Test: teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Funcții derivabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea din capitol în care derivata încetează să mai fie un instrument de calcul și devine un instrument de decizie: din informații despre $f^{\prime }$ se obțin concluzii despre $f$. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: punctele de extrem și teorema lui Fermat — definițiile locale, regula de redactare punctul nu este valoarea ($x_0$ este punctul de extrem, $f(x_0)$ este valoarea extremă), noțiunea de punct critic ca simplu candidat și cele trei ipoteze ale teoremei, dintre care „din interior" și „derivabilă" cad cel mai des. Al doilea: teorema lui Rolle, cu asimetria continuitate pe interval închis / derivabilitate pe interval deschis, cu verificarea celor trei ipoteze în ordine și cu selectarea rădăcinilor lui $f^{\prime }$ din intervalul deschis. Al treilea: șirul lui Rolle, singura metodă din programă care dă numărul exact de soluții ale unei ecuații, cu tabelul în format standard și cu regula tabelelor separate pe fiecare interval al domeniului. Al patrulea: teorema lui Lagrange, demonstrată prin funcția ajutătoare, folosită pentru încadrarea unor numere și, prin consecințele ei, pentru monotonie — cu obligația de a formula concluzia pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice aplicare a unei teoreme se consideră completă doar dacă rezolvarea conține, înainte de calcul, verificarea explicită a fiecărei ipoteze. Se depunctează: răspunsul „minimul este $4$" când $4$ este abscisa; concluzia „deci $x_0$ este punct de extrem" imediat după rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$; raportarea unor valori $c$ aflate în capetele intervalului; lăsarea goală a coloanelor de la capete în șirul lui Rolle; un tabel unic pentru un domeniu format din două intervale; formularea monotoniei pe o reuniune de intervale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe verificarea ipotezelor și pe tabelul șirului lui Rolle.
• Formule de reținut: Teorema lui Fermat (se demonstrează) — fie $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ interval, și $x_0$ un punct de extrem local din interiorul lui $I$; dacă $f$ este derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$. Punctele în care $f^{\prime }(x_0)=0$ se numesc puncte critice; ele sunt candidați, nu extreme (reciproca este falsă: $f(x)=x^3$ în $0$). Teorema lui Rolle (se admite fără demonstrație) — fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$; atunci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Consecința 1 a teoremei lui Rolle: între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei. Consecința 2 a teoremei lui Rolle: între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției. Teorema lui Lagrange (teorema creșterilor finite) (se demonstrează) — fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$; atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a),\text{echivalent}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Consecința 1 a teoremei lui Lagrange (funcția constantă): dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)=0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este constantă pe $I$; corolar: dacă $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe $I$, atunci $f-g$ este constantă pe $I$. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange (monotonia): dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)>0$ pe $I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$, este strict descrescătoare. Consecința 3 a teoremei lui Lagrange (limita derivatei): dacă $f$ este continuă în $x_0$, derivabilă pe o vecinătate a lui $x_0$ mai puțin în $x_0$, și există $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci $f$ are derivată în $x_0$ și $f^{\prime }(x_0)=\ell$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Puncte de extrem și teorema lui Fermat

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Punctele critice ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x$, sunt: A. $0$ și $1$; B. $1$ și $2$; C. $2$ și $3$; D. $-1$ și $-2$.

b) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+3$: A. punctul de minim este $-13$, iar valoarea minimă este $4$; B. punctul de minim este $4$, iar valoarea minimă este $-13$; C. punctul de minim este $4$, iar valoarea minimă este $4$; D. punctul de minim este $0$, iar valoarea minimă este $3$.

c) Enunțul teoremei lui Rolle cere ca funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ să fie: A. continuă pe $(a,b)$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$; B. continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$; C. continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)\cdot f(b)<0$; D. continuă pe $[a,b]$ și cu $f(a)=f(b)$.

