Aplicații ale funcției integrale: limite, monotonie, extreme

Un rezervor primește apă printr-o conductă și pierde apă prin alta. Dacă notăm cu $f(t)$ debitul net la momentul $t$ — pozitiv când intră mai mult decât iese, negativ când se golește — atunci cantitatea acumulată de la momentul $0$ până la momentul $x$ este exact ${\int }_0^{x}f(t)dt$. Acest număr depinde de $x$, deci definește o funcție: funcția integrală. Lecția de față, din programa de clasa a 12-a la matematică-informatică, arată ce se poate afla despre o astfel de funcție fără a o calcula: când crește, când scade, unde își atinge maximul și cum se comportă în vecinătatea unui punct.

Răspunsurile vin dintr-un singur fapt, demonstrat în lecția anterioară: derivata funcției integrale este chiar funcția de sub integrală. De aici, tot arsenalul clasei a XI-a — semnul derivatei, teorema lui Fermat, tabelul de variație, regulile lui L'Hôpital — se mută, fără nicio modificare, peste integrale. Este unul dintre momentele în care cele două jumătăți ale analizei matematice se închid una peste alta, iar la Bacalaureat M1 acest tip de cerință apare aproape în fiecare variantă a Subiectului al III-lea.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii funcția integrală a unei funcții continue și să-i calculezi derivata.
• Vei ști să determini intervalele de monotonie ale funcției integrale din semnul funcției de sub integrală.
• Vei ști să găsești punctele de extrem ale funcției integrale și să le stabilești natura, fără a calcula integrala.
• Vei ști să studiezi monotonia și extremele unei integrale cu capete variabile, ${\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$.
• Vei ști să calculezi limite de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt$, cu verificarea ipotezelor.
• Vei ști să redactezi aceste cerințe în forma pe care o punctează baremul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este funcția integrală și ce știm despre ea

Funcția integrală asociată unei funcții continue $f:I\to \mathbb{R}$ și unui punct fixat $a\in I$ este funcția $F:I\to \mathbb{R}$ definită prin $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, care asociază fiecărui $x$ din interval numărul obținut integrând pe $f$ de la capătul fix $a$ până la capătul mobil $x$. Ea este, cu alte cuvinte, „acumularea lui $f$ de la $a$ încoace".

Lecția despre funcția integrală și existența primitivelor a demonstrat teorema pe care se sprijină tot ce urmează:

Teoremă. Dacă $f:I\to \mathbb{R}$ este continuă pe intervalul $I$ și $a\in I$, atunci funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$.

Trei consecințe imediate, pe care le vom folosi fără să le mai redemonstrăm.

(a) $F$ este continuă pe $I$, fiind derivabilă. În particular $\underset{x\to a}{\lim }F(x)=F(a)=0$, pentru că ${\int }_a^{a}f=0$ — o convenție fixată odată cu definiția integralei definite.

(b) $F$ este primitiva lui $f$ care se anulează în $a$. Orice altă primitivă diferă de ea printr-o constantă, pe interval.

(c) Variabila de sub integrală este $t$, întotdeauna. Scrierea $F(x)={\int }_a^{x}f(x)dx$ este greșită: aceeași literă ar juca simultan rolul de capăt al intervalului și de variabilă mută. Numele „variabilă mută", fixat la lecția despre funcții integrabile și integrala definită, spune exact că litera de sub integrală poate fi schimbată fără ca numărul să se schimbe — dar nu poate fi confundată cu capătul.

Un ultim avertisment de graniță. Teorema cere continuitatea lui $f$. Dacă $f$ este doar integrabilă, $F$ rămâne continuă, dar poate să nu fie derivabilă: pentru $f(t)=0$ când $t<0$ și $f(t)=1$ când $t\ge 0$, funcția integrală este $F(x)=0$ pentru $x\le 0$ și $F(x)=x$ pentru $x>0$, care are în $0$ un punct unghiular.

2. Cum se studiază monotonia funcției integrale?

Aici stă toată economia lecției: $F^{\prime }=f$, deci semnul lui $f$ este semnul derivatei lui $F$. Aplicăm Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, din lecția despre consecințele teoremei lui Lagrange: pe un interval pe care $f>0$, funcția $F$ este strict crescătoare; pe unul pe care $f<0$, este strict descrescătoare.

Fixăm rețeta funcției integrale în trei pași, pe care o vom cita până la sfârșitul unității. Ea nu este o schemă nouă de studiu al variației: cei nouă pași ai reprezentării grafice, fixați la lecția despre schema reprezentării grafice, rămân cei de acolo și se citează cu numerotarea lor. Rețeta de față e doar drumul scurt care duce de la integrand la tabelul de variație al funcției integrale, atunci când nu se cere graficul.

