Aria subgraficului unei funcții continue

Un teren are trei laturi drepte și una care urmează malul unui râu. Un inginer topograf nu are nicio formulă de geometrie pentru o astfel de suprafață, dar are ceva mai bun: dacă așază malul într-un reper și îl descrie printr-o funcție, aria terenului devine un singur număr, obținut dintr-un singur calcul. Acesta este primul dintre marile câștiguri ale analizei matematice de clasa a 12-a și punctul din care pornește ultima unitate a materiei: aplicațiile integralei definite. Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este aria regiunii cuprinse între graficul funcției, axa $Ox$ și dreptele verticale $x=a$ și $x=b$, iar valoarea ei este integrala definită $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Drumul până aici a fost lung și merită privit o clipă. La problema ariei și subgraficul unei funcții ai aproximat aria de sub o curbă cu dreptunghiuri și ai obținut, prin trecere la limită, valoarea exactă — dar numai pentru câteva funcții-putere și cu sume laborioase. Apoi limita aceea a primit un nume, integrala definită, iar formula Leibniz–Newton a redus calculul ei la două valori ale unei primitive. Lecția de față leagă cele două capete: aria de sub grafic este integrala definită, iar de acum se calculează în trei rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii subgraficul ${\Gamma }_f$ al unei funcții continue și pozitive și să-l recunoști pe o figură.
• Vei ști să aplici formula $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$ și să spui de ce este adevărată.
• Vei ști să calculezi arii de sub grafice de funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice.
• Vei ști să determini aria regiunii dintre un grafic, axa $Ox$ și două drepte verticale $x=a$ și $x=b$ date.
• Vei ști să calculezi aria când funcția este negativă pe interval, cu formula $\mathcal{S}=-{\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Vei ști să verifici un rezultat pe figurile din gimnaziu: dreptunghi, triunghi, trapez.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este aria subgraficului unei funcții?

Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor din plan cuprinse între graficul funcției și axa $Ox$, pe porțiunea dintre dreptele verticale $x=a$ și $x=b$. Notația fixată la lecția despre problema ariei rămâne aceeași:

$${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}.$$

Aria lui se notează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ și se citește „aria subgraficului lui $f$".

Reține de pe acum o precizare de limbaj care se va dovedi importantă: simbolul ${\Gamma }_f$ este rezervat cazului $f\ge 0$. Când funcția coboară sub axă, condiția $0\le y\le f(x)$ nu mai descrie nimic, iar despre suprafață vom vorbi în cuvinte — „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$ și $x=b$" —, fără să inventăm un simbol nou. Regula aceasta se respectă și în lecțiile următoare ale unității.

2. De ce este aria subgraficului egală cu integrala definită?

Enunțul central al lecției este următorul.

Teoremă (aria subgraficului). Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă și $f(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [a,b]$, atunci subgraficul ${\Gamma }_f$ are arie și $$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Nu este nimic nou de demonstrat aici — totul a fost demonstrat pe bucăți, iar acum se lipesc.

Primul capăt. Lecția despre problema ariei a arătat că, pentru o funcție monotonă și pozitivă, aria subgraficului este prinsă între suma dreptunghiurilor înscrise $s_n$ și suma dreptunghiurilor circumscrise $S_n$, iar când $n$ crește cele două se strâng spre același număr. Argumentul de acolo — criteriul cleștelui — spunea: presupunem că subgraficul are o arie și demonstrăm că valoarea ei nu poate fi decât una.

Al doilea capăt. Sumele $s_n$ și $S_n$ sunt sume Riemann, cu punctele intermediare luate în capătul din stânga, respectiv din dreapta fiecărei bucăți. Limita lor comună este, prin definiție, integrala definită ${\int }_a^{b}f(x)dx$, iar existența ei este garantată pentru orice funcție continuă, prin rezultatul admis la clasele de funcții integrabile.

Punând cele două capete cap la cap: numărul spre care se strânge încadrarea este și aria, și integrala. Deci sunt egale. Iar formula Leibniz–Newton face restul: aria devine $F(b)-F(a)$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.

Observă cât de mult s-a schimbat efortul. Aria de sub $y=x^2$ pe $[0,1]$ a costat, la prima lecție a unității, o pagină de sume și două treceri la limită. Acum costă un rând:

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}.$$

Rezultatul coincide, cum era de așteptat.

3. Primele arii: patru funcții și patru numere

Iată tabloul de bază al lecției. Fiecare rând se citește la fel: funcția e continuă și pozitivă pe intervalul indicat, deci teorema se aplică.

Funcția exponențială. Pe $[0,1]$, funcția $f(x)=e^x$ este pozitivă, iar

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=e-1\approx 1,718.$$

Este exact numărul pe care lecția de deschidere a unității îl aproximase numeric cu dreptunghiuri; acum îl avem în formă închisă.