Itemul 2 (6 puncte)

Determină punctele critice ale fiecărei funcții (câte 1,5 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-27x$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^x$; c) $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4\sqrt{x}$; d) $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-x$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $x_0$ este punct de extrem local al funcției $f$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$." b) „Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)=0$, atunci derivata se anulează cel puțin o dată în $(a,b)$." c) „Teorema lui Lagrange se poate aplica funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe intervalul $[-1,2]$." d) „Dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict descrescătoare pe $I$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină $a\in \mathbb{R}$ știind că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2-9x+2$, are un punct de extrem local în $x_0=1$. Precizează ce ipoteză a teoremei lui Fermat folosești și de ce condiția obținută este necesară. (3 p) b) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^2+3$. Determină punctele ei critice și arată, prin studiul semnului diferenței $f(x)-f(0)$, că $x_0=0$ este punct de maxim local. (3 p)

Partea a II-a – Teorema lui Rolle, consecințele ei și șirul lui Rolle

Itemul 5 (8 puncte)

Verifică ipotezele teoremei lui Rolle și determină valorile $c$ pe care le garantează (câte 4 puncte): a) $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+1$; b) $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+1$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Verifică ipotezele teoremei lui Rolle pentru $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x+\cos x$, și determină toate valorile $c$ din intervalul deschis. (4 p) b) Se consideră funcția $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-1|$. Arată că $f(-2)=f(2)$ și că $f$ este continuă pe $[-2,2]$, dar că teorema lui Rolle nu i se poate aplica; precizează ipoteza care nu este îndeplinită. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Polinomul $f(x)=(x-1)(x-4)(x-6)$ are rădăcinile $1$, $4$ și $6$. Arată, fără a rezolva ecuația $f^{\prime }(x)=0$, că derivata are cel puțin două rădăcini reale și precizează intervalele în care se află. Numește rezultatul folosit. (3 p) b) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+3$. Arată, folosind Consecința 2 a teoremei lui Rolle, că ecuația $f(x)=0$ are cel mult o soluție în intervalul $(-2,2)$, apoi arată că are exact una. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Folosind șirul lui Rolle, determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $$x^3-3x^2-9x+2=0$$ și precizează intervalele în care se află. Scrie tabelul complet, cu limitele la capete.

Itemul 9 (6 puncte)

Determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $$x+\frac{9}{x}=7,$$ aplicând metoda pe fiecare interval al domeniului, cu câte un tabel separat.

Partea a III-a – Teorema lui Lagrange, demonstrație și consecințe

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema lui Lagrange: dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. Folosește funcția ajutătoare $$h:[a,b]\to \mathbb{R},h(x)=f(x)-f(a)-m(x-a),m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$ și verifică pentru ea, una câte una, ipotezele teoremei lui Rolle. (5 p) b) Explică de ce derivabilitatea se cere numai pe intervalul deschis $(a,b)$ și dă un exemplu de funcție pentru care teorema se aplică deși ea nu este derivabilă într-un capăt. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Determină funcția derivabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ care satisface $f^{\prime }(x)=3x^2-2x$ pentru orice $x$ real și $f(2)=5$. Precizează rezultatul teoretic pe care se sprijină unicitatea răspunsului. (4 p) b) Aplicând teorema lui Lagrange funcției $f(x)=\sqrt{x}$ pe intervalul $[16,17]$, arată că $$\frac{1}{2\sqrt{17}}<\sqrt{17}-4<\frac{1}{8},$$ și deduce de aici că $\sqrt{17}<4,125$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-2\sqrt{x}$, este strict descrescătoare pe intervalul $(1,+\infty )$. (4 p) b) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Arată că $f^{\prime }(x)<0$ în fiecare punct al domeniului, dar că $f$ nu este descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, și formulează corect concluzia de monotonie. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+12x+5$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și arătați că $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și deduceți că ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală. (3 p) c) Arătați că $x=-2$ este punct critic al funcției $f$, dar nu este punct de extrem. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Avem $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$, deci ecuația $f^{\prime }(x)=0$ are soluțiile $1$ și $2$. Acestea sunt punctele critice, adică lista candidaților la extrem, nu extremele însele. b) B. Din $f^{\prime }(x)=2x-8$ rezultă punctul critic $x_0=4$, iar forma canonică $f(x)=(x-4{)}^2-13$ arată că $f(x)\ge -13=f(4)$ pentru orice $x$ real. Punctul de minim este abscisa $4$; valoarea minimă este ordonata $f(4)=-13$. Varianta A inversează exact aceste două lucruri. c) B. Continuitatea se cere pe intervalul închis $[a,b]$, iar derivabilitatea doar pe cel deschis $(a,b)$; a treia ipoteză este egalitatea valorilor la capete. Varianta A slăbește greșit prima ipoteză, varianta C confundă enunțul cu cel al consecinței de semn a proprietății valorilor intermediare, iar varianta D omite derivabilitatea, fără de care concluzia cade (de exemplu la $|x-1|$ pe $[0,2]$).

