Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții

Frunza unui arbore, secțiunea unei lentile, profilul unui dig, felia dintre două curbe de pe un grafic economic — toate sunt suprafețe mărginite nu de o curbă și o axă, ci de două curbe care se întâlnesc. Lecția aceasta rezolvă problema lor în cazul de clasa a 12-a: două funcții continue, un interval și o singură formulă care le adună diferența. Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții continue $f$ și $g$ pe intervalul $[a,b]$ este integrala diferenței lor, $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, adică integrala funcției de deasupra minus cea de dedesubt.

Ideea este surprinzător de simplă și se vede pe orice desen. Dacă graficul lui $f$ trece pe deasupra graficului lui $g$, atunci suprafața dintre ele este ce rămâne din regiunea de sub $f$ după ce scoatem regiunea de sub $g$. Restul lecției transformă observația aceasta într-o demonstrație care rezistă și când funcțiile coboară sub axă, apoi într-o rețetă pe care o poți aplica mecanic: intersecții, cine e deasupra, integrala diferenței.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii mulțimea de puncte cuprinsă între două grafice și să o recunoști pe o figură.
• Vei ști să demonstrezi formula ariei dintre două grafice, întâi pentru funcții pozitive, apoi în cazul general, prin translație.
• Vei ști să determini limitele de integrare rezolvând ecuația $f(x)=g(x)$.
• Vei ști să stabilești care grafic este deasupra, cu tabelul de semn al diferenței $f-g$.
• Vei ști să calculezi aria dintre o parabolă și o dreaptă, dintre două parabole, dintre $\sqrt{x}$ și $x^2$, dintre $e^x$ și $e^{-x}$.
• Vei ști să scrii aria fără modul, ca sumă de integrale, când graficele se intersectează într-un punct interior.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă aria cuprinsă între două grafice?

Regiunea cuprinsă între două grafice este mulțimea punctelor din plan aflate deasupra graficului funcției de jos și sub graficul funcției de sus, pe fâșia tăiată de două drepte verticale. Formal, pentru $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue, cu $g(x)\le f(x)$ pe tot intervalul, se scrie

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,g(x)\le y\le f(x)\},$$

iar aria ei se notează, ca peste tot, $\mathcal{S}(D)$.

Compară cu subgraficul din lecția despre aria subgraficului unei funcții continue: acolo marginea de jos era axa $Ox$, adică graficul funcției nule. Regiunea $D$ este generalizarea firească — axa a fost înlocuită cu un al doilea grafic. De altfel, pentru $g\equiv 0$ și $f\ge 0$, mulțimea $D$ este chiar ${\Gamma }_f$.

2. Cum se demonstrează formula când ambele funcții sunt pozitive?

Aici este cazul în care demonstrația se citește direct de pe desen.

Cazul $f\ge g\ge 0$. Fie $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue, cu $0\le g(x)\le f(x)$ pentru orice $x$. Atunci $\mathcal{S}(D)={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$.

Demonstrație. Ambele funcții sunt continue și pozitive, deci au subgrafice: ${\Gamma }_g$ și ${\Gamma }_f$. Din $g\le f$ rezultă că ${\Gamma }_g\subseteq {\Gamma }_f$ — orice punct aflat între axă și graficul lui $g$ este cu atât mai mult între axă și graficul lui $f$. Mai mult, regiunea $D$ este exact ce rămâne din ${\Gamma }_f$ dacă scoatem ${\Gamma }_g$: un punct $(x,y)$ cu $0\le y\le f(x)$ ori are $y\le g(x)$, și atunci e în ${\Gamma }_g$, ori are $y\ge g(x)$, și atunci e în $D$. Cele două părți se suprapun doar pe graficul lui $g$, care nu are arie.

Ariile suprafețelor care se descompun astfel se scad, deci

$$\mathcal{S}(D)=\mathcal{S}({\Gamma }_f)-\mathcal{S}({\Gamma }_g)={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx,$$

ultima egalitate fiind liniaritatea, una dintre proprietățile integralei definite. $■$

3. Ce se face când graficele coboară sub axă?

Demonstrația de mai sus a folosit din plin ipoteza $g\ge 0$: fără ea, ${\Gamma }_g$ nici nu există. Dar formula nu are voie să depindă de poziția figurii față de axă — o suprafață nu-și schimbă aria dacă mutăm reperul. Argumentul care transformă observația aceasta în demonstrație este translația verticală.

Demonstrație (cazul general $g\le f$). Funcția $g$ este continuă pe intervalul $[a,b]$, deci este integrabilă, iar orice funcție integrabilă este mărginită — este proprietatea de mărginire din lecția despre proprietățile integralei. Există așadar un număr $M>0$ cu $|g(x)|\le M$ pe tot intervalul; luăm $c=M$ și obținem $g(x)+c\ge 0$ pentru orice $x\in [a,b]$.

Considerăm funcțiile translatate $f_1=f+c$ și $g_1=g+c$. Ele sunt continue, satisfac $0\le g_1\le f_1$, iar regiunea dintre graficele lor este chiar $D$ mutată cu $c$ unități în sus. Admitem, în același registru de onestitate în care problema ariei a admis existența ariei subgraficului, faptul că o translație nu schimbă aria unei suprafețe. Atunci, aplicând cazul deja demonstrat,

$$\mathcal{S}(D)={\int }_a^b(f_1(x)-g_1(x))dx={\int }_a^b\left(\right(f(x)+c)-(g(x)+c\left)\right)dx={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx,$$

pentru că cele două constante se reduc. $■$

Reține ce s-a întâmplat, pentru că este un tipar de demonstrație care revine: constanta $c$ a fost introdusă ca să aducem figura într-o poziție în care știm deja răspunsul, iar la final ea a dispărut singură din calcul. Formula finală nu o conține, deci nu contează cât de mare a fost aleasă.

4. Cum afli limitele de integrare?

În multe enunțuri intervalul nu este dat: se cere „aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$". Atunci capetele sunt chiar abscisele punctelor de intersecție, iar ele se află rezolvând ecuația

$$f(x)=g(x).$$

Pentru o parabolă și o dreaptă, ecuația este de gradul al doilea și are cel mult două soluții — situație studiată la clasa a IX-a, la intersecția dintre dreaptă și parabolă. Dacă ecuația nu are soluții, graficele nu se ating și nu mărginesc nicio suprafață; dacă are exact una, se ating într-un punct, iar „suprafața" se reduce la acel punct, deci are aria nulă.

Exemplu. Pentru $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$, ecuația $x^2=x+2$ devine $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $x_1=-1$ și $x_2=2$. Deci limitele de integrare sunt $-1$ și $2$. (Verificate exact, prin înlocuire.)

Merită să deosebești de la început trei feluri de enunțuri, pentru că ele se rezolvă altfel:

• „aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$" — intervalul nu e dat, capetele vin din ecuația de intersecție;
• „aria suprafeței mărginite de graficele lui $f$ și $g$ și de dreptele $x=a$, $x=b$" — intervalul e dat, dar graficele se pot intersecta în interiorul lui, caz în care ordinea se schimbă la mijloc;
• „aria suprafeței mărginite de graficele lui $f$ și $g$ și de una dintre axe" — o margine este un grafic, cealaltă o dreaptă, iar punctul de întâlnire se caută intersectând fiecare curbă cu axa.

Cea mai frecventă eroare de citire a enunțului este confuzia dintre primele două: în primul caz nu ai voie să inventezi capete, în al doilea nu ai voie să le înlocuiești cu intersecțiile.

⚠️ Și o precizare despre coordonate: punctele de intersecție au două coordonate, dar în integrală intră numai abscisele. Ordonatele servesc doar la desen și la controlul rezultatului.

