Aria subgraficului: pe scurt

Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$, iar aria lui este $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Simbolul ${\Gamma }_f$ rămâne rezervat cazului $f\ge 0$; când funcția coboară sub axă, regiunea se descrie în cuvinte: „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$”. Dreptele verticale din enunț dau limitele de integrare, axa $Ox$ este marginea de jos, iar aditivitatea în raport cu intervalul spune că ariile bucăților se adună. Dacă $f\le 0$ pe tot intervalul, aria este $-{\int }_a^{b}f(x)dx$, pentru că graficul lui $-f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$. Când $f$ își schimbă semnul, integrala face un bilanț cu semn și poate ieși chiar zero, deși regiunea are arie nenulă: formula corectă este atunci $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar semnul se verifică înainte de a scrie integrala. Cel mai bun control al oricărui rezultat este că metoda reproduce formulele de gimnaziu pentru dreptunghi, triunghi și trapez; iar o arie negativă înseamnă întotdeauna un semn pierdut sau limitele inversate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+1$, este:

   • a) $10$
   • b) $8$
   • c) $9$
   • d) $14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $10$

   Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,2]$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2\left(3x^2+1\right)dx=\left(x^3+x\right){|}_0^2=8+2=10$. Varianta $8$ pierde termenul liber, iar $14$ apare din primitiva greșită $x^3+x^2$. Control: pe $[0,2]$ funcția ia valori între $1$ și $13$, deci aria este între $2$ și $26$.

2. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x-5$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$, $x=4$ este:

   • a) $-7,5$
   • b) $4,5$
   • c) $7,5$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $7,5$

   Pe $[1,4]$ avem $f\le 0$, deci aria este opusul integralei: $-{\int }_1^4(x-5)dx=-\left(\frac{x^2}{2}-5x\right){|}_1^4=-\left(-12+4,5\right)=7,5$. Varianta $-7,5$ este integrala însăși — o arie nu poate fi negativă; dacă îți iese negativă, ai uitat semnul minus sau ai inversat limitele.

3. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x-3$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=5$ este:

   • a) $-2,5$
   • b) $6,5$
   • c) $4,5$
   • d) $2,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $6,5$

   Funcția își schimbă semnul în $x=3$, deci aria nu este integrala, ci ${\int }_0^3(3-x)dx+{\int }_3^5(x-3)dx=4,5+2=6,5$. Varianta $-2,5$ este chiar ${\int }_0^5(x-3)dx$, adică bilanțul cu semn, iar $2,5$ este modulul lui; $4,5$ oprește calculul la prima bucată.