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p derivata, 1 p rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$ pe domeniu). a) $f^{\prime }(x)=3x^2-27=3(x-3)(x+3)$, deci punctele critice sunt $-3$ și $3$. b) $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^{x}x(x+2)$. Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, ecuația se reduce la $x(x+2)=0$, deci punctele critice sunt $-2$ și $0$. c) Pe $(0,+\infty )$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}$, iar $f^{\prime }(x)=0$ dă $\sqrt{x}=2$, adică $x=4$, valoare din domeniu. d) Pe $(0,+\infty )$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$, iar $f^{\prime }(x)=0$ dă $x=1$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Implicația merge în sens invers și numai sub cele trei ipoteze ale teoremei lui Fermat. Aici lipsesc două: punctul poate fi un capăt al domeniului, iar funcția poate să nu fie derivabilă acolo. Contraexemplu: $f(x)=|x|$ are minim global în $0$, dar $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$, deci $f^{\prime }(0)$ nici nu există. b) A. Ipotezele teoremei lui Rolle sunt îndeplinite (continuitate pe închis, derivabilitate pe deschis, valori egale la capete), deci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$. Este chiar Consecința 1 a teoremei lui Rolle, în cazul particular al rădăcinilor. c) F. Funcția nu este definită în $0$, punct care aparține intervalului $[-1,2]$, deci nu poate fi continuă pe acest interval: prima ipoteză nici nu se poate formula. Aplicată mecanic, formula ar da $-\frac{1}{c^2}=\frac{\frac{1}{2}-(-1)}{3}=\frac{1}{2}$, ecuație fără soluții reale — semnul sigur al unei ipoteze neverificate. d) A. Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, în varianta strictă. Ipoteza esențială este că $I$ este interval; pe o reuniune de intervale concluzia devine falsă.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Punctul $x_0=1$ este interior domeniului $\mathbb{R}$, iar $f$, fiind polinomială, este derivabilă în el; sunt deci îndeplinite ipotezele teoremei lui Fermat, care dă $f^{\prime }(1)=0$ (1 p). Din $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-9$ obținem $$f^{\prime }(1)=3+2a-9=0$$ (1 p), deci $a=3$ (0,5 p). Condiția este necesară, nu suficientă: anularea derivatei face din $1$ doar un punct critic, iar faptul că este chiar punct de extrem se verifică separat — aici, prin identitatea $f(x)-f(1)=x^3+3x^2-9x+5=(x-1{)}^2(x+5)\ge 0$ pentru orice $x\ge -5$, care arată că $1$ este punct de minim local, cu valoarea $f(1)=-3$ (0,5 p).

b) (3 p) Avem $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$, deci punctele critice sunt $-2$, $0$ și $2$ (1 p). Pentru $x_0=0$, cu $f(0)=3$, studiem diferența (1 p): $$f(x)-f(0)=x^4-8x^2=x^2\left(x^2-8\right).$$ Factorul $x^2$ este $\ge 0$, iar $x^2-8\le 0$ pentru $|x|\le 2\sqrt{2}$, deci $f(x)-f(0)\le 0$ pe vecinătatea $\left(-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$ a lui $0$ (0,5 p). Prin urmare $f(x)\le f(0)$ acolo: punctul $0$ este punct de maxim local, iar valoarea maximă locală este $3$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 4 puncte (0,5 p domeniul, 1 p continuitatea și derivabilitatea, 1 p egalitatea capetelor, 1,5 p ecuația $f^{\prime }(x)=0$ și selecția rădăcinilor).

a) Domeniul: funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$, deci și pe $[0,4]$. Continuitatea și derivabilitatea: $f$ este funcție polinomială, deci continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $(0,4)$. Capetele: $$f(0)=1,f(4)=16-16+1=1,$$ deci $f(0)=f(4)$. Toate cele trei ipoteze sunt îndeplinite. Din $f^{\prime }(x)=2x-4=0$ rezultă $x=2\in (0,4)$, deci $c=2$.

