Test: tangenta la grafic, puncte unghiulare și de întoarcere

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Funcții derivabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică fața geometrică a derivatei, adică lecțiile despre interpretarea geometrică a derivatei și despre punctele unghiulare și de întoarcere. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: faptul că $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $(x_0,f(x_0))$ și scrierea corectă a ecuației tangentei, în forma $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, cu algoritmul în patru pași — verificarea derivabilității, calculul lui $f(x_0)$, calculul lui $f^{\prime }(x_0)$, scrierea ecuației — și cu controlul care nu costă nimic: înlocuind $x=x_0$ în ecuația obținută trebuie să iasă $y=f(x_0)$. Al doilea: citirea semnului derivatei ca unghi, din relația $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$, cu cele două cazuri speciale — tangenta orizontală, când $f^{\prime }(x_0)=0$, și tangenta verticală, când derivata este infinită, caz în care formularea corectă este că dreapta nu are pantă. Al treilea: problemele inverse, în care punctul de tangență nu este dat, ci trebuie găsit: tangentă de pantă impusă, tangentă paralelă cu o dreaptă sau cu o coardă, tangentă perpendiculară pe o dreaptă, tangente duse dintr-un punct exterior graficului și cerința „arătați că dreapta $d$ este tangentă la grafic", care are două condiții simultane, nu una. Al patrulea: clasificarea punctelor în care derivabilitatea se pierde — punct unghiular, punct de întoarcere, tangentă verticală obișnuită și capăt de domeniu — pe baza perechii de derivate laterale.

Toate derivatele se cer din definiție, ca limite ale raportului de diferențe. Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale și regulile de derivare nu au fost încă predate la momentul acestui test, deci nu se pot folosi în rezolvare, chiar dacă rezultatul final ar ieși corect.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu redactare completă și la problemele inverse se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare ecuație de tangentă se consideră completă doar dacă este verificată prin substituția $x=x_0$. Se depunctează: scrierea „panta tangentei verticale este infinită" în locul formulării „dreapta nu are pantă"; inversarea lui $f(x_0)$ cu $f^{\prime }(x_0)$ în ecuația tangentei; folosirea abscisei punctului dat în loc de abscisa punctului de tangență la problemele cu punct exterior; verificarea unei singure condiții la cerința „arătați că $d$ este tangentă"; confundarea punctului de întoarcere cu tangenta verticală obișnuită; concluzia „funcția nu e derivabilă" acolo unde se cerea numele punctului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe algoritmul tangentei și pe tabloul de clasificare a punctelor de nederivabilitate.
• Formule de reținut: interpretarea geometrică a derivatei — $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $M_0(x_0,f(x_0))$, obținută ca limită a pantelor secantelor. Ecuația tangentei: $$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$ Legătura cu unghiul: $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ este unghiul dintre tangentă și semiaxa pozitivă $Ox$; pentru $f^{\prime }(x_0)>0$ unghiul e ascuțit, pentru $f^{\prime }(x_0)<0$ e obtuz. Cazuri speciale: $f^{\prime }(x_0)=0$ dă tangenta orizontală $y=f(x_0)$; $f^{\prime }(x_0)$ infinită dă tangenta verticală $x=x_0$, care nu are pantă. Problemele inverse se rezolvă notând cu $x_0$ abscisa necunoscută a punctului de tangență: paralelism cu $d:y=mx+n$ înseamnă $f^{\prime }(x_0)=m$; perpendicularitate pe $d$ înseamnă $f^{\prime }(x_0)\cdot m=-1$; tangentă dusă din $P(a,b)$ înseamnă $b-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(a-x_0)$; iar „$d:y=mx+n$ este tangentă la grafic" cere, în același $x_0$, ambele condiții $f^{\prime }(x_0)=m$ și $f(x_0)=m{x}_0+n$. Clasificarea punctelor, pentru $f$ continuă în $x_0$: derivatele laterale finite și egale $\Rightarrow$ $f$ derivabilă; ambele infinite și egale $\Rightarrow$ tangentă verticală, fără pantă; ambele infinite și de semne contrare $\Rightarrow$ punct de întoarcere; diferite, cu cel puțin una finită $\Rightarrow$ punct unghiular.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Panta tangentei și ecuația tangentei