1. Pasul 1 — domeniul și continuitatea. Se verifică pe ce interval este $f$ continuă și se alege capătul fix $a$ din acel interval. Fără continuitate, teorema nu se aplică.
2. Pasul 2 — semnul lui $f$. Se rezolvă $f(x)=0$ și se scrie tabelul de semn al lui $f$, care este tabelul de semn al lui $F^{\prime }$.
3. Pasul 3 — tabelul de variație al lui $F$ și citirea lui. Se transferă semnele în săgeți, se marchează extremele și se citește rezultatul în cuvinte.

Model complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(t)=t^2-4$, și $F(x)={\int }_0^x(t^2-4)dt$.

Pasul 1. $f$ este funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; alegem $a=0\in \mathbb{R}$. Prin urmare $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $F^{\prime }(x)=x^2-4$.

Pasul 2. $f(x)=0⟺x\in \{-2,2\}$, iar semnul trinomului este cel știut:

Pasul 3. Aici putem calcula și valorile, pentru că $f$ are primitivă elementară: cu formula Leibniz–Newton, $F(x)=\left(\frac{t^3}{3}-4t\right){|}_0^x=\frac{x^3}{3}-4x$, deci $F(-2)=\frac{16}{3}$ și $F(2)=-\frac{16}{3}$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Citirea tabelului: $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$ și pe $[2,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-2,2]$; are un maxim local $F(-2)=\frac{16}{3}$ și un minim local $F(2)=-\frac{16}{3}$; imaginea ei este $\mathbb{R}$. Formatul tabelului este cel canonic, fixat la lecția despre tabelul de variație complet, cu etichetele rândurilor instanțiate pe numele funcției studiate.

3. Unde are funcția integrală puncte de extrem?

Punctele critice ale lui $F$ sunt soluțiile ecuației $F^{\prime }(x)=0$, adică zerourile lui $f$. Dar teorema lui Fermat, din lecția despre teorema lui Fermat și punctele de extrem, dă doar o condiție necesară: nu orice punct critic este punct de extrem. Criteriul complet, valabil aici ca peste tot, este schimbarea de semn:

• dacă $f$ trece, în $x_0$, de la $+$ la $-$, atunci $x_0$ este punct de maxim local al lui $F$;
• dacă $f$ trece de la $-$ la $+$, atunci $x_0$ este punct de minim local al lui $F$;
• dacă $f$ păstrează semnul de o parte și de alta a lui $x_0$, atunci $x_0$ nu este punct de extrem al lui $F$, deși $F^{\prime }(x_0)=0$.

Contraexemplul de reținut este cel mai simplu cu putință: pentru $f(t)=t^2$ avem $F(x)={\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{x^3}{3}$, cu $F^{\prime }(0)=0$, dar $F$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$, deci $0$ nu este punct de extrem. Este exact perechea $x^3$ / $x^2$ pe care ai întâlnit-o la reciproca falsă a teoremei lui Fermat.

Merită subliniată puterea metodei: pentru a găsi extremele lui $F$ nu ai nevoie de expresia lui $F$. Fie $F:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(t^2-1)e^{-t^2}dt$. Nicio combinație de funcții elementare nu dă o primitivă a lui $e^{-t^2}$, deci $F$ nu se poate scrie explicit. Și totuși: $f(t)=(t^2-1)e^{-t^2}$ este continuă, $e^{-t^2}>0$ mereu, deci semnul lui $f$ este semnul lui $t^2-1$, iar $f(\pm 2)=3e^{-4}>0$.

Citirea tabelului: $F$ crește pe $[-2,-1]$, scade pe $[-1,1]$ și crește pe $[1,2]$; are maxim local în $-1$ și minim local în $1$. Valorile rămân simboluri, dar concluzia despre monotonie și extreme este completă și riguroasă. Dacă cerința ar fi să le și aproximăm, ar interveni metodele din lecția despre estimarea numerică a integralelor, care dau $F(-1)\approx 0,56$ și $F(1)\approx -0,56$.

4. Cum studiezi monotonia unei integrale cu capete variabile?

Lecția precedentă a stabilit deja formula de derivare când capetele se mișcă: pentru $f$ continuă pe un interval $J$ și $u,v$ derivabile cu valori în $J$, $${\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x),$$ obținută spărgând integrala într-un punct fix cu aditivitatea la interval, una dintre proprietățile integralei definite, și derivând fiecare bucată cu regula din lecția despre derivarea funcțiilor compuse. Nu o redemonstrăm; o folosim.

Ce se adaugă aici este pasul următor: odată calculată derivata, semnul ei dă monotonia și extremele, exact ca în secțiunea 2. Deosebirea e că acum derivata nu mai este integrandul însuși, ci o diferență de două valori ale lui, fiecare înmulțită cu derivata capătului ei — deci semnul cere puțin calcul algebric.

