de rata de răspuns de $40%$ " (1 p).