b) Domeniul: $\mathbb{R}\supset [-1,2]$. Continuitatea și derivabilitatea: funcție polinomială, deci continuă pe $[-1,2]$ și derivabilă pe $(-1,2)$. Capetele: $$f(-1)=-1+3+1=3,f(2)=8-6+1=3,$$ deci $f(-1)=f(2)$. Din $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0$ obținem rădăcinile $-1$ și $1$. Rădăcina $-1$ se respinge, fiind capătul din stânga, iar concluzia teoremei privește intervalul deschis; rămâne $c=1$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Funcțiile $\sin$ și $\cos$ sunt continue și derivabile pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este continuă pe $[0,2\pi ]$ și derivabilă pe $(0,2\pi )$ (1 p). Capetele: $$f(0)=\sin 0+\cos 0=1,f(2\pi )=\sin 2\pi +\cos 2\pi =1,$$ deci $f(0)=f(2\pi )$ (1 p). Ipotezele sunt îndeplinite. Rezolvăm $$f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x=0⟺\mathrm{tg}x=1⟺x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$ (1 p). În intervalul deschis $(0,2\pi )$ intră două valori: $$c_1=\frac{\pi }{4},c_2=\frac{5\pi }{4}$$ (1 p). Teorema garantează cel puțin un astfel de punct; aici sunt două, ceea ce confirmă că ea nu afirmă unicitatea.

b) (3 p) Capetele: $f(-2)=|4-1|=3$ și $f(2)=|4-1|=3$, deci $f(-2)=f(2)$ (0,5 p). Funcția este continuă pe $[-2,2]$, fiind modulul unei funcții polinomiale, deci al unei funcții continue (0,5 p). Cade însă a doua ipoteză, derivabilitatea pe $(-2,2)$: în punctele $-1$ și $1$, unde $x^2-1$ își schimbă semnul, funcția are puncte unghiulare. În $x=1$, de pildă, pe $(-1,1)$ avem $f(x)=1-x^2$, cu derivata $-2x$ și limita la stânga $-2$, iar pe $(1,2)$ avem $f(x)=x^2-1$, cu derivata $2x$ și limita la dreapta $2$; cele două derivate laterale sunt finite și diferite (1,5 p). Teorema nu se aplică. Observație de reținut: concluzia ei se întâmplă totuși să fie adevărată aici, pentru că pe $(-1,1)$ derivata $-2x$ se anulează în $0$ — o ipoteză căzută nu înseamnă concluzie falsă, ci doar că teorema nu spune nimic (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $1<4<6$ sunt rădăcini ale ei (0,5 p). Aplicăm Consecința 1 a teoremei lui Rolle („între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei") pe fiecare pereche de rădăcini consecutive (1 p):

• pe $[1,4]$: ipotezele teoremei lui Rolle sunt îndeplinite, cu $f(1)=f(4)=0$, deci există o rădăcină a lui $f^{\prime }$ în $(1,4)$ (0,75 p);
• pe $[4,6]$: analog, o rădăcină a lui $f^{\prime }$ în $(4,6)$ (0,75 p).

Cele două intervale fiind disjuncte, rădăcinile sunt distincte: $f^{\prime }$ are cel puțin două rădăcini reale. (Control, care nu se cerea: $f^{\prime }(x)=3x^2-22x+34$, cu rădăcinile aproximativ $2,2137003$ și $5,1196329$.)

b) (4 p) Cel mult una. Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ are rădăcinile $-2$ și $2$; între ele derivata nu se mai anulează, deci sunt rădăcini consecutive ale lui $f^{\prime }$ (1,5 p). Prin Consecința 2 a teoremei lui Rolle, $f$ are cel mult o rădăcină în intervalul $(-2,2)$ (0,5 p).

Cel puțin una. Funcția este continuă, iar $$f(-2)=-8+24+3=19>0,f(2)=8-24+3=-13<0,$$ deci $f(-2)\cdot f(2)<0$; prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, ecuația are cel puțin o soluție în $(-2,2)$ (1,5 p).

Concluzia: ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție în $(-2,2)$ (0,5 p). (Numeric, prin bisecție: $\approx 0,2513228$.)

Itemul 8. (6 p)

Pasul 1 — domeniul. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$, este polinomială, deci derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ (0,5 p).

Pasul 2 — rădăcinile derivatei. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, deci $x_1=-1$ și $x_2=3$ (1,5 p).

Pasul 3 — valorile și limitele. $f(-1)=-1-3+9+2=7$ și $f(3)=27-27-27+2=-25$; la capete, termenul dominant $x^3$ dă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (1,5 p).

