Test: volume de rotație

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Aplicații ale integralei definite

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă partea a treia a unității — volumele corpurilor de rotație — și verifică cinci lucruri. Primul: formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ și sensul integrandului, care este aria discului de secțiune, $\pi f^2(x)$; de aici vine pătratul, iar de aici vine și deosebirea de $\pi {\left({\int }_a^{b}f\right)}^2$, care nu este niciodată egal cu el. Al doilea: cei patru pași ai volumului de rotație — verificarea ipotezelor, scrierea formulei cu limitele, simplificarea lui $f^2$, formula Leibniz–Newton cu $\pi$ dat factor. Al treilea: deducerea formulelor de gimnaziu pentru cilindru, con, trunchi de con și sferă, fiecare cu funcția ei generatoare, plus calota sferică pe același integrand. Al patrulea: corpurile mărginite de două grafice, cu formula-consecință $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2-g^2\right)dx$, obținută ca diferență de volume, împreună cu cele două condiții ale ei, $f\ge g$ și $g\ge 0$. Al cincilea: modelarea unui obiect real, în cele trei etape — așezarea obiectului cu axa pe $Ox$, determinarea funcției-profil din valorile de la capete, verificarea modelului înainte de integrare.

Testul cere de la elev un tip anume de redactare, pe care baremele examenului îl punctează literal: ipotezele scrise ($f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$) → formula cu limitele → pătratul simplificat → calculul, cu $\pi$ dat factor → rezultatul, cu unitate cubică atunci când enunțul dă unități. Prima propoziție, cea cu ipotezele, este punctată separat; un rezultat corect fără ea nu ia punctajul întreg.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare volum se cere pătratul funcției scris explicit, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rezultat se controlează cu una dintre cele trei verificări ale lecției: controlul cutiei, controlul dimensional, controlul semnului și al factorului $\pi$. Se depunctează: uitarea pătratului, ridicarea la pătrat a integralei în loc de a funcției, pierderea factorului $\pi$, scăderea funcțiilor în loc de scăderea pătratelor, integrarea sferei pe $[0,r]$ în loc de $[-r,r]$ și lipsa unității cubice la problemele cu poveste.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe sensul integrandului și pe modelarea profilului.
• Formule de reținut: Volumul corpului de rotație: pentru $f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$, $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$, integrandul fiind aria discului de secțiune. Cei patru pași ai volumului de rotație: ipotezele $\to$ formula cu limitele $\to$ simplificarea lui $f^2$ $\to$ Leibniz–Newton cu $\pi$ dat factor. Corpul dintre două grafice (consecință, prin diferență de volume), pentru $f\ge g\ge 0$: $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$; integrandul este aria coroanei circulare, deci scăderea se face între pătrate. Corpurile rotunde: cilindrul din $f(x)=r$ pe $[0,h]$, cu $\pi r^{2}h$; conul din $f(x)=\frac{r}{h}x$ pe $[0,h]$, cu $\frac{\pi r^{2}h}{3}$; trunchiul de con din $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$ pe $[0,h]$, cu $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$; sfera din $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$, cu $\frac{4\pi r^3}{3}$; calota sferică de înălțime $h$, pe intervalul $[r-h,r]$, cu $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$. Elipsoidul de rotație din $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, rotit în jurul axei $Ox$: $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$, cu $a$ semiaxa de pe axa de rotație. Paraboloidul din $y^2=2px$ pe $[0,h]$: $\pi p{h}^2$, adică jumătate din cilindrul circumscris. Controlul cutiei: dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $\pi m^2(b-a)\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi M^2(b-a)$. Cele trei etape ale modelării unui profil: obiectul așezat cu axa pe $Ox$ $\to$ funcția determinată din valorile de la capete $\to$ modelul verificat înainte de integrare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Formula volumului și corpurile rotunde

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este: A. ${\int }_a^b{f}^2(x)dx$; B. $\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$; C. $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; D. $\pi {\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2$.

b) Expresia $\pi f^2(x)$ de sub integrală reprezintă: A. lungimea graficului deasupra lui $x$; B. aria discului de secțiune obținut tăind corpul cu un plan perpendicular pe axa $Ox$ în punctul de abscisă $x$; C. aria subgraficului lui $f$; D. aria laterală a corpului.