5. Cine este deasupra? Tabelul de semn al diferenței

Formula cere să știm care grafic este deasupra, adică semnul diferenței $f-g$. Instrumentul este tabelul de semn, în formatul deja folosit la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: antetul este rândul lui $x$, sub el un singur rând cu expresia, $0$ în zerouri și semnele pe intervalele dintre ele.

Exemplu. Pentru $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$, diferența este $f(x)-g(x)=-x^2+x+2$, cu rădăcinile $-1$ și $2$ și coeficientul dominant negativ:

Se citește: pe tot intervalul $(-1,2)$ diferența este pozitivă, deci dreapta este deasupra parabolei. Era de altfel previzibil — între rădăcini, un trinom cu coeficientul dominant negativ are semnul acestuia schimbat.

Când zerourile diferenței sunt în interiorul intervalului de integrare, ordinea se schimbă la mijloc și tabelul o arată. Pentru $f(x)=x^3$ și $g(x)=x$ pe $[-1,1]$, diferența $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ are rădăcinile $-1$, $0$, $1$:

Pe $[-1,0]$ este deasupra $x^3$, pe $[0,1]$ este deasupra $x$. Aria se calculează atunci pe două bucăți, fiecare cu diferența scrisă în ordinea potrivită.

6. Care este formula generală, cu modul?

Punând totul cap la cap, pentru $f,g$ continue pe $[a,b]$ aria suprafeței cuprinse între graficele lor este

$$\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx.$$

Modulul face exact ce trebuie: pe fiecare porțiune ia diferența în ordinea în care ea este pozitivă, adică „funcția de sus minus funcția de jos". În practică însă modulul nu se lasă în scriere: se află zerourile diferenței, se citește tabelul de semn și se scrie o sumă de integrale fără modul, cu ordinea corectă pe fiecare bucată. Este exact procedeul de la integralele cu modul, aplicat de data aceasta diferenței a două funcții.

Un control care nu dă greș: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă. Dacă una iese negativă, ordinea din acea bucată a fost citită invers.

Merită și o citire geometrică a integrandului. Pentru un $x$ fixat, numărul $|f(x)-g(x)|$ este lungimea segmentului vertical tăiat de regiune pe dreapta care trece prin $x$. Aria se obține, ca întotdeauna, adunând contribuțiile $|f(x)-g(x)|\cdot \Delta x$ ale unor fâșii verticale subțiri și trecând la limită — exact structura sumelor Riemann. De aceea formula arată la fel oriunde s-ar afla figura față de axe: lungimea unui segment nu depinde de locul în care este așezat reperul.

Tot de aici se vede și de ce constanta $c$ din demonstrație nu putea să rămână în rezultat: translația mută ambele capete ale segmentului cu aceeași cantitate, deci nu-i schimbă lungimea.

7. Care sunt cele trei etape ale ariei dintre grafice?

Ca să nu se amestece cu schemele numerotate din unitățile anterioare, pașii de mai jos se numesc Etapa 1, Etapa 2 și Etapa 3 — împreună, cele trei etape ale ariei dintre grafice, numele sub care le vor cita testele; nu sunt nici cei patru pași ai integralei pe ramuri, nici cei trei pași ai schimbării de variabilă.

Etapa 1 — limitele de integrare. Dacă intervalul este dat în enunț, îl iei ca atare. Dacă nu, rezolvi $f(x)=g(x)$ și iei ca limite cea mai mică și cea mai mare dintre soluții.

Etapa 2 — cine e deasupra. Alcătuiești tabelul de semn al diferenței $f-g$ pe intervalul de integrare, reținând doar rădăcinile din interval. Rezultatul îți spune, pe fiecare bucată, care funcție se scade din care.

Etapa 3 — integrala. Scrii aria ca sumă de integrale fără modul, calculezi fiecare cu formula Leibniz–Newton și aduni. Verifici că fiecare termen a ieșit pozitiv.

Model complet. Aria dintre $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$.

Etapa 1: din $x^2-x-2=0$ obținem $x_1=-1$, $x_2=2$.

