Aria discului și aria interiorului unei elipse

Formula $\pi r^2$ o știi din clasa a VII-a și ai folosit-o de sute de ori. Dar de unde vine ea? În gimnaziu ți s-a arătat prin decupare: discul se taie în felii subțiri care, așezate alternativ, formează aproape un dreptunghi cu laturile $\pi r$ și $r$. Cuvântul „aproape" era, atunci, singurul lucru care se putea spune. Acum, în clasa a 12-a, ai instrumentul care îl elimină: integrala definită transformă acel „aproape" într-o egalitate exactă, iar aria discului devine un rezultat demonstrat, nu o formulă memorată. Aria discului de rază $r$ este $\pi r^2$, iar aria suprafeței mărginite de elipsa cu semiaxele $a$ și $b$ este $\pi ab$; amândouă se obțin cu integrala definită, scriind curba ca reuniune a graficelor a două funcții cu radical.

Lecția face exact acest drum, de două ori. Întâi pentru disc, pe două căi independente, apoi pentru interiorul unei elipse, unde răspunsul $\pi ab$ apare aproape gratuit dacă privești elipsa așa cum a fost descrisă la recunoașterea conicelor: ca reuniune a graficelor a două funcții cu radical. La final adăugăm două figuri care se calculează cu aceleași unelte și care apar des în probleme: segmentul de disc tăiat de o coardă și sectorul de disc.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi formula ariei discului, $\pi r^2$, cu integrala definită, pe două căi diferite.
• Vei ști să folosești substituția inversă $x=r\sin t$ pentru integrale cu radicalul $\sqrt{r^2-x^2}$.
• Vei ști să demonstrezi că interiorul unei elipse cu semiaxele $a$ și $b$ are aria $\pi ab$.
• Vei ști să calculezi aria unui semidisc, a unui sfert de disc și a unei benzi verticale dintr-un disc.
• Vei ști să calculezi aria segmentului de disc tăiat de o coardă și aria unui sector de disc.
• Vei ști să verifici orice astfel de rezultat prin încadrare și prin comparație cu figurile cunoscute.

Hai să descoperim împreună

1. De ce are nevoie formula $\pi r^2$ de o demonstrație?

Aria discului de rază $r$ este numărul care măsoară suprafața mărginită de cercul de ecuație $x^2+y^2=r^2$; vom arăta că acest număr este exact $\pi r^2$, calculându-l ca integrală definită a funcțiilor ale căror grafice formează cercul. Până acum formula a fost primită de-a gata; de aici încolo devine o consecință a formulei Leibniz–Newton.

Există și un motiv mai adânc. Numărul $\pi$ nu este definit ca „aria discului de rază $1$" — el se definește prin lungimea cercului, iar legătura dintre lungime și arie este tocmai ceea ce gimnaziul nu poate justifica. Noi luăm ca punct de plecare o singură proprietate a lui $\pi$, dobândită la trigonometrie: funcțiile $\sin$ și $\cos$ au perioada $2\pi$ și $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Restul iese din calcul.

Aria se notează, ca în toate clasele de liceu, cu $\mathcal{S}$, iar subgraficul unei funcții continue și pozitive $f$ pe $[a,b]$ cu ${\Gamma }_f$ — notațiile fixate la aria subgraficului unei funcții continue. Toate funcțiile din această lecție sunt pozitive pe intervalele pe care le integrăm, deci nu apare problema semnului tratată la arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale, cu schimbare de semn; ramura de jos a cercului o folosim doar ca margine inferioară, în diferență, niciodată singură sub integrală.

2. Cum se scrie discul ca reuniune de subgrafice?

Cercul $x^2+y^2=r^2$ nu este graficul unei funcții: verticala $x=0$ îl taie în două puncte. Scoțând însă $y$ din ecuație cu ambele semne, obținem funcțiile

$$f_{1,2}:[-r,r]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \sqrt{r^2-x^2},$$

iar cercul este reuniunea graficelor lor. Fiecare dintre ele este o funcție-radical, din familia studiată la funcția radical de ordinul al doilea, compusă cu un trinom. Discul mărginit de cerc se împarte astfel în două jumătăți simetrice față de axa $Ox$: semidiscul de sus este chiar subgraficul lui $f_1$, care este continuă și pozitivă pe $[-r,r]$.

Mai mult, $f_1$ este pară, deci graficul ei este simetric și față de axa $Oy$. Cele două simetrii împart discul în patru sferturi de aceeași arie, iar sfertul din primul cadran este subgraficul restricției lui $f_1$ la $[0,r]$. Prin urmare

$$\mathcal{S}(\text{disc})=4{\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx.$$

Reducerea la primul cadran nu este obligatorie, dar simplifică toate calculele care urmează: capetele devin $0$ și $r$, iar radicalul rămâne pozitiv fără discuții de semn. Funcția de sub integrală este continuă pe $[0,r]$, deci integrabilă — criteriul se aplică fără verificări suplimentare.

Merită observat un lucru care sperie uneori: $f_1$ nu este derivabilă în $-r$ și în $r$, unde graficul are tangente verticale. Nu are nicio importanță. Integrabilitatea cere doar continuitatea, iar $f_1$ este continuă pe tot $[-r,r]$, ca o compunere de funcții continue. Derivabilitatea ar fi fost necesară dacă am fi vrut să studiem variația; pentru arie nu este.

3. Cum se calculează aria discului cu substituția $x=r\sin t$?

Integrandul $\sqrt{r^2-x^2}$ nu are forma $f(u(x))u^{\prime }(x)$: nu se vede nicio derivată „dinăuntru". Este exact situația pentru care schimbarea de variabilă la integrala definită a pregătit substituția inversă, în care nu notăm o expresie din integrand, ci impunem o legătură $x=\phi (t)$. Acolo calculul a fost făcut cu litera $a$ pentru capătul din dreapta; aici capătul este raza, deci scriem $r$ în loc de $a$ — este aceeași integrală, cu altă literă.

Parcurgem cei trei pași ai schimbării de variabilă la integrala definită.

Pasul 1 — substituția. Luăm $\phi (t)=r\sin t$, cu $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Pe acest interval $\phi$ este strict crescătoare, derivabilă, cu ${\phi }^{\prime }(t)=r\cos t$ continuă, și ia valori în $[0,r]$: toate ipotezele teoremei sunt îndeplinite. Scriem $dx=r\cos tdt$.

Pasul 2 — noile limite. Din $r\sin t=0$ obținem $t=0$; din $r\sin t=r$ obținem $\sin t=1$, deci $t=\frac{\pi }{2}$. Monotonia este cea care garantează că fiecare ecuație are o singură soluție în interval.

Pasul 3 — calculul în noua variabilă. Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ avem $\cos t\ge 0$, deci

$$\sqrt{r^2-r^2{\sin }^{2}t}=r\sqrt{{\cos }^{2}t}=r|\cos t|=r\cos t,$$

iar radicalul dispare. Rămâne

$${\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx={\int }_0^{\pi /2}r\cos t\cdot r\cos tdt=r^2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt.$$

Cu formula de liniarizare ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$ obținem

$$r^2{\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{r^2}{2}\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right){|}_0^{\pi /2}=\frac{r^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi r^2}{4}.$$

Înmulțind cu $4$, ajungem la rezultatul anunțat: $\mathcal{S}(\text{disc})=\pi r^2$. Observă unde a intrat $\pi$ în calcul — nu prin formula din gimnaziu, ci prin valoarea $\frac{\pi }{2}$ a capătului de integrare, adică prin trigonometrie.

De ce am redus la un sfert. Calculul se putea face și direct pe $[-r,r]$, cu $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$: acolo sinusul este tot strict crescător, de la $-r$ la $r$, iar cosinusul rămâne pozitiv, deci modulul cade la fel. S-ar fi obținut $\frac{\pi r^2}{2}$, adică semidiscul, și ar fi mai rămas o înmulțire cu $2$. Regula practică este să alegi capetele astfel încât expresia de sub modul să aibă semn constant și noile limite să fie unghiuri remarcabile; simetriile figurii îți dau libertatea să alegi.

4. Calea a doua: Leibniz–Newton cu o primitivă cunoscută

A doua cale nu schimbă variabila deloc. La integrarea prin părți cu aplicare repetată a fost dedus, prin trucul „ecuație în $I$", faptul că o primitivă a funcției $x\mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ pe intervalul $[-r,r]$ este

$$F(x)=\frac{x\sqrt{r^2-x^2}}{2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}.$$

Verificarea se scrie într-un rând și o poți face oricând, dacă nu ești sigur de formulă. Derivând produsul din primul termen și compunerea din al doilea, pe intervalul deschis $(-r,r)$:

$$F^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{2}-\frac{x^2}{2\sqrt{r^2-x^2}}+\frac{r^2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{\left(r^2-x^2\right)-x^2+r^2}{2\sqrt{r^2-x^2}},$$

de unde, după reducere, $F^{\prime }(x)=\frac{2r^2-2x^2}{2\sqrt{r^2-x^2}}=\sqrt{r^2-x^2}$, exact funcția de integrat. Am folosit $(\arcsin u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}}$ cu $u=\frac{x}{r}$. Cu primitiva verificată, formula Leibniz–Newton dă direct

$${\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(0)=\left(0+\frac{r^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\right)-0=\frac{\pi r^2}{4},$$

pentru că $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$ și $\arcsin 0=0$. Din nou $\mathcal{S}(\text{disc})=\pi r^2$, obținut pe alt drum.

Cele două căi nu sunt rivale: prima arată de unde vine primitiva, a doua o folosește. La un subiect de examen, dacă formula primitivei este permisă, calea a doua durează trei rânduri; dacă enunțul cere substituția, prima este obligatorie. Faptul că amândouă dau același număr este cel mai bun control al calculului.

5. Care este formula de buzunar pentru semidisc și sfert de disc?

Din același calcul se citesc trei rezultate care se folosesc apoi în toate lecțiile de arii:

Rândul din mijloc merită reținut ca formulă de buzunar: ori de câte ori într-un calcul apare ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$, valoarea ei este $\frac{\pi r^2}{2}$, fără nicio substituție. Tot din el se citește și interpretarea: integrala unei funcții pozitive este aria de sub grafic, iar graficul lui $f_1$ este semicercul de sus.

Rândul de jos se poate scrie și fără simetrii, ca arie cuprinsă între graficele a două funcții: discul este regiunea dintre graficul lui $f_2$, dedesubt, și al lui $f_1$, deasupra, pe intervalul $[-r,r]$. Atunci

$$\mathcal{S}(\text{disc})={\int }_{-r}^r(f_1(x)-f_2(x))dx=2{\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2,$$

fără modul, pentru că știm dinainte cine este deasupra. Cele două redactări — „de patru ori sfertul" și „diferența celor două ramuri" — sunt la fel de corecte; prima e mai scurtă la scris, a doua se generalizează imediat la orice pereche de conice.

6. Cum se obține aria interiorului unei elipse?

Elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>b>0$, se scrie la fel ca cercul, ca reuniune a graficelor funcțiilor

$$g_{1,2}:[-a,a]\to \mathbb{R},g_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},$$

formă fixată la elementele elipsei și reprezentarea ei grafică. Cu aceleași două simetrii ca la disc,

$$\mathcal{S}(\text{interiorul elipsei})=4{\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{b}{a}\cdot 4{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{b}{a}\cdot \pi a^2=\pi ab.$$

Cheia este că factorul constant $\frac{b}{a}$ iese în fața integralei prin liniaritate, iar ce rămâne este exact aria discului de rază $a$, calculată la punctul 3. Nu se reface niciun calcul.

Rezultatul are o citire geometrică pe care merită să o reții: interiorul elipsei este un disc de rază $a$ turtit pe verticală în raportul $\frac{b}{a}$, iar o turtire pe verticală înmulțește toate ariile cu același raport. De aceea $\pi a^2$ devine $\pi ab$. Pentru $a=b=r$ formula redă $\pi r^2$ — un prim control.

Afirmația despre turtire nu este o metaforă, ci o consecință a liniarității: dacă o regiune este subgraficul lui $f$ pe $[a,b]$, regiunea turtită este subgraficul lui $kf$ pe același interval, iar ${\int }_a^{b}kf=k{\int }_a^{b}f$. Aici $k=\frac{b}{a}$, pentru că ordonata unui punct al elipsei este de $\frac{b}{a}$ ori ordonata punctului de pe cerc cu aceeași abscisă:

$$g_1(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}=\frac{b}{a}{f}_1(x),x\in [-a,a].$$

Exemplu numeric. Interiorul elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ are $a=5$, $b=2$, deci aria $\pi \cdot 5\cdot 2=10\pi \approx 31,42$. Discul de rază $5$ are aria $25\pi \approx 78,54$, iar raportul lor este $\frac{2}{5}$, exact turtirea.

7. Cum se află aria unui segment de disc tăiat de o coardă?

Un semidisc se obține tăind discul cu o coardă care trece prin centru. Dacă tăietura nu trece prin centru, bucata mai mică se numește segment de disc, iar aria ei se calculează cu aceeași integrală, doar că pe alt interval.

Fie discul $x^2+y^2=r^2$ și coarda verticală $x=c$, cu $0<c<r$. Bucata din dreapta coardei este cuprinsă între graficele lui $f_2$ și $f_1$ pe intervalul $[c,r]$, deci

$$\mathcal{S}={\int }_c^r(f_1(x)-f_2(x))dx=2{\int }_c^r\sqrt{r^2-x^2}dx=2(F(r)-F(c)),$$

cu primitiva $F$ de la punctul 4, scrisă pentru raza $r$. Efectuând calculul,

$$2(F(r)-F(c))=2\left(\frac{r^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\right)-2\left(\frac{c\sqrt{r^2-c^2}}{2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{c}{r}\right),$$

adică

$$\mathcal{S}=\frac{\pi r^2}{2}-c\sqrt{r^2-c^2}-r^2\arcsin \frac{c}{r}.$$

Exemplu numeric. Pentru $r=2$ și $c=1$ obținem $\mathcal{S}=2\pi -\sqrt{3}-4\arcsin \frac{1}{2}=2\pi -\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 2,457$. Controlul este imediat: aria discului este $4\pi \approx 12,57$, iar segmentul reprezintă cam a cincea parte din ea — plauzibil pentru o tăietură făcută la jumătatea razei.

Formula se citește și invers: partea din stânga coardei, adică restul discului, are aria $\pi r^2$ minus expresia de mai sus. Merită să te obișnuiești să spui care dintre cele două bucăți o calculezi — este greșeala de neatenție cea mai frecventă la acest tip de problemă, pentru că enunțul o precizează într-un singur cuvânt („la dreapta", „deasupra").

8. Sectorul de disc și trei controale ale rezultatului

Sectorul de disc de rază $r$ și unghi la centru $\alpha$ se descompune, atunci când $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, într-un triunghi dreptunghic și o bucată de sub arc. Cu $M(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$ pe cerc, triunghiul de vârfuri $O$, $(r\cos \alpha ,0)$ și $M$ are aria $\frac{r^2\sin \alpha \cos \alpha }{2}$, iar bucata de sub arc este ${\int }_{r\cos \alpha }^r\sqrt{r^2-x^2}dx$. Bucata de sub arc se calculează cu primitiva $F$: valoarea ei este $F(r)-F(r\cos \alpha )$, adică

$$\frac{\pi r^2}{4}-\frac{r\cos \alpha \cdot r\sin \alpha }{2}-\frac{r^2}{2}\arcsin (\cos \alpha ),$$

unde am folosit $\sqrt{r^2-r^2{\cos }^2\alpha }=r\sin \alpha$, adevărat pentru că $\sin \alpha >0$. Cum $\arcsin (\cos \alpha )=\frac{\pi }{2}-\alpha$ pentru $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, expresia devine $\frac{\alpha r^2}{2}-\frac{r^2\sin \alpha \cos \alpha }{2}$. Adunând aria triunghiului, termenii cu $\sin \alpha \cos \alpha$ se anulează și rămâne

$$\mathcal{S}(\text{sector})=\frac{\alpha r^2}{2},$$

adică formula din gimnaziu, acum dedusă. Pentru $\alpha =2\pi$ ea redă $\pi r^2$, iar pentru $\alpha =\pi$ semidiscul — două controale imediate. Pentru $r=2$ și $\alpha =\frac{\pi }{3}$: triunghiul are aria $\frac{\sqrt{3}}{2}$, bucata de sub arc are aria $\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar suma este $\frac{2\pi }{3}$, exact $\frac{\alpha r^2}{2}$.

Închei orice calcul de arie cu trei controale rapide: (1) semnul — aria iese pozitivă, altfel ai inversat funcțiile sau capetele; (2) încadrarea — rezultatul este mai mic decât aria unei figuri simple care conține regiunea (dreptunghiul circumscris, discul întreg); (3) cazul particular — pune $b=a$ la elipsă, $c=0$ la segment sau $\alpha =2\pi$ la sector și verifică dacă regăsești o figură cunoscută. Programa recomandă și folosirea unui instrument digital pentru verificarea numerică a rezultatului; el confirmă, dar nu înlocuiește, calculul scris.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria discului de rază dată

Calculați aria discului mărginit de cercul $x^2+y^2=9$.

Aici $r=3$. Din formula demonstrată, $\mathcal{S}=\pi \cdot 3^2=9\pi \approx 28,27$. Dacă enunțul cere calculul integral, se scrie $\mathcal{S}=4{\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx=4\cdot \frac{9\pi }{4}=9\pi$.

Exemplul 2 — O integrală citită geometric

Calculați ${\int }_{-4}^4\sqrt{16-x^2}dx$.

Integrandul este funcția al cărei grafic este semicercul de sus al cercului $x^2+y^2=16$, iar intervalul de integrare este tot diametrul. Integrala este deci aria semidiscului de rază $4$: $\frac{\pi \cdot 16}{2}=8\pi$. Nu este nevoie de nicio substituție — formula de buzunar de la punctul 5 rezolvă exercițiul într-un rând.

Exemplul 3 — Aria interiorului unei elipse dintr-o ecuație neredusă

Calculați aria suprafeței mărginite de elipsa $16x^2+9y^2=576$.

Împărțim prin $576$ și obținem $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{64}=1$. Numitorul mai mare stă sub $y^2$, deci semiaxa mare este $8$, pe axa $Oy$, iar semiaxa mică este $6$. Aria este $\pi \cdot 8\cdot 6=48\pi \approx 150,80$. Formula $\pi ab$ nu ține cont de orientare: contează produsul semiaxelor.

Exemplul 4 — O bandă verticală dintr-un disc

Calculați aria porțiunii din discul $x^2+y^2=16$ cuprinse între dreptele $x=-2$ și $x=2$.

Banda este cuprinsă între graficele lui $f_2$ și $f_1$ pe $[-2,2]$, deci $\mathcal{S}=2{\int }_{-2}^2\sqrt{16-x^2}dx$. Cu primitiva $F$ și $r=4$:

$$\mathcal{S}=2\left(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\arcsin \frac{x}{4}\right){|}_{-2}^2=4\left(2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)=8\sqrt{3}+\frac{16\pi }{3}\approx 30,61.$$

Controlul: aria întregului disc este $16\pi \approx 50,27$, iar banda ocupă puțin peste 60% din ea — plauzibil, pentru că este banda din mijloc, cea mai lată.

Exemplul 5 — Segment de disc tăiat de o coardă orizontală

Calculați aria porțiunii din discul $x^2+y^2=4$ situate deasupra dreptei $y=1$.

Rolurile axelor se schimbă, dar calculul este identic: integrăm după $y$. Pentru $y\in [1,2]$, abscisele punctelor din disc sunt cuprinse între $-\sqrt{4-y^2}$ și $\sqrt{4-y^2}$, deci

$$\mathcal{S}=2{\int }_1^2\sqrt{4-y^2}dy=2\left(\frac{y\sqrt{4-y^2}}{2}+2\arcsin \frac{y}{2}\right){|}_1^2=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 2,457.$$

Este exact numărul obținut la punctul 7 pentru coarda verticală $x=1$ — firesc, cele două figuri se suprapun printr-o rotație de $90^{\circ }$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră elipsa de ecuație $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ și funcția $g:[-5,5]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2}{5}\sqrt{25-x^2}$.

a) Arătați că graficul lui $g$ este jumătatea de sus a elipsei.

Pentru $x\in [-5,5]$, punctul $(x,g(x))$ verifică $\frac{x^2}{25}+\frac{g(x{)}^2}{4}=\frac{x^2}{25}+\frac{25-x^2}{25}=1$, deci se află pe elipsă; cum $g(x)\ge 0$, este vorba de arcul de sus. Reciproc, orice punct al elipsei cu $y\ge 0$ are $y=\frac{2}{5}\sqrt{25-x^2}$.

b) Calculați ${\int }_{-5}^{5}g(x)dx$.

Prin liniaritate, ${\int }_{-5}^5\frac{2}{5}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{2}{5}\cdot \frac{\pi \cdot 25}{2}=5\pi$, folosind formula de buzunar pentru $r=5$.

c) Deduceți aria suprafeței mărginite de elipsă și comparați-o cu aria discului de rază $5$.

Aria interiorului elipsei este dublul integralei de la punctul b), adică $10\pi$, în acord cu $\pi ab=\pi \cdot 5\cdot 2$. Discul de rază $5$ are aria $25\pi$, deci raportul este $\frac{10\pi }{25\pi }=\frac{2}{5}=\frac{b}{a}$, adică turtirea.

Să exersăm

1. Calculați ${\int }_0^5\sqrt{25-x^2}dx$, folosind interpretarea geometrică.

2. Calculați ${\int }_{-3}^3\sqrt{9-x^2}dx$.

3. Calculați aria discului mărginit de cercul $x^2+y^2=49$.

4. Calculați aria suprafeței mărginite de elipsa $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1$.

5. Aduceți ecuația $16x^2+9y^2=576$ la forma canonică și calculați aria interiorului elipsei.

6. Calculați ${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx$ prin substituția $x=2\sin t$, scriind toți cei trei pași.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria discului de rază $r$ este ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suprafața mărginită de o elipsă cu semiaxele $9$ și $5$ are aria $45\pi$."

9. Calculați aria porțiunii din discul $x^2+y^2=4$ situate la dreapta dreptei $x=1$.

10. Calculați aria sectorului de disc de rază $3$ și unghi la centru $\frac{\pi }{4}$.

11. Calculați aria porțiunii din discul $x^2+y^2=25$ situate deasupra axei $Ox$.

12. Arătați că raportul dintre aria interiorului elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ și aria discului de rază $a$ este $\frac{b}{a}$.

13. (Problemă aplicată.) O piscină are forma unei elipse cu axele de $14$ metri și $8$ metri. Câți metri pătrați de folie sunt necesari pentru a acoperi luciul apei?

14. Calculați aria porțiunii din discul $x^2+y^2=16$ cuprinse între dreptele $x=-2$ și $x=2$.

15. O elipsă are semiaxa mare $a=5$, iar suprafața mărginită de ea are aria $20\pi$. Determinați semiaxa mică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $h:[-3,3]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{9-x^2}$. a) Arătați că graficul lui $h$ este un semicerc și precizați-i raza. b) Calculați ${\int }_{-3}^{3}h(x)dx$. c) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul lui $h$ și axa $Ox$, apoi deduceți aria discului corespunzător.

17. Verificați că formula segmentului de disc, $\frac{\pi r^2}{2}-c\sqrt{r^2-c^2}-r^2\arcsin \frac{c}{r}$, dă valoarea așteptată pentru $c=0$ și pentru $c=r$.

18. (Provocare.) Calculați aria porțiunii din interiorul elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ cuprinse între dreptele $x=-\frac{a}{2}$ și $x=\frac{a}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. Este aria sfertului de disc de rază $5$ din primul cadran, deci $\frac{25\pi }{4}\approx 19,63$.

2. Este aria semidiscului de rază $3$, deci $\frac{9\pi }{2}\approx 14,14$ (formula de buzunar).

3. $r=7$, deci $\mathcal{S}=49\pi \approx 153,94$.

4. $a=7$, $b=3$, deci $\mathcal{S}=\pi \cdot 7\cdot 3=21\pi \approx 65,97$.

5. Împărțind prin $576$: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{64}=1$, cu semiaxele $8$ și $6$; aria este $48\pi \approx 150,80$.

6. Pasul 1: $x=2\sin t$, $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $dx=2\cos tdt$. Pasul 2: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$. Pasul 3: integrala devine $4{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt=4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi$.

7. Fals. Acea integrală dă aria semidiscului, adică $\frac{\pi r^2}{2}$. Pentru discul întreg trebuie dublată, sau se integrează diferența $f_1-f_2$.

8. Adevărat. $\pi ab=\pi \cdot 9\cdot 5=45\pi$, indiferent care dintre semiaxe este pe $Ox$.

9. Este segmentul de disc cu $r=2$ și $c=1$: $\mathcal{S}=2{\int }_1^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 2,457$.

10. $\mathcal{S}=\frac{\alpha r^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot 9=\frac{9\pi }{8}\approx 3,53$.

11. Semidiscul de rază $5$: $\frac{25\pi }{2}\approx 39,27$.

12. Raportul este $\frac{\pi ab}{\pi a^2}=\frac{b}{a}$; el se vede și în calcul, unde factorul $\frac{b}{a}$ iese în fața integralei prin liniaritate.

13. Semiaxele sunt $7$ și $4$ metri, deci aria este $28\pi \approx 87,96$ metri pătrați. Se cumpără cel puțin $88$ de metri pătrați de folie.

14. $\mathcal{S}=2{\int }_{-2}^2\sqrt{16-x^2}dx=8\sqrt{3}+\frac{16\pi }{3}\approx 30,61$ (Exemplul 4).

15. Din $\pi ab=20\pi$ și $a=5$ rezultă $b=4$.

16. a) Din $y=\sqrt{9-x^2}\ge 0$ rezultă $x^2+y^2=9$, deci graficul este semicercul superior de rază $3$. b) $\frac{9\pi }{2}\approx 14,14$. c) Aria dintre grafic și axă este chiar integrala, $\frac{9\pi }{2}$; discul, fiind format din două astfel de jumătăți, are aria $9\pi$.

17. Pentru $c=0$: $\frac{\pi r^2}{2}-0-0=\frac{\pi r^2}{2}$, adică semidiscul — corect. Pentru $c=r$: $\frac{\pi r^2}{2}-0-r^2\cdot \frac{\pi }{2}=0$, adică nicio suprafață — corect, coarda a devenit tangentă.

18. Aria este $\frac{b}{a}$ înmulțit cu aria benzii corespunzătoare din discul de rază $a$, adică $\frac{b}{a}\cdot 2{\int }_{-a/2}^{a/2}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{ab\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi ab}{3}$. Pentru $a=5$, $b=2$ se obține $5\sqrt{3}+\frac{10\pi }{3}\approx 19,13$, adică peste 60% din cei $10\pi$ ai întregii elipse.

De reținut

• Aria discului de rază $r$ este $\pi r^2$, iar acest rezultat se demonstrează cu $\mathcal{S}=4{\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$, nu se primește ca formulă.
• Substituția inversă $x=r\sin t$, cu $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, transformă radicalul $\sqrt{r^2-x^2}$ în $r\cos t$ și reduce calculul la ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt$.
• Aceeași integrală se poate calcula și cu formula Leibniz–Newton, folosind primitiva $F(x)=\frac{x\sqrt{r^2-x^2}}{2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}$.
• Suprafața mărginită de elipsa cu semiaxele $a$ și $b$ are aria $\pi ab$, pentru că elipsa este discul de rază $a$ turtit pe verticală în raportul $\frac{b}{a}$.
• Formula de buzunar ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$ scurtează orice exercițiu în care apare semicercul.

Greșeli frecvente

• Confunzi semidiscul cu discul. ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$ este aria semidiscului. Discul cere fie dublarea acestei integrale, fie integrarea diferenței $f_1-f_2$ dintre cele două ramuri.
• Scoți radicalul fără modul. $\sqrt{r^2-r^2{\sin }^{2}t}=r|\cos t|$, iar egalitatea cu $r\cos t$ este adevărată doar pentru că $t$ a fost ales în $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, unde cosinusul este pozitiv. Alegerea intervalului trebuie scrisă în rezolvare.
• Uiți schimbarea limitelor. După substituția $x=r\sin t$, limitele devin $0$ și $\frac{\pi }{2}$. Dacă rămân $0$ și $r$, calculul arată corect, dar numărul este fals — la integrala definită nu se revine la variabila veche.
• Aplici $\pi ab$ cu diametrele în loc de semiaxe. La o elipsă cu axele de $14$ și $8$ metri, semiaxele sunt $7$ și $4$, deci aria este $28\pi$, nu $112\pi$. Verifică întotdeauna dacă enunțul dă axa sau semiaxa.
• Crezi că $\pi$ vine din formula de gimnaziu. În demonstrație $\pi$ intră prin valoarea $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$, adică prin trigonometrie. A folosi aria discului ca să demonstrezi aria discului ar fi un raționament circular.

Aplică acasă

1. Discul, numărat pe pătrățele. Desenează pe hârtie milimetrică un sfert de disc de rază $10$ centimetri, numără pătrățelele acoperite complet și apoi pe cele atinse măcar parțial și compară media celor două numărători cu $\frac{100\pi }{4}\approx 78,5$. Cele două numărători sunt exact încadrarea pe care integrala o strânge la limită.

2. Elipsa cântărită. Taie din carton o elipsă cu axele de $20$ și $12$ centimetri și un disc de rază $10$ centimetri, din același carton. Cântărește-le la o balanță de bucătărie: raportul maselor trebuie să fie apropiat de $\frac{b}{a}=\frac{6}{10}$, pentru că masele sunt proporționale cu ariile. Ai măsurat astfel, fizic, turtirea.

3. Segmentul care se stinge. Alege trei valori pentru $c$ între $0$ și $r=5$, calculează cu formula segmentului de disc ariile corespunzătoare și verifică-le cu un instrument digital de calcul al integralelor. Urmărește cum aria scade spre zero când $c$ se apropie de $r$ și explică, în două rânduri, de ce scăderea nu este liniară.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde cerinței din programa de matematică-informatică privind „calcularea ariilor unor suprafețe plane delimitate de conice: aria discului, aria suprafeței reprezentate de interiorul unei elipse". Esențial este că ambele formule sunt deduse, nu enunțate: programa cere modelarea cu integrale definite, iar aria discului este exemplul canonic în care integrala face ceea ce geometria elementară nu poate.

Ce verifică lecția: (1) scrierea unei conice ca reuniune de grafice de funcții și folosirea simetriilor pentru a reduce integrala la primul cadran; (2) aplicarea corectă a substituției inverse, cu justificarea monotoniei și cu schimbarea limitelor; (3) folosirea alternativă a formulei Leibniz–Newton cu o primitivă cunoscută; (4) trecerea de la disc la elipsă prin liniaritate; (5) controlul rezultatului prin încadrare și prin cazuri particulare.

Întrebări de control: „De ce apare factorul $4$ în fața integralei?", „Ce se întâmplă cu limitele de integrare după substituție?", „De ce aria elipsei este $\pi ab$ și nu $\pi a^2$?", „Cum verifici, fără calculator, că rezultatul are ordinul de mărime corect?".

Semne că a înțeles: recunoaște instantaneu că ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$ este o semidisc și nu mai substituie inutil; scrie intervalul lui $t$ înainte de a scoate radicalul; verifică rezultatul cu $b=a$.

Unde apare la BAC: integralele cu radicalul $\sqrt{r^2-x^2}$ și ariile calculate cu ele sunt materie de Subiectul al III-lea; ariile delimitate de conice intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a.

Întrebări frecvente

Cum se demonstrează formula ariei discului?

Se scrie cercul $x^2+y^2=r^2$ ca reuniune a graficelor funcțiilor $\pm \sqrt{r^2-x^2}$, se folosesc cele două simetrii ale discului și se ajunge la $\mathcal{S}=4{\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$. Integrala se calculează cu substituția $x=r\sin t$ și dă $\frac{\pi r^2}{4}$, deci aria discului este $\pi r^2$.

Care este formula ariei interiorului unei elipse?

Aria suprafeței mărginite de elipsa cu semiaxele $a$ și $b$ este $\pi ab$. Ea se obține din $4{\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$: factorul constant $\frac{b}{a}$ iese în fața integralei, iar ce rămâne este aria discului de rază $a$. Pentru $a=b=r$ formula redă $\pi r^2$.

De ce se folosește substituția $x=r\sin t$?

Pentru că identitatea $1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$ transformă radicalul într-o expresie fără radical: $\sqrt{r^2-r^2{\sin }^{2}t}=r\cos t$ pe intervalul unde cosinusul este pozitiv. Este o substituție inversă: nu notăm o expresie din integrand, ci impunem legătura $x=\phi (t)$, cu $\phi$ strict monotonă.

Ce este segmentul de disc și cum se calculează aria lui?

Segmentul de disc este bucata de disc rămasă de o parte a unei coarde care nu trece prin centru. Pentru cercul $x^2+y^2=r^2$ și coarda $x=c$, aria bucății din dreapta este $2{\int }_c^r\sqrt{r^2-x^2}dx$, adică $\frac{\pi r^2}{2}-c\sqrt{r^2-c^2}-r^2\arcsin \frac{c}{r}$.

Cât este ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$?

Este $\frac{\pi r^2}{2}$, adică aria semidiscului de rază $r$, pentru că integrandul are drept grafic semicercul de deasupra axei $Ox$. Merită reținută ca formulă de buzunar: apare des în subiectele de examen, iar recunoscută pe loc scutește de toată substituția trigonometrică.

De ce nu se poate demonstra aria discului doar cu geometrie?

Pentru că discul nu se descompune în triunghiuri sau dreptunghiuri: orice descompunere lasă bucăți mărginite de arce. Geometria elementară poate doar încadra aria între cea a poligoanelor înscrise și circumscrise, iar trecerea la limită din acea încadrare este exact ceea ce face integrala definită.

Se poate calcula aria discului integrând după $y$?

Da, și rezultatul este același. Din $x=\pm \sqrt{r^2-y^2}$ se obține $\mathcal{S}=2{\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}dy=\pi r^2$. Discul fiind simetric față de prima bisectoare, cele două drumuri sunt oglinda unul altuia; alegerea variabilei se face după cum arată regiunea.

Unde se folosesc mai departe aceste formule?

Imediat, la ariile mărginite de conice: aria dintre o parabolă și o dreaptă la arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte, apoi ariile dintre două conice. Tot ele stau la baza volumului sferei, dedus prin rotația semidiscului la volumul corpului de rotație.