Test: teorema cosinusului

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima dintre marile unelte ale trigonometriei aplicate în geometrie: teorema cosinusului, adică relația care leagă cele trei laturi ale unui triunghi oarecare de unul dintre unghiurile lui. Elevul trebuie să știe să o folosească în ambele sensuri. În sensul „direct", când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, teorema dă a treia latură — este singura cale de a măsura o distanță pe care nu o putem parcurge. În sensul „invers", când se cunosc toate trei laturile, teorema dă cosinusul oricărui unghi, deci și natura triunghiului: semnul lui $\cos A$ spune, fără niciun calcul suplimentar, dacă unghiul $A$ este ascuțit, drept sau obtuz. Testul mai verifică două deprinderi discrete, dar decisive: recunoașterea faptului că teorema lui Pitagora este doar cazul particular $A=90^{\circ }$ al teoremei cosinusului și verificarea inegalității triunghiului înainte de a accepta orice rezultat. Ultima parte pune matematica la lucru pe teren: paralelogram, șarpantă, parcelă, traseu de navigație.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească tabelul de valori trigonometrice sau un calculator, așa cum prevede programa (valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale). Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: valorile trigonometrice se iau cu 4 zecimale, lungimile se rotunjesc la 2 zecimale, iar unghiurile la o zecimală de grad. Acolo unde rezultatul este exact (radical sau fracție), se cere forma exactă, iar aproximarea se dă doar dacă enunțul o cere.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe semnul cosinusului la unghiuri obtuze și pe verificarea inegalității triunghiului.
• Formule de reținut: teorema cosinusului, scrisă pentru fiecare dintre cele trei unghiuri: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$ Din prima relație se scoate cosinusul: $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ Semnul cosinusului decide natura unghiului: $\cos A>0\iff A$ ascuțit; $\cos A=0\iff A=90^{\circ }$ (și atunci $a^2=b^2+c^2$, adică teorema lui Pitagora); $\cos A<0\iff A$ obtuz. Unghiuri suplementare: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ și $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Inegalitatea triunghiului: trei numere pozitive $a$, $b$, $c$ sunt laturile unui triunghi dacă și numai dacă fiecare este mai mic decât suma celorlalte două.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Teorema cosinusului: enunț și aplicații directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=4$, $c=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Lungimea laturii $a$ este: A. $3$; B. $\sqrt{21}$; C. $\sqrt{61}$; D. $6$.

b) Valoarea lui $\cos 135^{\circ }$ este: A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$; B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; D. $-\frac{1}{2}$.

c) Un triunghi cu laturile $6$, $8$ și $11$ este: A. ascuțitunghic; B. dreptunghic; C. obtuzunghic; D. nu există.

Itemul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$.

a) Calculează $BC$. (2 p) b) Calculează $\cos B$. (2 p) c) Verifică inegalitatea triunghiului pentru rezultatul obținut și precizează, justificând, care este cel mai mare unghi al triunghiului. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=13$, $b=7$, $c=8$. a) Calculează $\cos A$ și deduce $m(\angle A)$. (2 p) b) Calculează $\cos B$ și $\cos C$. (2 p) c) Precizează natura triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), justificând. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă într-un triunghi $a^2=b^2+c^2$, atunci unghiul $A$ este drept." b) „Cosinusul unui unghi al unui triunghi poate fi egal cu $1$." c) „Dacă în triunghiul $ABC$ avem $\cos A<0$, atunci unghiul $A$ este obtuz." d) „Teorema cosinusului se poate aplica doar în triunghiuri ascuțitunghice."

Partea a II-a – Aflarea unghiurilor, natura triunghiului și valori din tabel

Itemul 5 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma triunghiului $ABC$, cu $AB=40$ m, $AC=55$ m și $m(\angle A)=70^{\circ }$. Din tabel: $\cos 70^{\circ }\approx 0,3420$.

a) Calculează lungimea laturii $BC$, rotunjită la două zecimale. (3 p) b) Calculează perimetrul terenului. (2 p) c) Calculează $\cos B$ și determină $m(\angle B)$, rotunjită la o zecimală de grad. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Pentru fiecare triplet de numere, stabilește dacă ele pot fi laturile unui triunghi și, în caz afirmativ, precizează natura triunghiului, justificând de fiecare dată: a) $7$, $9$, $11$; (1,5 p) b) $7$, $24$, $25$; (1,5 p) c) $5$, $7$, $13$. (1,5 p) d) Pentru tripletul $5$, $8$, $12$, arată că triunghiul există, precizează natura lui și calculează cosinusul celui mai mare unghi. (2,5 p)

Itemul 7 (7 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=16$, $AC=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculează $BC$. (3 p) b) Calculează $\cos B$ și $\cos C$. (2 p) c) Arată că unghiurile $B$ și $C$ sunt ascuțite și stabilește, fără a calcula unghiurile, care dintre ele este mai mare. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) O navă pleacă din portul $A$ și navighează $30$ km în linie dreaptă până în punctul $B$. Acolo virează cu $50^{\circ }$ față de direcția de mers și mai parcurge $18$ km, până în punctul $C$. Din tabel: $\cos 130^{\circ }\approx -0,6428$.

a) Arată că $m(\angle ABC)=130^{\circ }$. (1,5 p) b) Calculează distanța $AC$ dintre navă și portul de plecare, rotunjită la două zecimale. (2,5 p) c) Calculează $\cos (\angle BAC)$ și determină măsura acestui unghi, rotunjită la o zecimală de grad. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $BC=7$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Notăm $AC=x$. a) Scrie relația dată de teorema cosinusului și adu-o la forma unei ecuații de gradul al doilea în $x$. (2 p) b) Rezolvă ecuația și justifică respingerea uneia dintre rădăcini. (2,5 p) c) Verifică rezultatul, recalculând $BC$ cu valoarea găsită. (1,5 p)

Partea a III-a – Probleme practice și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Un paralelogram are laturile de $7$ cm și $9$ cm, iar unghiul ascuțit dintre ele are $60^{\circ }$.

a) Calculează lungimea diagonalei mici, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (3 p) b) Calculează lungimea diagonalei mari, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (3 p) c) Verifică rezultatele arătând că suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor celor patru laturi. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=15$, $AC=8$ și $BC=13$. a) Arătați că $m(\angle A)=60^{\circ }$. (3 p) b) Calculați $\cos B$ și $\cos C$. (3 p) c) Arătați că triunghiul $ABC$ este ascuțitunghic. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Două grinzi de $4,5$ m și $6$ m pornesc din același punct al unei șarpante și formează între ele un unghi de $105^{\circ }$. Capetele lor libere se leagă cu un tirant metalic. Din tabel: $\cos 105^{\circ }\approx -0,2588$.

a) Calculează lungimea tirantului, rotunjită la două zecimale. (3 p) b) Calculează cosinusul unghiului format de tirant cu grinda de $4,5$ m și măsura acestui unghi. (3 p) c) Determină măsura celui de-al treilea unghi al triunghiului și verifică suma celor trei unghiuri. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=7$, $AC=3$ și $BC=x$. a) Determinați valorile lui $x$ pentru care triunghiul $ABC$ există. (2 p) b) Determinați $x$ astfel încât $m(\angle A)=60^{\circ }$. (3 p) c) Determinați toate valorile lui $x$ pentru care unghiul $A$ este obtuz. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Aplicăm teorema cosinusului: $a^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=16+25-40\cdot \frac{1}{2}=41-20=21$, deci $a=\sqrt{21}\approx 4,58$. Varianta C ar rezulta dacă am uita semnul minus, iar A dacă am aplica din greșeală teorema lui Pitagora: $\sqrt{5^2-4^2}=3$. b) B. Unghiul $135^{\circ }$ este obtuz, deci cosinusul lui este negativ; din $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$ obținem $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. c) C. Latura cea mai lungă este $11$, iar $11^2=121>6^2+8^2=100$, deci cosinusul unghiului opus ei este negativ: $\cos =\frac{36+64-121}{2\cdot 6\cdot 8}=-\frac{21}{96}=-\frac{7}{32}<0$. Triunghiul există ($6+8=14>11$) și este obtuzunghic.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) Cu notațiile obișnuite, $b=AC=10$, $c=AB=6$ și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$: $$B{C}^2=10^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=100+36+60=196,$$ deci $BC=14$. (Atenție la semn: la un unghi obtuz, produsul $-2bc\cos A$ devine pozitiv, deci latura opusă se lungește.)

b) (2 p) $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{196+36-100}{2\cdot 14\cdot 6}=\frac{132}{168}=\frac{11}{14}\approx 0,7857$.

c) (2 p) Inegalitatea triunghiului: $6+10=16>14$, $6+14=20>10$, $10+14=24>6$ — toate îndeplinite, deci triunghiul există (1 p). Cel mai mare unghi este $A$, pentru că se opune laturii celei mai lungi, $BC=14$; în plus, el este singurul obtuz, deoarece un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze (1 p).