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Panta tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x$, în punctul de abscisă $x_0=1$, este: A. $-4$; B. $-5$; C. $2$; D. $4$.

b) Dacă $f^{\prime }(x_0)=-1$, atunci unghiul $\alpha$ format de tangentă cu semiaxa pozitivă $Ox$ este: A. $45^{\circ }$; B. $135^{\circ }$; C. $90^{\circ }$; D. $60^{\circ }$.

c) Dacă $f$ este continuă în $x_0$, iar $f_s^{\prime }(x_0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(x_0)=+\infty$, atunci $x_0$ este: A. punct unghiular; B. punct de întoarcere; C. punct în care $f$ este derivabilă; D. punct de discontinuitate.

Itemul 2 (6 puncte)

Scrie ecuația tangentei la graficul funcției date, în punctul de abscisă indicat, și verifică rezultatul prin substituția $x=x_0$ (câte 1,5 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x$, în $x_0=2$; b) $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}$, în $x_0=1$; c) $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, în $x_0=16$; d) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, în $x_0=-2$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă o dreaptă are exact un punct comun cu graficul unei funcții, atunci ea este tangentă la grafic în acel punct." b) „Dacă $f^{\prime }(x_0)=+\infty$, atunci tangenta la grafic în punctul de abscisă $x_0$ are panta infinită." c) „Într-un punct de întoarcere, graficul are două semitangente distincte." d) „Într-un punct unghiular, cel puțin una dintre cele două semitangente este neverticală."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină punctul în care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x+5$, este orizontală și scrie ecuația acelei tangente. (3 p) b) Determină abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x$, face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$, apoi scrie ecuația tangentei. (3 p)

Partea a II-a – Probleme inverse, puncte unghiulare și de întoarcere

Itemul 5 (7 puncte)

a) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x$. Determină abscisele punctelor în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $d:y=6x-1$ și scrie ecuațiile acestor tangente. (4 p) b) Determină ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x$, care este perpendiculară pe dreapta $d:y=-\frac{x}{6}+3$. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$, și punctul $P(0,-3)$. a) Determină ecuațiile tangentelor la graficul lui $f$ care trec prin $P$. (5 p) b) Precizează coordonatele punctelor de tangență și arată că ele sunt simetrice față de axa $Oy$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+5$. a) Arată că dreapta $d:y=4x-4$ este tangentă la graficul lui $f$ și determină punctul de tangență. (4 p) b) Arată că dreapta $h:y=4x+1$ nu este tangentă la graficul lui $f$, deși are aceeași pantă cu $d$. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Determină punctele unghiulare ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-5x+4|$, calculând derivatele laterale în ele. (4 p) b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)|x-2|$, este derivabilă în $x_0=2$, deși conține un modul, și calculează $f^{\prime }(2)$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Arată că $x_0=-3$ este punct de întoarcere pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x+3|}$. (3 p) b) Arată că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x+1}$, are tangentă verticală în punctul de abscisă $x_0=-1$, scrie ecuația acestei tangente și explică de ce $-1$ nu este punct de întoarcere. (3 p)

