Test: sume Riemann și funcții integrabile

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Integrala definită

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă prima jumătate a unității — lecțiile care construiesc integrala definită din definiție — și verifică șase lucruri. Primul: vocabularul tehnic al capitolului, adică diviziunea, norma $\Vert \Delta \Vert$, rafinarea și sistemul de puncte intermediare, cu asimetria pe care se pierd cele mai multe puncte: o normă mică cere multe bucăți, dar multe bucăți nu garantează o normă mică. Al doilea: suma Riemann ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$, calculată atât pe diviziuni cu bucăți inegale, cu numere concrete, cât și pe diviziuni echidistante, în formă închisă cu parametrul $n$, cu cele trei alegeri standard ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$, ${\sigma }_{\text{dr}}$. Al treilea: suma dreptunghiurilor înscrise și suma dreptunghiurilor circumscrise, notate $s_n$ și $S_n$, cu grija de a schimba rolurile capetelor la o funcție descrescătoare. Al patrulea: definiția integrabilității cu $\epsilon$ și $\delta$, cu toți cuantificatorii la locul lor, și calculul unei integrale direct din ea. Al cincilea: grila de justificare a integrabilității — criteriul negativ al mărginirii, Teorema 1 (funcțiile continue), Teorema 2 (funcțiile monotone) și criteriul discontinuităților izolate —, urmată de principiul șirului convenabil. Al șaselea: deosebirea dintre integrabilitate și existența primitivelor, citită pe tabelul celor patru combinații.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție. Formula Leibniz–Newton nu este disponibilă: toate integralele se obțin fie din definiție, cu diviziuni echidistante și cu formulele $1+2+\cdots +n$ și $1^2+2^2+\cdots +n^2$ demonstrate prin inducție în clasa a IX-a, fie pe un șir convenabil de diviziuni, după justificarea integrabilității. Un răspuns care folosește primitive nu primește punctaj la itemii de calcul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: norma definită ca sumă sau ca medie a lungimilor în loc de maxim, confundarea numărului de puncte ale diviziunii cu numărul de intervale parțiale, uitarea factorului $x_i-x_{i-1}$ din termenul sumei Riemann, deplasarea indicilor la suma cu punctele luate la stânga, folosirea capetelor din stânga pentru dreptunghiurile înscrise la o funcție descrescătoare, calculul limitei unui șir de sume Riemann înainte de justificarea integrabilității și afirmația că o funcție mărginită este automat integrabilă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiția integrabilității și pe grila de justificare.
• Formule de reținut: Subgraficul funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$, iar aria lui se notează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$. Diviziunea: $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$; ea are $n+1$ puncte și $n$ intervale parțiale, iar suma lungimilor lor este $b-a$. Diviziunea echidistantă: $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$, cu pasul $\frac{b-a}{n}$. Norma: $\Vert \Delta \Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1})$, cu $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$ și egalitate numai la diviziunea echidistantă. Rafinarea: ${\Delta }^{\prime }$ conține toate punctele lui $\Delta$; atunci $\Vert {\Delta }^{\prime }\Vert \le \Vert \Delta \Vert$, iar reciproca este falsă. Sistemul de puncte intermediare: $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ cu ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$; alegerile standard sunt ${\xi }_i=x_{i-1}$, ${\xi }_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ și ${\xi }_i=x_i$. Suma Riemann: ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$; pe diviziunea echidistantă, ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)$. Lema benzii: pentru $f$ monotonă, două sume Riemann de pe aceeași diviziune diferă cu cel mult $\Vert \Delta \Vert \cdot |f(b)-f(a)|$. Definiția integrabilității: $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ dacă există $I\in \mathbb{R}$ astfel încât pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu proprietatea că pentru orice diviziune $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$ de puncte intermediare are loc $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$; numărul $I$ este unic și se notează ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Convenții: ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$. Grila de justificare a integrabilității: nemărginită $\Rightarrow$ NU e integrabilă (criteriul negativ al mărginirii); continuă $\Rightarrow$ integrabilă (Teorema 1); monotonă $\Rightarrow$ integrabilă (Teorema 2); mărginită cu un număr finit de discontinuități $\Rightarrow$ integrabilă (criteriul discontinuităților izolate). Principiul șirului convenabil: după justificarea integrabilității, valoarea integralei se află pe un singur șir de diviziuni cu norma tinzând la zero. Sumele de referință: $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ și $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Diviziuni, norme și sume Riemann pe diviziuni concrete