Model. Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_x^{x+1}\frac{dt}{1+t^2}$ — „cât cântărește" funcția $\frac{1}{1+t^2}$ pe o fereastră de lungime $1$ care alunecă de-a lungul axei. Aici $u(x)=x$, $v(x)=x+1$, ambele cu derivata $1$, deci $$G^{\prime }(x)=\frac{1}{1+(x+1{)}^2}-\frac{1}{1+x^2}.$$ Semnul se citește comparând numitorii, amândoi pozitivi: $G^{\prime }(x)>0$ exact când $1+(x+1{)}^2<1+x^2$, adică $(x+1{)}^2<x^2$, adică $2x+1<0$, adică $x<-\frac{1}{2}$.

Citirea tabelului: $G$ crește pe $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ și scade pe $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$, deci are un maxim global în $x=-\frac{1}{2}$, de valoare $G\left(-\frac{1}{2}\right)={\int }_{-1/2}^{1/2}\frac{dt}{1+t^2}=\mathrm{arctg}t{|}_{-1/2}^{1/2}=2\mathrm{arctg}\frac{1}{2}\approx 0,927$. Rezultatul are și un înțeles limpede: fereastra de lungime $1$ „prinde" cel mai mult atunci când este așezată simetric față de origine, acolo unde integrandul are vârful.

Limitele la capete sunt $0$, pentru că pe o fereastră care se depărtează la infinit integrandul devine oricât de mic. La Bacalaureat M1, acest tip de cerință apare formulat ca „determinați valoarea maximă a expresiei…", iar drumul este întotdeauna același: derivezi cu formula de mai sus, studiezi semnul, citești tabelul.

5. Cum se calculează limitele care conțin o integrală cu capăt variabil?

Tipul de bază este $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$, cu $f$ continuă într-o vecinătate a lui $0$. Există două drumuri, amândouă corecte, și e bine să le știi pe amândouă.

Drumul 1 — definiția derivatei. Notând $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$, avem $F(0)=0$, deci raportul este chiar $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$. Limita lui, când $x\to 0$, este prin definiție $F^{\prime }(0)=f(0)$. Scurt, elegant și fără nicio teoremă în plus.

Drumul 2 — regulile lui L'Hôpital, din lecția despre regulile lui L'Hôpital. Procedura cere disciplină, exact ca acolo:

1. Constați nedeterminarea. Numitorul tinde la $0$; numărătorul tinde tot la $0$, pentru că $F$ este continuă în $0$ și $F(0)=0$. Suntem în cazul $\frac{0}{0}$. Fără această propoziție, aplicarea regulii nu se punctează.
2. Verifici derivabilitatea și condiția din enunț. $F$ este derivabilă (teorema de la lecția 116), numitorul $g(x)=x$ este derivabil cu $g^{\prime }(x)=1\ne 0$.
3. Derivezi separat sus și jos: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F^{\prime }(x)}{1}=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$, prin continuitate.
4. Transferi rezultatul. Limita căutată este $f(0)$.

Exemplu. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt=e^0=1$. Rezultatul se citește direct din valoarea integrandului în $0$, oricât de urât ar fi acesta — și $e^{t^2}$ chiar este urât: nu are primitivă elementară.

6. Limite cu numitor $x^2$ și aplicări repetate

Când numitorul crește ca putere, o singură aplicare nu mai ajunge. Tiparul este $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt$, iar răspunsul depinde de cât de repede se anulează $f$ în $0$.

Cazul $f(0)\ne 0$. Atunci limita este infinită sau nu există: numărătorul se comportă ca $f(0)x$, iar raportul ca $\frac{f(0)}{x}$.

Cazul $f(0)=0$. Aici apare din nou $\frac{0}{0}$ și regula se aplică. De pildă $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x\sin tdt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2},$$ unde am folosit la final limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Verificarea directă confirmă: ${\int }_0^x\sin tdt=-\cos t{|}_0^x=1-\cos x$, iar $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ este a doua limită fundamentală.

Un caz cu numitor $x^3$, tot verificat prin ambele drumuri: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}t\sin tdt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sin x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{3}\cdot \frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$$ Observă că a doua egalitate nu a mai cerut o a doua aplicare a regulii: după prima derivare, expresia s-a simplificat singură. Aceasta este regula bună de lucru — după fiecare aplicare, întâi simplifici, abia apoi verifici dacă mai ești în nedeterminare.

7. Limite la infinit și limite în alte puncte

Regulile lui L'Hôpital acoperă și cazul $\frac{\infty }{\infty }$, care apare la limitele de forma $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ — media lui $f$ pe $[0,x]$, când $x$ crește nemărginit. Dacă ${\int }_0^{x}f\to +\infty$, aplicarea regulii dă $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x),$$ când această ultimă limită există. De exemplu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x\mathrm{arctg}tdt=\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{2}$: media unei funcții care se apropie de $\frac{\pi }{2}$ se apropie și ea de $\frac{\pi }{2}$.