Partea a III-a – Redactare completă și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și un punct oarecare $x_0>0$. a) Calculează $f^{\prime }(x_0)$ din definiție și scrie ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$. (5 p) b) Tangenta taie axa $Ox$ în $A$ și axa $Oy$ în $B$. Arată că punctul de tangență este mijlocul segmentului $AB$ și că aria triunghiului $OAB$ nu depinde de $x_0$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<2\\ \sqrt{2x-3},& x\ge 2\end{array}$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ astfel încât $f$ să fie derivabilă în $x_0=2$ și precizează $f^{\prime }(2)$. (5 p) b) Pentru $a=3$ și $b=-5$, arată că $x_0=2$ este punct unghiular și precizează pantele celor două semitangente. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos, studiază natura punctului indicat și numește-o exact: a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{(x+1{)}^2}$, în $x_0=-1$; (3 p) b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 0\\ \sqrt{x},& x>0\end{array}$, în $x_0=0$; (3 p) c) $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-3}$, în $x_0=3$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$. a) Scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=2$. (3 p) b) Determină abscisele punctelor în care tangenta la grafic este orizontală și scrie ecuațiile acelor tangente. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Din definiție, $f(1)=1-6=-5$ și $$\frac{x^2-6x+5}{x-1}=\frac{(x-1)(x-5)}{x-1}=x-5⟶-4,$$ deci panta tangentei este $f^{\prime }(1)=-4$. Varianta B este valoarea $f(1)$, nu panta. b) B. Din $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha =-1$ și $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ rezultă $\alpha =135^{\circ }$; panta fiind negativă, unghiul este obtuz, deci varianta A este exclusă din start. c) B. Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, iar funcția e continuă: aceasta este exact definiția punctului de întoarcere. Pentru punctul unghiular ar fi trebuit ca cel puțin una dintre ele să fie finită.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p valoarea $f(x_0)$, 0,5 p panta $f^{\prime }(x_0)$ din definiție, 0,5 p ecuația și controlul).

a) $f(2)=4+8=12$, iar $\frac{x^2+4x-12}{x-2}=\frac{(x-2)(x+6)}{x-2}=x+6⟶8$, deci $f^{\prime }(2)=8$. Tangenta: $$y-12=8(x-2),\text{adica˘}y=8x-4.$$ Control: pentru $x=2$, $y=16-4=12=f(2)$ ✓

b) $f(1)=2$, iar $\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\frac{2-2x}{x(x-1)}=-\frac{2}{x}⟶-2$, deci $f^{\prime }(1)=-2$. Tangenta: $$y-2=-2(x-1),\text{adica˘}y=-2x+4.$$ Control: pentru $x=1$, $y=-2+4=2$ ✓

c) $f(16)=4$, iar, amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}=\frac{1}{\sqrt{x}+4}⟶\frac{1}{8}$, deci $f^{\prime }(16)=\frac{1}{8}$. Tangenta: $$y-4=\frac{1}{8}(x-16),\text{adica˘}y=\frac{x}{8}+2.$$ Control: pentru $x=16$, $y=2+2=4$ ✓

d) $f(-2)=-8$, iar $\frac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4⟶12$, deci $f^{\prime }(-2)=12$. Tangenta: $$y+8=12(x+2),\text{adica˘}y=12x+16.$$ Control: pentru $x=-2$, $y=-24+16=-8$ ✓

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. „Un singur punct comun" este definiția de la cerc și nu se transportă la grafice oarecare — tangența este o proprietate locală, nu una de numărătoare. Contraexemplu: dreapta $d:y=-x$ are cu graficul funcției $f(x)=x^3$ un singur punct comun, pentru că $x^3=-x$ se scrie $x(x^2+1)=0$ și dă numai $x=0$; totuși $f^{\prime }(0)=0\ne -1$, deci $d$ nu este tangentă în origine. (Reciproc, o tangentă poate avea și alte puncte comune cu graficul.) b) F. Formularea corectă este: tangenta este verticală, de ecuație $x=x_0$, și nu are pantă. Panta ar fi $\mathrm{tg}90^{\circ }$, care nu există, iar infinitul nu este număr real. c) F. Într-un punct de întoarcere ambele semitangente sunt verticale și îndreptate în același sens, deci ele se suprapun: graficul urcă lipit de verticală, atinge punctul și coboară tot pe ea. Semitangente distincte, care formează un colț, apar la punctele unghiulare. La $f(x)=\sqrt{|x|}$ în $0$, de pildă, ambele semitangente sunt semidreapta verticală îndreptată în sus. d) A. Definiția punctului unghiular cere ca cel puțin una dintre derivatele laterale să fie finită, iar o pantă finită înseamnă exact o semitangentă neverticală — orizontală dacă panta este $0$, oblică altfel. Cealaltă semitangentă poate fi verticală: la funcția care este $x^2$ la stânga lui $0$ și $\sqrt{x}$ la dreapta, semitangenta din stânga e orizontală, iar cea din dreapta e verticală, și punctul este totuși unghiular.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Tangenta este orizontală exact când $f^{\prime }(x_0)=0$ (0,5 p). Din definiție, $$\frac{x^2+6x+5-(x_0^2+6x_0+5)}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)+6(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0+6⟶2x_0+6$$ (1 p). Condiția $2x_0+6=0$ dă $x_0=-3$, iar $f(-3)=9-18+5=-4$ (1 p). Punctul este $(-3,-4)$, iar tangenta are ecuația $y=-4$ (0,5 p).