Etapa 2: din tabelul de la punctul 5, dreapta este deasupra pe tot $[-1,2]$.

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}.$$

(Verificat numeric: $4,5$.)

8. Ce nu intră în lecția aceasta

Două delimitări de traseu, ca să știi unde cauți când tipul problemei e altul.

Curbele care nu sunt grafice de funcții. Aici ambele margini ale regiunii sunt grafice, adică se scriu $y=f(x)$ și $y=g(x)$. Un cerc, o elipsă sau o hiperbolă nu sunt grafice de funcții și cer un pas suplimentar — descompunerea în ramuri. Ariile delimitate de conice sunt subiectul lecțiilor următoare din unitate: mai întâi aria discului și a interiorului elipsei, apoi ariile mărginite de parabole, hiperbole și drepte.

Regiunile mărginite de un grafic și de axe. Când una dintre margini este axa $Ox$ iar funcția își schimbă semnul, sau când marginea este axa $Oy$, tratamentul este cel din lecția despre ariile cu schimbare de semn. Formula de față rămâne valabilă și acolo, cu $g\equiv 0$, dar organizarea calculului e alta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O parabolă și o dreaptă

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$.

Este modelul complet de la punctul 7: intersecțiile sunt $-1$ și $2$, dreapta este deasupra pe tot intervalul, iar aria este $\frac{9}{2}$.

Exemplul 2 — Două parabole

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=8-x^2$ și $g(x)=x^2$.

Etapa 1: din $8-x^2=x^2$ rezultă $x^2=4$, deci $x_1=-2$ și $x_2=2$.

Etapa 2: diferența este $f(x)-g(x)=8-2x^2$, pozitivă pe $(-2,2)$, deci parabola „cu gura în jos" este deasupra.

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_{-2}^2(8-2x^2)dx=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right){|}_{-2}^2=\left(16-\frac{16}{3}\right)-\left(-16+\frac{16}{3}\right)=32-\frac{32}{3}=\frac{64}{3}.$$

Aria este $\frac{64}{3}\approx 21,333$. (Verificat numeric.)

Exemplul 3 — Radicalul și pătratul

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=x^2$, pentru $x\ge 0$.

Etapa 1: din $\sqrt{x}=x^2$, ridicând la pătrat, obținem $x=x^4$, adică $x(x^3-1)=0$, cu soluțiile $x=0$ și $x=1$ în domeniul $x\ge 0$.

Etapa 2: pe $(0,1)$ avem $\sqrt{x}>x>x^2$, deci radicalul este deasupra.

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$

(Verificat numeric, cu pas fin, pentru că integrandul are derivată nemărginită în $0$.) Regiunea este, de altfel, simetrică față de prima bisectoare, pentru că $\sqrt{x}$ și $x^2$ sunt funcții inverse una alteia pe $[0,1]$.

Exemplul 4 — Două exponențiale

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=e^x$ și $g(x)=e^{-x}$ și de dreapta $x=1$.

Cele două grafice se intersectează unde $e^x=e^{-x}$, adică $x=0$; a doua margine este dată în enunț, dreapta $x=1$. Pe $(0,1)$ avem $x>-x$, deci $e^x>e^{-x}$ și exponențiala crescătoare este deasupra:

$$\mathcal{S}={\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx=(e^x+e^{-x}){|}_0^1=\left(e+\frac{1}{e}\right)-2\approx 1,086.$$

(Verificat numeric.)

Exemplul 5 — Când ordinea se schimbă la mijloc

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=x^3$ și $g(x)=x$.

Etapa 1: din $x^3=x$ obținem $x(x-1)(x+1)=0$, cu soluțiile $-1$, $0$, $1$.

Etapa 2: tabelul de semn de la punctul 5 arată că pe $[-1,0]$ este deasupra $x^3$, iar pe $[0,1]$ este deasupra $x$.

