Test: subgrupuri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima noțiune „relativă" a unității: nu dacă o mulțime este grup, ci dacă ea este grup în interiorul altui grup. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: criteriul de subgrup în cele patru rânduri ale lui — incluziunea, mulțimea nevidă (de regulă arătând că elementul neutru îi aparține), stabilitatea la compunere și închiderea la simetrice —, cu observația că asociativitatea nu se mai verifică niciodată, fiindcă se moștenește din grupul mare. Al doilea: deosebirea dintre parte stabilă și subgrup, cu exemplul de reținut $\mathbb{N}$ în $(\mathbb{Z},+)$, care este parte stabilă fără să fie subgrup. Al treilea: teorema de clasificare a subgrupurilor grupului aditiv al numerelor întregi — ele sunt exact mulțimile $n\mathbb{Z}$ —, împreună cu traducerea comparațiilor în divizibilitate: incluziunea, intersecția și mulțimea combinațiilor $na+mb$. Al patrulea: subgrupurile finite ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule, care sunt exact mulțimile $U_n$. Al cincilea: comportamentul operațiilor cu subgrupuri — intersecția este mereu subgrup, reuniunea, în general, nu.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu criteriul de subgrup se cer toate cele patru rânduri, scrise separat.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Elementele generice ale mulțimii se scriu în forma lor generală („fie $x=5k$ și $y=5l$, cu $k,l\in \mathbb{Z}$"), nu pe exemple numerice; la respingere se dă un contraexemplu concret. Se depunctează: redemonstrarea asociativității, lipsa condiției „mulțimea este nevidă", confundarea părții stabile cu subgrupul, compararea a două structuri cu legi diferite, inversarea sensului incluziunii $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ și afirmația că reuniunea a două subgrupuri ar fi subgrup.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe criteriul de subgrup și pe traducerea în divizibilitate.
• Formule de reținut: o submulțime $H$ a grupului $(G,\cdot )$ este subgrup dacă și numai dacă $H\ne \varnothing$, $xy\in H$ pentru orice $x,y\in H$ și $x^{-1}\in H$ pentru orice $x\in H$; în notație aditivă condițiile devin $x+y\in H$ și $-x\in H$. Forma comprimată: pentru $H\ne \varnothing$, $H$ este subgrup dacă și numai dacă $x{y}^{-1}\in H$ pentru orice $x,y\in H$. Elementul neutru al unui subgrup coincide cu elementul neutru al grupului, deci orice subgrup conține pe $e$ — de aici cel mai rapid test de respingere. Subgrupurile improprii ale lui $G$ sunt $\{e\}$ și $G$. Subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ sunt exact mulțimile $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$, cu $n\in \mathbb{N}$ unic determinat, iar $$n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}⟺m\mid n,n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=[n,m]\mathbb{Z},\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(n,m)\mathbb{Z}.$$ Subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, iar $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n\mid m$; cercul unitate $\mathbb{U}=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\mid |z|=1\}$ este un subgrup infinit, deci nu intră în această clasificare. Intersecția a două subgrupuri este întotdeauna subgrup; reuniunea, în general, nu.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Criteriul de subgrup și subgrupurile numerelor întregi

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În grupul $(\mathbb{Z},+)$ are loc egalitatea $6\mathbb{Z}\cap 10\mathbb{Z}=$ A. $2\mathbb{Z}$; B. $30\mathbb{Z}$; C. $60\mathbb{Z}$; D. $16\mathbb{Z}$.

b) Dintre mulțimile de mai jos, nu este subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$: A. $5\mathbb{Z}$; B. $\{0\}$; C. mulțimea numerelor întregi impare; D. $\mathbb{Z}$.

c) Subgrupurile finite ale grupului $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile: A. $\mathbb{U}$; B. $U_n$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; C. ${\mathbb{Q}}^{\ast }$; D. $n\mathbb{Z}$, cu $n\in \mathbb{N}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește care dintre mulțimile de mai jos este subgrup al grupului indicat și justifică de fiecare dată răspunsul, precizând condiția criteriului care cade acolo unde mulțimea nu este subgrup (câte 2 puncte): a) $H=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$; b) $H=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5}\}$ în $({\mathbb{Z}}_6,+)$; c) $H=\{A\in G{L}_2(\mathbb{R})\mid \det A=2\}$ în $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$.