Pasul 4 — tabelul (1,5 p):

Pasul 5 — citirea. Trei schimbări de semn, deci ecuația are exact trei soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1)$, $(-1,3)$ și $(3,+\infty )$ (1 p). (Control: $x=-2$ verifică ecuația, iar împărțind se obține $x^2-5x+1=0$, cu soluțiile $\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\approx 0,2087121$ și $\approx 4,7912878$ — exact în intervalele anunțate.)

Itemul 9. (6 p)

Pasul 1 — domeniul. Aducem ecuația la forma $f(x)=0$, cu $f(x)=x+\frac{9}{x}-7$, definită și derivabilă pe $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Domeniul nu este un interval, deci metoda se aplică pe fiecare interval separat, cu câte un tabel propriu (1 p).

Pasul 2 — rădăcinile derivatei. $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}$, care se anulează pentru $x=-3$ și $x=3$ (1 p).

Pasul 3 — valorile și limitele. $f(-3)=-3-3-7=-13$ și $f(3)=3+3-7=-1$; la $\pm \infty$ termenul $x$ domină, deci $f(x)\to -\infty$, respectiv $+\infty$; în $0$, termenul $\frac{9}{x}$ dă limita $-\infty$ dinspre stânga și $+\infty$ dinspre dreapta (1,5 p).

Pasul 4 — cele două tabele (1,5 p).

Pe intervalul $(-\infty ,0)$:

Pe intervalul $(0,+\infty )$:

Pasul 5 — citirea. Pe $(-\infty ,0)$ toate semnele coincid, deci acolo nu există nicio soluție; pe $(0,+\infty )$ sunt două schimbări de semn, deci exact două soluții, una în $(0,3)$ și una în $(3,+\infty )$. În total, ecuația are două soluții reale (1 p). (Control: înmulțind cu $x\ne 0$ se obține $x^2-7x+9=0$, cu soluțiile $\frac{7\pm \sqrt{13}}{2}\approx 1,6972243$ și $\approx 5,3027756$, ambele pozitive — exact în intervalele prezise.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Construcția. Fie $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ panta coardei și fie $h:[a,b]\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$; geometric, $h(x)$ este diferența pe verticală dintre grafic și coardă (1 p).

Verificăm ipotezele teoremei lui Rolle pentru $h$.

• $h$ este continuă pe $[a,b]$, fiind diferența dintre $f$, continuă pe $[a,b]$ prin ipoteză, și o funcție de gradul întâi, continuă pe $\mathbb{R}$ (0,75 p);
• $h$ este derivabilă pe $(a,b)$, din același motiv, și $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-m$ (0,75 p);
• valorile la capete (1 p): $$h(a)=f(a)-f(a)-m(a-a)=0,h(b)=f(b)-f(a)-m(b-a)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0,$$ deci $h(a)=h(b)=0$.

Aplicarea. Ipotezele fiind îndeplinite, teorema lui Rolle dă un punct $c\in (a,b)$ cu $h^{\prime }(c)=0$ (1 p), adică $f^{\prime }(c)-m=0$, adică $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\text{echivalent}f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).■$$ (0,5 p)

b) (3 p) Demonstrația folosește valorile funcției până în capete — de aceea se cere continuitatea pe intervalul închis —, dar derivata intervine numai prin teorema lui Rolle aplicată lui $h$, care la rândul ei cere derivabilitatea doar în interior (1,5 p). Cerința fiind mai slabă, teorema acoperă și funcții cu semitangentă verticală într-un capăt (0,5 p).

Exemplu: $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $(0,4)$, dar nu este derivabilă în $0$. Teorema se aplică fără rezerve: raportul este $\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$, iar ecuația $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}$ dă $c=1\in (0,4)$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Căutăm întâi o funcție cu derivata dată: $g(x)=x^3-x^2$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $g^{\prime }(x)=3x^2-2x$, deci $f^{\prime }=g^{\prime }$ pe $\mathbb{R}$ (1,5 p). Cum $\mathbb{R}$ este interval, corolarul Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange dă: $f-g$ este constantă, adică există $k\in \mathbb{R}$ cu $$f(x)=x^3-x^2+k$$ (1,5 p). Condiția $f(2)=8-4+k=5$ dă $k=1$, deci $f(x)=x^3-x^2+1$ (0,5 p). Verificare: $f^{\prime }(x)=3x^2-2x$ ✓ și $f(2)=5$ ✓ (0,5 p).

