Formule: Statistică matematică

Cum rezumi un set de date: medie, mediană, cuartile, amplitudine și abaterea standard. 10 formule, clasa 10.

Media aritmetică a unui set de date — clasa 10

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}

$x_{1}, \dots, x_{n}$ sunt datele, $n$ este volumul setului (câte date sunt), iar $\overset{x}{ˉ}$ (citit „x barat”) este media lor. A doua formă se folosește când datele vin într-un tabel de frecvențe: $n_{i}$ este frecvența absolută a valorii $x_{i}$ , iar $n = \sum n_{i}$ . Media se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare, iar suma abaterilor față de ea este zero: $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ . Capcană: media este sensibilă la valorile extreme — una singură, foarte mare, o trage după ea; de aceea se citește împreună cu mediana.

Exemplu: Notele unei clase: $7$ apare de $2$ ori, $8$ de $3$ ori, $9$ de $4$ ori, iar $10$ o dată. Atunci $n = 10$ , suma este $7 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1 = 84$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{84}{10} = 8, 4$ . • Atenție la numitor: se împarte la $10$ (câte note sunt), nu la $4$ (câte valori distincte).

Media aritmetică ponderată — clasa 10

\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots + p _{n} x _{n}}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{n}}

$x_{i}$ sunt valorile, iar $p_{i}$ sunt ponderile lor, adică măsura în care fiecare valoare „cântărește” în rezultat. Este aceeași formulă ca la tabelul de frecvențe, cu ponderi în loc de frecvențe: așa se calculează media generală, mediile cu coeficienți sau media unei discipline cu teză. Capcană: la numitor stă suma ponderilor, nu numărul valorilor.

Exemplu: Media notelor din timpul semestrului valorează $3$ , iar teza $1$ : pentru $8$ și, respectiv, $9$ obții $\frac{3 \cdot 8 + 9}{4} = \frac{33}{4} = 8, 25$ . • Cu coeficienții $2$ și $3$ pentru notele $8$ și $9$ : $\frac{2 \cdot 8 + 3 \cdot 9}{5} = \frac{43}{5} = 8, 6$ .

Media datelor grupate pe clase — clasa 10

\overset{x}{ˉ} \approx \frac{\sum n _{i} c _{i}}{n}, c_{i} = \frac{cap a ˘ tul st a ˆ ng + cap a ˘ tul drept}{2}

Când datele sunt grupate pe intervale (clase), valorile exacte nu se mai cunosc, așa că fiecare dată este înlocuită cu centrul clasei ei, $c_{i}$ ; $n_{i}$ este frecvența clasei, iar $n = \sum n_{i}$ este volumul total. Rezultatul este o aproximare a mediei reale, nu media exactă — semnul $\approx$ nu este o figură de stil. Capcană: centrul clasei se calculează ca semisumă a capetelor intervalului, nu ca mijloc al frecvențelor.

Exemplu: Vârstele participanților: $[10, 20)$ cu $4$ persoane (centrul $15$ ), $[20, 30)$ cu $6$ persoane (centrul $25$ ), $[30, 40)$ cu $10$ persoane (centrul $35$ ). Atunci $n = 20$ și $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{15 \cdot 4 + 25 \cdot 6 + 35 \cdot 10}{20} = \frac{560}{20} = 28$ de ani.

Frecvența relativă — clasa 10

f_{i} = \frac{n _{i}}{n}, f_{i} % = \frac{n _{i}}{n} \cdot 100%

$n_{i}$ este frecvența absolută (de câte ori apare valoarea $x_{i}$ ), $n$ este numărul total de date, iar $f_{i}$ este frecvența relativă — partea din întreg pe care o reprezintă acea valoare. Se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent. Verificare obligatorie: $\sum f_{i} = 1$ , adică $\sum f_{i} % = 100%$ . De ce contează: frecvențele relative permit compararea a două seturi de mărimi diferite, lucru pe care frecvențele absolute nu îl pot face.

Exemplu: $12$ elevi din $40$ au ales înotul: $f = \frac{12}{40} = 0, 3 = 30%$ . • Într-o diagramă circulară, sectorul corespunzător are unghiul la centru $0, 3 \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .

Mediana unui set de date — clasa 10

Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}} (n impar), Q_{2} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2} (n par)

Mediana $Q_{2}$ este valoarea din mijlocul setului, după ce datele au fost ordonate crescător: jumătate dintre valori sunt sub ea, jumătate deasupra. Când $n$ este impar, mediana este chiar o valoare din set; când $n$ este par, ea este media aritmetică a celor două valori din mijloc și poate să nu apară printre date. Spre deosebire de medie, mediana este robustă la valorile extreme. Capcană: ordonarea crescătoare este obligatorie — fără ea, „mijlocul” nu înseamnă nimic.

Exemplu: Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ (aici $n = 7$ ): mediana este a patra valoare, deci $Q_{2} = 8$ . • Pentru $2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16$ (aici $n = 8$ ): $Q_{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5$ .

