Test: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua unealtă mare a unității: teorema sinusurilor, adică faptul că într-un triunghi raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este același pentru toate trei perechile — și că această valoare comună nu este un număr oarecare, ci diametrul cercului circumscris triunghiului. Din această singură egalitate decurg toate deprinderile evaluate aici: aflarea unei laturi când se cunosc două unghiuri și o latură (situația tipică a măsurătorilor de teren, unde unghiurile se măsoară ușor, iar distanțele greu), calculul razei $R$ fără a construi cercul, compararea laturilor prin compararea unghiurilor și trecerea de la o latură la alta prin formula $a=2R\sin A$. Două capcane sunt urmărite explicit: sinusul unui unghi obtuz este pozitiv (deci semnul nu mai ajută la recunoașterea naturii unghiului, cum se întâmpla la cosinus), iar din valoarea $\sin B$ nu se poate deduce unic măsura unghiului $B$, pentru că $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Ultima parte pune teorema la lucru în topografie și în probleme de tip examen.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească tabelul de valori trigonometrice sau un calculator, așa cum prevede programa. Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: valorile trigonometrice se iau cu 4 zecimale, lungimile se rotunjesc la 2 zecimale, iar unghiurile la o zecimală de grad. Acolo unde rezultatul este exact (radical sau fracție), se cere forma exactă, iar aproximarea se dă doar dacă enunțul o cere.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura dintre raportul constant și diametrul cercului circumscris.
• Formule de reținut: teorema sinusurilor, în forma extinsă: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$ unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Formele derivate, folosite cel mai des: $$a=2R\sin A,\sin A=\frac{a}{2R},\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}.$$ Consecințe: într-un triunghi, unei laturi mai mari i se opune un unghi mai mare, deci și un sinus mai mare; orice latură este cel mult egală cu $2R$, iar egalitatea are loc doar când unghiul opus este drept (latura devine diametru). Sinusul unghiurilor obtuze: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, deci sinusul este pozitiv pentru orice unghi al unui triunghi, iar din $\sin B=k$ rezultă două posibilități, $B$ sau $180^{\circ }-B$. Suma unghiurilor: $m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^{\circ }$ — relația care completează întotdeauna teorema sinusurilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Raportul constant și diametrul cercului circumscris

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=12$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Raza cercului circumscris triunghiului este: A. $6$; B. $12$; C. $24$; D. $48$.

b) În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=10$, $\sin A=\frac{1}{2}$ și $\sin B=\frac{3}{5}$. Lungimea laturii $b$ este: A. $6$; B. $12$; C. $15$; D. $20$.

c) Valoarea lui $\sin 150^{\circ }$ este: A. $\frac{1}{2}$; B. $-\frac{1}{2}$; C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Itemul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$ și $a=BC=10$.

a) Calculează $m(\angle C)$. (1 p) b) Calculează $2R$ și raza $R$ a cercului circumscris. (2 p) c) Calculează latura $b=AC$, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (2 p) d) Fără a calcula latura $c$, precizează care dintre cele trei laturi este cea mai lungă și justifică. (1 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ are $AB=12$, $AC=9$ și $BC=15$. a) Arată că triunghiul este dreptunghic. (2 p) b) Calculează raza cercului circumscris folosind teorema sinusurilor. (2 p) c) Calculează $\sin B$ și $\sin C$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Într-un triunghi, laturii mai lungi i se opune unghiul cu sinusul mai mare." b) „Dacă în triunghiul $ABC$ avem $\sin B=\sin C$, atunci $b=c$." c) „Dacă într-un triunghi $\sin B=\frac{1}{2}$, atunci $m(\angle B)=30^{\circ }$." d) „Într-un triunghi înscris într-un cerc de rază $R=4$, nicio latură nu poate depăși $8$."

Partea a II-a – Aplicații ale teoremei sinusurilor

Itemul 5 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Doi topografi se află în punctele $A$ și $B$, la distanța $AB=60$ m unul de altul, pe malul unui canal. Amândoi vizează același stâlp $C$, de pe malul opus, și măsoară $m(\angle CAB)=45^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=75^{\circ }$.