Etapa 3: aria se scrie ca sumă de două integrale, fiecare cu ordinea ei:

$$\mathcal{S}={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1(x-x^3)dx=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right){|}_{-1}^0+\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right){|}_0^1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Ambii termeni au ieșit pozitivi, deci ordinea a fost citită corect. Observă că, dacă am fi scris o singură integrală, ${\int }_{-1}^1(x-x^3)dx$, am fi obținut $0$ — cele două bucăți s-ar fi anulat reciproc. Este aceeași capcană a compensării ca la ariile de sub axă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-x^2$ și $g(x)=x$.

a) Determină abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

Din $3x-x^2=x$ rezultă $x^2-2x=0$, adică $x(x-2)=0$, deci $x_1=0$ și $x_2=2$.

b) Arată că $f(x)\ge g(x)$ pentru orice $x\in [0,2]$.

Diferența este $f(x)-g(x)=2x-x^2=x(2-x)$, produs de doi factori pozitivi pe $[0,2]$, deci $f(x)-g(x)\ge 0$:

c) Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$.

$$\mathcal{S}={\int }_0^2(2x-x^2)dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$

(Verificat numeric: $1,3333$.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Parcurge de fiecare dată cele trei etape, în ordine, și verifică la final că fiecare integrală a ieșit pozitivă.

1. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=x$ și $g(x)=x^2$.

2. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=4$ și $g(x)=x^2$.

3. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=x$ și $g(x)=x^2-2x$.

4. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=x$.

5. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=e^x$ și $g(x)=1$ și de dreapta $x=1$.

6. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=\cos x$ și $g(x)=\sin x$ și de dreptele $x=0$ și $x=\frac{\pi }{4}$.

7. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=\frac{5}{2}-x$ și $g(x)=\frac{1}{x}$, pentru $x>0$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria suprafeței dintre graficele funcțiilor $f$ și $g$ pe $[a,b]$ este întotdeauna ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă graficele lui $f$ și $g$ se intersectează într-un punct din interiorul intervalului $[a,b]$, aria dintre ele se calculează ca sumă de cel puțin două integrale."

10. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=x^2$ și $g(x)=x^3$.

11. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=2x-1$ și $g(x)=x^2-4$.

12. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=x^3$, pentru $x\ge 0$.

13. (Problemă aplicată.) Într-un bazin intră apă cu debitul $Q_1(t)=6t$ litri pe minut și iese cu debitul $Q_2(t)=t^2+5$ litri pe minut, unde $t$ este timpul în minute. Determină intervalul de timp în care nivelul apei crește și calculează volumul de apă acumulat în acel interval.

14. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=4x-x^2$ și $g(x)=x^2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g(x)=x^2-3x+2$. a) Determină abscisele punctelor de intersecție a graficelor. b) Arată că $f(x)\ge g(x)$ pe intervalul dintre ele. c) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice.

16. Calculează aria suprafeței mărginite de graficul funcției $f(x)=\ln x$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=e$.

17. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f(x)=x$ și $g(x)=x^3$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $m>0$ pentru care aria suprafeței mărginite de parabola $y=x^2$ și de dreapta $y=mx$ este egală cu $\frac{9}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. Intersecții: $x^2=x$ dă $x=0$ și $x=1$; pe $(0,1)$ este deasupra $x$. ${\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

2. Intersecții: $x^2=4$ dă $x=\pm 2$; pe $(-2,2)$ este deasupra dreapta $y=4$. ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-2}^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$.

3. Intersecții: $x^2-2x=x$ dă $x^2-3x=0$, deci $x=0$ și $x=3$; diferența $3x-x^2$ e pozitivă pe $(0,3)$. ${\int }_0^3(3x-x^2)dx=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}$.

4. Intersecții: $\sqrt{x}=x$ dă $x=0$ și $x=1$; pe $(0,1)$ radicalul e deasupra. ${\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.

5. Pe $(0,1]$ avem $e^x>1$, iar graficele se ating în $x=0$. ${\int }_0^1(e^x-1)dx=(e^x-x){|}_0^1=(e-1)-1=e-2\approx 0,718$.