Cuartilele Q1 și Q3 — clasa 10

Q_{1} = mediana jum \overset{a}{˘} t \overset{a}{˘} ț ii inferioare, Q_{3} = mediana jum \overset{a}{˘} t \overset{a}{˘} ț ii superioare

După ordonarea datelor și aflarea medianei $Q_{2}$ , setul se rupe în două jumătăți: $Q_{1}$ este mediana jumătății de jos, iar $Q_{3}$ este mediana jumătății de sus. Regula esențială: când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; când $n$ este par, jumătățile sunt primele $\frac{n}{2}$ , respectiv ultimele $\frac{n}{2}$ valori. Cele cinci numere caracteristice, în ordine crescătoare, sunt $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $x_{m a x}$ — exact numerele din care se desenează un boxplot.

Exemplu: Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ : $Q_{2} = 8$ ; jumătatea de jos este $3, 5, 7$ , deci $Q_{1} = 5$ , iar jumătatea de sus este $9, 12, 15$ , deci $Q_{3} = 12$ . • Pentru $2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16$ : $Q_{1} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5$ și $Q_{3} = \frac{11 + 13}{2} = 12$ .

Amplitudinea unui set de date — clasa 10

A = x_{m a x} - x_{m i n}

$x_{m a x}$ este cea mai mare valoare din set, iar $x_{m i n}$ cea mai mică. Amplitudinea arată pe ce interval se întind datele și se exprimă în aceeași unitate de măsură ca ele. Este cel mai rapid indicator de împrăștiere, dar și cel mai fragil: folosește doar două valori din tot setul, deci o singură valoare extremă o poate umfla. Capcană: se calculează prin scădere, nu prin împărțire, și nu se confundă cu numărul de valori din set.

Exemplu: Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ : $A = 15 - 3 = 12$ . • Pentru $2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16$ : $A = 16 - 2 = 14$ .

Abaterea intercuartilică (IQR) — clasa 10

IQR = Q_{3} - Q_{1}

Abaterea intercuartilică măsoară cât de întinsă este jumătatea din mijloc a datelor, adică intervalul în care se află miezul setului — aproximativ $50%$ dintre valori. Cu cât este mai mică, cu atât setul este mai omogen. Spre deosebire de amplitudine, ea nu se lasă influențată de valorile extreme, pentru că ignoră sferturile de la capete. Capcană: nu confunda IQR cu amplitudinea; pe același set, IQR este întotdeauna cel mult egală cu amplitudinea.

Exemplu: Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ : $Q_{1} = 5$ și $Q_{3} = 12$ , deci $IQR = 12 - 5 = 7$ , față de o amplitudine de $12$ . • Pentru $2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16$ : $IQR = 12 - 4, 5 = 7, 5$ , față de o amplitudine de $14$ .

Valoarea modală (modul) — clasa 10

M o = valoarea cu cea mai mare frecven ț \overset{a}{˘}

Modul, notat $M o$ , este valoarea care apare cel mai des în set. Un set poate avea un singur mod, mai multe (când mai multe valori sunt la egalitate) sau niciunul (când toate valorile apar o singură dată). Este singurul indicator de tendință centrală care se poate afla și pentru date necifrice: culoarea preferată, mijlocul de transport folosit. La date grupate pe clase se vorbește despre clasa modală, cea cu frecvența cea mai mare. Capcană: modul este valoarea, nu frecvența ei.

Exemplu: Pentru notele $7, 8, 8, 9, 10, 8$ : valoarea $8$ apare de $3$ ori, deci $M o = 8$ (nu $3$ ). • Setul $2, 3, 3, 5, 5, 9$ are două moduri, $3$ și $5$ : este bimodal.

Abaterea standard: populație și eșantion — clasa 10

σ = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n} (popula ț ie), s = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1} (e ș antion)

Ambele măsoară cât de departe stau, în medie, valorile față de media $\overset{x}{ˉ}$ . Se folosește $σ$ (sigma) când setul de date este toată populația studiată (toți elevii clasei, toate zilele lunii) și $s$ când setul este doar un eșantion extras dintr-o populație mai mare; singura deosebire dintre formule este numitorul, $n$ față de $n - 1$ . Simbolurile nu se amestecă niciodată, iar pe aceleași date $s > σ$ . Rețeta: media, apoi abaterile, apoi pătratele lor, apoi media pătratelor, apoi radicalul. Capcană: abaterile se ridică la pătrat tocmai pentru că suma lor simplă este mereu $0$ ; iar rezultatul se exprimă în unitatea datelor — pătratul lui, $σ^{2}$ , se numește dispersie.

Exemplu: Setul $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ are $n = 8$ și $\overset{x}{ˉ} = 5$ . Suma pătratelor abaterilor este $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$ . Ca populație: $σ = \frac{32}{8} = 4 = 2$ . Ca eșantion: $s = \frac{32}{7} \approx 2, 14$ — mai mare, cum era de așteptat. ✓