a) Calculează $m(\angle ACB)$. (1 p) b) Calculează $2R$ și raza $R$ a cercului circumscris triunghiului $ABC$, în formă exactă. (2 p) c) Calculează distanța $BC$, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (2,5 p) d) Calculează distanța $AC$, aproximată la două zecimale. (2,5 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Un triunghi $ABC$ este înscris într-un cerc de rază $R=10$ și are $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=120^{\circ }$. a) Calculează lungimea laturii $a$, opusă unghiului de $30^{\circ }$. (2 p) b) Calculează lungimea laturii $b$, opusă unghiului de $120^{\circ }$, în formă exactă și aproximată la două zecimale. (2 p) c) Arată că triunghiul este isoscel și calculează perimetrul lui. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=15$, $b=9$ și $m(\angle A)=100^{\circ }$. Din tabel: $\sin 100^{\circ }\approx 0,9848$. a) Calculează $\sin B$ și determină $m(\angle B)$, rotunjită la o zecimală de grad. (3 p) b) Explică de ce, în această situație, unghiul $B$ nu poate fi obtuz, deși din valoarea sinusului ar rezulta două posibilități. (2 p) c) Calculează $m(\angle C)$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) Pentru a măsura lățimea unei râpe, un inginer alege pe marginea ei două puncte $A$ și $B$, cu $AB=250$ m, și vizează din amândouă un reper $C$ de pe marginea opusă. El măsoară $m(\angle CAB)=42^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=65^{\circ }$. Din tabel: $\sin 42^{\circ }\approx 0,6691$, $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$, $\sin 73^{\circ }\approx 0,9563$. a) Calculează $m(\angle ACB)$. (1 p) b) Calculează distanța $BC$, rotunjită la două zecimale. (2,5 p) c) Calculează distanța $AC$, rotunjită la două zecimale. (2,5 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=60^{\circ }$, $m(\angle B)=80^{\circ }$ și $a=12$. Din tabel: $\sin 60^{\circ }\approx 0,8660$, $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$, $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$. a) Calculează $m(\angle C)$, apoi $2R$ și $R$. (2 p) b) Calculează laturile $b$ și $c$, rotunjite la două zecimale. (3 p) c) Verifică faptul că ordinea crescătoare a laturilor coincide cu ordinea crescătoare a unghiurilor opuse. (1 p)

Partea a III-a – Probleme practice și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu laturile $a=4$, $b=13$, $c=15$. a) Calculează $\cos C$ și arată că unghiul $C$ este obtuz. (3 p) b) Deduce valoarea lui $\sin C$. (2 p) c) Calculează raza cercului circumscris triunghiului. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=135^{\circ }$, $m(\angle C)=30^{\circ }$ și $a=BC=8\sqrt{2}$. a) Determinați $m(\angle B)$. (1 p) b) Arătați că $2R=16$, unde $R$ este raza cercului circumscris. (3 p) c) Calculați latura $c=AB$. (2 p) d) Calculați latura $b=AC$, rotunjită la două zecimale, știind că $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Trei stâlpi de iluminat, $A$, $B$ și $C$, sunt așezați pe marginea unui scuar circular. Se măsoară $AB=30$ m, $m(\angle ACB)=40^{\circ }$, $m(\angle BAC)=75^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=65^{\circ }$. Din tabel: $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$, $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$, $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$.

a) Calculează diametrul și raza scuarului, rotunjite la două zecimale. (3 p) b) Calculează distanța $BC$, rotunjită la două zecimale. (2,5 p) c) Calculează distanța $AC$, rotunjită la două zecimale. (2,5 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $a=6$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. a) Arătați că raza cercului circumscris triunghiului este $R=6$. (2 p) b) Știind că $b=6\sqrt{2}$, calculați $\sin B$ și determinați ambele valori posibile pentru $m(\angle B)$. (3 p) c) Arătați că ambele valori conduc la triunghiuri care există și precizați $m(\angle C)$ în fiecare caz. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Din $\frac{a}{\sin A}=2R$ obținem $2R=\frac{12}{\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24$, deci $R=12$. Varianta C este capcana clasică: $24$ este diametrul, nu raza. b) B. Din $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ rezultă $b=a\cdot \frac{\sin B}{\sin A}=10\cdot \frac{3/5}{1/2}=10\cdot \frac{6}{5}=12$. c) A. Unghiul $150^{\circ }$ este obtuz, dar sinusul rămâne pozitiv: $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-150^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Variantele cu semnul minus provin din confuzia cu cosinusul.

Itemul 2. (6 p)

a) (1 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$.

b) (2 p) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$ (1,5 p), deci $R=10$ (0,5 p).

c) (2 p) $b=2R\sin B=20\cdot \sin 45^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14$.

d) (1 p) Cea mai lungă este latura $c=AB$, pentru că se opune unghiului cel mai mare, $C=105^{\circ }$. (Control: $c=20\sin 105^{\circ }\approx 19,32$, iar $10+14,14=24,14>19,32$ — inegalitatea triunghiului este respectată.)