6. Pe $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ avem $\cos x\ge \sin x$. ${\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\sin x)dx=(\sin x+\cos x){|}_0^{\pi /4}=\sqrt{2}-1\approx 0,414$.

7. Intersecții: $\frac{5}{2}-x=\frac{1}{x}$ dă $2x^2-5x+2=0$, cu soluțiile $\frac{1}{2}$ și $2$; pe intervalul dintre ele dreapta este deasupra hiperbolei. ${\int }_{1/2}^2\left(\frac{5}{2}-x-\frac{1}{x}\right)dx=\left(\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{2}-\ln |x|\right){|}_{1/2}^2=\frac{15}{8}-2\ln 2\approx 0,489$.

8. Fals. Formula cere ca $f\ge g$ pe tot intervalul. Dacă ordinea se schimbă, integrala face compensări și poate ieși chiar zero; formula corectă este ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Contraexemplu: $f(x)=x$, $g(x)=x^3$ pe $[-1,1]$.

9. Adevărat. Într-un punct interior de intersecție diferența $f-g$ se anulează și, de regulă, își schimbă semnul; pe fiecare parte se scrie diferența în ordinea în care este pozitivă, deci apar cel puțin doi termeni. Excepție: dacă diferența se anulează fără să schimbe semnul, integrala se poate scrie și dintr-o bucată.

10. Intersecții: $x^3=x^2$ dă $x=0$ și $x=1$; pe $(0,1)$ este deasupra $x^2$. ${\int }_0^1(x^2-x^3)dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

11. Intersecții: $x^2-4=2x-1$ dă $x^2-2x-3=0$, cu soluțiile $-1$ și $3$; dreapta e deasupra. ${\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right){|}_{-1}^3=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}$.

12. Intersecții: $\sqrt{x}=x^3$ dă $x=x^6$, deci $x=0$ și $x=1$; radicalul e deasupra. ${\int }_0^1(\sqrt{x}-x^3)dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$.

13. Nivelul crește cât timp $Q_1>Q_2$, adică $6t>t^2+5$, deci $t^2-6t+5<0$, adică $t\in (1,5)$. Volumul acumulat este aria dintre cele două grafice: ${\int }_1^5(6t-t^2-5)dt=\left(3t^2-\frac{t^3}{3}-5t\right){|}_1^5=\frac{25}{3}+\frac{7}{3}=\frac{32}{3}$ litri, adică aproximativ $10,67$ litri. (Verificat numeric.)

14. Intersecții: $4x-x^2=x^2$ dă $2x^2-4x=0$, deci $x=0$ și $x=2$; diferența $4x-2x^2$ e pozitivă între ele. ${\int }_0^2(4x-2x^2)dx=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$.

15. a) Din $x^2-3x+2=x-1$ rezultă $x^2-4x+3=0$, cu soluțiile $1$ și $3$. b) Diferența este $f(x)-g(x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$, pozitivă pe $[1,3]$, pentru că trinomul are coeficientul dominant negativ și rădăcinile $1$ și $3$. c) ${\int }_1^3(-x^2+4x-3)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right){|}_1^3=0+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$.

16. Marginea de jos este axa $Ox$, adică graficul funcției nule, iar $\ln x\ge 0$ pe $[1,e]$; intersecția cu axa este în $x=1$. ${\int }_1^e\ln xdx=(x\ln x-x){|}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$, primitiva fiind obținută prin integrare prin părți.

17. Graficele se intersectează în $0$ și $1$, iar $1$ este interior intervalului $[0,2]$: pe $[0,1]$ este deasupra $x$, pe $[1,2]$ este deasupra $x^3$. ${\int }_0^1(x-x^3)dx+{\int }_1^2(x^3-x)dx=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$.