Itemul 3 (6 puncte)

a) Determină toate subgrupurile grupului $(\mathbb{Z},+)$ care conțin mulțimea $20\mathbb{Z}$ și precizează câte sunt. (3 p) b) Determină numărul natural $d$ pentru care $\{14a+21b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=d\mathbb{Z}$ și scrie o pereche concretă $(a,b)$ pentru care $14a+21b=d$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice parte stabilă a unui grup este subgrup al lui." b) „Reuniunea a două subgrupuri ale unui grup este subgrup al lui." c) „Are loc incluziunea $4\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}$." d) „Mulțimea $U_5$ este subgrup al grupului $(U_{10},\cdot )$."

Partea a II-a – Subgrupuri de matrice, de clase de resturi și de numere complexe

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră mulțimea $H=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)|a\in {\mathbb{R}}^{\ast },b\in \mathbb{R}\right\}$. a) Arată că $H\subseteq G{L}_2(\mathbb{R})$ și că $I_2\in H$. (2 p) b) Arată, cu criteriul de subgrup, că $H$ este subgrup al grupului $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$. (4 p) c) Este $H$ comutativ? Justifică printr-un calcul concret. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{10},+)$. a) Arată că $H=\{\hat{0},\hat{5}\}$ și $K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8}\}$ sunt subgrupuri ale lui $({\mathbb{Z}}_{10},+)$. (4 p) b) Arată că $L=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$ nu este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{10},+)$, indicând perechea de elemente care „iese". (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Determină toate subgrupurile finite ale grupului $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ care sunt conținute în $U_{20}$ și precizează numărul lor de elemente. (4 p) b) Arată că $U_6$ nu este subgrup al grupului $(U_8,\cdot )$, dând și un contraexemplu concret. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Determină numărul natural $d$ pentru care $8\mathbb{Z}\cap 12\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$ și scrie două elemente ale intersecției. (2 p) b) Fie $H$ un subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$ cu $21\in H$ și $35\in H$. Arată că $7\in H$ și determină toate valorile posibile ale numărului natural $n$ pentru care $H=n\mathbb{Z}$. (4 p)

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 9 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=x+y-5$, despre care se știe că determină o structură de grup comutativ. a) Determină elementul neutru al legii și simetricul unui element oarecare $x\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Arată că $H=\{5+3k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al grupului $(\mathbb{R},\ast )$. (4 p)

Itemul 10 (8 puncte)

a) Arată că $H=\{6a+15b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$ și determină numărul natural $n$ pentru care $H=n\mathbb{Z}$. (4 p) b) Determină toate subgrupurile $K$ ale grupului $(\mathbb{Z},+)$ care verifică $24\mathbb{Z}\subseteq K\subseteq 3\mathbb{Z}$ și precizează câte sunt. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{20},+)$. a) Arată că $H=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8},\widehat{12},\widehat{16}\}$ este subgrup și scrie tabla legii induse pe $H$. (4 p) b) Arată că $K=\{\hat{0},\hat{5},\widehat{10},\widehat{15}\}$ este subgrup și determină $H\cap K$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Fie $(G,\cdot )$ un grup comutativ cu elementul neutru $e$. Arată că mulțimea $H=\{x\in G\mid x\cdot x=e\}$ este subgrup al lui $G$. (4 p) b) Determină mulțimea $H$ pentru grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, unde condiția se scrie $x+x=\hat{0}$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Pentru $\theta \in \mathbb{R}$ se notează $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ și se consideră mulțimea $G=\{R(\theta )\mid \theta \in \mathbb{R}\}$. a) Arătați că $R(\alpha )\cdot R(\beta )=R(\alpha +\beta )$ pentru orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ și că $(G,\cdot )$ este grup comutativ. (3 p) b) Arătați că $H=\left\{R\left(\frac{k\pi }{3}\right)|k\in \mathbb{Z}\right\}$ este subgrup al grupului $(G,\cdot )$ și determinați $\mathrm{card}H$. (3 p) c) Rezolvați în $G$ ecuația $R\left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot X=R\left(\frac{\pi }{6}\right)$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Intersecția este mulțimea multiplilor comuni ai lui $6$ și $10$, adică multiplii celui mai mic multiplu comun: $[6,10]=30$, deci $6\mathbb{Z}\cap 10\mathbb{Z}=30\mathbb{Z}$. Varianta A confundă intersecția cu mulțimea combinațiilor $6a+10b$, care dă cel mai mare divizor comun.