b) (4 p) Funcția radical este continuă pe $[16,17]$ și derivabilă pe $(16,17)$, ambele intervale fiind incluse în $(0,+\infty )$ (0,5 p). Prin teorema lui Lagrange există $c\in (16,17)$ cu $$\sqrt{17}-\sqrt{16}=\frac{1}{2\sqrt{c}}(17-16),\text{adica˘}\sqrt{17}-4=\frac{1}{2\sqrt{c}}$$ (1,5 p). Din $16<c<17$ rezultă $4<\sqrt{c}<\sqrt{17}$, deci, prin trecerea la invers, care schimbă sensul inegalităților (1 p), $$\frac{1}{2\sqrt{17}}<\frac{1}{2\sqrt{c}}<\frac{1}{8}.$$ Prin urmare $\frac{1}{2\sqrt{17}}<\sqrt{17}-4<\frac{1}{8}$ (0,5 p). Din marginea din dreapta, $\sqrt{17}<4+\frac{1}{8}=4,125$ (0,5 p). (Valoarea reală: $\sqrt{17}\approx 4,1231056$ — încadrarea este corectă și strânsă.)

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Funcția este derivabilă pe $(0,+\infty )$, ca sumă de funcții derivabile acolo, iar $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1-\sqrt{x}}{x}$$ (2 p). Pentru $x>1$ avem $\sqrt{x}>1$, deci numărătorul $1-\sqrt{x}$ este strict negativ, iar numitorul $x$ este strict pozitiv: $f^{\prime }(x)<0$ pe $(1,+\infty )$ (1,5 p). Cum $(1,+\infty )$ este interval, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange funcția este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ (0,5 p).

b) (4 p) Cu regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$$ pentru orice $x\ne 2$, numitorul fiind un pătrat strict pozitiv (1,5 p).

Cu toate acestea, $f$ nu este descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: pentru $0<3$ ar trebui să avem $f(0)>f(3)$, dar $$f(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\text{și}f(3)=\frac{4}{1}=4,$$ deci $f(0)<f(3)$ (1,5 p).

Nu există nicio contradicție: mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nu este interval, iar Consecința 2 a teoremei lui Lagrange se aplică numai pe intervale. Formularea corectă este: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,2)$ și strict descrescătoare pe $(2,+\infty )$, iar între cele două ramuri nu se compară nimic (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și $$f^{\prime }(x)=3x^2+12x+12=3\left(x^2+4x+4\right)=3(x+2{)}^2$$ (2 p). Fiind de trei ori un pătrat, $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate numai în $x=-2$ (1 p).

b) (3 p) Din $f^{\prime }\ge 0$ pe intervalul $\mathbb{R}$, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange în varianta nestrictă, $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Creșterea este chiar strictă: dacă ar exista $x_1<x_2$ cu $f(x_1)=f(x_2)$, atunci $f$, fiind crescătoare și luând valori egale la capete, ar fi constantă pe $[x_1,x_2]$, deci — prin Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, citită invers — derivata ei ar fi identic nulă pe acest interval, ceea ce e imposibil, pentru că $f^{\prime }$ se anulează numai în punctul izolat $-2$ (1 p).

O funcție strict crescătoare este injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată (0,5 p). Existența vine din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare: $f$ este continuă, $f(-1)=-1+6-12+5=-2<0$ și $f(0)=5>0$, deci ecuația are o soluție în $(-1,0)$ (0,75 p). În concluzie, ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală (0,25 p). (Numeric: $\approx -0,5577504$.)

c) (2 p) Din punctul a), $f^{\prime }(-2)=0$, deci $-2$ este punct critic (0,5 p). Studiem diferența, cu $f(-2)=-8+24-24+5=-3$ (0,5 p): $$f(x)-f(-2)=x^3+6x^2+12x+8=(x+2{)}^3.$$ Expresia $(x+2{)}^3$ este negativă la stânga lui $-2$ și pozitivă la dreapta, deci în orice vecinătate a lui $-2$ funcția ia și valori mai mici, și valori mai mari decât $f(-2)$: punctul nu este de extrem (1 p). Este exact situația din reciproca falsă a teoremei lui Fermat — un punct critic rămâne un simplu candidat.