b) (3 p) Un unghi de $45^{\circ }$ înseamnă $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ (0,5 p). Din definiție, raportul de diferențe se simplifică la $\frac{(x-x_0)(x+x_0)-3(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0-3$, deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0-3$ (1 p), deci $2x_0-3=1$ și $x_0=2$ (0,5 p). Cum $f(2)=4-6=-2$, tangenta este $$y+2=1\cdot (x-2),\text{adica˘}y=x-4$$ (0,5 p). Control: pentru $x=2$, $y=-2$ ✓ (0,5 p)

Itemul 5. (7 p)

a) (4 p) Notăm cu $x_0$ abscisa punctului de tangență. Din definiție, separând raportul pe cei doi termeni, $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}-6\cdot \frac{x-x_0}{x-x_0}=x^2+x{x}_0+x_0^2-6⟶3x_0^2-6$$ (1,5 p). Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar $d$ are panta $6$, deci condiția este $3x_0^2-6=6$, adică $x_0^2=4$ și $x_0\in \{-2,2\}$ (1 p).

Cum $f(2)=8-12=-4$ și $f(-2)=-8+12=4$, tangentele sunt $$y+4=6(x-2)\Rightarrow y=6x-16,y-4=6(x+2)\Rightarrow y=6x+16$$ (1 p). Ambele sunt distincte de $d:y=6x-1$ (au alt termen liber), deci sunt într-adevăr paralele cu $d$, nu confundate cu ea (0,5 p).

b) (3 p) Dreapta $d$ are panta $m_d=-\frac{1}{6}$; fiind nenulă, $d$ nu este orizontală, iar tangenta căutată nu este verticală, deci criteriul cu pante se poate aplica: $m\cdot m_d=-1$, de unde panta tangentei este $m=-\frac{1}{m_d}=6$ (1 p). Din definiție, raportul se simplifică la $x+x_0+2$, deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0+2$; ecuația $2x_0+2=6$ dă $x_0=2$ (1 p). Cum $f(2)=4+4=8$, tangenta este $$y-8=6(x-2),\text{adica˘}y=6x-4$$ (0,5 p). Control: pentru $x=2$, $y=12-4=8$ ✓ și $6\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)=-1$ ✓ (0,5 p)

Itemul 6. (7 p)

a) (5 p) Punctul $P(0,-3)$ nu aparține graficului, pentru că $f(0)=1\ne -3$; prin urmare el nu este punct de tangență și nu avem voie să calculăm derivata în abscisa lui (1 p).

Notăm cu $x_0$ abscisa punctului de tangență. Din definiție, $\frac{x^2+1-x_0^2-1}{x-x_0}=x+x_0⟶2x_0$, deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0$, iar $f(x_0)=x_0^2+1$; prin urmare tangenta în $x_0$ are ecuația $$y-(x_0^2+1)=2x_0(x-x_0),\text{adica˘}y=2x_{0}x-x_0^2+1$$ (2 p).