c) Corpul obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,h]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{r}{h}x$, este: A. un cilindru de rază $r$ și înălțime $h$; B. un con de rază $r$ și înălțime $h$; C. un trunchi de con; D. o sferă de rază $r$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Pentru orice funcție continuă și pozitivă $f$ pe $[a,b]$ are loc egalitatea $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx=\pi {\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2$." b) „Volumul corpului obținut prin rotația regiunii dintre graficele funcțiilor $f$ și $g$, cu $f\ge g\ge 0$, este $\pi {\int }_a^b(f(x)-g(x){)}^{2}dx$." c) „Formula volumului cere $f(x)>0$ pe tot intervalul, deci nu se poate aplica funcțiilor care se anulează într-un capăt." d) „Volumul sferei de rază $r$ este $\pi {\int }_0^r\left(r^2-x^2\right)dx$."

Itemul 3 (6 puncte)

Parcurgând cei patru pași ai volumului de rotație, calculează $\mathcal{V}(C_f)$ pentru fiecare funcție (câte 2 puncte): a) $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$; b) $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$; c) $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

Itemul 4 (7 puncte)

Un trunchi de con circular drept are razele bazelor $2$ și $5$ și înălțimea $6$.

a) Așază trunchiul cu axa pe $Ox$ și cu baza mică în planul $x=0$, apoi scrie funcția generatoare și verifică valorile ei în capetele intervalului. (2 p) b) Calculează volumul trunchiului cu integrala definită. (3 p) c) Verifică rezultatul cu formula din gimnaziu $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$ și arată că, pentru $R=r$, aceeași formulă redă volumul cilindrului. (2 p)

Partea a II-a – Sfera, corpurile cu gaură și conicele rotite

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră sfera de rază $4$, obținută prin rotația în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[-4,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{16-x^2}$.

a) Arată că $f$ îndeplinește ipotezele formulei volumului și calculează volumul sferei. (3 p) b) Calculează volumul calotei sferice de înălțime $1$ decupate din această sferă, integrând pe intervalul potrivit. (3 p) c) Verifică rezultatul de la subpunctul b) cu formula $\frac{\pi h^2(3r-h)}{3}$ și compară volumul calotei cu volumul sferei. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-x$ și $g(x)=2$, iar corpul studiat se obține prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii cuprinse între graficele lor.

a) Verifică cele două condiții ale formulei, $f\ge g$ și $g\ge 0$, pe intervalul $[0,2]$. (2 p) b) Calculează volumul corpului, folosind formula-consecință $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx$. (4 p) c) Calculează $\pi {\int }_0^2(f(x)-g(x){)}^{2}dx$ și explică de ce cele două numere sunt diferite. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră elipsa de ecuație $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$, a cărei jumătate de sus se rotește în jurul axei $Ox$.

a) Scrie funcția generatoare a corpului și intervalul pe care se integrează. (2 p) b) Calculează volumul elipsoidului de rotație obținut. (3 p) c) Verifică rezultatul cu formula $\frac{4\pi a{b}^2}{3}$ și arată că, pentru $a=b$, ea redă volumul sferei. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) Oglinda unui reflector se obține prin rotirea în jurul axei $Ox$ a porțiunii din parabola de ecuație $y^2=8x$ cuprinse între $x=0$ și $x=5$, unitatea fiind centimetrul.

a) Determină parametrul $p$ al parabolei și scrie funcția generatoare. (2 p) b) Calculează volumul paraboloidului de rotație obținut, cu unitatea de măsură scrisă la rezultat. (3 p) c) Arată că volumul obținut este exact jumătate din volumul cilindrului circumscris corpului. (2 p)

Partea a III-a – Modelarea unui obiect real și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

(Problemă aplicată.) Un butoi are lungimea de $6$ decimetri, raza de $4$ decimetri la mijloc și raza de $3$ decimetri la capete, iar profilul lui este arc de parabolă.