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+64-169}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{-56}{112}=-\frac{1}{2}$, de unde $m(\angle A)=120^{\circ }$.

b) (2 p) $\cos B=\frac{169+64-49}{2\cdot 13\cdot 8}=\frac{184}{208}=\frac{23}{26}\approx 0,8846$ și $\cos C=\frac{169+49-64}{2\cdot 13\cdot 7}=\frac{154}{182}=\frac{11}{13}\approx 0,8462$.

c) (2 p) Triunghiul este obtuzunghic, pentru că are un unghi de $120^{\circ }$; celelalte două au cosinusul pozitiv, deci sunt ascuțite. (Verificare: $B\approx 27,8^{\circ }$, $C\approx 32,2^{\circ }$ și $120^{\circ }+27,8^{\circ }+32,2^{\circ }=180^{\circ }$.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Din $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, condiția $a^2=b^2+c^2$ dă $\cos A=0$, adică $m(\angle A)=90^{\circ }$. Este exact reciproca teoremei lui Pitagora, citită prin teorema cosinusului. b) F. Un unghi al unui triunghi are măsura în intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, iar $\cos x=1$ doar pentru $x=0^{\circ }$. Cosinusul unui unghi de triunghi ia valori strict între $-1$ și $1$. c) A. Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, cosinusul este negativ exact pentru unghiurile din $(90^{\circ },180^{\circ })$, adică pentru cele obtuze. d) F. Teorema cosinusului este valabilă în orice triunghi. Mai mult, pentru $A=90^{\circ }$ ea se reduce la teorema lui Pitagora, deci o cuprinde ca pe un caz particular.

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) $B{C}^2=40^2+55^2-2\cdot 40\cdot 55\cdot \cos 70^{\circ }$ (1 p), adică $$B{C}^2=1600+3025-4400\cdot 0,3420=4625-1504,80=3120,20$$ (1 p), de unde $BC=\sqrt{3120,20}\approx 55,86$ m (1 p). (Verificare a inegalității triunghiului: $40+55=95>55,86$ ✓.)

b) (2 p) $P=40+55+55,86=150,86$ m.

c) (3 p) $\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}$ (1 p), adică $$\cos B=\frac{3120,20+1600-3025}{2\cdot 55,86\cdot 40}=\frac{1695,20}{4468,80}\approx 0,3793$$ (1 p), de unde $m(\angle B)\approx 67,7^{\circ }$ (1 p). (Control: al treilea unghi are atunci aproximativ $180^{\circ }-70^{\circ }-67,7^{\circ }=42,3^{\circ }$, valoare care se regăsește și prin calcul direct.)

Itemul 6. (7 p)

a) (1,5 p) $7+9=16>11$, deci triunghiul există. Latura cea mai lungă este $11$ și $11^2=121<7^2+9^2=130$, deci cosinusul unghiului opus ei este pozitiv: triunghiul este ascuțitunghic.

b) (1,5 p) $7+24=31>25$, deci triunghiul există. Cum $25^2=625=7^2+24^2=49+576$, cosinusul unghiului opus laturii de $25$ este $0$: triunghiul este dreptunghic.

c) (1,5 p) $5+7=12<13$, deci inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită: nu există un astfel de triunghi. Formal, formula ar da $\cos =\frac{25+49-169}{70}=-\frac{95}{70}<-1$, valoare imposibilă pentru un cosinus.

d) (2,5 p) $5+8=13>12$, deci triunghiul există (0,5 p). Latura cea mai lungă este $12$, iar $12^2=144>5^2+8^2=89$, deci triunghiul este obtuzunghic (1 p). Cosinusul celui mai mare unghi (cel opus laturii de $12$) este $$\cos =\frac{25+64-144}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{-55}{80}=-\frac{11}{16}\approx -0,6875$$ (1 p), ceea ce corespunde unui unghi de aproximativ $133,4^{\circ }$.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Cu $b=AC=5$, $c=AB=16$ și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (1 p): $$B{C}^2=5^2+16^2-2\cdot 5\cdot 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=25+256+80=361$$ (1,5 p), deci $BC=19$ (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $5+16=21>19$ ✓.)