Limita într-un punct oarecare. Nimic nu leagă raționamentul din secțiunea 5 de originea axei. Dacă $f$ este continuă în $a$, atunci $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(a),$$ pentru că raportul este chiar $\frac{F(x)-F(a)}{x-a}$, cu $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ și $F(a)=0$. De pildă $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x-2}{\int }_2^x\frac{dt}{\ln t}=\frac{1}{\ln 2}$, deși integrandul nu are primitivă elementară.

Capătul compus. Când capătul de sus este el însuși o expresie, limita se reduce la cazul de bază printr-o notație. Calculăm $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t}dt$. Notând $y=x^2$, când $x\to 0$ avem $y\to 0$ cu $y>0$, deci limita devine $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1}{y}{\int }_0^y\sqrt{1+t}dt=\sqrt{1+0}=1$.

Același rezultat, pe drumul lui L'Hôpital: este cazul $\frac{0}{0}$, iar cu formula capătului variabil derivata numărătorului este $\sqrt{1+x^2}\cdot 2x$, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot 2x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{1+x^2}=1.$$ Cele două drumuri se confirmă reciproc. Cerința înrudită „determinați primitiva lui $f$ care ia valoarea $k$ în $x_0$" a fost rezolvată deja la lecția precedentă, cu formula $G(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt+k$; aici o folosim, la nevoie, ca unealtă gata făcută.

8. Model de redactare și granițele lecției

Pe o cerință de tipul „studiați monotonia și determinați extremele funcției $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$", redactarea completă are patru rânduri și baremul le punctează separat:

$f$ este continuă pe $I$, deci $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$. — justificarea $F^{\prime }(x)=0⟺\dots$ — punctele critice tabelul de semn al lui $f$, apoi tabelul de variație al lui $F$ — studiul propriu-zis concluzia în cuvinte: intervalele de monotonie, punctele de extrem, valorile. — citirea

Două granițe, ca să nu amesteci temele. Șirurile $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$, cu monotonia și limita lor, aparțin lecției despre șiruri de integrale, recurențe și limite; acolo variază indicele, nu capătul. Iar limitele de șiruri care se recunosc ca sume Riemann sunt tema lecției despre limite de șiruri cu sume Riemann; acolo integrala apare la capătul raționamentului, nu la începutul lui. Aici, în lecția de față, variază capătul superior al unei integrale fixe — atât. Iar lecțiile imediat următoare schimbă cu totul subiectul: ele nu mai studiază integrale, ci le calculează, cu cele două metode mari — integrarea prin părți pentru integrala definită și schimbarea de variabilă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Monotonie și extreme, cu valorile calculate

Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(t^2-2t)dt$. Studiați monotonia lui $F$ și determinați punctele de extrem, cu valorile lor.

$f(t)=t^2-2t$ este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; prin urmare $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=x^2-2x=x(x-2)$.

$F^{\prime }(x)=0⟺x\in \{0,2\}$, iar trinomul are semnul $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele.

Cu formula Leibniz–Newton, $F(x)=\left(\frac{t^3}{3}-t^2\right){|}_0^x=\frac{x^3}{3}-x^2$, deci $F(0)=0$ și $F(2)=\frac{8}{3}-4=-\frac{4}{3}$.

Citirea tabelului: $F$ crește pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$, scade pe $[0,2]$, are maxim local $F(0)=0$ și minim local $F(2)=-\frac{4}{3}$.

Exemplul 2. Un minim găsit fără efort

Fie $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{t}dt$. Arătați că $F$ are un minim global și calculați-l.

$f(t)=\frac{\ln t}{t}$ este continuă pe $(0,+\infty )$, deci $F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x}$. Pe $(0,+\infty )$ numitorul este pozitiv, deci semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $\ln x$: negativ pe $(0,1)$, nul în $1$, pozitiv pe $(1,+\infty )$.

Așadar $F$ scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$, deci $x=1$ este punct de minim global, iar valoarea este $F(1)={\int }_1^{1}f=0$ — se citește direct din definiție, fără niciun calcul.

Pentru control, calculăm și expresia: $\frac{\ln t}{t}$ are primitiva $\frac{{\ln }^{2}t}{2}$ (se verifică derivând), deci $F(x)=\frac{{\ln }^{2}t}{2}{|}_1^x=\frac{{\ln }^{2}x}{2}\ge 0$, cu egalitate exact în $x=1$. Concluzia se confirmă.

Exemplul 3. Extreme fără expresie explicită

Fie $F:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(t^2-1)e^{-t^2}dt$. Determinați punctele de extrem local ale lui $F$ și natura lor.