a) Parcurge cele trei etape ale modelării: așază butoiul în reper, determină funcția-profil de forma $f(x)=c-k{x}^2$ și verifică modelul în punctele-cheie. (4 p) b) Calculează volumul butoiului, cu unitatea de măsură scrisă la rezultat. (4 p) c) Controlează rezultatul, încadrându-l între volumele cilindrilor de rază $3$, respectiv $4$, și de aceeași lungime. (2 p)

Itemul 10 (10 puncte)

(Problemă aplicată.) Un rezervor sferic cu raza de $5$ metri conține apă până la înălțimea de $3$ metri, măsurată de la fundul lui.

a) Arată că apa umple o calotă sferică, așază sfera cu centrul în origine și precizează intervalul de integrare. (3 p) b) Calculează volumul apei din rezervor, cu integrala definită. (4 p) c) Exprimă rezultatul în litri și calculează ce parte din volumul întregului rezervor reprezintă el. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x+1}}$.

a) Arătați că funcția $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,2]$ și calculați aria subgraficului ${\Gamma }_f$. (5 p) b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f$. (5 p) c) Verificați volumul obținut cu controlul cutiei și arătați că $\mathcal{V}(C_f)>\frac{\pi }{2}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Corpul este un teanc de discuri, iar discul din dreptul abscisei $x$ are raza $f(x)$ și aria $\pi f^2(x)$; volumul se obține integrând aria secțiunii. Varianta A pierde factorul $\pi$, B pierde pătratul, iar D ridică la pătrat integrala, nu funcția.

b) B. Punctul de pe grafic aflat la distanța $f(x)$ de axă descrie, rotindu-se, un cerc de rază $f(x)$, iar segmentul de la axă până la grafic mătură tot discul; aria lui este $\pi f^2(x)$. De aici vine pătratul din formulă — din aria cercului, nu dintr-o manevră de calcul.

c) B. Subgraficul este triunghiul dreptunghic cu vârfurile $(0,0)$, $(h,0)$ și $(h,r)$, iar prin rotație el descrie conul cu vârful în origine, cu raza bazei $r$ și înălțimea $h$; panta dreptei este $\frac{r}{h}$, cu $h$ înălțimea, nu generatoarea.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Pătratul se aplică funcției, sub semnul de integrare. Contraexemplu: pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$, membrul stâng este $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{\pi }{3}$, iar cel drept $\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}$.

b) F. Secțiunea corpului este o coroană circulară de raze $f(x)$ și $g(x)$, cu aria $\pi f^2(x)-\pi g^2(x)$, deci scăderea se face între pătrate. Contraexemplu: pentru $f=2$, $g=1$ pe $[0,1]$, formula corectă dă $3\pi$, iar cea propusă $\pi$.

c) F. Formula cere $f(x)\ge 0$, nu $f(x)>0$. Dacă $f$ se anulează într-un capăt, corpul se termină acolo într-un vârf, ca la con, sau într-un punct, ca la sferă, iar demonstrația funcționează neschimbat, pentru că nicăieri nu se împarte la $f$.

d) F. Pe $[0,r]$ se obține doar semisfera, adică $\frac{2\pi r^3}{3}$. Sfera corespunde intervalului $[-r,r]$, pentru că funcția generatoare $\sqrt{r^2-x^2}$ este definită pe tot acest interval, iar volumul ei este $\frac{4\pi r^3}{3}$.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Funcția constantă este continuă și $f(x)=3>0$ pe $[0,4]$; $f^2(x)=9$, deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^{4}9dx=9\pi x{|}_0^4=36\pi .$$ Corpul este cilindrul de rază $3$ și înălțime $4$, iar $\pi r^{2}h=\pi \cdot 9\cdot 4=36\pi$ confirmă.

b) Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,2]$; $f^2(x)=x^4$, deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2{x}^{4}dx=\pi \cdot \frac{x^5}{5}{|}_0^2=\frac{32\pi }{5}\approx 20,11.$$

c) Radicalul de ordinul al treilea este definit și continuu pe $[0,8]$, cu valori pozitive acolo; ridicarea la pătrat dă $f^2(x)=x^{2/3}$, deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^8{x}^{2/3}dx=\pi \cdot \frac{3}{5}{x}^{5/3}{|}_0^8=\pi \cdot \frac{3}{5}\cdot 32=\frac{96\pi }{5}\approx 60,32.$$