18. Intersecțiile lui $y=x^2$ cu $y=mx$ sunt $x=0$ și $x=m$, iar pe $(0,m)$ dreapta este deasupra. Aria este ${\int }_0^m(mx-x^2)dx=\frac{m^3}{2}-\frac{m^3}{3}=\frac{m^3}{6}$. Ecuația $\frac{m^3}{6}=\frac{9}{2}$ dă $m^3=27$, deci $m=3$. (Verificat numeric pentru $m=3$.)

De reținut

• Aria dintre graficele a două funcții continue, cu $g\le f$ pe $[a,b]$, este $\mathcal{S}={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ — integrala diferenței „de sus minus de jos".
• Formula se demonstrează întâi pentru $f\ge g\ge 0$, ca diferență de subgrafice, apoi în cazul general prin translația verticală cu o constantă $c$, care dispare din calcul.
• Limitele de integrare sunt abscisele punctelor de intersecție, obținute din ecuația $f(x)=g(x)$, atunci când enunțul nu dă intervalul.
• Ordinea „cine e deasupra" se stabilește cu tabelul de semn al diferenței $f-g$, iar în punctele interioare de intersecție ea se poate schimba, caz în care aria devine o sumă de integrale.
• Formula generală este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, dar modulul nu se lasă în scriere: se desface pe bucăți, iar fiecare integrală trebuie să iasă pozitivă.

Greșeli frecvente

• Scrii ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ fără să verifici cine e deasupra. Dacă ordinea e inversată pe o porțiune, rezultatul iese mai mic decât aria reală, uneori chiar zero. Alcătuiește întotdeauna tabelul de semn al diferenței înainte de a integra.
• Uiți punctele de intersecție din interiorul intervalului. La $f(x)=x$ și $g(x)=x^3$ pe $[0,2]$, punctul $x=1$ rupe intervalul în două; o singură integrală dă un rezultat greșit. Rețin doar rădăcinile aflate în intervalul de integrare.
• Iei ca limite valorile funcțiilor, nu abscisele. Punctele de intersecție au două coordonate, dar limitele de integrare sunt doar abscisele lor. Ordonatele nu intră nicăieri în calcul.
• Crezi că formula cere funcții pozitive. Nu cere: demonstrația prin translație arată că formula este valabilă oriunde s-ar afla graficele față de axa $Ox$. Doar demonstrația din primul caz are nevoie de pozitivitate.
• Scazi ariile subgraficelor când graficele se intersectează. Diferența $\mathcal{S}({\Gamma }_f)-\mathcal{S}({\Gamma }_g)$ are sens numai când $g\le f$ pe tot intervalul; altfel, incluziunea ${\Gamma }_g\subseteq {\Gamma }_f$ cade și odată cu ea și raționamentul.

Aplică acasă

1. Trei perechi, un desen. Alege trei perechi de funcții din exercițiile lecției, desenează fiecare pereche în același reper, marchează punctele de intersecție cu bulină și hașurează regiunea dintre grafice. Scrie sub fiecare desen aria calculată și verifică dacă mărimea regiunii de pe desen se potrivește cu numărul obținut.

2. Constanta care dispare. Ia $f(x)=x+2$ și $g(x)=x^2$ și translatează ambele grafice cu $c=5$ unități în sus. Calculează din nou aria, cu funcțiile translatate, și arată prin calcul că iese același $\frac{9}{2}$. Repetă cu $c=100$ și explică de ce rezultatul nu depinde de $c$.

3. Colecția de tabele de semn. Pentru cinci perechi de funcții la alegere, scrie doar tabelul de semn al diferenței $f-g$, fără să calculezi nicio integrală, și spune din câte integrale va fi formată aria. Verifică apoi, pe desen, dacă numărul bucăților este cel prezis.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde punctului din programa clasei a XII-a care cere „determinarea valorilor unor mărimi cu caracter geometric: … aria unei suprafețe plane delimitate de axele de coordonate, de graficele unor funcții continue și de drepte verticale". Este, totodată, una dintre lecțiile în care programa cere o demonstrație, nu o formulă dată: aria dintre două grafice se deduce, întâi ca diferență de subgrafice, apoi prin translație în cazul general.