$f(t)=(t^2-1)e^{-t^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$ (produs de funcții continue), deci $F^{\prime }(x)=(x^2-1)e^{-x^2}$.

Cum $e^{-x^2}>0$ pentru orice $x$, semnul lui $F^{\prime }$ coincide cu semnul lui $x^2-1$: pozitiv pe $[-2,-1)$, negativ pe $(-1,1)$, pozitiv pe $(1,2]$.

Trecerea de la $+$ la $-$ în $x=-1$ arată că $-1$ este punct de maxim local; trecerea de la $-$ la $+$ în $x=1$ arată că $1$ este punct de minim local. Valorile $F(\pm 1)$ nu se pot exprima cu funcțiile elementare studiate, dar cerința nu le-a cerut — și tocmai aceasta este ideea metodei.

Exemplul 4. Derivata unei integrale cu ambele capete variabile

Calculați $G^{\prime }(x)$ pentru $G(x)={\int }_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^4}dt$, $x>0$, și determinați semnul lui $G^{\prime }(2)$.

Integrandul $f(t)=\sqrt{1+t^4}$ este continuu pe $\mathbb{R}$, iar $u(x)=x^2$ și $v(x)=x^3$ sunt derivabile. Formula din secțiunea 4 dă $$G^{\prime }(x)=f\left(x^3\right)\cdot 3x^2-f\left(x^2\right)\cdot 2x=3x^2\sqrt{1+x^{12}}-2x\sqrt{1+x^8}.$$

Pentru $x=2$: $G^{\prime }(2)=12\sqrt{1+4096}-4\sqrt{1+256}=12\sqrt{4097}-4\sqrt{257}>0$, pentru că $12\sqrt{4097}>12\cdot 64=768$, iar $4\sqrt{257}<4\cdot 17=68$. Deci $G$ este crescătoare în vecinătatea lui $2$.

Exemplul 5. Două limite cu integrale

Calculați \ \ell_1 = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^x \sqrt{1+t^2}\,dt\ și ${\ell }_2=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x(e^t-1)dt$.

Pentru ${\ell }_1$. Notăm $F(x)={\int }_0^x\sqrt{1+t^2}dt$; integrandul e continuu, deci $F$ e derivabilă și $F(0)=0$. Raportul este $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$, iar limita lui este $F^{\prime }(0)=\sqrt{1+0}=1$. Deci ${\ell }_1=1$.

Pentru ${\ell }_2$. Numitorul $x^2\to 0$; numărătorul tinde tot la $0$, fiind valoarea în $0$ a unei funcții continue care se anulează acolo — deci suntem în cazul $\frac{0}{0}$. Numărătorul e derivabil, numitorul are derivata $2x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $0$. Aplicăm regula: $${\ell }_2=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\frac{1}{2},$$ folosind limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$. Deci ${\ell }_2=\frac{1}{2}$.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(t)=\frac{t}{t^2+1}$, și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$.

a) Arătați că $F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ și calculați $F(1)$.

Funcția $t\mapsto \frac{1}{2}\ln (t^2+1)$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu derivata $\frac{1}{2}\cdot \frac{2t}{t^2+1}=f(t)$, deci este o primitivă a lui $f$. Cu formula Leibniz–Newton, $$F(x)=\frac{1}{2}\ln (t^2+1){|}_0^x=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{2}\ln (x^2+1).$$ În particular $F(1)=\frac{\ln 2}{2}$.

b) Determinați punctele de extrem ale lui $F$ și natura lor.

$F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, iar numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $x$: negativ pe $(-\infty ,0)$, nul în $0$, pozitiv pe $(0,+\infty )$.

Citirea tabelului: $F$ scade pe $(-\infty ,0]$, crește pe $[0,+\infty )$ și are în $x=0$ un minim global, $F(0)=0$. Limitele la capete sunt $+\infty$, pentru că $\ln (x^2+1)\to +\infty$.

c) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}$.

Este cazul $\frac{0}{0}$: $F$ e continuă cu $F(0)=0$, iar $x^2\to 0$. Numitorul are derivata $2x\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $0$. Prin regula lui L'Hôpital, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{x^2+1}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2(x^2+1)}=\frac{1}{2}.$$ Verificare prin drumul direct: $\frac{\ln (x^2+1)}{2x^2}\to \frac{1}{2}$, pentru că $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$ cu $u=x^2$. Rezultatele coincid.

Să exersăm

1. Fie $F(x)={\int }_1^x(6t-4)dt$. Calculați $F(3)$.

2. Fie $F(x)={\int }_2^x\sqrt{1+t^3}dt$. Determinați $F(2)$ și $F^{\prime }(2)$, fără a calcula $F$.

3. Arătați că funcția $F(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{t^4+1}}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f$ este continuă și $f(2)=0$, atunci $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ are punct de extrem local în $2$.