Impunem ca $P(0,-3)$ să verifice această ecuație: $-3=2x_0\cdot 0-x_0^2+1$, deci $x_0^2=4$ și $x_0\in \{-2,2\}$ (1 p). Tangentele cerute sunt $$y=4x-3(\text{pentru }{x}_0=2),y=-4x-3(\text{pentru }{x}_0=-2)$$ (0,5 p). Control: ambele dau $y=-3$ pentru $x=0$, deci trec prin $P$ ✓ (0,5 p)

b) (2 p) Punctele de tangență sunt $(2,5)$ și $(-2,5)$, pentru că $f(2)=f(-2)=5$ (1 p). Ele au aceeași ordonată și abscise opuse, deci sunt simetrice față de axa $Oy$ — ceea ce era de așteptat, fiindcă atât graficul lui $f$, cât și punctul $P$ sunt simetrice față de această axă (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Cerința „$d$ este tangentă la grafic" înseamnă că există un același $x_0$ pentru care se îndeplinesc ambele condiții: panta se potrivește, $f^{\prime }(x_0)=4$, și dreapta trece prin punctul de pe grafic, $f(x_0)=4x_0-4$ (1 p).

Din definiție, $\frac{(x-x_0)(x+x_0)-2(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0-2⟶2x_0-2$, deci $f^{\prime }(x_0)=2x_0-2$ (1 p). Prima condiție dă $2x_0-2=4$, deci $x_0=3$ (1 p). Verificăm a doua condiție: $f(3)=9-6+5=8$, iar $4\cdot 3-4=8$ ✓. Cele două coincid, deci $d$ este tangentă la grafic, în punctul de tangență $(3,8)$ (1 p).

b) (3 p) Dreapta $h$ are tot panta $4$, deci prima condiție dă tot $x_0=3$, singurul punct în care înclinarea graficului se potrivește (1 p). A doua condiție însă cade: $h(3)=4\cdot 3+1=13$, în timp ce $f(3)=8$, iar $13\ne 8$ (1 p).

Prin urmare $h$ nu este tangentă nicăieri la grafic. (Se poate vedea și direct: ecuația $x^2-2x+5=4x+1$ devine $x^2-6x+4=0$, cu discriminantul $36-16=20\ne 0$, deci $h$ taie graficul în două puncte distincte, în loc să îl atingă.) Concluzia de reținut: panta potrivită singură nu ajunge (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) Zerourile expresiei de sub modul sunt $1$ și $4$, deci acestea sunt punctele suspecte; în rest funcția coincide local cu un polinom, deci e derivabilă. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind modulul unei funcții continue, iar $f(1)=f(4)=0$ (1 p).

Semnul lui $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ este pozitiv în afara intervalului $[1,4]$ și negativ înăuntru, deci $f(x)=x^2-5x+4$ pe $(-\infty ,1)$ și pe $(4,+\infty )$, iar $f(x)=-(x-1)(x-4)$ pe $(1,4)$ (0,5 p).

În $x_0=1$: $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=-3,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{-(x-1)(x-4)}{x-1}=3$$ (1 p).

În $x_0=4$: $$f_s^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }\frac{-(x-1)(x-4)}{x-4}=-3,f_d^{\prime }(4)=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }\frac{(x-1)(x-4)}{x-4}=3$$ (1 p).

În ambele puncte derivatele laterale există, sunt finite și diferite, deci punctele unghiulare sunt $1$ și $4$ (0,5 p).

b) (3 p) Avem $f(2)=0$, iar pentru $x\ne 2$ $$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2)|x-2|}{x-2}=|x-2|$$ (1,5 p). Cum $|x-2|\to 0$ din ambele părți, obținem $f_s^{\prime }(2)=f_d^{\prime }(2)=0$: finite și egale, deci $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=0$ (1 p).

Concluzia de reținut: prezența modulului nu garantează un colț — aici zeroul de sub modul este „compensat" de factorul $x-2$ din față (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Continuitate: $f(-3)=0$ și ambele limite laterale sunt $0$, deci $f$ este continuă în $-3$ (0,5 p).