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Norma diviziunii $\Delta =\left(1,\frac{3}{2},3,\frac{7}{2},5\right)$ a intervalului $[1,5]$ este: A. $\frac{1}{2}$; B. $\frac{3}{2}$; C. $4$; D. $\frac{15}{2}$.

b) O diviziune a intervalului $[0,6]$ este scrisă cu $10$ puncte. Un sistem de puncte intermediare asociat ei are: A. $9$ puncte; B. $10$ puncte; C. $11$ puncte; D. $6$ puncte.

c) Despre o funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ care nu este mărginită se poate afirma că: A. este integrabilă; B. nu este integrabilă; C. este integrabilă numai dacă este monotonă; D. nu se poate decide.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Se poate construi o diviziune a intervalului $[0,5]$ cu o sută de intervale parțiale și cu norma egală cu $2$." b) „O funcție care are o infinitate de puncte de discontinuitate pe $[a,b]$ nu poate fi integrabilă pe $[a,b]$." c) „Dacă două funcții integrabile pe $[a,b]$ au aceeași integrală, atunci ele iau aceleași valori în fiecare punct al intervalului." d) „Funcția lui Dirichlet nu este integrabilă pentru că nu este mărginită."

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră diviziunea $\Delta =(2,3,5,6,9)$ a intervalului $[2,9]$.

a) Scrie intervalele parțiale și lungimile lor, verifică suma acestora și calculează $\Vert \Delta \Vert$. (2 p) b) Compară norma obținută cu norma diviziunii echidistante a lui $[2,9]$ cu același număr de intervale parțiale și enunță propoziția care explică rezultatul. (2 p) c) Stabilește dacă ${\Delta }^{\prime }=(2,3,4,5,6,9)$ este o rafinare a lui $\Delta$; arată apoi, folosind diviziunea ${\Delta }^{\prime \prime }=(2,4,6,8,9)$, că o normă mai mică nu înseamnă rafinare. (2 p)

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$, și diviziunea $\Delta =(0,1,2,4)$.

a) Calculează $\Vert \Delta \Vert$ și suma Riemann ${\sigma }_{\text{st}}$, cu punctele intermediare luate la stânga. (2 p) b) Calculează sumele ${\sigma }_{\text{dr}}$ și ${\sigma }_{\text{mij}}$, cu punctele luate la dreapta, respectiv la mijlocul fiecărei bucăți. (3 p) c) Calculează aria subgraficului lui $f$ pe $[0,4]$ cu formula trapezului și explică de ce ea coincide cu ${\sigma }_{\text{mij}}$. (2 p)

Partea a II-a – Forme închise, lema benzii și criteriile de integrabilitate

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x$, și diviziunea echidistantă ${\Delta }_n$ a intervalului $[0,2]$ în $n$ intervale, cu punctele intermediare luate la dreapta.

a) Scrie ${\sigma }_{\text{dr}}$ sub formă închisă, folosind formulele pentru $1+2+\cdots +n$ și $1^2+2^2+\cdots +n^2$. (4 p) b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{\text{dr}}$. (2 p) c) Justifică integrabilitatea lui $f$ pe $[0,2]$, numind criteriul, și deduce valoarea lui ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2$.

a) Arată că $f$ este strict crescătoare pe $[1,5]$ și scrie, în forma ei generală, lema benzii: cât de mult pot să difere două sume Riemann construite pe aceeași diviziune $\Delta$? (3 p) b) Determină cel mai mic număr $n$ de intervale parțiale al unei diviziuni echidistante pentru care oricare două sume Riemann de pe ea diferă cu cel mult $\frac{1}{100}$. (3 p) c) Justifică integrabilitatea lui $f$ pe $[1,5]$, numind două criterii diferite din grila de justificare. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Pentru fiecare funcție, stabilește dacă este integrabilă pe intervalul indicat și numește criteriul din grila de justificare:

a) $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+4}$. (2 p) b) $g:[0,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=x$ pentru $x\in [0,2)$ și $g(x)=x+3$ pentru $x\in [2,4]$. (2 p) c) $h:[0,3]\to \mathbb{R}$, $h(x)=x$ pentru $x\in [0,1)$, $h(x)=5-x$ pentru $x\in [1,2)$ și $h(x)=2$ pentru $x\in [2,3]$. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4$ pentru $x\in [0,2)$ și $f(x)=1$ pentru $x\in [2,3]$.

a) Arată că $f$ este integrabilă pe $[0,3]$, numind criteriul folosit. (2 p) b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$ folosind principiul șirului convenabil, cu diviziunea echidistantă a lui $[0,3]$ în $3m$ intervale parțiale. (3 p) c) Arată că $f$ nu admite primitive pe $[0,3]$ și precizează ce căsuță ocupă în tabelul celor patru combinații. (2 p)

Partea a III-a – Din definiție și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=10-3x$, și diviziunea echidistantă a intervalului $[0,2]$ în $n$ intervale parțiale.

a) Arată că $f$ este strict descrescătoare și pozitivă pe $[0,2]$ și precizează în care capăt al fiecărei bucăți se ia înălțimea pentru suma dreptunghiurilor înscrise, respectiv pentru suma dreptunghiurilor circumscrise. (3 p) b) Scrie $s_n$ și $S_n$ sub formă închisă și verifică inegalitatea $s_n\le S_n$. (4 p) c) Calculează aria subgraficului trecând la limită în încadrarea $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$ și verific-o cu formula trapezului. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

a) Scrie definiția funcției integrabile pe $[a,b]$, cu $\epsilon$ și $\delta$, și precizează ce s-ar strica dacă s-ar renunța la cuvintele „pentru orice sistem de puncte intermediare". (3 p)

b) Se știe că, pentru $f(x)=x$ și pentru orice diviziune $\Delta$ a lui $[a,b]$ și orice sistem $\xi$ de puncte intermediare, are loc majorarea $$\left|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-\frac{b^2-a^2}{2}\right|\le \frac{\Vert \Delta \Vert (b-a)}{2}.$$ Deduce din ea că ${\int }_0^{5}xdx=\frac{25}{2}$ și indică un $\delta$ potrivit pentru $\epsilon =\frac{1}{50}$. (4 p)

c) Arată că funcția $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x^4}$ pentru $x\ne 0$ și $g(0)=2$, nu este integrabilă pe $[0,1]$. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+2$, și ${\Delta }_n$ diviziunea echidistantă a intervalului $[0,2]$ în $n$ intervale parțiale, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{2k}{n}$.

a) Arătați că $f$ este integrabilă pe $[0,2]$ și scrieți ${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )$ în funcție de $n$. (5 p) b) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )$ și deduceți valoarea lui ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (5 p) c) Arătați că diferența dintre suma Riemann cu punctele luate la dreapta și cea cu punctele luate la stânga, pe aceeași diviziune ${\Delta }_n$, este $\frac{48}{n}$, și determinați cel mai mic $n$ pentru care oricare două sume Riemann de pe ${\Delta }_n$ diferă cu cel mult $\frac{1}{100}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Lungimile intervalelor parțiale sunt $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$, apoi $3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$, apoi $\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}$ și $5-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}$. Norma este maximul lor, adică $\frac{3}{2}$. (Control: suma lungimilor este $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=4=5-1$, cum cere definiția. Varianta C este suma, nu maximul, iar varianta D este suma capetelor.)

b) A. O diviziune scrisă cu $10$ puncte taie intervalul în $9$ intervale parțiale, iar un sistem de puncte intermediare are câte un punct pentru fiecare interval parțial, deci $9$ componente. Deplasarea de un indice între numărul punctelor și numărul bucăților este greșeala tipică a capitolului.

c) B. Este contrapoziția teoremei „orice funcție integrabilă pe $[a,b]$ este mărginită pe $[a,b]$", adică exact criteriul negativ al mărginirii. Reciproca lui nu are loc: mărginirea este necesară, nu suficientă.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Împărțim $[0,3]$ în $99$ de bucăți egale, fiecare de lungime $\frac{3}{99}=\frac{1}{33}$, și lăsăm $[3,5]$ ca o singură bucată. Diviziunea obținută are $99+1=100$ de intervale parțiale, iar norma ei este $\max \left(\frac{1}{33},2\right)=2$. Exemplul arată încă o dată că numărul de bucăți nu spune nimic despre finețea tăieturii.

