Egalitatea, adunarea și scăderea matricelor: pe scurt

Două matrice sunt egale dacă au același format și elemente egale pe fiecare poziție. Cele două condiții se verifică în această ordine: dacă formatele diferă, discuția se încheie acolo. Consecința folosită în aproape toate problemele: o egalitate între matrice de tipul $m\times n$ ascunde $m\cdot n$ egalități între numere, deci este o unealtă de determinare a parametrilor.

Suma și diferența se calculează element cu element: $(A\pm B{)}_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$. Operațiile există numai pentru matrice de același tip — $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ nu este o operație greșită, ci una inexistentă. Fiecare căsuță se calculează independent, iar rezultatul păstrează formatul termenilor.

Adunarea are patru proprietăți: este comutativă și asociativă, are elementul neutru $O_{m,n}$ (atenție la format: pentru o matrice $2\times 3$ neutrul este $O_{2,3}$, nu $O_2$) și, pentru fiecare $A$, opusa $-A=(-a_{ij})$, cu $A+(-A)=O_{m,n}$. De aici scăderea devine $A-B=A+(-B)$ și regula de simplificare: din $A+B=A+C$ rezultă $B=C$. Scăderea nu este comutativă: $B-A=-(A-B)$.

Ecuația $X+A=B$ are soluția unică $X=B-A$, verificată prin înlocuire. Transpusa se distribuie: ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 2& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -6& 7\end{array}\right)$. Matricea $A-B$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 7\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-4& 9\\ -8& 7\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ 8& -7\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ -4& -7\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\left(\begin{array}{cc}4& -9\\ 8& -7\end{array}\right)$

   Scădem element cu element, cu paranteza scrisă explicit: $3-(-1)=4$, $-5-4=-9$, $2-(-6)=8$, $0-7=-7$. Varianta a) este $A+B$, varianta b) este $B-A=-(A-B)$, iar varianta d) conține greșeala clasică $2-6$ în loc de $2-(-6)$.

2. Fie $A\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{R})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{R})$. Care dintre următoarele operații are sens?

   • a) $A+B$
   • b) $A-B$
   • c) $A+{}^{t}A$
   • d) ${}^{t}A+B$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) ${}^{t}A+B$

   Adunarea cere același format. Cum $A$ este de tip $3\times 5$, iar $B$ de tip $5\times 3$, primele două operații nu există. La fel $A+{}^{t}A$, pentru că ${}^{t}A$ este de tip $5\times 3$. În schimb ${}^{t}A$ și $B$ sunt amândouă din ${\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{R})$, deci suma lor există.

3. Soluția ecuației $X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 3& -6\end{array}\right)$, este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ -2& -7\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 2& 7\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 8& -5\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}-6& -3\\ -2& -5\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ -2& -7\end{array}\right)$

   Adunăm $-A$ în ambii membri și obținem $X=B-A$: $-4-2=-6$, $0-(-3)=3$, $3-5=-2$, $-6-1=-7$. Varianta b) este $A-B$ (ordinea inversată), iar varianta c) este $A+B$. Verificare: $X+A=B$.