Test: tabelul de variație și probleme de optimizare

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Studiul variației funcțiilor cu derivate

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și verifică tot arsenalul ei, adunat într-un singur instrument: tabelul de variație complet. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: structura tabelului — cele patru rânduri $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$, în această ordine, și alegerea corectă a punctelor marcate, care sunt reuniunea rădăcinilor celor două derivate, la care se adaugă capetele domeniului și punctele „problemă"; de aici numărul de coloane, $2k+4$. Al doilea: punctele speciale — un punct exclus din domeniu primește bara $|$ pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției, într-un singur tabel; un capăt închis primește valoarea derivatei laterale și valoarea funcției, cu marcaj de extrem. Al treilea: citirea tabelului în cuvinte — monotonie, extreme (cu distincția punct $\ne$ valoare), convexitate, puncte de inflexiune, imaginea funcției și discuția după un parametru a numărului de soluții ale unei ecuații. Al patrulea: optimizarea geometrică, pe rețeta în cinci pași, cu accent pe determinarea domeniului real al problemei. Al cincilea: optimizarea economică, pe rețeta în șase pași, cu costul mediu $\overline{C}(q)$, costul marginal $C^{\prime }(q)$, „Regula costului mediu" și „Regula profitului", plus capcana domeniului mărginit, unde extremul cade într-un capăt și derivata nu se anulează acolo.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu tabel se cer toate celulele completate, iar sub tabel citirea în cuvinte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice studiu de funcție se scrie mai întâi domeniul, apoi limitele la capete, și abia apoi se derivează. La orice problemă de optimizare se scrie domeniul real al problemei pe rândul următor formulei. Se depunctează: marcarea pe axă numai a rădăcinilor lui $f^{\prime }$ (punctele de inflexiune rămân fără coloană), lăsarea goală a coloanelor de la capete, formularea monotoniei sau a convexității pe o reuniune de intervale, confuzia dintre punctul de extrem $x_0$ și valoarea extremă $f(x_0)$ și răspunsul dat ca număr gol, fără unitate de măsură, la problemele aplicate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe construcția tabelului și pe cei doi pași de modelare (funcția de o singură variabilă și domeniul).
• Formule de reținut: Tabelul complet are rândurile $x$ (antetul), $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$; coloanele alternează punct–interval, iar cu $k$ puncte marcate tabelul are $2k+4$ coloane. Simbolurile: $\nearrow$ strict crescătoare, $\searrow$ strict descrescătoare, $\cup$ convexă („ține apa"), $\cap$ concavă („varsă apa"), scrise imediat după săgeată — $\nearrow \cup$, $\nearrow \cap$, $\searrow \cup$, $\searrow \cap$; marcajele $\text{M}$ (maxim local), $\text{m}$ (minim local), $\text{I}$ (inflexiune) se scriu în rândul lui $f$, după valoare; $\nexists$ în rândul lui $f^{\prime }$ acolo unde derivata nu există. Punctul exclus din domeniu: $|$ pe rândurile derivatelor, cele două limite laterale despărțite de $|$ pe rândul funcției. La $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală; într-un capăt finit exclus se pune bara $|$; într-un capăt închis se scriu valoarea derivatei laterale și valoarea funcției, cu marcaj $\text{M}$ sau $\text{m}$. Optimizarea geometrică — cinci pași: mărimea de optimizat $\to$ funcția de o singură variabilă $\to$ domeniul real $\to$ tabelul de variație $\to$ interpretarea. Optimizarea economică — șase pași: variabila cu unitatea ei $\to$ funcția $\to$ domeniul $\to$ $f^{\prime }=0$ $\to$ tabelul de variație $\to$ răspunsul tradus în cuvinte. Notațiile economice: $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$ costul mediu (lei pe bucată), $C^{\prime }(q)$ costul marginal (lei pe bucată), $V(q)$ venitul, $P(q)=V(q)-C(q)$ profitul. Regula costului mediu: în punctul interior de cost mediu minim, $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$. Regula profitului: profitul este maxim acolo unde $V^{\prime }(q)=C^{\prime }(q)$, cu derivata trecând de la $+$ la $-$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Structura tabelului de variație complet

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Tabelul de variație complet al unei funcții are rândurile, în această ordine: A. $x$, $f(x)$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$; B. $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$; C. $x$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f^{\prime }(x)$, $f(x)$; D. $f(x)$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $x$.

b) Dacă pe axă sunt marcate $k=4$ puncte, tabelul de variație complet are: A. $8$ coloane; B. $10$ coloane; C. $12$ coloane; D. $14$ coloane.

c) Într-o coloană-interval pe care $f^{\prime }(x)<0$ și $f^{\prime \prime }(x)>0$, în rândul $f(x)$ se scrie: A. $\nearrow \cup$; B. $\searrow \cup$; C. $\searrow \cap$; D. $\nearrow \cap$.

Itemul 2 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, scrie lista punctelor marcate pe axă și numărul de coloane al tabelului de variație complet. Nu completa tabelul. (câte 2 puncte) a) $f(x)=2x^3-9x^2-24x+7$, $x\in \mathbb{R}$; b) $f(x)=3x^4-4x^3$, $x\in \mathbb{R}$; c) $f(x)=x+\frac{4}{x^2}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „La $\pm \infty$, în rândul $f^{\prime }(x)$ al tabelului de variație se scrie bara $|$." b) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci în dreptul lui $x_0$ se scrie marcajul $\text{I}$ în rândul $f(x)$." c) „Când domeniul are un punct exclus, se alcătuiesc două tabele de variație, câte unul pe fiecare interval." d) „La un capăt închis al domeniului, în rândul $f(x)$ se scrie valoarea funcției, care poate primi marcajul $\text{M}$ sau $\text{m}$."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-12x+3$. a) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, determină punctele marcate și numărul de coloane. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet. (3 p) c) Precizează imaginea funcției. (1 p)

Partea a II-a – Puncte excluse, optimizare geometrică și economică

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+9}{x-2}$. a) Arată că $f(x)=x+\frac{9}{x-2}$ și calculează limitele lui $f$ la capetele celor două intervale ale domeniului. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet. (4 p) c) Explică de ce funcția nu are niciun punct de inflexiune și determină imaginea ei. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Un vas cilindric fără capac are volumul de $27\pi$ dm³. Se notează cu $r$ raza bazei și cu $h$ înălțimea, ambele în decimetri. a) Exprimă aria suprafeței vasului (baza plus suprafața laterală) ca funcție de $r$ și precizează domeniul real al problemei. (3 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției obținute și determină raza pentru care aria este minimă, precum și aria minimă. (3 p) c) Determină înălțimea vasului în cazul optim și compar-o cu raza. (1 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Costul total al producerii a $q$ tone dintr-un material este $C(q)=3q^2+5q+108$ lei, $q>0$. a) Scrie costul mediu $\overline{C}(q)$ și precizează unitatea lui de măsură. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției $\overline{C}$ și determină producția la care costul mediu este minim, precum și valoarea acestui minim. (3 p) c) Verifică prin calcul Regula costului mediu în punctul găsit. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Un dreptunghi are două laturi pe axele de coordonate, iar vârful opus originii pe graficul funcției $g:[0,2\sqrt{3}]\to \mathbb{R}$, $g(x)=12-x^2$. a) Exprimă aria dreptunghiului ca funcție de abscisa $x$ a acelui vârf și precizează domeniul real al problemei. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției obținute și determină aria maximă. (3 p) c) Scrie dimensiunile dreptunghiului optim și fă controlul dimensional. (1 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8\ln x$. a) Alcătuiește tabelul de variație complet al funcției $f$. (3 p) b) Determină imaginea funcției $f$. (2 p) c) Deduce că $x^2-8\ln x\ge 4-8\ln 2$ pentru orice $x>0$. (1 p)

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-21x^2+60x$. a) Calculează $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, determină punctele marcate și numărul de coloane. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație complet, tratând corect cele două capete închise. (4 p) c) Precizează valoarea maximă și valoarea minimă a funcției pe $[0,6]$, imaginea funcției și punctul de inflexiune al graficului. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Folosind tabelul funcției $f(x)=4x^3-12x+3$ de la Itemul 4, discută, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $$4x^3-12x+3=m.$$ a) Justifică de ce, pe fiecare interval de monotonie, ecuația are cel mult o soluție și de ce are cel puțin una atunci când $m$ se află strict între valorile de la capetele acelui interval. (3 p) b) Scrie discuția completă, pe toate cazurile. (5 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Un atelier vinde $q$ piese pe zi la prețul $p(q)=88-2q$ lei bucata, iar costul total al celor $q$ piese este $C(q)=8q+250$ lei. a) Scrie venitul $V(q)$ și profitul $P(q)$. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției $P$ — inclusiv coloana capătului $q=0$ — și determină cantitatea de profit maxim, prețul corespunzător și profitul maxim, apoi verifică Regula profitului. (3 p) c) Arată că venitul maxim nu se atinge la aceeași cantitate ca profitul maxim. (2 p) d) Dacă atelierul poate produce cel mult $15$ piese pe zi, determină profitul maxim realizabil și explică de ce derivata nu se anulează în punctul de maxim. (1 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-4x+5\right)e^x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2{e}^x$, $x\in \mathbb{R}$, și determinați monotonia funcției $f$. (2 p) b) Arătați că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2-1\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. (2 p) c) Alcătuiți tabelul de variație complet, determinați punctele de inflexiune ale graficului și imaginea funcției $f$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Ordinea este $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$, iar rândul lui $x$ este chiar antetul tabelului. Rândul lui $f^{\prime \prime }$ nu se adaugă la sfârșit, ci se așază între $f^{\prime }$ și $f$, pentru că informația despre curbură trebuie citită înainte de a scrie săgeata cu simbolul ei. b) C. Formula este $2k+4$, iar pentru $k=4$ dă $2\cdot 4+4=12$. Varianta B ar corespunde lui $k=3$, iar D lui $k=5$. c) B. Semnul lui $f^{\prime }$ dă săgeata ($f^{\prime }<0$ înseamnă $\searrow$), iar semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă curbura ($f^{\prime \prime }>0$ înseamnă $\cup$). În cuvinte: funcția scade tot mai încet.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p rădăcinile lui $f^{\prime }$, 0,5 p rădăcinile lui $f^{\prime \prime }$, 0,5 p reuniunea plus punctele-problemă, 0,5 p numărul de coloane).

a) $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=6(x-4)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$ și $4$; $f^{\prime \prime }(x)=12x-18$, cu rădăcina $\frac{3}{2}$. Reuniunea este $\left\{-1,\frac{3}{2},4\right\}$, deci $k=3$ și tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane.

b) $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$, cu rădăcinile $0$ (dublă) și $1$; $f^{\prime \prime }(x)=36x^2-24x=12x(3x-2)$, cu rădăcinile $0$ și $\frac{2}{3}$. Reuniunea este $\left\{0,\frac{2}{3},1\right\}$ — rădăcina $0$ se numără o singură dată —, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane.

c) $f^{\prime }(x)=1-\frac{8}{x^3}$, care se anulează pentru $x^3=8$, adică $x=2$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{24}{x^4}>0$, deci $f^{\prime \prime }$ nu are nicio rădăcină. Se adaugă însă punctul $0$, care nu aparține domeniului și taie axa. Punctele marcate sunt $\{0,2\}$, deci $k=2$ și tabelul are $2\cdot 2+4=8$ coloane. (Omiterea lui $0$ este greșeala tipică la acest subpunct.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. La $\pm \infty$ celula rămâne goală, pentru că acolo nu există niciun punct al axei și deci nicio valoare a derivatei de scris. Bara $|$ se pune într-un capăt finit exclus din domeniu (sau într-un punct exclus dinăuntrul lui): acolo punctul există pe axă, dar funcția nu e definită, iar bara marchează tocmai această întrerupere.

b) F. Anularea lui $f^{\prime \prime }$ este doar o condiție necesară. Marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde $f^{\prime \prime }$ se anulează și își schimbă semnul, iar punctul este interior domeniului. Contraexemplul standard: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ nu-și schimbă semnul, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu primește niciun marcaj.

c) F. Tabelul rămâne unul singur, pentru toată funcția: punctul exclus primește o coloană proprie, cu bara $|$ în rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ și cu cele două limite laterale, despărțite de $|$, în rândul lui $f$. Se enunță separat doar concluziile de monotonie și de convexitate, pe fiecare interval al domeniului.

d) A. Într-un capăt închis funcția este definită, deci se scrie valoarea ei, iar în rândul lui $f^{\prime }$ valoarea derivatei laterale. Un capăt închis este punct de extrem local ori de câte ori funcția este monotonă lângă el, pentru că vecinătatea lui din domeniu are o singură parte; de aceea primește marcaj $\text{M}$ sau $\text{m}$.