Ce verifică lecția: (1) determinarea corectă a limitelor de integrare din ecuația $f(x)=g(x)$; (2) stabilirea ordinii „cine e deasupra" cu tabelul de semn al diferenței; (3) scrierea ariei ca sumă de integrale fără modul, cu ordinea potrivită pe fiecare bucată; (4) calculul propriu-zis, cu formula Leibniz–Newton; (5) controlul final, prin pozitivitatea fiecărui termen.

Întrebări bune de control: „De unde iei limitele când enunțul nu-ți dă intervalul?", „Cum știi care funcție se scade din care?", „De ce nu contează constanta $c$ din demonstrație?". Semn că elevul a înțeles: nu începe niciun calcul înainte de a fi rezolvat ecuația de intersecție și de a fi scris tabelul de semn.

La BAC M1, tipul acesta apare frecvent ca subpunct al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, aproape întotdeauna pe o parabolă și o dreaptă sau pe două funcții polinomiale de grad mic, cu intersecții întregi. Baremul punctează separat aflarea intersecțiilor, stabilirea ordinii și calculul integralei, deci un elev care sare peste primele două etape pierde puncte chiar dacă nimerește rezultatul.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei dintre graficele a două funcții? Formula este $\mathcal{S}={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$, unde $f$ este funcția al cărei grafic este deasupra pe intervalul $[a,b]$. În forma cea mai generală, valabilă indiferent de ordine, aria se scrie cu modul: $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Ambele funcții trebuie să fie continue pe interval.

Cum se demonstrează formula ariei dintre două grafice? În doi pași. Când $f\ge g\ge 0$, regiunea dintre grafice este diferența dintre subgraficul lui $f$ și subgraficul lui $g$, deci ariile se scad, iar liniaritatea integralei dă rezultatul. În cazul general se translatează ambele grafice în sus cu o constantă $c$ suficient de mare, astfel încât ambele funcții să devină pozitive; translația nu schimbă aria, iar constanta se reduce în diferență.

Cum aflu limitele de integrare dacă enunțul nu dă intervalul? Se rezolvă ecuația $f(x)=g(x)$, iar abscisele soluțiilor sunt capetele. Dacă ecuația are exact două soluții, ele sunt limitele de integrare, cea mai mică jos și cea mai mare sus. Dacă ecuația nu are soluții, graficele nu mărginesc nicio suprafață, iar problema nu are răspuns.

Cum știu care grafic este deasupra? Se alcătuiește tabelul de semn al diferenței $f-g$ pe intervalul de integrare: acolo unde diferența este pozitivă, graficul lui $f$ este deasupra. O verificare rapidă este să înlocuiești o valoare oarecare din interiorul fiecărui interval și să compari cele două numere obținute.

Ce fac dacă graficele se intersectează în interiorul intervalului? Se rupe intervalul în punctul de intersecție și se scrie câte o integrală pe fiecare bucată, cu diferența luată de fiecare dată în ordinea în care este pozitivă. Aria totală este suma lor. Dacă scrii o singură integrală, bucățile se compensează și rezultatul iese mai mic decât aria reală, uneori chiar zero.

Poate ieși negativă aria dintre două grafice? Nu. Aria este o mărime pozitivă, deci un rezultat negativ înseamnă că ordinea „de sus minus de jos" a fost inversată undeva. Controlul cel mai rapid este ca fiecare integrală din sumă să iasă pozitivă separat; dacă una este negativă, schimbă ordinea diferenței doar pe acea bucată.

Formula funcționează și când graficele sunt sub axa $Ox$? Da, fără nicio modificare. Demonstrația prin translație arată exact acest lucru: poziția figurii față de axă nu contează, pentru că o translație verticală nu schimbă aria. Singura condiție care contează este ordinea celor două grafice, adică semnul diferenței $f-g$.