Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor

O firmă de curierat își notează coletele livrate într-un tablou: pe linii orașele, pe coloane tipurile de colet. La sfârșitul lui ianuarie are un tablou, la sfârșitul lui februarie altul, cu aceeași formă. Întrebarea contabilului se pune în fiecare firmă din lume: câte colete s-au livrat în cele două luni la un loc? Răspunsul se vede din prima — se adună căsuță cu căsuță — dar nimeni nu a definit până acum ce înseamnă „adunarea a două tablouri", iar o operație nedefinită nu are voie să fie folosită.

Lecția definește prima operație cu matrice, dar începe cu o întrebare și mai elementară: când spunem despre două matrice că sunt aceeași matrice? Fără un răspuns precis, nici rezultatul unui calcul nu s-ar putea scrie corect.

Ce vei învăța

• Vei ști când sunt egale două matrice și de ce o egalitate de tablouri înseamnă $m\cdot n$ egalități de numere.
• Vei ști să determini parametri necunoscuți dintr-o egalitate de matrice, transformând-o în sistem.
• Vei ști să aduni și să scazi două matrice de același tip și să explici de ce operația cere formate identice.
• Vei ști cele patru proprietăți ale adunării, matricea opusă $-A$ și rolul de element neutru al matricei nule $O_{m,n}$.
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $X+A=B$ și să verifici rezultatul prin înlocuire.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă semnul egal între două tablouri

În Tablouri de date și noțiunea de matrice ai văzut că o matrice este determinată de numărul aflat în fiecare poziție. De aici iese criteriul de egalitate. Privește perechea

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& 0\end{array}\right).$$

Tablourile conțin exact aceleași patru numere, dar $a_{12}=5$, în timp ce $b_{12}=-1$: pe poziția „linia 1, coloana 2" scrie altceva, deci matricele sunt diferite. Iar perechea $C=\left(\begin{array}{cc}3& 7\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)$ nici nu se poate compara element cu element: formatele fiind $1\times 2$ și $2\times 1$, nu există nicio poziție comună.

2. Definiția egalității

Definiție. Matricele $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$ sunt egale, și scriem $A=B$, dacă:

1. au același format, adică aparțin aceleiași mulțimi ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$;
2. $a_{ij}=b_{ij}$ pentru orice $i\in \{1,\dots ,m\}$ și orice $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Cele două condiții se verifică în această ordine: dacă formatele diferă, discuția se încheie acolo. Consecința cea mai folosită: o egalitate de matrice de tipul $m\times n$ este un sistem de $m\cdot n$ egalități între numere — între două tablouri $3\times 3$, un semn egal ascunde nouă ecuații. De aceea egalitatea matricelor e, în probleme, o unealtă de determinare a parametrilor. Din egalitatea

$$\left(\begin{array}{cc}x+y& 3\\ 5& x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 5& 1\end{array}\right)$$

obținem patru ecuații: $x+y=7$, $3=3$, $5=5$ și $x-y=1$. Două sunt identități și nu aduc informație; rămâne sistemul $x+y=7$, $x-y=1$, cu soluția $x=4$, $y=3$. Verificarea se face întorcându-te în matrice, nu în sistem.

3. Adunarea: regula citită dintr-un tabel și definiția ei

Revenim la firma de curierat: pe linii cele două orașe cu depozite, pe coloane tipurile de colet. În ianuarie și februarie s-au livrat

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}210& 185& 240\\ 130& 175& 160\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}190& 205& 260\\ 145& 150& 190\end{array}\right),A_1+A_2=\left(\begin{array}{ccc}400& 390& 500\\ 275& 325& 350\end{array}\right).$$

Câte plicuri s-au livrat în primul oraș în cele două luni? Evident, $210+190=400$: se adună numerele de pe aceeași poziție, singurele care se referă la același oraș și la același tip de colet. Verificare utilă — totalurile se adună și ele, $1100+1140=2240$, exact suma elementelor tabloului obținut. Raționamentul cere însă tablouri de aceeași formă.

Definiție. Fie $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$ două matrice de același tip, din ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$. Suma lor este matricea $A+B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ cu elementul generic

$$(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij},1\le i\le m,1\le j\le n.$$

Analog, diferența $A-B$ are elementul generic $(A-B{)}_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$.

Două observații se rețin de la prima citire. Condiția de compatibilitate e obligatorie: $A+B$ există numai dacă cele două au același format, iar $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ nu e o operație greșită, ci una inexistentă. Și, a doua, fiecare căsuță se calculează independent, rezultatul păstrând formatul termenilor: nu există „transport" de la o poziție la alta.

Pe un exemplu cu numere de ambele semne, unde greșelile chiar apar, fie $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 5\\ 0& 4& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 6& 2\\ 7& -4& 3\end{array}\right)$; adunând, respectiv scăzând, poziție cu poziție:

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 7\\ 7& 0& 2\end{array}\right),A-B=\left(\begin{array}{ccc}4& -8& 3\\ -7& 8& -4\end{array}\right).$$

Principiul e cel din operațiile știute: la Adunarea și scăderea polinoamelor se adună coeficienții acelorași puteri, iar la Adunarea și scăderea numerelor complexe, separat, partea reală și cea imaginară. Obiectele complicate se adună pe componente.

4. Proprietățile adunării

Toate proprietățile se demonstrează la fel: se compară elementul generic al matricelor din cei doi membri, iar dacă acestea coincid pe fiecare poziție, matricele sunt egale — criteriul din secțiunea 2. Peste tot, $A,B,C\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$.

Proprietatea 1 (comutativitatea). $A+B=B+A$, pentru că pe poziția $(i,j)$ prima matrice are $a_{ij}+b_{ij}$, a doua $b_{ij}+a_{ij}$, iar adunarea numerelor complexe este comutativă.

Proprietatea 2 (asociativitatea). $(A+B)+C=A+(B+C)$, pentru că pe poziția $(i,j)$ avem $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})$. Consecința practică: o sumă de mai multe matrice se scrie fără paranteze, $A+B+C$, și se calculează în orice ordine convenabilă.

Proprietatea 3 (element neutru). $A+O_{m,n}=O_{m,n}+A=A$, unde $O_{m,n}$ este matricea nulă din Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară, pentru că pe poziția $(i,j)$ suma este $a_{ij}+0=a_{ij}$. Matricea nulă joacă la adunare rolul numărului $0$; atenție la formatul ei: la o matrice $2\times 3$ se adună $O_{2,3}$, nu $O_3$.

Proprietatea 4 (element simetric). Pentru orice $A$ există o matrice, notată $-A$ și numită opusa lui $A$, cu $A+(-A)=(-A)+A=O_{m,n}$. Anume, opusa matricei $A=(a_{ij})$ este $-A=(-a_{ij})$, tabloul obținut schimbând semnul fiecărui element: pe poziția $(i,j)$, suma devine $a_{ij}+(-a_{ij})=0$. De exemplu, opusa lui $P=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ este $-P=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 0\end{array}\right)$; $0$ rămâne $0$, opusul lui zero fiind tot zero.

Cu opusa în mână, scăderea devine un caz particular de adunare: $A-B=A+(-B)$. În calcule folosește regula „element minus element"; forma $A+(-B)$ e utilă în demonstrații.

Atenție, scăderea NU este comutativă: $B-A=-(A-B)$, cele două diferențe având elementele de semne opuse; egalitate ar exista doar când $A=B$.

Din cele patru proprietăți rezultă și regula de simplificare: dacă $A+B=A+C$, adunând $-A$ în ambii membri obținem $B=C$.

5. Adunarea și transpusa. Ce tipuri de matrice se păstrează

Transpusa ${}^{t}A$, definită în lecția anterioară prin „liniile devin coloane", se înțelege bine cu adunarea:

$${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B,{}^t(A-B)={}^{t}A-{}^{t}B.$$

Justificare. Elementul de pe poziția $(i,j)$ al lui ${}^t(A+B)$ este cel de pe poziția $(j,i)$ al lui $A+B$, adică $a_{ji}+b_{ji}$ — exact suma elementelor de pe poziția $(i,j)$ din ${}^{t}A$ și ${}^{t}B$. $■$

Adunarea păstrează și cele mai multe tipuri de matrice din lecția precedentă, din motive care se citesc direct pe indici: suma a două matrice diagonale este diagonală (pe pozițiile cu $i\ne j$ se adună $0$ cu $0$), suma a două matrice triunghiulare superioare este triunghiulară superioară (sub diagonală, $0+0=0$), iar suma a două matrice simetrice este simetrică (din $a_{ij}=a_{ji}$ și $b_{ij}=b_{ji}$). Pe scurt, proprietățile exprimate prin anularea unor elemente sau prin egalități între poziții simetrice trec de la termeni la sumă. Matricea unitate face excepție: $I_2+I_2$ are pe diagonală valoarea $2$, deci nu mai este matricea unitate, ci doar una scalară.

6. Ecuații cu o matrice necunoscută

Cele patru proprietăți permit rezolvarea celei mai simple ecuații matriceale: fiind date $A,B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, se caută $X$ cu $X+A=B$. Adunăm $-A$ în ambii membri; în stânga, asociativitatea și proprietatea 4 dau $X+(A+(-A))=X+O_{m,n}=X$, deci

$$X=B-A,$$

și această matrice este singura soluție, pentru că fiecare pas e reversibil; ea are formatul comun al lui $A$ și $B$. Ecuația se rezolvă deci la fel ca $x+a=b$ din aritmetică, iar verificarea nu se sare niciodată: se calculează $X+A$ și se compară cu $B$.

7. Ce urmează

Ce se întâmplă dacă vrem să triplăm toate elementele unei matrice? Regula de înmulțire cu un număr se dă în Înmulțirea unei matrice cu un număr complex, unde opusa $-A$ își va găsi și cealaltă explicație. Abia apoi vine operația cu adevărat surprinzătoare, Înmulțirea a două matrice, care nu se face element cu element și nu e comutativă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Parametri dintr-o egalitate de matrice

Determinați numerele reale $x$, $y$, $z$ pentru care

$$\left(\begin{array}{cc}x+y& 2x-z\\ 3& y+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& 4\end{array}\right).$$

Rezolvare. Formatele coincid, deci trecem la egalitățile pe poziții: $x+y=5$, $2x-z=1$, $3=3$ (identitate), $y+z=4$. Din prima, $y=5-x$; din a doua, $z=2x-1$; înlocuind în ultima, $(5-x)+(2x-1)=4$, adică $x=0$, deci $y=5$ și $z=-1$.

Verificare în matrice: $x+y=5$ ✓, $2x-z=1$ ✓, $y+z=4$ ✓.

Exemplul 2 — Sumă și diferență de matrice $2\times 3$

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ -1& 0& 6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& -7\\ 3& -5& 1\end{array}\right)$. Calculați $A+B$, $A-B$ și $B-A$.

Rezolvare. Ambele sunt din ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, deci operațiile există:

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -5\\ 2& -5& 7\end{array}\right),A-B=\left(\begin{array}{ccc}7& -7& 9\\ -4& 5& 5\end{array}\right),B-A=\left(\begin{array}{ccc}-7& 7& -9\\ 4& -5& -5\end{array}\right).$$

În ultimele două, toate semnele s-au schimbat: $B-A=-(A-B)$, pentru că scăderea nu e comutativă.

Exemplul 3 — Ecuație matriceală

Determinați $X\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 0& 5& -3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& -2\\ -4& 1& 7\end{array}\right)$.

Rezolvare. Adunăm $-A$ în ambii membri și obținem $X=B-A$, adică

$$X=\left(\begin{array}{ccc}6-2& 3-(-1)& -2-4\\ -4-0& 1-5& 7-(-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& -6\\ -4& -4& 10\end{array}\right),$$

iar $X+A$ dă chiar $B$ ✓. Atenție la pozițiile cu două semne minus: $-2-4=-6$, nu $2$.

Exemplul 4 — Două luni de producție

O fermă livrează două produse din trei sectoare. În mai, respectiv iunie, cantitățile, în kilograme, au fost $M=\left(\begin{array}{cc}420& 380\\ 510& 470\\ 260& 300\end{array}\right)$ și $I=\left(\begin{array}{cc}455& 360\\ 480& 525\\ 305& 290\end{array}\right)$. Scrieți matricea totalului și pe cea a creșterii de la mai la iunie, interpretând semnele.

Rezolvare. Totalul este suma, iar creșterea este diferența în ordinea corectă, „luna nouă minus luna veche":

$$M+I=\left(\begin{array}{cc}875& 740\\ 990& 995\\ 565& 590\end{array}\right),I-M=\left(\begin{array}{cc}35& -20\\ -30& 55\\ 45& -10\end{array}\right).$$

Valorile pozitive arată creșteri, cele negative scăderi: al treilea sector a crescut cu $45$ kg la primul produs și a scăzut cu $10$ kg la al doilea. Control: $2340+2415=4755$ ✓.

Exemplul 5 — Sumă de patru matrice, calculată inteligent

Calculați $M_1+M_2+M_3+M_4$, unde $M_1=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 7& 1\end{array}\right)$, $M_2=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 0& -6\end{array}\right)$, $M_3=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ -7& -1\end{array}\right)$, $M_4=\left(\begin{array}{cc}8& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Privește întâi tablourile: $M_3=-M_1$. Prin comutativitate și asociativitate, regrupăm:

$$M_1+M_2+M_3+M_4=(M_1+M_3)+(M_2+M_4)=O_2+(M_2+M_4)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& -3\end{array}\right).$$

Morala: proprietățile sunt scurtături, nu decor — calculul direct cerea douăsprezece adunări în loc de patru.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& 4\end{array}\right)$. a) Calculați $A+B$. b) Arătați că ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$. c) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A+X={}^{t}B$.

Rezolvare. a) Adunăm element cu element: $A+B=\left(\begin{array}{cc}1+2& -2+5\\ 3-3& 0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$.

b) Transpusa matricei de mai sus este ${}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 4\end{array}\right)$. Transpunând întâi fiecare termen, ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 0\end{array}\right)$ și ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 4\end{array}\right)$, suma lor este ${}^{t}A+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 4\end{array}\right)$ — aceeași matrice, ceea ce trebuia arătat.

c) Din $A+X={}^{t}B$ obținem $X={}^{t}B-A$, adică

$$X=\left(\begin{array}{cc}2-1& -3+2\\ 5-3& 4-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right).$$

Verificare: $A+X=\left(\begin{array}{cc}1+1& -2-1\\ 3+2& 0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 4\end{array}\right)={}^{t}B$ ✓.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, verifică formatele: dacă nu coincid, operația nu există și acesta e răspunsul complet.

1. Determină numerele reale $x$, $y$, $z$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}x+1& 5\\ 3& y-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ z+1& 6\end{array}\right)$.

2. Calculează $A+B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-4& 6\\ 0& -7\end{array}\right)$.

3. Pentru aceleași matrice, calculează $A-B$ și verifică relația $B-A=-(A-B)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice două matrice cu elemente reale se pot aduna."

5. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 4& 3& 5\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 6\\ 7& -3\end{array}\right)$. De ce $A+B$ nu are sens? Calculează ${}^{t}A+B$.

6. Rezolvă ecuația $X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& 0& -5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}6& 1& -2\\ 0& 3& 7\end{array}\right)$.

7. Scrie opusa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 7& -1\end{array}\right)$ și verifică egalitatea $A+(-A)=O_2$.

8. (Problemă aplicată.) Două magazine vând trei produse; vânzările din prima săptămână sunt $\left(\begin{array}{ccc}34& 52& 18\\ 27& 41& 25\end{array}\right)$, iar din a doua $\left(\begin{array}{ccc}29& 60& 22\\ 35& 38& 19\end{array}\right)$. Scrie matricea totalului și pe cea a variației (săptămâna a doua minus prima) și spune ce produs a scăzut în ambele magazine.

9. Calculează, printr-o regrupare convenabilă, $A+B+C$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 0& -4\end{array}\right)$.

10. Se știe că $A=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$ și $A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -6& 0\end{array}\right)$. Determină matricea $B$.

11. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ din egalitatea $\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ -1& b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 3& -2\end{array}\right)$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A+B=A+C$, atunci $B=C$."

13. Verifică egalitatea ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ -3& 2\end{array}\right)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $A+B$ și precizați ce tip de matrice ați obținut. b) Calculați $A-B$. c) Determinați $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $X+A=B$.

15. Arată că suma a două matrice triunghiulare superioare de ordin $3$ e tot triunghiulară superioară și dă un exemplu numeric.

16. Fie $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, cu $a_{ij}=i+j$ și $b_{ij}=i-j$. Scrie-le, calculează $A+B$ și $A-B$ și găsește elementul generic al fiecărui rezultat.

17. Determină $x\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 3& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2x& 5\end{array}\right)$ este simetrică.

18. (Provocare.) Câte perechi ordonate $(A,B)$ din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, cu toate elementele numere naturale, verifică $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$? Generalizează regula de numărare.

Răspunsuri și explicații

1. Egalitatea dă $x+1=4$, $y-2=6$, $z+1=3$, deci $x=3$, $y=8$, $z=2$.

2. $A+B=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 5& -6\end{array}\right)$, fiecare element fiind suma elementelor de pe aceeași poziție.

3. $A-B=\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ 5& 8\end{array}\right)$ și $B-A=\left(\begin{array}{cc}-6& 9\\ -5& -8\end{array}\right)$: fiecare element și-a schimbat semnul, deci $B-A=-(A-B)$.

4. Fals. Adunarea cere același format: o matrice $2\times 3$ și una $3\times 2$ nu se pot aduna.

5. $A$ e de tip $2\times 3$, $B$ de tip $3\times 2$, deci $A+B$ nu are sens; în schimb ${}^{t}A$ e de tip $3\times 2$, ca $B$, și ${}^{t}A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 9\\ 5& 2\end{array}\right)$.

6. $X=B-A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& -5\\ -4& 3& 12\end{array}\right)$, cu verificarea $X+A=B$ ✓ (atenție la $7-(-5)=12$).

7. $-A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -7& 1\end{array}\right)$, iar $A+(-A)=O_2$; elementul $0$ rămâne $0$.

8. Totalul este $\left(\begin{array}{ccc}63& 112& 40\\ 62& 79& 44\end{array}\right)$ ($400$ de produse), iar variația $\left(\begin{array}{ccc}-5& 8& 4\\ 8& -3& -6\end{array}\right)$: niciun produs nu a scăzut în ambele magazine.

9. Se observă că $C=-A$, deci $A+B+C=(A+C)+B=O_2+B=B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$.

10. Notând cu $S$ suma dată, $B=S-A=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ -8& -5\end{array}\right)$ ✓.

11. Suma din stânga este $\left(\begin{array}{cc}a+3& 0\\ 3& b+1\end{array}\right)$, deci $a+3=5$ și $b+1=-2$: $a=2$, $b=-3$.

12. Adevărat. Adunăm $-A$ în ambii membri: în stânga rămâne $B$, în dreapta $C$ — regula de simplificare, justificată prin proprietățile 2, 3 și 4.

13. $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ -3& 5\end{array}\right)$, deci ${}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 5& 5\end{array}\right)$, exact matricea obținută adunând transpusele ✓.

14. a) $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$ — matrice diagonală, dar nu scalară, pentru că $3\ne 6$. b) $A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 2\end{array}\right)$. c) $X=B-A=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 6& -2\end{array}\right)$ ✓.

15. Dacă $A$ și $B$ sunt triunghiulare superioare, atunci $a_{ij}=b_{ij}=0$ pentru $i>j$, deci și suma are $a_{ij}+b_{ij}=0$ pe aceleași poziții. Exemplu: $\left(\begin{array}{ccc}2& 5& -1\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 6\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 5\\ 0& 5& 9\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$, tot triunghiulară superioară.

16. $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$. Suma are elementul generic $(i+j)+(i-j)=2i$, deci liniile constante: $\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 4& 4& 4\\ 6& 6& 6\end{array}\right)$; diferența are elementul generic $2j$, deci coloanele constante, $\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 2& 4& 6\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$.

17. Suma este $\left(\begin{array}{cc}5& x-1\\ 2x+3& 7\end{array}\right)$, iar simetria cere $x-1=2x+3$, deci $x=-4$. Verificare: suma devine $\left(\begin{array}{cc}5& -5\\ -5& 7\end{array}\right)$ ✓.

18. Pozițiile se tratează independent: dacă pe o poziție suma cerută e $k\in \mathbb{N}$, perechile de numere naturale cu $a+b=k$ sunt $k+1$. Total: $(3+1)(1+1)(0+1)(2+1)=24$; în general, produsul tuturor elementelor matricei-țintă, mărite fiecare cu $1$.

De reținut

• Două matrice sunt egale dacă au același format și elemente egale pe fiecare poziție; o egalitate de matrice $m\times n$ înseamnă $m\cdot n$ egalități de numere.
• Suma și diferența se calculează element cu element și există numai pentru matrice de același tip: $(A\pm B{)}_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$.
• Adunarea e comutativă și asociativă, are elementul neutru $O_{m,n}$ și, pentru fiecare $A$, simetricul $-A=(-a_{ij})$.
• Scăderea este $A-B=A+(-B)$; ea nu e comutativă, iar $B-A=-(A-B)$.
• Ecuația $X+A=B$ are soluția unică $X=B-A$, iar transpusa se distribuie: ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$.

Greșeli frecvente

• Adunarea unor matrice de formate diferite. Verifică formatele înainte de a scrie primul număr; dacă diferă, răspunsul corect este „operația nu există".
• Semnele la scădere. $-2-4$ dă $-6$, nu $2$; $7-(-3)$ dă $10$, nu $4$. Scrie explicit paranteza înainte de a calcula.
• Inversarea ordinii la diferență. „Creșterea" înseamnă luna nouă minus luna veche; ordinea schimbată dă toate semnele pe dos, deci o interpretare exact contrară.
• Matricea nulă de format greșit. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ elementul neutru este $O_{2,3}$, nu $O_2$ și nici $O_3$.
• Confuzia dintre „aceleași numere" și „aceeași matrice". Tablourile $\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 0\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& 0\end{array}\right)$ nu sunt egale: contează poziția.

Aplică acasă

1. Două luni de cheltuieli. Scrie cheltuielile din ultimele două luni ca două matrice de același format (pe linii săptămânile, pe coloane categoriile), calculează suma și diferența „luna a doua minus prima" și spune ce înseamnă elementele negative.

2. Notele tale. Organizează notele de la trei discipline, din două perioade, în două matrice; calculează diferența și verifică apoi că, adunată cu matricea veche, o redă exact pe cea nouă.

3. Jocul de control. Roagă un coleg să scrie două matrice $3\times 3$ cu numere întregi și să-ți dea doar suma lor și una dintre ele; găsește-o pe cealaltă cu regula $B=S-A$.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează prima operație a capitolului și criteriul de egalitate a două matrice — piesa fără de care niciun rezultat de mai târziu nu s-ar putea scrie corect. Dificultatea reală nu e calculul, cunoscut din gimnaziu, ci disciplina formatului și semnele la scădere.

De verificat în caiet: (1) elevul scrie formatul fiecărei matrice înainte de calcul și refuză motivat operațiile imposibile; (2) la scădere apar parantezele intermediare, $7-(-3)=10$; (3) ecuațiile $X+A=B$ sunt rezolvate prin $X=B-A$, cu verificare scrisă; (4) proprietățile sunt folosite ca scurtături.

Întrebări de control: „Când se pot aduna două matrice?"; „Ce este opusa unei matrice?"; „Ce rol joacă $O_{m,n}$?"; „De ce $A-B$ nu e același lucru cu $B-A$?". Semn că a înțeles: în fața unei egalități cu parametri, elevul scrie întâi ecuațiile pe poziții și abia apoi rezolvă.

La BAC M1 adunarea apare rar singură, ci ca prim pas al unei probleme mai mari — „calculați $A+B$", „determinați $X$ astfel încât…" — iar o greșeală de semn aici se propagă în toate punctele următoare.

Întrebări frecvente

Când sunt egale două matrice? Când au același format și elementele lor coincid pe fiecare poziție. Dacă formatele diferă, matricele nu sunt egale, indiferent ce numere conțin.

Cum se adună două matrice? Element cu element: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al sumei este $a_{ij}+b_{ij}$, iar rezultatul are același format ca termenii. Operația are sens numai pentru matrice de același tip.

Ce este matricea opusă? Matricea $-A$, obținută din $A$ schimbând semnul fiecărui element; ea verifică $A+(-A)=O_{m,n}$ și permite scrierea $A-B=A+(-B)$.

Este scăderea matricelor comutativă? Nu. $A-B$ și $B-A$ au elementele de semne opuse, adică $B-A=-(A-B)$; ele coincid doar când $A=B$.

Cum rezolv ecuația $X+A=B$? Adunând $-A$ în ambii membri, de unde $X=B-A$. Soluția este unică, are formatul comun al lui $A$ și $B$ și se verifică prin înlocuire.

Ce se întâmplă cu transpusa la adunare? Se distribuie: ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$, la fel pentru diferență. Poți deci transpune întâi și aduna după, sau invers.

Cum apare adunarea matricelor la Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna ca prim punct al unei probleme mai mari: se cere $A+B$, o diferență sau matricea $X$ dintr-o egalitate simplă, iar pe rezultat se calculează apoi determinantul, inversa sau puterile.