5. Fie $F(x)={\int }_0^x(t^2-9)dt$. Determinați punctele de extrem local ale lui $F$ și valorile corespunzătoare.

6. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x\cos tdt$.

7. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(t^2+3)dt$.

8. Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x^2}(t-3)dt$. Determinați intervalele de monotonie ale lui $G$.

9. Fie $H:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $H(x)={\int }_x^{2x}\frac{dt}{1+t^2}$. Arătați că $H$ are un maxim local în $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(t^2-2t)dt$. Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $[2,+\infty )$ și calculați $F(3)-F(2)$.

11. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x\sin tdt$.

12. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x(e^t-1)dt$.

13. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează pe o axă cu viteza $v(t)=6-2t$ (în metri pe secundă), iar poziția lui la momentul $x$ este $s(x)={\int }_0^{x}v(t)dt$. Determinați momentul în care mobilul este cel mai departe de punctul de plecare și distanța la care se află atunci.

14. Fie $F(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}$. Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că $F(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x^2}\frac{dt}{1+t}$. Calculați $G^{\prime }(1)$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G(x)}{x^2}$.

16. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x\frac{2t^2}{t^2+1}dt$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f$ este continuă și strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, atunci $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Fie $F(x)={\int }_0^x(t-1)(t-2)(t-3)dt$. Determinați punctele de extrem local ale lui $F$, natura lor și numărul soluțiilor reale ale ecuației $F(x)=0$.

Răspunsuri și explicații

1. $F(3)=(3t^2-4t){|}_1^3=(27-12)-(3-4)=15+1=16$.

2. $F(2)={\int }_2^{2}f=0$, prin convenție. Integrandul $\sqrt{1+t^3}$ e continuu pe $[-1,+\infty )$, deci $F^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^3}$ și $F^{\prime }(2)=\sqrt{9}=3$. Expresia lui $F$ nu e necesară — și nici nu se poate scrie cu funcții elementare.

3. Integrandul e continuu pe $\mathbb{R}$, numitorul nefiind niciodată nul, deci $F^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^4+1}}>0$ pentru orice $x$; prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. Fals. Condiția $f(2)=0$ dă doar $F^{\prime }(2)=0$, adică punct critic. Pentru $f(t)=(t-2{)}^2$, $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (derivata se anulează doar în $2$, fără schimbare de semn), deci $2$ nu e punct de extrem.

5. $F^{\prime }(x)=x^2-9$, cu zerourile $-3$ și $3$; semnul $+,-,+$. Deci $-3$ e punct de maxim local și $3$ punct de minim local. $F(x)=\frac{x^3}{3}-9x$, deci $F(-3)=-9+27=18$ și $F(3)=9-27=-18$.

6. Limita este $\cos 0=1$ (valoarea integrandului în $0$).

7. Limita este valoarea integrandului în $0$, adică $0^2+3=3$.

8. $G^{\prime }(x)=(x^2-3)\cdot 2x=2x(x^2-3)$, cu zerourile $-\sqrt{3}$, $0$ și $\sqrt{3}$, iar semnele, în ordine, $-,+,-,+$. Deci $G$ scade pe $\left(-\infty ,-\sqrt{3}\right]$ și pe $\left[0,\sqrt{3}\right]$ și crește pe $\left[-\sqrt{3},0\right]$ și pe $\left[\sqrt{3},+\infty \right)$. Control: $G(x)=\frac{x^4}{2}-3x^2$.

9. $H^{\prime }(x)=\frac{2}{1+4x^2}-\frac{1}{1+x^2}=\frac{2(1+x^2)-(1+4x^2)}{(1+4x^2)(1+x^2)}=\frac{1-2x^2}{(1+4x^2)(1+x^2)}$. Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $H^{\prime }$ e semnul lui $1-2x^2$: pozitiv pe $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ și negativ în afară. Trecerea de la $+$ la $-$ în $\frac{\sqrt{2}}{2}$ arată că acolo $H$ are maxim local.

10. $F^{\prime }(x)=x^2-2x=x(x-2)>0$ pentru $x>2$, deci $F$ e strict crescătoare pe $[2,+\infty )$. Apoi $F(3)-F(2)={\int }_2^3(t^2-2t)dt=\left(\frac{t^3}{3}-t^2\right){|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$.

11. Caz $\frac{0}{0}$; prin L'Hôpital, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$.

12. Caz $\frac{0}{0}$; prin L'Hôpital, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}$.

13. $s^{\prime }(x)=v(x)=6-2x$, pozitiv pe $[0,3)$ și negativ pe $(3,+\infty )$, deci $s$ are maxim în $x=3$ secunde. Atunci $s(3)=(6t-t^2){|}_0^3=18-9=9$ metri.

