Aplicații ale funcției integrale: pe scurt

Pentru $f$ continuă, funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ are derivata $F{}^{\prime }=f$, deci studiul ei se face fără a calcula integrala. Rețeta are trei pași: verifici continuitatea lui $f$, stabilești semnul lui $f$, întocmești tabelul de variație al lui $F$.

Monotonia se citește din semnul integrandului: acolo unde $f>0$, funcția $F$ crește; acolo unde $f<0$, $F$ scade. Un zero al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo: trecerea de la plus la minus dă maxim, cea de la minus la plus dă minim. Atenție la capcană: „$f$ strict crescătoare” nu înseamnă „$F$ crescătoare” — monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$.

La capete variabile, $\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right){}^{\prime }=f(v(x))v{}^{\prime }(x)-f(u(x))u{}^{\prime }(x)$, capătul de jos intrând cu minus.

Limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ sunt cazuri $\frac{0}{0}$ și dau $f(0)$: numărătorul tinde la $0$ pentru că $F$ este continuă și $F(0)=0$. Nedeterminarea se constată în scris înainte de a aplica regulile lui L'Hôpital — baremul punctează separat această verificare. Monotonia se scrie pe fiecare interval în parte, niciodată pe o reuniune.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x\left(t^2-9\right)dt$. Atunci $F$ este:

   • a) strict descrescătoare pe $[-3,3]$
   • b) strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • c) strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$
   • d) constantă pe $[-3,3]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $[-3,3]$

   Avem $F{}^{\prime }(x)=x^2-9$, negativă pe $(-3,3)$, deci $F$ este strict descrescătoare pe $[-3,3]$ și strict crescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și pe $[3,+\infty )$. Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia lui $f$.

2. Aceeași funcție $F(x)={\int }_0^x\left(t^2-9\right)dt$ are:

   • a) un singur punct de extrem, în $x=0$
   • b) minim local în $x=-3$ și maxim local în $x=3$
   • c) maxim local în $x=-3$ și minim local în $x=3$
   • d) niciun punct de extrem
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) maxim local în $x=-3$ și minim local în $x=3$

   Integrandul se anulează în $-3$ și în $3$, schimbând semnul de fiecare dată: din plus în minus la $-3$ (deci maxim) și din minus în plus la $3$ (deci minim). În $x=0$ derivata este $-9\ne 0$, deci acolo nu poate fi extrem.

3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ este egală cu:

   • a) $+\infty$
   • b) $0$
   • c) $e$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $1$

   Funcția $F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ este continuă, cu $F(0)=0$, deci limita este un caz $\frac{0}{0}$; prin regulile lui L'Hôpital, ea devine $\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{x^2}=1$. Aceeași valoare se obține din definiția derivatei: limita este $F{}^{\prime }(0)=f(0)$.