Aria discului și a elipsei: pe scurt

Aria discului de rază $r$ este $\pi r^2$, dar la clasa a XII-a acest rezultat se demonstrează, nu se primește: din $x^2+y^2=r^2$ scriem sfertul din primul cadran sub graficul funcției $\sqrt{r^2-x^2}$ și obținem $\mathcal{S}=4{\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$. Substituția inversă $x=r\sin t$, cu $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, transformă radicalul în $r|\cos t|=r\cos t$ — egalitatea cere alegerea intervalului, care se scrie în rezolvare — și reduce totul la ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt$. Limitele se schimbă odată cu variabila: $0$ și $\frac{\pi }{2}$. Aceeași integrală se poate calcula și cu formula Leibniz–Newton, cu primitiva $F(x)=\frac{x\sqrt{r^2-x^2}}{2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}$. Numărul $\pi$ intră prin $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$, adică prin trigonometrie, nu prin formula de gimnaziu — altfel raționamentul ar fi circular. Interiorul elipsei cu semiaxele $a$ și $b$ are aria $\pi ab$, pentru că elipsa este discul de rază $a$ turtit în raportul $\frac{b}{a}$; atenție dacă enunțul dă axele, nu semiaxele. Formula de buzunar ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$ este aria semidiscului. Ariile mărginite de conice intră în subiectele de Bacalaureat M1 odată cu programa nouă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați ${\int }_{-6}^6\sqrt{36-x^2}dx$.

   • a) $36\pi$
   • b) $9\pi$
   • c) $72\pi$
   • d) $18\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $18\pi$

   Graficul funcției $\sqrt{36-x^2}$ pe $[-6,6]$ este semicercul superior de rază $6$, deci integrala este aria semidiscului: $\frac{\pi \cdot 36}{2}=18\pi$. Varianta $36\pi$ este aria discului întreg — confuzia cea mai frecventă a lecției; discul cere fie dublarea acestei integrale, fie integrarea diferenței celor două ramuri.

2. În calculul lui ${\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$ se face substituția $x=r\sin t$. Noile limite de integrare sunt:

   • a) $0$ și $r$
   • b) $0$ și $\frac{\pi }{2}$
   • c) $0$ și $\pi$
   • d) $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$ și $\frac{\pi }{2}$

   Din $x=r\sin t$ obținem $t=0$ pentru $x=0$ și $t=\frac{\pi }{2}$ pentru $x=r$. La integrala definită limitele se schimbă odată cu variabila, iar revenirea la $x$ nu se mai face; dacă limitele rămân $0$ și $r$, calculul arată corect, dar numărul este fals. Intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ este și cel care permite scrierea $\sqrt{r^2-r^2{\sin }^{2}t}=r\cos t$ fără modul.

3. O elipsă are axele de lungimi $20$ și $12$. Aria interiorului ei este:

   • a) $240\pi$
   • b) $120\pi$
   • c) $60\pi$
   • d) $32\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $60\pi$

   Semiaxele sunt $a=10$ și $b=6$, deci aria este $\pi ab=60\pi$. Varianta $240\pi$ este greșeala clasică: se înmulțesc axele în loc de semiaxe, ceea ce dă un rezultat de patru ori mai mare. Verifică întotdeauna dacă enunțul dă axa sau semiaxa.