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Funcția fiind polinomială, este de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1),f^{\prime \prime }(x)=24x$$ (1 p). Rădăcinile lui $f^{\prime }$ sunt $-1$ și $1$, iar rădăcina lui $f^{\prime \prime }$ este $0$. Punctele marcate sunt $-1$, $0$, $1$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane (0,5 p).

b) (3 p) Valorile: $f(-1)=-4+12+3=11$, $f(0)=3$, $f(1)=4-12+3=-5$; în plus $f^{\prime }(0)=-12$, $f^{\prime \prime }(-1)=-24$, $f^{\prime \prime }(1)=24$ (1 p). Coeficientul dominant fiind pozitiv, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (0,5 p).

(1,5 p)

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,1]$; are maximul local $f(-1)=11$ și minimul local $f(1)=-5$; este concavă pe $(-\infty ,0]$ și convexă pe $[0,+\infty )$, cu punctul de inflexiune al graficului $(0,3)$.

c) (1 p) Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci ea ia toate valorile reale: $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Efectuăm împărțirea: $x(x-2)+9=x^2-2x+9$, deci $$f(x)=x+\frac{9}{x-2}$$ (1 p). Din această formă limitele se citesc imediat (1 p): $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

b) (4 p) Derivatele (1,5 p): $$f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-9}{(x-2{)}^2}=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-2{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{18}{(x-2{)}^3}.$$ Numitorul $(x-2{)}^2$ este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul trinomului $(x+1)(x-5)$, cu rădăcinile $-1$ și $5$; $f^{\prime \prime }$ nu are rădăcini, dar își schimbă semnul în $2$, care nu aparține domeniului (0,5 p). Punctele marcate sunt $-1$, $2$, $5$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane. Valorile: $f(-1)=-1-3=-4$, $f(5)=5+3=8$, $f^{\prime \prime }(-1)=-\frac{2}{3}$, $f^{\prime \prime }(5)=\frac{2}{3}$ (0,5 p).

(1,5 p)

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,-1]$, scade pe $[-1,2)$, scade pe $(2,5]$ și crește pe $[5,+\infty )$; are maximul local $f(-1)=-4$ și minimul local $f(5)=8$ — maximul este mai mic decât minimul, pentru că cele două stau pe ramuri diferite ale domeniului; este concavă pe $(-\infty ,2)$ și convexă pe $(2,+\infty )$.

c) (2 p) Singurul loc în care $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul este $2$, iar $2$ nu aparține domeniului; definiția cere un punct interior domeniului, în care funcția să fie continuă, deci $f$ nu are niciun punct de inflexiune (1 p). Imaginea: pe $(-\infty ,2)$ funcția urcă de la $-\infty$ la $-4$ și coboară înapoi spre $-\infty$, deci acoperă $(-\infty ,-4]$; pe $(2,+\infty )$ coboară de la $+\infty$ la $8$ și urcă înapoi spre $+\infty$, deci acoperă $[8,+\infty )$. Prin urmare $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-4]\cup [8,+\infty )$$ (1 p).

Itemul 6. (7 p) — se parcurge rețeta în cinci pași a problemelor de extrem din geometrie.

a) (3 p) Mărimea de optimizat: aria $\mathcal{S}$ a suprafeței, care trebuie minimă (0,5 p). Relația de legătură: din volumul impus, $\pi r^{2}h=27\pi$, deci $h=\frac{27}{r^2}$ (1 p). Vasul fiind fără capac, aria este suma dintre un singur disc și suprafața laterală (0,5 p): $$\mathcal{S}(r)=\pi r^2+2\pi rh=\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{27}{r^2}=\pi r^2+\frac{54\pi }{r}$$ (0,5 p). Domeniul real: raza este o lungime strict pozitivă, iar înălțimea rezultă automat pozitivă, deci $r\in (0,+\infty )$ (0,5 p).

b) (3 p) Derivăm (1 p): $${\mathcal{S}}^{\prime }(r)=2\pi r-\frac{54\pi }{r^2}=\frac{2\pi \left(r^3-27\right)}{r^2}.$$ Numitorul e pozitiv, deci semnul e dat de $r^3-27$, care se anulează pentru $r=3$, e negativ înainte și pozitiv după (0,5 p). La capătul finit $0$ funcția nu este definită, deci în rândul derivatei se scrie bara $|$, iar în rândul ariei limita $+\infty$; la $+\infty$ celula derivatei rămâne goală (0,5 p).

Interpretarea: aria este minimă pentru $r=3$ dm, iar valoarea minimă este $\mathcal{S}(3)=9\pi +18\pi =27\pi$ dm² (1 p). Derivata schimbând semnul o singură dată, minimul este global, nu doar local.

c) (1 p) $h=\frac{27}{3^2}=3$ dm, deci înălțimea este egală cu raza, $h=r$. (Atenție: la vasul cilindric închis rezultatul este altul, $h=2r$; adăugarea capacului schimbă funcția și deci și forma optimă.) Control: $\pi \cdot 3^2\cdot 3=27\pi$ dm³ ✓.

Itemul 7. (7 p) — se parcurge rețeta în șase pași a problemelor de optimizare din economie.

a) (2 p) Variabila $q$ este cantitatea produsă, în tone; costul mediu este costul total împărțit la cantitate (0,5 p): $$\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{3q^2+5q+108}{q}=3q+5+\frac{108}{q},q>0$$ (1 p). Unitatea de măsură: lei pe tonă (lei împărțiți la tone) (0,5 p). În $q=0$ costul mediu nici nu este definit, de aceea domeniul este $(0,+\infty )$.

b) (3 p) Derivăm (1 p): $${\overline{C}}^{\prime }(q)=3-\frac{108}{q^2}=\frac{3\left(q^2-36\right)}{q^2}=\frac{3(q-6)(q+6)}{q^2}.$$ Pe $(0,+\infty )$ factorii $q+6$ și $q^2$ sunt pozitivi, deci semnul este dat de $q-6$: negativ pe $(0,6)$, pozitiv pe $(6,+\infty )$ (0,5 p).

(1 p). Răspunsul tradus: costul mediu este minim la o producție de $6$ tone, iar valoarea minimă este $\overline{C}(6)=18+5+18=41$ lei pe tonă; minimul este global (0,5 p).

c) (2 p) Costul marginal este $C^{\prime }(q)=6q+5$ (1 p), deci $C^{\prime }(6)=36+5=41$ lei pe tonă — exact valoarea costului mediu minim, cum cere Regula costului mediu: în punctul interior de cost mediu minim, $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$ (1 p). (Intuitiv: cât timp tona următoare costă sub medie, media coboară; când costă peste medie, media urcă.)

Itemul 8. (6 p) — aceeași rețetă în cinci pași.

a) (2 p) Mărimea de optimizat: aria $\mathcal{S}$, care trebuie maximă. Vârful de pe grafic are coordonatele $\left(x,12-x^2\right)$, iar laturile dreptunghiului sunt $x$ și $12-x^2$ (1 p): $$\mathcal{S}(x)=x\left(12-x^2\right)=12x-x^3$$ (0,5 p). Domeniul real: ambele laturi trebuie să fie strict pozitive, adică $x>0$ și $12-x^2>0$, deci $x\in \left(0,2\sqrt{3}\right)$ (0,5 p).

b) (3 p) ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=12-3x^2=3(2-x)(2+x)$, care se anulează, în domeniu, numai pentru $x=2$ (rădăcina $-2$ se respinge) (1 p); derivata este pozitivă pe $(0,2)$ și negativă pe $\left(2,2\sqrt{3}\right)$ (0,5 p). La ambele capete finite, excluse din domeniu, rândul derivatei primește bara, iar aria tinde la $0$ (0,5 p).

Aria maximă este $\mathcal{S}(2)=2\cdot 8=16$ (1 p).

c) (1 p) Dimensiunile sunt $x=2$ și $12-x^2=8$, iar $2\cdot 8=16$ ✓. Control dimensional: expresia $x\left(12-x^2\right)$ este un produs de două lungimi, deci este într-adevăr o arie, nu un volum.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Pe $(0,+\infty )$ funcția este de două ori derivabilă (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{8}{x}=\frac{2\left(x^2-4\right)}{x},f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{8}{x^2}$$ (1 p). Pe domeniu, $f^{\prime }$ se anulează numai în $x=2$ (rădăcina $-2$ nu aparține domeniului), cu semn de la $-$ la $+$; $f^{\prime \prime }>0$ pe tot domeniul, deci nu există puncte de inflexiune și tabelul are un singur punct marcat, adică $6$ coloane (0,5 p). Valorile: $f(2)=4-8\ln 2$, $f^{\prime \prime }(2)=4$; limitele sunt $+\infty$ la ambele capete (la $0$ dinspre dreapta pentru că $-8\ln x\to +\infty$, la $+\infty$ pentru că $x^2$ domină) (0,5 p).

(0,5 p)

b) (2 p) Din tabel, cea mai mică valoare este $f(2)=4-8\ln 2$, iar la ambele capete funcția tinde la $+\infty$ (1 p). Fiind continuă pe fiecare dintre intervalele $(0,2]$ și $[2,+\infty )$, ea ia toate valorile de la $4-8\ln 2$ în sus, deci $$\mathrm{Im}f=\left[4-8\ln 2,+\infty \right)$$ (1 p).

c) (1 p) Minimul fiind global, avem $f(x)\ge f(2)$ pentru orice $x>0$, adică exact $x^2-8\ln x\ge 4-8\ln 2$, cu egalitate numai în $x=2$.

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) Funcția este polinomială, deci de două ori derivabilă pe $[0,6]$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=6x^2-42x+60=6(x-2)(x-5),f^{\prime \prime }(x)=12x-42$$ (1 p). Rădăcinile lui $f^{\prime }$ sunt $2$ și $5$, rădăcina lui $f^{\prime \prime }$ este $\frac{7}{2}$; toate trei sunt interioare intervalului, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane (0,5 p).

b) (4 p) Valorile în punctele marcate și în capete: $f(0)=0$, $f(2)=16-84+120=52$, $f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{343}{4}-\frac{1029}{4}+210=\frac{77}{2}$, $f(5)=250-525+300=25$, $f(6)=432-756+360=36$ (1 p). Valorile derivatelor: $f^{\prime }(0)=60$, $f^{\prime }\left(\frac{7}{2}\right)=-\frac{27}{2}$, $f^{\prime }(6)=24$; $f^{\prime \prime }(0)=-42$, $f^{\prime \prime }(2)=-18$, $f^{\prime \prime }(5)=18$, $f^{\prime \prime }(6)=30$ (1 p). Capetele fiind închise, în coloanele lor se scriu valorile (nu limite), iar funcția fiind monotonă lângă fiecare, ele primesc marcaje de extrem (0,5 p).

(1,5 p)

c) (2 p) Citirea tabelului: $f$ crește pe $[0,2]$, scade pe $[2,5]$ și crește pe $[5,6]$; este concavă pe $\left[0,\frac{7}{2}\right]$ și convexă pe $\left[\frac{7}{2},6\right]$ (0,5 p). Comparând valorile din punctele critice cu cele din capete, valoarea maximă pe $[0,6]$ este $f(2)=52$, iar valoarea minimă este $f(0)=0$ — minimul cade într-un capăt, nu într-un punct critic (0,5 p). Funcția fiind continuă pe un interval, $\mathrm{Im}f=[0,52]$ (0,5 p). Punctul de inflexiune al graficului este $\left(\frac{7}{2},\frac{77}{2}\right)$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Cel mult o soluție. Pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1]$, $[-1,1]$, $[1,+\infty )$ funcția $f$ este strict monotonă, deci injectivă acolo: ecuația $f(x)=m$ nu poate avea două soluții pe același interval (1 p). Argumentul de fond este teorema lui Rolle aplicată funcției $g(x)=f(x)-m$: două rădăcini ale lui $g$ ar da o rădăcină a lui $g^{\prime }=f^{\prime }$ strict între ele, adică o rădăcină a lui $f^{\prime }$ strict între două rădăcini consecutive ale lui $f^{\prime }$ — imposibil (1 p). Cel puțin o soluție. Funcția fiind continuă, dacă $m$ se află strict între valorile de la capetele unui interval de monotonie, consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano) garantează cel puțin o soluție acolo (1 p). Cele două împreună dau „exact una".

b) (5 p) Din tabelul Itemului 4 se citesc cele trei ramuri: pe $(-\infty ,-1]$ funcția urcă de la $-\infty$ la $11$; pe $[-1,1]$ coboară de la $11$ la $-5$; pe $[1,+\infty )$ urcă de la $-5$ la $+\infty$. Discuția, câte un punct pentru fiecare caz:

(Verificare pe un caz: pentru $m=0$, ecuația $4x^3-12x+3=0$ are într-adevăr câte o soluție în fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$, $(1,+\infty )$, pentru că $f(-2)=-5$, $f(-1)=11$, $f(1)=-5$ și $f(2)=11$ schimbă semnul de trei ori.)

Itemul 12. (8 p) — se parcurge tot rețeta în șase pași a problemelor de optimizare din economie.

a) (2 p) Venitul este prețul înmulțit cu cantitatea (0,5 p): $$V(q)=qp(q)=q(88-2q)=88q-2q^2\text{lei}$$ (0,5 p), iar profitul este venitul minus costul (0,5 p): $$P(q)=88q-2q^2-(8q+250)=-2q^2+80q-250\text{lei},q\ge 0$$ (0,5 p).

b) (3 p) $P^{\prime }(q)=-4q+80$, care se anulează pentru $q=20$ și trece de la $+$ la $-$ (1 p). Capătul $q=0$ aparține domeniului, deci se scriu acolo valorile $P^{\prime }(0)=80$ și $P(0)=-250$ (pierderea egală cu costul fix) (0,5 p):

Răspunsul tradus: profitul maxim este de $P(20)=-800+1600-250=550$ de lei pe zi, la o producție de $20$ de piese, vândute cu $p(20)=88-40=48$ de lei bucata (1 p). Regula profitului: $V^{\prime }(q)=88-4q$, deci $V^{\prime }(20)=8$, iar $C^{\prime }(q)=8$ pentru orice $q$; într-adevăr $V^{\prime }(20)=C^{\prime }(20)=8$ (0,5 p).

c) (2 p) $V^{\prime }(q)=88-4q$ se anulează pentru $q=22$, cu trecere de la $+$ la $-$, deci venitul este maxim la $22$ de piese, cu $V(22)=22\cdot 44=968$ de lei (1 p). Dar profitul la această cantitate este $P(22)=-968+1760-250=542$ de lei, mai mic decât $550$ de lei (0,5 p). Cele două piese în plus aduc venit, însă costă mai mult decât aduc: venitul maxim ignoră costurile (0,5 p).

d) (1 p) Pe $[0,15]$ avem $P^{\prime }(q)=-4q+80\ge 20>0$, deci profitul este strict crescător și maximul se atinge în capătul din dreapta: $P(15)=-450+1200-250=500$ de lei. Derivata nu se anulează acolo, pentru că teorema lui Fermat cere un punct interior, iar $15$ este capăt de interval.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$ (0,5 p): $$f^{\prime }(x)=(2x-4)e^x+\left(x^2-4x+5\right)e^x=\left(x^2-2x+1\right)e^x=(x-1{)}^2{e}^x$$ (1 p). Cum $(x-1{)}^2\ge 0$ și $e^x>0$, avem $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, cu anulare numai în $x=1$, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; punctul $1$ este punct critic, dar nu este punct de extrem, pentru că $f^{\prime }$ nu-și schimbă semnul acolo (0,5 p).

b) (2 p) Derivăm încă o dată, pe forma factorizată (0,5 p): $$f^{\prime \prime }(x)=2(x-1)e^x+(x-1{)}^2{e}^x=(x-1)e^x[2+(x-1)]=(x-1)(x+1)e^x=\left(x^2-1\right)e^x$$ (1,5 p).

c) (4 p) Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul trinomului $x^2-1$: pozitiv în afara rădăcinilor $\pm 1$ și negativ între ele (0,5 p). Punctele marcate sunt $-1$ și $1$ (rădăcina lui $f^{\prime }$ coincide cu una dintre rădăcinile lui $f^{\prime \prime }$ și se numără o singură dată), deci $k=2$ și tabelul are $8$ coloane (0,5 p). Valorile: $f(-1)=(1+4+5)e^{-1}=\frac{10}{e}$, $f(1)=(1-4+5)e=2e$, $f^{\prime }(-1)=4e^{-1}=\frac{4}{e}$ (0,5 p). Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$ (exponențiala învinge polinomul) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (0,5 p).

(1 p)

În ambele puncte $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(-1,\frac{10}{e}\right)$ și $(1,2e)$ (0,5 p). Funcția fiind continuă și strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, cu limitele $0$ și $+\infty$ la capete, imaginea este $$\mathrm{Im}f=(0,+\infty )$$ (0,5 p). (Control: $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1>0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x$ real, iar valoarea $0$ nu este atinsă.)