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Generatoarea unește punctul $(0,2)$ cu punctul $(6,5)$, deci are panta $\frac{5-2}{6}=\frac{1}{2}$ și funcția generatoare este $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2+\frac{x}{2}$ (1 p). Verificare: $f(0)=2$, raza bazei mici, și $f(6)=2+3=5$, raza bazei mari — exact valorile din enunț (1 p).

b) (3 p) Funcția este continuă și strict pozitivă pe $[0,6]$, deci se aplică formula (0,5 p). Dezvoltăm pătratul, $f^2(x)=4+2x+\frac{x^2}{4}$ (0,5 p): $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^6\left(4+2x+\frac{x^2}{4}\right)dx=\pi \left(4x+x^2+\frac{x^3}{12}\right){|}_0^6$$ (1 p) $$=\pi \left(24+36+18\right)=78\pi \approx 245,04.$$ (1 p)

c) (2 p) Formula din gimnaziu, cu $R=5$, $r=2$, $h=6$, dă $\frac{\pi \cdot 6}{3}\left(25+10+4\right)=2\pi \cdot 39=78\pi$, adică aceeași valoare (1 p). Pentru $R=r$ formula devine $\frac{\pi h}{3}\left(r^2+r^2+r^2\right)=\pi r^{2}h$, adică volumul cilindrului — cazul-limită în care trunchiul are bazele egale (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Pentru $x\in [-4,4]$ avem $16-x^2\ge 0$, deci $f$ este bine definită; ea este continuă, ca o compunere de funcții continue, și ia valori pozitive, anulându-se doar în capete, ceea ce este permis (1 p). Ridicarea la pătrat desființează radicalul, $f^2(x)=16-x^2$ (0,5 p), deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-4}^4\left(16-x^2\right)dx=\pi \left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-4}^4$$ (1 p) $$=\pi \left(\frac{128}{3}+\frac{128}{3}\right)=\frac{256\pi }{3}\approx 268,08.$$ (0,5 p)

b) (3 p) Calota de înălțime $h=1$ corespunde intervalului $[r-h,r]=[3,4]$ (1 p), iar integrandul rămâne același: $${\mathcal{V}}_{\text{calota˘}}=\pi {\int }_3^4\left(16-x^2\right)dx=\pi \left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_3^4$$ (1 p) $$=\pi \left(64-\frac{64}{3}\right)-\pi \left(48-9\right)=\pi \left(\frac{128}{3}-39\right)=\frac{11\pi }{3}\approx 11,52.$$ (1 p)

c) (2 p) Formula calotei, cu $r=4$ și $h=1$, dă $\frac{\pi \cdot 1\cdot (12-1)}{3}=\frac{11\pi }{3}$, adică aceeași valoare (1 p). Raportul dintre calotă și sferă este $\frac{11\pi /3}{256\pi /3}=\frac{11}{256}\approx 4,3\%$: calota este foarte mică față de sferă, deși înălțimea ei este a opta parte din diametru (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (2 p) Pe $[0,2]$ avem $4-x\ge 2$, pentru că $x\le 2$, deci $f(x)\ge g(x)$, cu egalitate numai în capătul $x=2$ (1 p). În plus $g(x)=2>0$ pe tot intervalul, deci ambele condiții ale formulei sunt îndeplinite, iar gaura străbate corpul dintr-un capăt în celălalt (1 p).

b) (4 p) Secțiunea corpului cu un plan perpendicular pe axă este coroana circulară de raze $f(x)$ și $g(x)$, cu aria $\pi f^2(x)-\pi g^2(x)$; formula se obține ca diferență a volumelor celor două corpuri de rotație (1 p). Cu $f^2(x)=(4-x{)}^2$ și $g^2(x)=4$ (0,5 p), $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left((4-x{)}^2-4\right)dx=\pi \left(-\frac{(4-x{)}^3}{3}-4x\right){|}_0^2$$ (1,5 p) $$=\pi \left(-\frac{8}{3}-8\right)-\pi \left(-\frac{64}{3}\right)=\pi \left(\frac{56}{3}-8\right)=\frac{32\pi }{3}\approx 33,51.$$ (1 p)