b) (2 p) $\cos B=\frac{361+256-25}{2\cdot 19\cdot 16}=\frac{592}{608}=\frac{37}{38}$ și $\cos C=\frac{361+25-256}{2\cdot 19\cdot 5}=\frac{130}{190}=\frac{13}{19}$.

c) (2 p) Ambele cosinusuri sunt pozitive, deci ambele unghiuri sunt ascuțite (1 p). Cum pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ cosinusul este descrescător, un cosinus mai mare înseamnă un unghi mai mic; din $\frac{37}{38}\approx 0,9737>\frac{13}{19}\approx 0,6842$ rezultă $m(\angle B)<m(\angle C)$, deci unghiul $C$ este mai mare (1 p). Rezultatul se putea anticipa: $C$ se opune laturii $AB=16$, mai lungă decât $AC=5$, latura opusă lui $B$. (Control: $B\approx 13,2^{\circ }$, $C\approx 46,8^{\circ }$, iar $120^{\circ }+13,2^{\circ }+46,8^{\circ }=180^{\circ }$.)

Itemul 8. (6 p)

a) (1,5 p) Unghiul de viraj se măsoară față de prelungirea direcției $AB$. Unghiul interior al triunghiului în vârful $B$ este suplementul lui: $m(\angle ABC)=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.

b) (2,5 p) În triunghiul $ABC$, cu $AB=30$, $BC=18$ și $m(\angle B)=130^{\circ }$: $$A{C}^2\approx 30^2+18^2-2\cdot 30\cdot 18\cdot (-0,6428)=900+324+694,22=1918,22,$$ deci $AC\approx \sqrt{1918,22}\approx 43,80$ km. (Inegalitatea triunghiului: $18+30=48>43,80$ ✓.)

c) (2 p) $\cos (\angle BAC)=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}\approx \frac{900+1918,22-324}{2\cdot 30\cdot 43,80}=\frac{2494,22}{2628}\approx 0,9491$ (1 p), de unde $m(\angle BAC)\approx 18,4^{\circ }$ (1 p). Este abaterea traseului final față de direcția inițială, văzută din port.

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Teorema cosinusului scrisă pentru unghiul $A$, cu $BC=7$, $AB=5$ și $AC=x$: $$7^2=5^2+x^2-2\cdot 5\cdot x\cdot \cos 60^{\circ }⟺49=25+x^2-5x,$$ adică $x^2-5x-24=0$.

b) (2,5 p) $\Delta =25+96=121$, $\sqrt{\Delta }=11$ (1 p), deci $x=\frac{5\pm 11}{2}$, adică $x_1=8$ și $x_2=-3$ (1 p). Rădăcina $x_2=-3$ se respinge, pentru că o lungime de latură este un număr strict pozitiv (0,5 p). Rămâne $AC=8$.

c) (1,5 p) Verificare: $5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=25+64-40=49=7^2$ ✓. Inegalitatea triunghiului: $5+7=12>8$ ✓.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Fie paralelogramul $ABCD$ cu $AB=9$, $BC=7$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Diagonala $BD$ se află în triunghiul $ABD$, unde unghiul dintre laturile de $7$ și $9$ este cel de $60^{\circ }$ (1 p): $$B{D}^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=49+81-63=67$$ (1,5 p), deci $BD=\sqrt{67}\approx 8,19$ cm (0,5 p). Aceasta este diagonala mică, pentru că se opune unghiului mai mic.

b) (3 p) Unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare, deci $m(\angle B)=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ (1 p). Diagonala $AC$ se află în triunghiul $ABC$: $$A{C}^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=49+81+63=193$$ (1,5 p), deci $AC=\sqrt{193}\approx 13,89$ cm (0,5 p).

c) (2 p) Suma pătratelor diagonalelor: $67+193=260$ (1 p). Suma pătratelor laturilor: $2\cdot (7^2+9^2)=2\cdot 130=260$ (1 p). Cele două rezultate coincid, ceea ce confirmă calculele. (Egalitatea nu este o coincidență: adunând cele două relații de mai sus, termenii cu $\cos 60^{\circ }$ se reduc, pentru că apar cu semne opuse. Verificare suplimentară: $7+8,19=15,19>9$ și $7+9=16>13,89$ — inegalitatea triunghiului este respectată în ambele triunghiuri.)