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $A{C}^2+A{B}^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=B{C}^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $A$.

b) (2 p) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{BC}{\sin 90^{\circ }}=\frac{15}{1}=15$ (1,5 p), deci $R=7,5$ (0,5 p). Regăsim faptul cunoscut: ipotenuza este diametrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic.

c) (2 p) $\sin B=\frac{b}{2R}=\frac{AC}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6$ și $\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{AB}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$. (Control: $0,6^2+0,8^2=1$, ceea ce se și aștepta, pentru că $B$ și $C$ sunt complementare.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Din $a=2R\sin A$ și $b=2R\sin B$ rezultă că $a>b$ este echivalent cu $\sin A>\sin B$, factorul $2R$ fiind același și strict pozitiv. b) A. Tot din $a=2R\sin A$: dacă $\sin B=\sin C$, atunci $b=2R\sin B=2R\sin C=c$. Reciproca este și ea adevărată. c) F. Sinusul nu determină unic unghiul, pentru că $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Din $\sin B=\frac{1}{2}$ rezultă $m(\angle B)=30^{\circ }$ sau $m(\angle B)=150^{\circ }$; ambele sunt posibile într-un triunghi. d) A. Orice latură se scrie $a=2R\sin A=8\sin A\le 8$, pentru că $\sin A\le 1$. Egalitatea are loc doar dacă $\sin A=1$, adică dacă unghiul opus este drept, caz în care latura este chiar diametrul.

Itemul 5. (8 p)

a) (1 p) $m(\angle ACB)=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$.

b) (2 p) $2R=\frac{AB}{\sin C}=\frac{60}{\sin 60^{\circ }}=\frac{60}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{120}{\sqrt{3}}=40\sqrt{3}\approx 69,28$ (1,5 p), deci $R=20\sqrt{3}\approx 34,64$ m (0,5 p).

c) (2,5 p) Latura $BC$ se opune unghiului $A=45^{\circ }$ (0,5 p): $$BC=2R\sin A=40\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{6}\approx 48,99\text{ m}$$ (2 p).

d) (2,5 p) Latura $AC$ se opune unghiului $B=75^{\circ }$, iar $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$ (0,5 p): $$AC=2R\sin B\approx 69,28\cdot 0,9659\approx 66,92\text{ m}$$ (2 p). (Verificare: $48,99+60=108,99>66,92$ — inegalitatea triunghiului ✓. Și, cum $B=75^{\circ }$ este cel mai mare unghi, $AC$ trebuie să fie cea mai lungă latură ✓.)

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) $a=2R\sin A=20\cdot \sin 30^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$.

b) (2 p) $b=2R\sin B=20\cdot \sin 120^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32$. (Atenție: $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoare pozitivă, deși unghiul este obtuz.)

c) (3 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$ (1 p), deci $C=A$ și, prin urmare, $c=2R\sin C=10=a$: triunghiul este isoscel, cu $a=c=10$ (1 p). Perimetrul este $$P=10+10+10\sqrt{3}=20+10\sqrt{3}\approx 37,32$$ (1 p). (Inegalitatea triunghiului: $10+10=20>17,32$ ✓.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Din $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ rezultă $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ (1 p), adică $$\sin B=\frac{9\cdot 0,9848}{15}=\frac{8,8632}{15}\approx 0,5909$$ (1,5 p), de unde $m(\angle B)\approx 36,2^{\circ }$ (0,5 p).

b) (2 p) Din $\sin B\approx 0,5909$ ar rezulta, în principiu, $B\approx 36,2^{\circ }$ sau $B\approx 143,8^{\circ }$ (1 p). A doua variantă este însă imposibilă: unghiul $A=100^{\circ }$ este deja obtuz, iar un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze (suma lor ar depăși $180^{\circ }$; într-adevăr, $100^{\circ }+143,8^{\circ }=243,8^{\circ }>180^{\circ }$) (1 p). Se poate spune și mai simplu: $b=9<15=a$, deci $B<A$.

c) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-100^{\circ }-36,2^{\circ }=43,8^{\circ }$. (Control: $c=2R\sin C\approx \frac{15}{0,9848}\cdot 0,6921\approx 10,54$, iar $9+10,54=19,54>15$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (1 p) $m(\angle ACB)=180^{\circ }-42^{\circ }-65^{\circ }=73^{\circ }$.

b) (2,5 p) Latura $BC$ se opune unghiului $A=42^{\circ }$, iar $AB=250$ se opune unghiului $C=73^{\circ }$ (0,5 p): $$BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}\approx \frac{250\cdot 0,6691}{0,9563}=\frac{167,275}{0,9563}\approx 174,92\text{ m}$$ (2 p).

c) (2,5 p) Latura $AC$ se opune unghiului $B=65^{\circ }$ (0,5 p): $$AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}\approx \frac{250\cdot 0,9063}{0,9563}=\frac{226,575}{0,9563}\approx 236,93\text{ m}$$ (2 p). (Verificare: cel mai mare unghi este $C=73^{\circ }$, deci latura $AB=250$ trebuie să fie cea mai lungă ✓; iar $174,92+236,93=411,85>250$ ✓.)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-60^{\circ }-80^{\circ }=40^{\circ }$ (0,5 p). Apoi $$2R=\frac{a}{\sin A}\approx \frac{12}{0,8660}\approx 13,86,R\approx 6,93$$ (1,5 p). (Valoarea exactă este $2R=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}\approx 13,8564$.)