c) (2 p) Diferența funcțiilor este $f(x)-g(x)=2-x$, deci $$\pi {\int }_0^2(2-x{)}^{2}dx=\pi \cdot \left(-\frac{(2-x{)}^3}{3}\right){|}_0^2=\frac{8\pi }{3},$$ (1 p) un număr de patru ori mai mic decât volumul corect. Explicația: aria coroanei este diferența ariilor celor două discuri, $\pi f^2-\pi g^2$, nu aria unui disc de rază $f-g$; pătratul diferenței și diferența pătratelor coincid numai când $g\equiv 0$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Din ecuația elipsei scoatem $y^2=9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)=\frac{9}{16}\left(16-x^2\right)$ (1 p), deci jumătatea de sus a elipsei este graficul funcției $f:[-4,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{4}\sqrt{16-x^2}$, continuă și pozitivă (1 p).

b) (3 p) Ridicarea la pătrat desființează radicalul: $f^2(x)=\frac{9}{16}\left(16-x^2\right)$ (1 p), deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-4}^4\frac{9}{16}\left(16-x^2\right)dx=\frac{9\pi }{16}\left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-4}^4$$ (1 p) $$=\frac{9\pi }{16}\cdot \frac{256}{3}=48\pi \approx 150,80.$$ (1 p)

c) (2 p) Semiaxa de pe axa de rotație este $a=4$, iar raza secțiunii maxime este $b=3$, deci formula dă $\frac{4\pi \cdot 4\cdot 9}{3}=48\pi$, aceeași valoare (1 p). Pentru $a=b=r$ elipsa devine cerc, iar formula devine $\frac{4\pi r^3}{3}$, adică volumul sferei — controlul de coerență al formulei (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Ecuația canonică a parabolei este $y^2=2px$; din $2p=8$ rezultă $p=4$ (1 p). Ramura superioară este graficul funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{8x}$, continuă și pozitivă, care se anulează doar în vârf (1 p).

b) (3 p) Ridicarea la pătrat dă $f^2(x)=8x$ (1 p), deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{5}8xdx=8\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^5=100\pi$$ (1 p) $$\approx 314,16{\text{cm}}^3.$$ Unitatea de pe axe fiind centimetrul, volumul se măsoară în centimetri cubi (1 p).

c) (2 p) Raza secțiunii celei mai largi este $f(5)=\sqrt{40}$, deci $R^2=40$, iar cilindrul circumscris, de rază $R$ și înălțime $5$, are volumul $\pi \cdot 40\cdot 5=200\pi$ (1 p). Raportul este $\frac{100\pi }{200\pi }=\frac{1}{2}$, adică paraboloidul umple exact jumătate din cilindrul în care se înscrie (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) Etapa 1. Așezăm butoiul culcat, cu axa de simetrie pe $Ox$ și cu originea la mijlocul lui; lungimea fiind $6$, intervalul este $[-3,3]$ (1,5 p). Etapa 2. Profilul bombat cere o parabolă cu vârful pe axa $Oy$, deci $f(x)=c-k{x}^2$; din $f(0)=4$ obținem $c=4$, iar din $f(3)=3$ obținem $4-9k=3$, deci $k=\frac{1}{9}$ (1,5 p). Modelul este $$f(x)=4-\frac{x^2}{9},x\in [-3,3].$$ Etapa 3. Verificare: $f(0)=4$ și $f(\pm 3)=4-1=3$, exact valorile din enunț (1 p).

b) (4 p) Dezvoltăm pătratul: $f^2(x)=16-\frac{8x^2}{9}+\frac{x^4}{81}$ (1 p), deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-3}^3\left(16-\frac{8x^2}{9}+\frac{x^4}{81}\right)dx=\pi \left(16x-\frac{8x^3}{27}+\frac{x^5}{405}\right){|}_{-3}^3.$$ (1,5 p) Integrandul fiind o funcție pară, valoarea este dublul celei de pe $[0,3]$ (0,5 p): $$\mathcal{V}=2\pi \left(48-8+\frac{3}{5}\right)=2\pi \cdot \frac{203}{5}=\frac{406\pi }{5}\approx 255,1{\text{dm}}^3,$$ adică aproximativ $255$ de litri (1 p).