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Cu $a=BC=13$, $b=AC=8$, $c=AB=15$ (0,5 p): $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+225-169}{2\cdot 8\cdot 15}=\frac{120}{240}=\frac{1}{2}$$ (2 p), deci $m(\angle A)=60^{\circ }$ (0,5 p). (Triunghiul există: $8+13=21>15$ ✓.)

b) (3 p) $\cos B=\frac{169+225-64}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{330}{390}=\frac{11}{13}\approx 0,8462$ (1,5 p) și $\cos C=\frac{169+64-225}{2\cdot 13\cdot 8}=\frac{8}{208}=\frac{1}{26}\approx 0,0385$ (1,5 p).

c) (2 p) Toate trei cosinusurile sunt strict pozitive — $\frac{1}{2}$, $\frac{11}{13}$ și $\frac{1}{26}$ — deci toate cele trei unghiuri sunt ascuțite: triunghiul este ascuțitunghic (1,5 p). Cel mai mare unghi este $C$, opus laturii $AB=15$, dar rămâne sub $90^{\circ }$, „la limită": $C\approx 87,8^{\circ }$ (0,5 p). (Control: $60^{\circ }+32,2^{\circ }+87,8^{\circ }=180^{\circ }$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Notăm cu $d$ lungimea tirantului. Din teorema cosinusului, cu laturile $4,5$ și $6$ și unghiul de $105^{\circ }$ între ele (1 p): $$d^2=4,5^2+6^2-2\cdot 4,5\cdot 6\cdot (-0,2588)=20,25+36+13,9752=70,2252$$ (1,5 p), deci $d=\sqrt{70,2252}\approx 8,38$ m (0,5 p). (Inegalitatea triunghiului: $4,5+6=10,5>8,38$ ✓.)

b) (3 p) Fie $\alpha$ unghiul dintre tirant și grinda de $4,5$ m; el se opune grinzii de $6$ m (0,5 p): $$\cos \alpha =\frac{70,2252+20,25-36}{2\cdot 8,38\cdot 4,5}=\frac{54,4752}{75,42}\approx 0,7223$$ (2 p), de unde $\alpha \approx 43,8^{\circ }$ (0,5 p).

c) (2 p) Al treilea unghi: $180^{\circ }-105^{\circ }-43,8^{\circ }=31,2^{\circ }$ (1 p). Verificare independentă, prin teorema cosinusului: $\cos \beta =\frac{70,2252+36-20,25}{2\cdot 8,38\cdot 6}\approx 0,8550$, adică $\beta \approx 31,2^{\circ }$ — aceeași valoare, iar suma $105^{\circ }+43,8^{\circ }+31,2^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Inegalitatea triunghiului cere $|AB-AC|<BC<AB+AC$, adică $$|7-3|<x<7+3⟺x\in (4,10).$$

b) (3 p) Teorema cosinusului pentru unghiul $A$ (1 p): $$x^2=7^2+3^2-2\cdot 7\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=49+9-42\cdot \frac{1}{2}=58-21=37$$ (1,5 p), deci $x=\sqrt{37}\approx 6,08$ (0,5 p). Valoarea aparține intervalului $(4,10)$ găsit la a), deci este acceptabilă.

c) (3 p) Unghiul $A$ este obtuz dacă și numai dacă $\cos A<0$ (1 p), adică $$\frac{7^2+3^2-x^2}{2\cdot 7\cdot 3}<0⟺58-x^2<0⟺x>\sqrt{58}$$ (1,5 p). Intersectând cu condiția de existență $x\in (4,10)$, obținem $$x\in \left(\sqrt{58},10\right),\sqrt{58}\approx 7,62$$ (0,5 p). (Control: pentru $x=9$, $\cos A=\frac{58-81}{42}\approx -0,55<0$ — unghi obtuz ✓; pentru $x=7$, $\cos A=\frac{58-49}{42}\approx 0,21>0$ — unghi ascuțit ✓.)