b) (2 p) C. Mulțimea numerelor impare nu conține elementul neutru $0$ și nu este nici parte stabilă, fiindcă $1+3=4$ este par. Oricare dintre cele două motive încheie discuția.

c) (2 p) B. Un subgrup finit are toate elementele de modul $1$ și, prin teorema de clasificare, este exact o mulțime $U_m$. Cercul unitate $\mathbb{U}$ și ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ sunt subgrupuri, dar infinite; $n\mathbb{Z}$ nici măcar nu este submulțime a lui ${\mathbb{C}}^{\ast }$, fiindcă îl conține pe $0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p răspunsul, 1,5 p justificarea).

a) (2 p) Da, este subgrup. $H\subseteq {\mathbb{Z}}_{12}$ și $\hat{0}\in H$, deci $H\ne \varnothing$. Stabilitate: $\hat{4}+\hat{4}=\hat{8}$, $\hat{4}+\hat{8}=\widehat{12}=\hat{0}$, $\hat{8}+\hat{8}=\widehat{16}=\hat{4}$ — niciun rezultat nu iese din $H$. Opuse: $-\hat{4}=\hat{8}$, $-\hat{8}=\hat{4}$, $-\hat{0}=\hat{0}$, toate în $H$.

b) (2 p) Nu. Elementul neutru al grupului $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este $\hat{0}$, iar $\hat{0}\notin H$; cum orice subgrup conține elementul neutru, $H$ nu este subgrup. (Se vede și direct: $\hat{1}+\hat{3}=\hat{4}\notin H$, deci cade și stabilitatea.)

c) (2 p) Nu. Cade stabilitatea: dacă $\det A=2$ și $\det B=2$, atunci $\det (AB)=4\ne 2$, deci $AB\notin H$. Cade și condiția elementului neutru, fiindcă $\det I_2=1\ne 2$, deci $I_2\notin H$.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Orice subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ este de forma $n\mathbb{Z}$, iar $20\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $n\mid 20$ (1,5 p). Divizorii naturali ai lui $20$ sunt $1,2,4,5,10,20$, deci subgrupurile căutate sunt $$\mathbb{Z},2\mathbb{Z},4\mathbb{Z},5\mathbb{Z},10\mathbb{Z},20\mathbb{Z},$$ în total șase (1,5 p). (Valoarea $n=0$ nu convine: $0\mathbb{Z}=\{0\}$ nu îl conține pe $20$.)

b) (3 p) Mulțimea combinațiilor este subgrup, deci egală cu $(14,21)\mathbb{Z}$; cum $(14,21)=7$, avem $d=7$ (1,5 p). O pereche concretă: $a=-1$, $b=1$, fiindcă $14\cdot (-1)+21\cdot 1=7$ (1,5 p).

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Contraexemplul standard: $\mathbb{N}$ este parte stabilă a lui $(\mathbb{Z},+)$, dar nu este subgrup, pentru că $3$ nu are opus în $\mathbb{N}$. Partea stabilă cere doar stabilitatea; subgrupul cere și simetricele.

b) (1,5 p) F. În $({\mathbb{Z}}_6,+)$, mulțimile $\{\hat{0},\hat{3}\}$ și $\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ sunt subgrupuri, dar reuniunea lor, $\{\hat{0},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$, nu este parte stabilă: $\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}$ nu îi aparține.

c) (1,5 p) A. Incluziunea $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ înseamnă $m\mid n$; aici $2\mid 4$, deci $4\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}$: orice multiplu de $4$ este par. Incluziunea inversă este falsă, fiindcă $2\notin 4\mathbb{Z}$.

