Formule: Medii și statistică

Media aritmetică, media ponderată, media geometrică și indicatorii statistici de bază. 8 formule, clasele 5–7.

Media aritmetică — clasa 5
Media aritmetică ponderată — clasa 6
Media geometrică — clasa 7
Mediana unui set ordonat — clasa 6
Amplitudinea — clasa 6
Frecvența procentuală — clasa 6
Probabilitatea unui eveniment — clasa 6
Unghiul din diagrama circulară — clasa 7

Media aritmetică — clasa 5

m_{a} = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n}

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ sunt numerele date, iar $n$ arată câte numere avem. Adunăm toate numerele și împărțim suma la numărul lor — media arată valoarea pe care ar avea-o fiecare dacă totalul s-ar împărți egal. Capcană: împarte la câte numere sunt, nu mereu la $2$ !

Exemplu: Notele $7$ , $9$ și $10$ : suma este $7 + 9 + 10 = 26$ , apoi $m_{a} = \frac{26}{3} \approx 8, 67$ • pentru $4$ și $10$ : $m_{a} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Media aritmetică ponderată — clasa 6

m_{p} = \frac{a _{1} p _{1} + a _{2} p _{2} + \dots + a _{n} p _{n}}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{n}}

$a_{1}, \dots, a_{n}$ sunt valorile, iar $p_{1}, \dots, p_{n}$ sunt ponderile lor — de câte ori apare fiecare valoare sau cât de importantă este ea. Înmulțim fiecare valoare cu ponderea ei, adunăm totul, apoi împărțim la suma ponderilor. Capcană: la numitor stă suma ponderilor, nu numărul valorilor distincte!

Exemplu: Notele $7$ , $7$ și $10$ : valoarea $7$ are ponderea $2$ , iar $10$ are ponderea $1$ , deci $m_{p} = \frac{7 \cdot 2 + 10 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{24}{3} = 8$ .

Media geometrică — clasa 7

m_{g} = a \cdot b (a, b \geq 0)

$a$ și $b$ trebuie să fie numere pozitive ( $a, b \geq 0$ ), altfel radicalul nu există. Media geometrică (numită și medie proporțională) este numărul $m_{g}$ pentru care $\frac{a}{m _{g}} = \frac{m _{g}}{b}$ și apare des la teorema înălțimii și teorema catetei. Capcană: nu o confunda cu media aritmetică — întotdeauna $m_{g} \leq m_{a}$ .

Exemplu: $m_{g} (2; 8)$ : produsul este $2 \cdot 8 = 16$ , apoi $m_{g} = 16 = 4$ . Comparație: media aritmetică $\frac{2 + 8}{2} = 5$ este, într-adevăr, mai mare decât $4$ .

Mediana unui set ordonat — clasa 6

valoarea din mijloc (sau media celor dou \overset{a}{˘} din mijloc)

Mediana este valoarea aflată exact la mijloc după ce ordonăm numerele crescător: jumătate dintre valori sunt sub ea și jumătate deasupra. Dacă avem un număr par de valori, mediana este media aritmetică a celor două din mijloc. Capcană: ordonează întâi numerele — fără ordonare, «mijlocul» nu înseamnă nimic!

Exemplu: Pentru $2, 5, 7, 9, 11$ ( $5$ valori): mijlocul este a treia valoare, deci mediana $= 7$ • pentru $4, 6, 10, 12$ ( $4$ valori): mediana $= \frac{6 + 10}{2} = 8$

Amplitudinea — clasa 6

A = max - min

$max$ este cea mai mare valoare din set, iar $min$ este cea mai mică. Amplitudinea măsoară cât de «împrăștiate» sunt datele: cu cât este mai mare, cu atât valorile sunt mai depărtate între ele. Atenție: se calculează prin scădere, nu prin împărțire.

Exemplu: Pentru $3, 8, 15$ : $max = 15$ și $min = 3$ , deci $A = 15 - 3 = 12$ .

Frecvența procentuală — clasa 6

f % = \frac{num a ˘ rul de apari ț ii}{total} \cdot 100%

«Numărul de apariții» arată de câte ori apare valoarea care ne interesează, iar «total» este numărul tuturor datelor. Împărțim și înmulțim cu $100%$ ca să vedem ce parte din întreg reprezintă — exact ca la aflarea unui procent. Verificare utilă: frecvențele procentuale ale tuturor valorilor trebuie să adune $100%$ .

Exemplu: $12$ elevi din $40$ au luat nota $10$ : $f % = \frac{12}{40} \cdot 100% = \frac{3}{10} \cdot 100% = 30%$ .

Probabilitatea unui eveniment — clasa 6

P = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}

«Cazurile favorabile» sunt rezultatele care ne convin, iar «cazurile posibile» sunt toate rezultatele care pot apărea, la fel de probabile. $P$ este mereu între $0$ (eveniment imposibil) și $1$ (eveniment sigur) și se poate scrie și ca procent. Capcană: numără toate cazurile posibile — la un zar sunt $6$ , indiferent câte sunt favorabile!

Exemplu: Aruncăm un zar. Fețele cu număr par sunt $2, 4, 6$ — adică $3$ cazuri favorabile din $6$ posibile: $P (par) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50%$ .

Unghiul din diagrama circulară — clasa 7

u = \frac{partea}{total} \cdot 36 0^{\circ}

$u$ este unghiul la centru al sectorului, «partea» este categoria reprezentată, iar «total» este suma tuturor datelor. Cercul întreg are $36 0^{\circ}$ și corespunde întregului ( $100%$ ), deci fiecare categorie primește o felie proporțională cu ea. Verificare utilă: unghiurile tuturor sectoarelor trebuie să adune $36 0^{\circ}$ .

Exemplu: $10$ elevi din $40$ preferă înotul: $u = \frac{10}{40} \cdot 36 0^{\circ} = \frac{1}{4} \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ — adică exact $25%$ din cerc.