Derivatele laterale: pentru $x>-3$ avem $|x+3|=x+3$, deci $$f_d^{\prime }(-3)=\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}}{x+3}=\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}}=+\infty$$ (1 p); pentru $x<-3$ avem $|x+3|=-(x+3)$ și $x+3=-\sqrt{-(x+3)}\cdot \sqrt{-(x+3)}$, deci $$f_s^{\prime }(-3)=\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x<-3\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{-(x+3)}}{x+3}=\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x<-3\end{array}}{\lim }\left(-\frac{1}{\sqrt{-(x+3)}}\right)=-\infty$$ (1 p).

Concluzia: funcția este continuă în $-3$, iar derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci $x_0=-3$ este punct de întoarcere (0,5 p).

b) (3 p) Avem $f(-1)=0$, iar pentru $x\ne -1$, notând $u=\sqrt[3]{x+1}$, obținem $x+1=u^3$ și $$\frac{\sqrt[3]{x+1}}{x+1}=\frac{u}{u^3}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}$$ (1 p). Numitorul este strict pozitiv de ambele părți și tinde la $0$, deci $f_s^{\prime }(-1)=f_d^{\prime }(-1)=+\infty$ (1 p).

Derivata există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $+\infty$, aceeași din ambele părți, deci graficul are tangentă verticală, de ecuație $$x=-1,$$ dreaptă care nu are pantă (0,5 p). Punctul $-1$ nu este punct de întoarcere, pentru că derivatele laterale nu au semne contrare — ele sunt egale, iar cele două semitangente verticale se completează într-o dreaptă întreagă, pe care graficul o traversează în loc să se întoarcă (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $x_0>0$. Avem $f(x_0)=\frac{1}{x_0}$ (0,5 p), iar pentru $x\ne x_0$, $x>0$, aducem la același numitor: $$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\frac{\frac{x_0-x}{x{x}_0}}{x-x_0}=\frac{-(x-x_0)}{x{x}_0(x-x_0)}=-\frac{1}{x{x}_0}$$ (2 p). Trecând la limită pentru $x\to x_0$ obținem $$f^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{x_0^2},$$ valoare finită, deci $f$ este derivabilă în $x_0$ (1 p).

Ecuația tangentei este $y-\frac{1}{x_0}=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)$, adică, după desfacerea parantezei, $$y=-\frac{x}{x_0^2}+\frac{2}{x_0}$$ (1 p). Control: pentru $x=x_0$ obținem $y=-\frac{1}{x_0}+\frac{2}{x_0}=\frac{1}{x_0}=f(x_0)$ ✓ (0,5 p)

b) (3 p) Intersecțiile cu axele. Punând $y=0$ în ecuația tangentei obținem $\frac{x}{x_0^2}=\frac{2}{x_0}$, deci $x=2x_0$ și $A(2x_0,0)$; punând $x=0$ obținem $B\left(0,\frac{2}{x_0}\right)$ (1 p).

Mijlocul. Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $$\left(\frac{2x_0+0}{2},\frac{0+\frac{2}{x_0}}{2}\right)=\left(x_0,\frac{1}{x_0}\right),$$ adică exact punctul de tangență $(x_0,f(x_0))$ (1 p).

Aria. Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în origine, cu catetele $OA=2x_0$ și $OB=\frac{2}{x_0}$, ambele pozitive pentru $x_0>0$, deci $${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2x_0\cdot \frac{2}{x_0}=2,$$ valoare care nu depinde de $x_0$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Valoarea în punct: $2\ge 2$, deci $f(2)=\sqrt{4-3}=1$ (0,5 p).

Ecuația de continuitate: $l_s(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(ax+b)=2a+b$, deci $$2a+b=1$$ (1 p).

Derivata la dreapta, din definiție, cu amplificare prin conjugata: $$f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{2x-3}-1}{x-2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{(2x-3)-1}{(x-2)(\sqrt{2x-3}+1)}=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2x-3}+1}=1$$ (1,5 p).