d) (1,5 p) A. Are loc $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n\mid m$; aici $5\mid 10$. Direct: dacă $z^5=1$, atunci $z^{10}={\left(z^5\right)}^2=1$, deci $z\in U_{10}$; iar $U_5$ este subgrup, fiindcă produsul și inversul nu ies din el.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ avem $\det A=a\cdot 1-b\cdot 0=a\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și $H\subseteq G{L}_2(\mathbb{R})$ (1,5 p). Pentru $a=1$ și $b=0$ obținem $I_2\in H$, deci $H\ne \varnothing$ (0,5 p).

b) (4 p) Stabilitatea: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $a,c\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $b,d\in \mathbb{R}$, $$AB=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& ad+b\\ 0& 1\end{array}\right),$$ iar $ac\ne 0$ și $ad+b\in \mathbb{R}$, deci $AB\in H$ (2 p). Simetricele: căutăm $\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 1\end{array}\right)$ cu $ac=1$ și $ad+b=0$, de unde $c=\frac{1}{a}$ și $d=-\frac{b}{a}$; prin urmare $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& -\frac{b}{a}\\ 0& 1\end{array}\right)\in H$$ (1,5 p). Asociativitatea nu se verifică: ea se moștenește de la înmulțirea matricelor. Criteriul de subgrup fiind verificat, $H$ este subgrup al lui $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ (0,5 p).

c) (2 p) Nu. Luăm $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, ambele din $H$ (0,5 p). Atunci $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ (1 p) iar cele două matrice sunt diferite, deci $H$ nu este comutativ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Pentru $H=\{\hat{0},\hat{5}\}$: $\hat{0}\in H$, deci $H\ne \varnothing$; $\hat{5}+\hat{5}=\widehat{10}=\hat{0}\in H$, deci $H$ este parte stabilă; opusul lui $\hat{5}$ este $\hat{5}$, iar opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$. Prin urmare $H$ este subgrup (2 p). Pentru $K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8}\}$: $\hat{0}\in K$; suma a două clase pare este tot o clasă pară, iar reducerea modulo $10$ păstrează paritatea reprezentantului, deci $K$ este parte stabilă (de pildă $\hat{6}+\hat{8}=\widehat{14}=\hat{4}$); opusele sunt $-\hat{2}=\hat{8}$, $-\hat{4}=\hat{6}$, $-\hat{6}=\hat{4}$, $-\hat{8}=\hat{2}$, toate în $K$. Prin urmare $K$ este subgrup (2 p).

b) (3 p) Mulțimea $L$ conține elementul neutru și este nevidă, dar nu este parte stabilă (1 p): perechea care „iese" este $\left(\hat{4},\hat{8}\right)$, fiindcă $$\hat{4}+\hat{8}=\widehat{12}=\hat{2}\notin L$$ (1,5 p). Cum stabilitatea cade, $L$ nu este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{10},+)$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Un subgrup finit al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ este, prin teorema de clasificare, de forma $U_n$, iar $U_n\subseteq U_{20}$ dacă și numai dacă $n\mid 20$ (1,5 p). Divizorii lui $20$ sunt $1,2,4,5,10,20$, deci subgrupurile căutate sunt $$U_1,U_2,U_4,U_5,U_{10},U_{20},$$ cu $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, respectiv $20$ de elemente (2,5 p).

b) (3 p) Condiția $U_6\subseteq U_8$ ar cere $6\mid 8$, ceea ce este fals (1 p). Contraexemplu concret: elementul $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{6}+i\sin \frac{2\pi }{6}$ aparține lui $U_6$, iar $${\epsilon }^8={\epsilon }^6\cdot {\epsilon }^2={\epsilon }^2=\cos \frac{4\pi }{6}+i\sin \frac{4\pi }{6}\ne 1,$$ deci $\epsilon \notin U_8$ (1,5 p). Prin urmare $U_6$ nici măcar nu este submulțime a lui $U_8$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Intersecția este mulțimea multiplilor comuni, iar $[8,12]=24$, deci $d=24$ și $8\mathbb{Z}\cap 12\mathbb{Z}=24\mathbb{Z}$ (1,5 p). Două elemente: $-48$ și $72$ (0,5 p).