14. Integrandul e continuu și strict pozitiv, deci $F$ e strict crescătoare. Din tabelul primitivelor, o primitivă a lui $\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$ este $\ln (t+\sqrt{t^2+1})$; cu Leibniz–Newton, $F(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\ln 1=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

15. Cu formula capătului variabil, $G^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x$, deci $G^{\prime }(1)=\frac{2}{2}=1$. Pentru limită suntem în cazul $\frac{0}{0}$, iar regula lui L'Hôpital dă $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{2x(1+x^2)}=1$. Control: $G(x)=\ln (1+x^2)$.

16. Numărătorul tinde la $+\infty$ (integrandul tinde la $2$), deci e cazul $\frac{\infty }{\infty }$; prin L'Hôpital, limita este $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2+1}=2$.

17. Fals. Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia lui $f$. Contraexemplu: $f(t)=t$ este continuă și strict crescătoare, dar $F(x)=\frac{x^2}{2}$ scade pe $(-\infty ,0]$. Confuzia dintre crescătoare și pozitivă este una dintre cele mai frecvente la acest capitol.

18. $F^{\prime }(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$, cu semnele $-,+,-,+$ pe cele patru intervale. Deci $1$ și $3$ sunt puncte de minim local, iar $2$ punct de maxim local. Dezvoltând, $F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{11x^2}{2}-6x$, cu $F(1)=F(3)=-\frac{9}{4}$ și $F(2)=-2$; toate cele trei valori sunt negative, iar $F(x)\to +\infty$ la ambele capete. Ecuația se scrie $\frac{x}{4}(x^3-8x^2+22x-24)=0$, adică $\frac{x}{4}(x-4)(x^2-4x+6)=0$; ultimul factor are $\Delta =-8<0$, deci soluțiile reale sunt exact două: $x=0$ și $x=4$.

De reținut

• Funcția integrală a unei funcții continue $f$ este $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, cu variabila de integrare $t$, iar derivata ei este $F^{\prime }(x)=f(x)$.
• Monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$: acolo unde $f$ este pozitivă, $F$ crește; acolo unde $f$ este negativă, $F$ scade.
• Un zero al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo — trecerea de la plus la minus dă maxim, cea de la minus la plus dă minim.
• Monotonia unei integrale cu capete variabile se citește din semnul derivatei ${\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$, în care capătul de jos intră cu minus.
• Limitele de forma $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ sunt cazuri $\frac{0}{0}$ și dau $f(0)$, fie prin definiția derivatei, fie prin regulile lui L'Hôpital aplicate după verificarea ipotezelor.

Greșeli frecvente

• Scrierea $F(x)={\int }_a^{x}f(x)dx$. Aceeași literă nu poate fi și capăt al intervalului, și variabilă de integrare. Corect: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$.
• Confundarea lui $F^{\prime }=f$ cu $F^{\prime }=f^{\prime }$. Funcția integrală are ca derivată integrandul, nu derivata lui. Dacă $f(t)=t^2$, atunci $F^{\prime }(x)=x^2$, nu $2x$.
• Aplicarea regulii lui L'Hôpital fără a constata nedeterminarea. Se scrie explicit că numărătorul tinde la $0$ (pentru că $F$ e continuă și $F(a)=0$) și că numitorul tinde la $0$; abia apoi se derivează. Baremul punctează separat această verificare.
• Uitarea factorului $u^{\prime }(x)$ la capete variabile. ${\left({\int }_0^{x^2}f\right)}^{\prime }$ nu este $f(x^2)$, ci $f(x^2)\cdot 2x$; iar capătul de jos intră cu semnul minus.
• Concluzia de monotonie pe o reuniune de intervale. Dacă $f$ e pozitivă pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(2,+\infty )$, se scrie „$F$ e strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$ și pe $[2,+\infty )$", niciodată „pe $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$".

Aplică acasă

1. Rezervorul. Alege un debit net care își schimbă semnul, de pildă $f(t)=4-t$ (litri pe minut), și desenează pe caiet graficul lui $f$ și, dedesubt, graficul lui $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$, folosind aceeași scară pe axa timpului. Marchează momentul în care rezervorul e cel mai plin și verifică pe desen că acolo graficul lui $f$ taie axa.

2. Trei funcții, un singur tabel. Pentru $f_1(t)=t^2-1$, $f_2(t)=\sin t$ pe $[0,2\pi ]$ și $f_3(t)=t{e}^{-t}$ pe $[0,3]$, scrie pentru fiecare tabelul de semn al lui $f$ și, alături, tabelul de variație al funcției integrale cu capătul fix $0$. Compară cele trei: câte extreme are fiecare și de ce.