b) F. Teorema 2 de la clasele de funcții integrabile spune că orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă, iar o funcție monotonă poate avea o infinitate de puncte de discontinuitate. Ce contează pentru integrabilitate este mărginirea și comportarea de ansamblu, nu numărul discontinuităților. (Criteriul discontinuităților izolate cere un număr finit, dar el este doar unul dintre patru rânduri ale grilei.)

c) F. Prin proprietatea de stabilitate, modificarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă integrala. Contraexemplu: funcțiile $f(x)=x$ și $g$, care coincide cu $f$ în afara punctului $\frac{1}{2}$ și are $g\left(\frac{1}{2}\right)=7$, sunt amândouă integrabile pe $[0,1]$ și au aceeași integrală, deși diferă într-un punct.

d) F. Funcția lui Dirichlet este mărginită, luând doar valorile $0$ și $1$. Motivul neintegrabilității este altul: pe orice diviziune, punctele intermediare raționale dau suma $b-a$, iar cele iraționale dau suma $0$, deci nu există un singur număr $I$ de care toate sumele să fie apropiate. Este singura funcție din programă pentru care excluderea se face întorcându-ne la definiție.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Intervalele parțiale sunt $[2,3]$, $[3,5]$, $[5,6]$ și $[6,9]$, cu lungimile $1$, $2$, $1$ și $3$ (1 p). Suma lor este $1+2+1+3=7=9-2$, cum cere definiția, iar norma este maximul lungimilor: $$\Vert \Delta \Vert =\max (1,2,1,3)=3$$ (1 p).

b) (2 p) Diviziunea are $4$ intervale parțiale, deci cea echidistantă cu același număr de intervale are norma $\frac{9-2}{4}=\frac{7}{4}=1,75<3$ (1 p). Rezultatul confirmă propoziția: pentru orice diviziune cu $n$ intervale parțiale a lui $[a,b]$ are loc $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$, cu egalitate dacă și numai dacă diviziunea este echidistantă (1 p).

c) (2 p) Diviziunea ${\Delta }^{\prime }$ conține toate punctele lui $\Delta$, adică $2$, $3$, $5$, $6$ și $9$, plus punctul nou $4$; prin urmare este o rafinare, iar $\Vert {\Delta }^{\prime }\Vert =3\le 3=\Vert \Delta \Vert$ (1 p). Diviziunea ${\Delta }^{\prime \prime }$ are lungimile $2$, $2$, $2$, $1$, deci $\Vert {\Delta }^{\prime \prime }\Vert =2<3$, și totuși nu conține punctul $3$ al lui $\Delta$: normă mai mică fără rafinare. Cele două noțiuni măsoară lucruri diferite — rafinarea compară mulțimile de puncte, norma compară finețea (1 p).

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Lungimile bucăților sunt $1$, $1$ și $2$, deci $\Vert \Delta \Vert =2$ (1 p). Punctele intermediare la stânga sunt $\xi =(0,1,2)$, cu valorile $f(0)=1$, $f(1)=4$, $f(2)=7$, deci $${\sigma }_{\text{st}}=1\cdot 1+4\cdot 1+7\cdot 2=1+4+14=19$$ (1 p).

b) (3 p) La dreapta, $\xi =(1,2,4)$, cu valorile $4$, $7$ și $13$: $${\sigma }_{\text{dr}}=4\cdot 1+7\cdot 1+13\cdot 2=4+7+26=37$$ (1,5 p). La mijloc, $\xi =\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},3\right)$, cu valorile $\frac{5}{2}$, $\frac{11}{2}$ și $10$: $${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{5}{2}\cdot 1+\frac{11}{2}\cdot 1+10\cdot 2=\frac{5}{2}+\frac{11}{2}+20=28$$ (1,5 p).