b) (4 p) Cum $H$ este subgrup, el conține opusul lui $21$ și este stabil la adunare, deci conține $35+(-21)=14$ (1 p); apoi conține și $21+(-14)=7$ (1 p). Din teorema de clasificare, $H=n\mathbb{Z}$ pentru un $n$ natural unic; din $21\in n\mathbb{Z}$ și $35\in n\mathbb{Z}$ rezultă $n\mid 21$ și $n\mid 35$, deci $n$ este divizor comun al lor (1 p). Divizorii comuni ai lui $21$ și $35$ sunt $1$ și $7$, deci $n\in \{1,7\}$, adică $H=\mathbb{Z}$ sau $H=7\mathbb{Z}$ (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Din $x\ast e=x$ obținem $x+e-5=x$, deci $e=5$ (1 p). Din $x\ast x^{\prime }=5$ obținem $x+x^{\prime }-5=5$, deci $x^{\prime }=10-x$ (1 p).

b) (4 p) Incluziunea și mulțimea nevidă: $H\subseteq \mathbb{R}$, iar pentru $k=0$ obținem $5\in H$, adică tocmai elementul neutru; deci $H\ne \varnothing$ (1 p). Stabilitatea: fie $x=5+3k$ și $y=5+3m$, cu $k,m\in \mathbb{Z}$. Atunci $$x\ast y=(5+3k)+(5+3m)-5=5+3(k+m),$$ iar $k+m\in \mathbb{Z}$, deci $x\ast y\in H$ (1,5 p). Simetricele: simetricul lui $x=5+3k$ este $x^{\prime }=10-(5+3k)=5+3(-k)$, iar $-k\in \mathbb{Z}$, deci $x^{\prime }\in H$ (1,25 p). Asociativitatea se moștenește de la legea de pe $\mathbb{R}$, deci criteriul de subgrup este verificat: $H$ este subgrup al lui $(\mathbb{R},\ast )$ (0,25 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Mulțimea nevidă: $0=6\cdot 0+15\cdot 0\in H$ (0,75 p). Stabilitatea: dacă $x=6a+15b$ și $y=6a^{\prime }+15b^{\prime }$, atunci $x+y=6(a+a^{\prime })+15(b+b^{\prime })\in H$ (1 p). Opusele: $-x=6(-a)+15(-b)\in H$ (0,75 p). Deci $H$ este subgrup, iar din formula mulțimii combinațiilor, $H=(6,15)\mathbb{Z}=3\mathbb{Z}$, adică $n=3$ (1 p). Verificare directă: $3=6\cdot (-2)+15\cdot 1\in H$, iar orice număr de forma $6a+15b$ este multiplu de $3$ (0,5 p).

b) (4 p) Orice subgrup este de forma $m\mathbb{Z}$ (0,5 p). Prima incluziune, $24\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$, cere $m\mid 24$ (1,25 p); a doua, $m\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$, cere $3\mid m$ (1,25 p). Divizorii lui $24$ care sunt multipli de $3$ sunt $3$, $6$, $12$ și $24$, deci $$K\in \left\{3\mathbb{Z},6\mathbb{Z},12\mathbb{Z},24\mathbb{Z}\right\},$$ în total patru subgrupuri (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) $\hat{0}\in H$, deci $H\ne \varnothing$; opusele sunt $-\hat{4}=\widehat{16}$, $-\hat{8}=\widehat{12}$, $-\widehat{12}=\hat{8}$, $-\widehat{16}=\hat{4}$, toate în $H$; stabilitatea se citește din tablă (1,5 p). Tabla legii induse este (2,5 p):

b) (4 p) $\hat{0}\in K$; stabilitatea: $\hat{5}+\hat{5}=\widehat{10}$, $\hat{5}+\widehat{10}=\widehat{15}$, $\hat{5}+\widehat{15}=\widehat{20}=\hat{0}$, $\widehat{10}+\widehat{10}=\hat{0}$, $\widehat{10}+\widehat{15}=\hat{5}$, $\widehat{15}+\widehat{15}=\widehat{30}=\widehat{10}$ — niciun rezultat nu iese din $K$ (2 p); opusele: $-\hat{5}=\widehat{15}$, $-\widehat{10}=\widehat{10}$, $-\widehat{15}=\hat{5}$, toate în $K$ (1 p). Prin urmare $K$ este subgrup. Intersecția lor este $$H\cap K=\{\hat{0}\},$$ subgrupul impropriu format doar din elementul neutru (1 p).