Derivata la stânga: folosind $b=1-2a$, numărătorul devine $ax+b-1=a(x-2)$, deci $f_s^{\prime }(2)=a$ (1 p).

Ecuația de derivabilitate: $a=1$, de unde $b=1-2=-1$; cele două derivate laterale sunt finite și egale cu $1$, deci $f$ este derivabilă în $2$ și $f^{\prime }(2)=1$ (1 p).

b) (3 p) Pentru $a=3$ și $b=-5$ avem $2\cdot 3-5=1=f(2)$, deci ramurile se lipesc și $f$ este continuă în $2$ — condiția fără de care discuția nici nu poate începe (1 p).

Derivatele laterale sunt $f_s^{\prime }(2)=a=3$ și $f_d^{\prime }(2)=1$, ambele finite și diferite (1 p). Prin urmare $x_0=2$ este punct unghiular: semitangenta la stânga are panta $3$, iar cea la dreapta panta $1$, adică face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Funcția este continuă în $-1$ și $f(-1)=0$ (0,5 p). Notând $u=\sqrt[3]{x+1}$, avem $x+1=u^3$ și $$\frac{\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}{x+1}=\frac{u^2}{u^3}=\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}$$ (1 p), raport care tinde la $+\infty$ pentru $x\to -1$, $x>-1$, și la $-\infty$ pentru $x\to -1$, $x<-1$ (1 p). Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci $x_0=-1$ este punct de întoarcere (0,5 p).

b) (3 p) Continuitate: $f(0)=0$, $l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }{x}^2=0$ și $l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0$, deci $f$ este continuă în $0$ (0,5 p).

Derivatele laterale: $$f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }x=0,f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$$ (1,5 p).

Ele există, sunt diferite, iar cel puțin una este finită (cea la stânga), deci $x_0=0$ este punct unghiular (0,5 p). Nu este punct de întoarcere, pentru că doar una dintre derivate este infinită. Geometric: o semitangentă orizontală spre stânga și una verticală, îndreptată în sus (0,5 p).

c) (2 p) La stânga lui $3$ domeniul nu are puncte, deci $f_s^{\prime }(3)$ nici nu se poate formula; există numai $$f_d^{\prime }(3)=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x-3}}{x-3}=\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-3}}=+\infty$$ (1 p). Fără două derivate laterale nu se poate vorbi nici de colț, nici de întoarcere: graficul are, în capătul domeniului, doar o semitangentă verticală, iar $f$ nu este derivabilă în $3$ (dar este derivabilă pe $(3,+\infty )$) (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Calculăm întâi panta, din definiție, într-un punct oarecare $x_0$, separând raportul pe cei trei termeni (1 p): $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}-6\cdot \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}+9\cdot \frac{x-x_0}{x-x_0}=(x^2+x{x}_0+x_0^2)-6(x+x_0)+9⟶3x_0^2-12x_0+9.$$

Pentru $x_0=2$: $f(2)=8-24+18=2$ și $f^{\prime }(2)=12-24+9=-3$ (1 p). Tangenta este $$y-2=-3(x-2),\text{adica˘}y=-3x+8.$$ Control: pentru $x=2$, $y=-6+8=2=f(2)$ ✓ (1 p)

b) (5 p) Tangenta este orizontală exact când panta ei este $0$, deci condiția este $f^{\prime }(x_0)=0$ (1 p): $$3x_0^2-12x_0+9=0⟺x_0^2-4x_0+3=0$$ (1,5 p). Discriminantul este $16-12=4$, deci $x_0\in \{1,3\}$ (1 p).

Valorile funcției: $f(1)=1-6+9=4$ și $f(3)=27-54+27=0$ (1 p). Tangentele orizontale cerute sunt, prin urmare, $$y=4(\text{ıˆn punctul }(1,4)),y=0(\text{ıˆn punctul }(3,0)),$$ a doua fiind chiar axa $Ox$ (0,5 p).