c) (2 p) Funcția este pozitivă pe $[0,4]$, iar subgraficul ei este trapezul dreptunghic cu bazele $f(0)=1$ și $f(4)=13$ și cu înălțimea $4$: $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)=\frac{1+13}{2}\cdot 4=28$$ (1 p). Coincidența cu ${\sigma }_{\text{mij}}$ nu este întâmplătoare: la o funcție de gradul întâi, valoarea din mijlocul unei bucăți este media valorilor din capete, deci fiecare dreptunghi are exact aria trapezului de deasupra bucății lui, oricare ar fi diviziunea (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Pasul este $\frac{2}{n}$, iar capătul din dreapta al bucății $k$ este ${\xi }_k=\frac{2k}{n}$ (1 p). Atunci $${\sigma }_{\text{dr}}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{4k^2}{n^2}+\frac{6k}{n}\right)\cdot \frac{2}{n}=\frac{8}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2+\frac{12}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k$$ (1 p). Înlocuim cele două formule de sumare din clasa a IX-a (1 p): $${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{8}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{12}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}+\frac{6(n+1)}{n}$$ (1 p).

b) (2 p) Primul termen este un raport de polinoame de grad $2$ în $n$, cu limita $\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$, iar al doilea are limita $6$ (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{\text{dr}}=\frac{8}{3}+6=\frac{26}{3}$$ (1 p).

c) (2 p) Funcția $f$ este polinomială, deci continuă pe intervalul compact $[0,2]$; prin Teorema 1 (integrabilitatea funcțiilor continue), ea este integrabilă (1 p). Integrabilitatea fiind justificată, principiul șirului convenabil permite luarea limitei pe familia echidistantă folosită mai sus, deci $${\int }_0^2(x^2+3x)dx=\frac{26}{3}$$ (1 p). (Ordinea este obligatorie: întâi justifici, apoi calculezi limita.)

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Funcția putere $x\mapsto x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar adunarea constantei $2$ nu schimbă monotonia, deci $f$ este strict crescătoare pe $[1,5]$ (1 p). Pe fiecare bucată $[x_{i-1},x_i]$ a unei diviziuni, monotonia dă $f(x_{i-1})\le f({\xi }_i)\le f(x_i)$ pentru orice punct intermediar ales acolo (1 p), deci, pentru două sisteme oarecare $\xi$ și ${\xi }^{\prime }$, $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-{\sigma }_{\Delta }(f,{\xi }^{\prime })|\le \sum _{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le \Vert \Delta \Vert (f(5)-f(1)),$$ ultima majorare folosind că suma din mijloc este telescopică (1 p).

b) (3 p) Avem $f(5)=127$ și $f(1)=3$, deci $f(5)-f(1)=124$ (1 p). Pe diviziunea echidistantă cu $n$ intervale, $\Vert \Delta \Vert =\frac{5-1}{n}=\frac{4}{n}$, iar lățimea benzii este $\frac{4}{n}\cdot 124=\frac{496}{n}$ (1 p). Condiția devine $$\frac{496}{n}\le \frac{1}{100}⟺n\ge 49600,$$ deci cel mai mic număr de intervale este $n=49600$ (1 p).

c) (2 p) Primul criteriu: $f$ este funcție polinomială, deci continuă pe intervalul compact $[1,5]$ — integrabilă prin Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile (1 p). Al doilea criteriu: $f$ este strict crescătoare pe $[1,5]$ — integrabilă prin Teorema 2 de acolo (1 p). (Cele două clase nu se cuprind una pe alta; aici funcția se află în amândouă.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Numitorul $x^2+4$ este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este cât de funcții polinomiale cu numitorul nenul, adică o funcție continuă pe intervalul compact $[1,5]$ (1 p). Prin Teorema 1 (integrabilitatea funcțiilor continue), $f$ este integrabilă pe $[1,5]$ (1 p).

b) (2 p) Pe $[0,2)$ funcția crește de la $0$ către $2$, în $2$ ia valoarea $5$ și crește apoi până la $7$; prin urmare $g$ este crescătoare pe tot $[0,4]$, deși are un salt în $2$ (1 p). Prin Teorema 2 (integrabilitatea funcțiilor monotone), $g$ este integrabilă pe $[0,4]$. (Se putea invoca și criteriul discontinuităților izolate: $0\le g\le 7$, cu un singur punct de discontinuitate.) (1 p)