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Mulțimea nevidă: $e\cdot e=e$, deci $e\in H$ (1 p). Stabilitatea: fie $x,y\in H$, adică $x\cdot x=e$ și $y\cdot y=e$. Cum $G$ este comutativ, avem $$(xy)(xy)=x(yx)y=x(xy)y=(xx)(yy)=e\cdot e=e,$$ deci $xy\in H$ (1,75 p). Simetricele: fie $x\in H$. Din $x\cdot x=e$ rezultă $x^{-1}=x$, iar $x\in H$, deci $x^{-1}\in H$ (1 p). Criteriul de subgrup fiind verificat, $H$ este subgrup al lui $G$ (0,25 p). $■$

b) (4 p) În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ legea este adunarea, iar puterea $x\cdot x$ devine multiplul $x+x$; elementul neutru este $\hat{0}$ (1 p). Condiția $\hat{a}+\hat{a}=\hat{0}$ înseamnă $\widehat{2a}=\hat{0}$, adică $12\mid 2a$, adică $6\mid a$ (1,75 p). Clasele care convin sunt $\hat{0}$ și $\hat{6}$, deci $$H=\left\{\hat{0},\hat{6}\right\}$$ (1 p). Verificare: $\hat{6}+\hat{6}=\widehat{12}=\hat{0}$ ✓ (0,25 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Înmulțim matricele: $$R(\alpha )R(\beta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}\right),$$ iar cu formulele sumei a două unghiuri obținem exact $R(\alpha +\beta )$ (1,5 p). Pasul 0: produsul rămâne în $G$, prin egalitatea de mai sus. Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor. Pasul 2: $R(0)=I_2\in G$ este element neutru. Pasul 3: $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$, deci simetricul lui $R(\theta )$ este $R(-\theta )\in G$. Comutativitatea vine din $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )=R(\beta +\alpha )=R(\beta )R(\alpha )$ (1,5 p).

b) (3 p) $H\subseteq G$ și $R(0)=I_2\in H$ (pentru $k=0$), deci $H\ne \varnothing$ (0,75 p). Stabilitatea: $R\left(\frac{k\pi }{3}\right)R\left(\frac{m\pi }{3}\right)=R\left(\frac{(k+m)\pi }{3}\right)\in H$, fiindcă $k+m\in \mathbb{Z}$ (0,75 p). Simetricele: simetricul lui $R\left(\frac{k\pi }{3}\right)$ este $R\left(\frac{-k\pi }{3}\right)\in H$, fiindcă $-k\in \mathbb{Z}$ (0,75 p). Deci $H$ este subgrup. Cum $R(\theta +2\pi )=R(\theta )$, iar $\frac{k\pi }{3}$ ia, modulo $2\pi$, exact șase valori distincte (pentru $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$), avem $\mathrm{card}H=6$ (0,75 p).

c) (2 p) Înmulțim la stânga cu simetricul lui $R\left(\frac{\pi }{4}\right)$, adică cu $R\left(-\frac{\pi }{4}\right)$ (0,75 p): $$X=R\left(-\frac{\pi }{4}\right)R\left(\frac{\pi }{6}\right)=R\left(-\frac{3\pi }{12}+\frac{2\pi }{12}\right)=R\left(-\frac{\pi }{12}\right)=R\left(\frac{23\pi }{12}\right)$$ (1 p). Verificare: $R\left(\frac{\pi }{4}\right)R\left(\frac{23\pi }{12}\right)=R\left(\frac{3\pi +23\pi }{12}\right)=R\left(\frac{26\pi }{12}\right)=R\left(\frac{\pi }{6}+2\pi \right)=R\left(\frac{\pi }{6}\right)$ ✓ (0,25 p).