b) (3 p) $b=2R\sin B\approx 13,86\cdot 0,9848\approx 13,65$ (1,5 p) și $c=2R\sin C\approx 13,86\cdot 0,6428\approx 8,91$ (1,5 p).

c) (1 p) Unghiurile în ordine crescătoare: $C=40^{\circ }<A=60^{\circ }<B=80^{\circ }$; laturile opuse, în aceeași ordine: $c\approx 8,91<a=12<b\approx 13,65$ ✓. (Inegalitatea triunghiului: $8,91+12=20,91>13,65$ ✓.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Verificăm întâi că triunghiul există: $4+13=17>15$ ✓ (0,5 p). Unghiul $C$ se opune laturii $c=15$, deci $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{16+169-225}{2\cdot 4\cdot 13}=\frac{-40}{104}=-\frac{5}{13}$$ (2 p). Cum $\cos C<0$, unghiul $C$ este obtuz (0,5 p).

b) (2 p) Din formula fundamentală ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$ și din faptul că sinusul unui unghi de triunghi este pozitiv (0,5 p): $$\sin C=\sqrt{1-{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$ (1,5 p).

c) (3 p) Din teorema sinusurilor, $\frac{c}{\sin C}=2R$ (1 p), deci $$2R=\frac{15}{\frac{12}{13}}=15\cdot \frac{13}{12}=\frac{65}{4}=16,25,R=\frac{65}{8}=8,125$$ (2 p). (Control: latura cea mai lungă, $15$, este într-adevăr mai mică decât $2R=16,25$, așa cum trebuie într-un triunghi obtuzunghic.)

Itemul 11. (8 p)

a) (1 p) $m(\angle B)=180^{\circ }-135^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$.

b) (3 p) $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1 p), deci $$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=8\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=16$$ (2 p).

c) (2 p) $c=2R\sin C=16\cdot \sin 30^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$.

d) (2 p) $b=2R\sin B=16\cdot 0,2588\approx 4,14$. (Verificare: $a=8\sqrt{2}\approx 11,31$, iar $4,14+8=12,14>11,31$ — inegalitatea triunghiului ✓. Ordinea laturilor, $b<c<a$, urmează ordinea unghiurilor, $15^{\circ }<30^{\circ }<135^{\circ }$ ✓.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Cercul scuarului este chiar cercul circumscris triunghiului $ABC$ (0,5 p). Latura $AB=30$ se opune unghiului $C=40^{\circ }$, deci $$2R=\frac{AB}{\sin C}\approx \frac{30}{0,6428}\approx 46,67\text{ m}$$ (2 p), adică diametrul este de aproximativ $46,67$ m, iar raza $R\approx 23,34$ m (0,5 p).

b) (2,5 p) $BC=2R\sin A\approx 46,67\cdot 0,9659\approx 45,08$ m.

c) (2,5 p) $AC=2R\sin B\approx 46,67\cdot 0,9063\approx 42,30$ m. (Verificări: suma unghiurilor $40^{\circ }+75^{\circ }+65^{\circ }=180^{\circ }$ ✓; inegalitatea triunghiului $30+42,30=72,30>45,08$ ✓; toate laturile sunt mai mici decât diametrul $46,67$ ✓.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$ (1,5 p), deci $R=6$ (0,5 p).

b) (3 p) Din $\sin B=\frac{b}{2R}$ (1 p) obținem $$\sin B=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ (1 p). Sinusul nu determină unic unghiul, deci $$m(\angle B)=45^{\circ }\text{sau}m(\angle B)=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$$ (1 p).

c) (3 p) Verificăm fiecare caz cu ajutorul sumei unghiurilor (0,5 p): – dacă $m(\angle B)=45^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }>0^{\circ }$, deci triunghiul există; laturile sunt $a=6$, $b=6\sqrt{2}\approx 8,49$ și $c=12\sin 105^{\circ }\approx 11,59$, iar $6+8,49=14,49>11,59$ ✓ (1,25 p); – dacă $m(\angle B)=135^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }>0^{\circ }$, deci și acest triunghi există; laturile sunt $a=6$, $b\approx 8,49$ și $c=12\sin 15^{\circ }\approx 3,11$, iar $6+3,11=9,11>8,49$ ✓ (1,25 p). Prin urmare datele din enunț determină două triunghiuri diferite, nu unul singur — situație tipică atunci când se cunosc două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele.