Aria dintre două grafice: pe scurt

Pentru $f,g$ continue pe $[a,b]$, cu $g\le f$, aria suprafeței cuprinse între cele două grafice este $\mathcal{S}={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ — integrala diferenței „de sus minus de jos”. Formula se demonstrează întâi pentru $f\ge g\ge 0$, ca diferență de subgrafice, apoi în cazul general printr-o translație verticală cu o constantă $c$, care dispare din calcul; se admite fără demonstrație că o translație nu schimbă aria. De aici urmează o consecință des ignorată: formula nu cere funcții pozitive. Rețeta are trei etape: se află punctele de intersecție din ecuația $f(x)=g(x)$, se stabilește cine este deasupra cu tabelul de semn al diferenței $f-g$, apoi se scrie integrala. Limitele de integrare sunt abscisele punctelor de intersecție, nu ordonatele lor, iar când enunțul dă intervalul, rădăcinile din interiorul lui rup calculul în mai multe integrale. Formula generală este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, dar modulul nu se lasă în scriere: se desface pe bucăți, iar controlul unității cere ca fiecare integrală din sumă să iasă pozitivă. Scăderea ariilor subgraficelor are sens numai când $g\le f$ pe tot intervalul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=8-x^2$ și $g(x)=2x$ este:

   • a) $18$
   • b) $36$
   • c) $\frac{64}{3}$
   • d) $72$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $36$

   Din $8-x^2=2x$ obținem $x^2+2x-8=0$, cu rădăcinile $-4$ și $2$; acestea sunt limitele. Pe $(-4,2)$ parabola este deasupra (testul $x=0$ dă $8>0$), deci $\mathcal{S}={\int }_{-4}^2\left(8-x^2-2x\right)dx=\left(8x-\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_{-4}^2=12-(-24)=36$. Varianta $18$ apare când se integrează doar de la $0$ la $2$.

2. La calculul ariei dintre două grafice care se taie în punctele $A(-1,3)$ și $B(4,8)$, limitele de integrare sunt:

   • a) $3$ și $8$
   • b) $3$ și $4$
   • c) $-1$ și $8$
   • d) $-1$ și $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-1$ și $4$

   Integrarea se face după $x$, deci limitele sunt abscisele punctelor de intersecție: $-1$ și $4$. Ordonatele $3$ și $8$ nu intră nicăieri în calcul; ele apar doar dacă se schimbă variabila de integrare, ceea ce nu e cazul aici. Varianta b) amestecă o ordonată cu o abscisă.

3. Aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=4x$ și $g(x)=x^3$, pe intervalul $[-2,2]$, este:

   • a) $8$
   • b) $4$
   • c) $0$
   • d) $16$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $8$

   Din $4x=x^3$ rezultă $x\in \{-2,0,2\}$, deci $x=0$ este un punct de intersecție interior: ordinea se schimbă acolo. Pe $[-2,0]$ cubica este deasupra, pe $[0,2]$ dreapta: $\mathcal{S}={\int }_{-2}^0\left(x^3-4x\right)dx+{\int }_0^2\left(4x-x^3\right)dx=4+4=8$. Varianta $0$ este exact rezultatul obținut dacă se scrie o singură integrală, pe tot intervalul — compensarea ascunde ambele bucăți.