c) (2 p) Pe $[-3,3]$ avem $3\le f(x)\le 4$, deci controlul cutiei dă $\pi \cdot 9\cdot 6\le \mathcal{V}\le \pi \cdot 16\cdot 6$, adică $54\pi \le \mathcal{V}\le 96\pi$ (1 p). Cum $\frac{406}{5}=81,2$, rezultatul se află într-adevăr între cele două margini, mai aproape de cea mare — potrivit pentru un profil bombat (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Suprafața apei este un plan perpendicular pe axa verticală a sferei, deci apa umple exact o calotă sferică de înălțime $h=3$ metri (1 p). Așezăm sfera cu centrul în origine și cu axa pe $Ox$; funcția generatoare este $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ pe $[-5,5]$ (1 p), iar calota corespunde intervalului $[r-h,r]=[2,5]$ (1 p).

b) (4 p) Ridicarea la pătrat dă $f^2(x)=25-x^2$ (1 p), deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_2^5\left(25-x^2\right)dx=\pi \left(25x-\frac{x^3}{3}\right){|}_2^5$$ (1,5 p) $$=\pi \left(125-\frac{125}{3}\right)-\pi \left(50-\frac{8}{3}\right)=\pi \left(\frac{250}{3}-\frac{142}{3}\right)=36\pi {\text{m}}^3.$$ (1 p) Formula calotei confirmă: $\frac{\pi \cdot 9\cdot (15-3)}{3}=36\pi$ (0,5 p).

c) (3 p) Cum $1$ metru cub înseamnă $1000$ de litri, volumul apei este $36000\pi \approx 113097$ litri (1,5 p). Rezervorul întreg are volumul $\frac{4\pi \cdot 125}{3}=\frac{500\pi }{3}$ metri cubi, deci raportul este $$\frac{36\pi }{500\pi /3}=\frac{108}{500}=0,216,$$ adică apa ocupă $21,6\%$ din rezervor, deși nivelul ei este $30\%$ din diametru — firesc, pentru că partea de jos a sferei este îngustă (1,5 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Pentru $x\in [0,2]$ avem $4x+1\ge 1>0$, deci radicalul este definit și strict pozitiv; funcția $f$ este continuă, ca un cât de funcții continue cu numitorul nenul, și strict pozitivă pe $[0,2]$ (1,5 p). O primitivă a lui $f$ este $x\mapsto \frac{\sqrt{4x+1}}{2}$, pentru că ${\left(\frac{\sqrt{4x+1}}{2}\right)}^{\prime }=\frac{4}{4\sqrt{4x+1}}=f(x)$ (1,5 p). Prin urmare $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx=\frac{\sqrt{4x+1}}{2}{|}_0^2$$ (1 p) $$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.$$ (1 p)

b) (5 p) Funcția fiind continuă și pozitivă pe $[0,2]$, se aplică formula volumului (0,5 p). Ridicarea la pătrat desființează radicalul: $f^2(x)=\frac{1}{4x+1}$ (1,5 p), deci $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2\frac{1}{4x+1}dx=\pi \cdot \frac{1}{4}\ln |4x+1|{|}_0^2$$ (1,5 p) $$=\frac{\pi }{4}(\ln 9-\ln 1)=\frac{\pi }{4}\ln 9=\frac{\pi }{2}\ln 3\approx 1,726.$$ (1,5 p)

c) (5 p) Funcția este strict descrescătoare pe $[0,2]$, pentru că numitorul crește, deci $f(2)\le f(x)\le f(0)$, adică $\frac{1}{3}\le f(x)\le 1$ (1,5 p). Controlul cutiei dă atunci $$\pi \cdot \frac{1}{9}\cdot 2\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi \cdot 1\cdot 2,\text{adica˘}\frac{2\pi }{9}\le \frac{\pi }{2}\ln 3\le 2\pi ,$$ (1,5 p) iar $\frac{2}{9}\approx 0,222<\frac{1}{2}\ln 3\approx 0,549<2$, deci rezultatul trece controlul (1 p). În sfârșit, $\mathcal{V}(C_f)>\frac{\pi }{2}$ este echivalent cu $\ln 3>1$, adică $3>e$, inegalitate adevărată, pentru că $e\approx 2,718$ (1 p).