3. Fișa celor patru rânduri. Copiază pe o pagină modelul de redactare din secțiunea 8 și rezolvă cu el exercițiile 5, 10 și 18, bifând de fiecare dată cele patru rânduri. Notează la final care rând ți-a scăpat cel mai des.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă competența XII.CS.4.6 din programa de matematică-informatică, care cere explicit „utilizarea teoremei de existență a primitivelor unei funcții continue în diferite contexte matematice (determinarea unei primitive cu anumite proprietăți, calcularea unor limite de funcții care conțin primitive, folosind integrala definită)". Ea este locul în care analiza de clasa a XI-a — semnul derivatei, teorema lui Fermat, tabelul de variație, regulile lui L'Hôpital — se aplică integral asupra unui obiect nou, funcția integrală.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a funcției integrale, cu variabila mută $t$; (2) justificarea derivabilității prin continuitatea integrandului, înainte de a scrie $F^{\prime }=f$; (3) trecerea de la tabelul de semn al lui $f$ la tabelul de variație al lui $F$; (4) criteriul schimbării de semn pentru extreme; (5) formula capetelor variabile, cu factorul $u^{\prime }$ și cu semnul minus; (6) verificarea nedeterminării înainte de aplicarea regulii lui L'Hôpital.

Întrebări bune de control: „De ce ai voie să scrii $F^{\prime }=f$?", „Ce se schimbă dacă integrandul nu e continuu?", „Zeroul acesta al lui $f$ dă extrem sau nu, și de ce?", „Care e capătul fix și care e cel mobil?", „În ce caz de nedeterminare ești?". Semn că elevul a înțeles: nu mai încearcă să calculeze integrala înainte de a-i studia monotonia. La BAC, cerința apare de regulă ca subpunctul b) sau c) al problemei de analiză din Subiectul al III-lea; exercițiile 10, 15 și 18 sunt cele mai apropiate de formularea reală de examen.

Întrebări frecvente

Ce este funcția integrală și cu ce diferă de o primitivă oarecare?

Funcția integrală este $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, adică integrala definită a lui $f$ de la un capăt fix $a$ până la un capăt mobil $x$. Ea este o primitivă a lui $f$, dar una anume: singura care se anulează în $a$. Orice altă primitivă se obține din ea adăugând o constantă, pe interval.

Cum se studiază monotonia unei funcții definite printr-o integrală?

Se verifică întâi că integrandul este continuu, ceea ce garantează că $F$ e derivabilă și $F^{\prime }=f$. Apoi se studiază semnul lui $f$, care este semnul derivatei lui $F$: pe intervalele unde $f$ e pozitivă, $F$ crește; unde $f$ e negativă, $F$ scade. Concluzia se scrie pe fiecare interval separat.

De ce nu trebuie să calculez integrala ca să aflu extremele?

Pentru că extremele depind numai de derivată, iar derivata lui $F$ este chiar integrandul, care este dat. Metoda funcționează deci și când primitiva nu se poate scrie cu funcții elementare, cum se întâmplă la $e^{-t^2}$. Valorile extreme rămân atunci simboluri, dar poziția și natura punctelor de extrem sunt complet determinate.

Cum aflu unde are maxim o integrală cu capete variabile?

Se derivează cu formula stabilită la lecția precedentă, ${\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$, apoi se studiază semnul acestei derivate. Punctele în care ea trece de la plus la minus sunt puncte de maxim, exact ca la orice funcție derivabilă.

Cum se calculează limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$?

Rezultatul este $f(0)$, când $f$ e continuă în $0$. Îl obții pe două căi: recunoscând raportul ca $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$, deci ca definiție a lui $F^{\prime }(0)$, sau aplicând regula lui L'Hôpital după ce ai constatat cazul $\frac{0}{0}$. În lucrare, oricare drum se acceptă, dacă ipotezele sunt scrise.

Când se aplică regula lui L'Hôpital la limitele cu integrale?

Numai după ce ai arătat că ești în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$. La numărătorul ${\int }_a^{x}f$, tendința spre zero vine din continuitatea funcției integrale și din $F(a)=0$. Se derivează separat numărătorul, care dă integrandul, și numitorul; dacă reapare o nedeterminare, se reia procedura de la capăt.

De ce trebuie ca integrandul să fie continuu?

Pentru că numai continuitatea garantează derivabilitatea funcției integrale. Dacă $f$ este doar integrabilă, $F$ rămâne continuă, dar poate avea colțuri: la o funcție cu salt, $F$ are în punctul de salt derivate laterale diferite. Toate rezultatele lecției se sprijină pe $F^{\prime }=f$, deci pe continuitate.

Ce exerciții nu se rezolvă cu funcția integrală?

Nu se rezolvă cu funcția integrală șirurile de integrale, la care variază indicele, nu capătul, și nici limitele de șiruri care se recunosc ca sume Riemann. Amândouă sunt teme separate, cu rețete proprii, în lecțiile următoare ale unității. Aici capătul superior este singura mărime care variază, iar unealta este derivata funcției integrale.