c) (3 p) Funcția nu este continuă (are salturi în $1$ și în $2$) și nu este nici monotonă: crește pe $[0,1)$, sare la $4$ și scade pe $[1,2)$ (1 p). În schimb este mărginită: pe $[0,1)$ valorile sunt în $[0,1)$, pe $[1,2)$ sunt în $(3,4]$, iar pe $[2,3]$ valoarea este $2$, deci $0\le h(x)\le 4$ pe tot intervalul (1 p). Are exact două puncte de discontinuitate, $1$ și $2$; prin criteriul discontinuităților izolate, $h$ este integrabilă pe $[0,3]$ (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Valorile funcției sunt doar $4$ și $1$, deci $1\le f(x)\le 4$: funcția este mărginită (1 p). Singurul punct în care nu este continuă este $x=2$, unde limita la stânga este $4$, iar $f(2)=1$. Fiind mărginită și cu un număr finit de puncte de discontinuitate, $f$ este integrabilă pe $[0,3]$, prin criteriul discontinuităților izolate. (Se putea invoca și Teorema 2 de la clasele de funcții integrabile: $f$ este descrescătoare.) (1 p)

b) (3 p) Integrabilitatea fiind justificată, aplicăm principiul șirului convenabil. Luăm diviziunea echidistantă a lui $[0,3]$ în $3m$ intervale parțiale, de lungime $h=\frac{1}{m}$; atunci punctul $2$ este chiar nod al diviziunii, fiind al $2m$-lea (1 p). Pe primele $2m$ bucăți, cuprinse în $[0,2]$, avem $f({\xi }_i)=4$, cu o singură excepție posibilă (când ${\xi }_{2m}=2$, valoarea fiind $1$); pe ultimele $m$ bucăți, $f({\xi }_i)=1$ (1 p). Prin urmare $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=4\cdot 2+1\cdot 1+(\text{o corecție de cel mult }3h)=9\pm \frac{3}{m},$$ iar $\frac{3}{m}\to 0$, deci ${\int }_0^{3}f(x)dx=9$ (1 p).

c) (2 p) În $x=2$, punct interior, limita la stânga este $4$, iar limita la dreapta este $1$: amândouă finite și diferite, deci discontinuitatea este de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe $[0,3]$. (Alternativ, prin Consecința 2: imaginea $\{1,4\}$ nu este interval.) (1 p) În tabelul celor patru combinații, $f$ ocupă căsuța „integrabilă, fără primitive" — aceeași cu funcția semn și cu orice funcție-treaptă (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Funcția este de gradul întâi, cu coeficientul lui $x$ egal cu $-3<0$, deci strict descrescătoare pe $[0,2]$ (1 p); valorile ei scad de la $f(0)=10$ la $f(2)=4$, deci $f>0$ pe tot intervalul, iar subgraficul are sens (1 p). La o funcție descrescătoare cea mai mică valoare de pe fiecare bucată se atinge în capătul din dreapta, iar cea mai mare în capătul din stânga; prin urmare dreptunghiurile înscrise se ridică pe valorile din capetele din dreapta, iar cele circumscrise pe valorile din capetele din stânga — exact invers decât la o funcție crescătoare (1 p).

b) (4 p) Pasul este $\frac{2}{n}$, iar nodurile sunt $x_k=\frac{2k}{n}$. Pentru dreptunghiurile înscrise luăm ${\xi }_k=x_k$: $$s_n=\sum _{k=1}^n\left(10-\frac{6k}{n}\right)\cdot \frac{2}{n}=\frac{2}{n}\left(10n-\frac{6}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{2}{n}(10n-3(n+1))=\frac{2(7n-3)}{n}=14-\frac{6}{n}$$ (2 p). Pentru cele circumscrise luăm ${\xi }_k=x_{k-1}$, deci la numărător apare suma $0+1+\cdots +(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$: $$S_n=\frac{2}{n}(10n-3(n-1))=\frac{2(7n+3)}{n}=14+\frac{6}{n}$$ (2 p). (Control: $S_n-s_n=\frac{12}{n}=\Vert \Delta \Vert (f(0)-f(2))=\frac{2}{n}\cdot 6$, cum cere lema benzii; în particular $s_n\le S_n$ pentru orice $n$.)

c) (3 p) Ambele șiruri au aceeași limită (1 p): $$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(14-\frac{6}{n}\right)=14=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(14+\frac{6}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n.$$ Din încadrarea $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$, valabilă pentru orice $n$, și din faptul că marginile au aceeași limită, trecerea la limită în inegalități dă $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=14$ (1 p). Verificarea cu geometria: subgraficul este trapezul dreptunghic cu bazele $f(0)=10$ și $f(2)=4$ și cu înălțimea $2$, deci aria lui este $\frac{10+4}{2}\cdot 2=14$ (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Definiția. Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ se numește integrabilă (Riemann) pe $[a,b]$ dacă există un număr real $I$ astfel încât pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu proprietatea: pentru orice diviziune $\Delta$ a lui $[a,b]$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și pentru orice sistem $\xi$ de puncte intermediare asociat lui $\Delta$ are loc (2 p) $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon .$$ Fără cerința „pentru orice sistem de puncte intermediare", funcția lui Dirichlet ar deveni „integrabilă" cu $I=1$: ar fi de ajuns să alegem mereu puncte raționale. Numărul obținut ar depinde atunci de metoda de măsurare, nu de funcție (1 p).

b) (4 p) Aplicăm majorarea pentru $a=0$ și $b=5$; membrul care se scade este $\frac{5^2-0^2}{2}=\frac{25}{2}$ (1 p), iar majorantul devine $\frac{5\Vert \Delta \Vert }{2}$ (1 p). Cerem ca el să fie mai mic decât $\epsilon =\frac{1}{50}$: $$\frac{5\Vert \Delta \Vert }{2}<\frac{1}{50}⟺\Vert \Delta \Vert <\frac{1}{125},$$ deci $\delta =\frac{1}{125}$ funcționează (1 p). Cum $\epsilon >0$ a fost oarecare (formula generală este $\delta =\frac{2\epsilon }{b-a}$), definiția este verificată cu $I=\frac{25}{2}$, pentru orice diviziune și orice sistem de puncte intermediare, deci ${\int }_0^{5}xdx=\frac{25}{2}$ (1 p).

c) (3 p) Arătăm întâi că $g$ nu este mărginită. Fie $M>0$ oarecare și fie $x=\frac{1}{\sqrt[4]{M+1}}$; cum $M+1>1$, avem $0<x<1$, deci $x$ aparține intervalului (1 p), iar $$g(x)=\frac{1}{x^4}=M+1>M$$ (1 p). Nicio margine $M$ nu ține, deci $g$ este nemărginită pe $[0,1]$ și, prin criteriul negativ al mărginirii, nu este integrabilă acolo. Valoarea $g(0)=2$ nu schimbă nimic: funcția scapă la infinit oricât de aproape de origine (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Funcția $f$ este polinomială, deci continuă pe intervalul compact $[0,2]$; prin Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile, ea este integrabilă pe $[0,2]$ (1 p). Pasul diviziunii este $\frac{2}{n}$, iar punctele intermediare sunt capetele din dreapta ${\xi }_k=\frac{2k}{n}$ (1 p), deci $${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=\sum _{k=1}^n\left(6\cdot \frac{4k^2}{n^2}+2\right)\cdot \frac{2}{n}=\frac{48}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2+\frac{4}{n}\cdot n$$ (2 p). Cu formula $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ obținem $${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=\frac{48}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4=\frac{8(n+1)(2n+1)}{n^2}+4$$ (1 p).

b) (5 p) Desfacem produsul de la numărător: $8(n+1)(2n+1)=16n^2+24n+8$ (1 p), deci $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{16n^2+24n+8}{n^2}=16$$ (2 p), raportul fiind de polinoame de același grad. Prin urmare $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=16+4=20$ (1 p). Integrabilitatea a fost justificată la subpunctul a), deci principiul șirului convenabil dă $${\int }_0^2(6x^2+2)dx=20$$ (1 p).

c) (5 p) Cele două sume au aceiași $n-1$ termeni de mijloc și diferă doar prin ultimul, respectiv primul (1 p); cu $h=\frac{2}{n}$, $${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}=hf(2)-hf(0)=\frac{2}{n}(26-2)=\frac{48}{n}$$ (2 p). Funcția fiind crescătoare pe $[0,2]$, lema benzii spune că orice două sume Riemann de pe ${\Delta }_n$ diferă cu cel mult această cantitate (1 p). Condiția $\frac{48}{n}\le \frac{1}{100}$ este echivalentă cu $n\ge 4800$, deci cel mai mic număr de intervale este $n=4800$ (1 p).