Funcția $\frac{1}{x}$. Pe $[1,e]$ este continuă și pozitivă, deci

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^e=\ln e-\ln 1=1.$$

Aria de sub hiperbola $y=\frac{1}{x}$, între $1$ și $e$, este exact $1$ — o proprietate frumoasă a numărului $e$, care explică de ce logaritmul cu baza $e$ se numește „natural". Merită pusă alături de proprietățile din lecția despre funcția logaritmică și graficul ei.

Funcția sinus. Pe $[0,\pi ]$ sinusul este pozitiv, se anulează doar în capete, iar

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^{\pi }\sin xdx=(-\cos x){|}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=2.$$

Aria „bolții" de sub o arcadă de sinus este $2$ — un număr surprinzător de simplu pentru o figură care nu are nicio latură dreaptă în afară de bază.

O funcție polinomială. Pe $[0,2]$, $f(x)=x^2+x$ este pozitivă și ${\int }_0^2(x^2+x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$.

(Toate cele patru valori au fost verificate numeric.)

Și o promisiune ținută. Prima lecție a unității a observat un tipar la ariile de sub funcțiile-putere — $\frac{b^2}{2}$ pentru $y=x$, $\frac{b^3}{3}$ pentru $y=x^2$, $\frac{b^4}{4}$ pentru $y=x^3$ — și a spus că explicația vine mai târziu. A venit. Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ și orice $b>0$, funcția $f(x)=x^n$ este continuă și pozitivă pe $[0,b]$, iar

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^b{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^b=\frac{b^{n+1}}{n+1}.$$

Tiparul nu era o coincidență de calcul, ci primul rând al tabelului primitivelor citit dinspre arii. Cele două treceri la limită de la început au fost înlocuite de o singură derivare făcută în sens invers.

4. Cum afli aria dintre grafic, axa $Ox$ și două drepte verticale?

Programa clasei a 12-a cere exact această formulare: suprafețe plane „delimitate de graficele unor funcții continue, de axele de coordonate și de drepte verticale". Traducerea e directă: dreptele verticale $x=a$ și $x=b$ sunt limitele de integrare, iar axa $Ox$ este marginea de jos.

Prin urmare, aceeași funcție dă arii diferite pe intervale diferite, iar dreptele verticale sunt cele care taie bucata dorită. Pentru $f(x)=x^2$:

• între $x=0$ și $x=1$: aria este $\frac{1}{3}$;
• între $x=1$ și $x=2$: aria este ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$;
• între $x=0$ și $x=2$: aria este $\frac{8}{3}$.

Și, într-adevăr, $\frac{1}{3}+\frac{7}{3}=\frac{8}{3}$ — ceea ce nu e o coincidență, ci aditivitatea în raport cu intervalul, una dintre proprietățile integralei definite. Geometric spune ceva evident: dacă tai regiunea cu o dreaptă verticală interioară, ariile bucăților se adună.

5. Metoda dă rezultatele corecte pe figurile din gimnaziu?

Orice instrument nou se controlează pe cazuri în care răspunsul se știe dinainte. Aici controlul este imediat și are chiar valoare de demonstrație pentru formulele de gimnaziu.

Dreptunghiul. Pentru $f(x)=c$, cu $c>0$, subgraficul pe $[a,b]$ este un dreptunghi de laturi $b-a$ și $c$:

$${\int }_a^{b}cdx=cx{|}_a^b=c(b-a).$$

Triunghiul. Pentru $f(x)=x$ pe $[0,h]$, subgraficul este un triunghi dreptunghic cu ambele catete egale cu $h$:

$${\int }_0^{h}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^h=\frac{h^2}{2}.$$

Trapezul. Pentru $f(x)=mx+n$, pozitivă pe $[a,b]$, subgraficul este un trapez dreptunghic cu bazele $f(a)$ și $f(b)$ și înălțimea $b-a$. Calculul dă

$${\int }_a^b(mx+n)dx=\left(\frac{m{x}^2}{2}+nx\right){|}_a^b=\frac{m(b^2-a^2)}{2}+n(b-a)=(b-a)\cdot \frac{(ma+n)+(mb+n)}{2},$$

adică exact $\frac{(f(a)+f(b))(b-a)}{2}$ — formula ariei trapezului. Faptul că integrala reproduce formulele elementare este cel mai bun argument că ea măsoară într-adevăr ceea ce numim arie.

Un control care merge oriunde: încadrarea între două dreptunghiuri. Chiar când regiunea nu seamănă cu nimic cunoscut, se poate spune repede între ce valori trebuie să cadă aria. Dacă $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in [a,b]$, atunci, prin monotonia integralei,

$$m(b-a)\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le M(b-a).$$

Geometric: subgraficul conține dreptunghiul de înălțime $m$ și este conținut în dreptunghiul de înălțime $M$, ambele de bază $b-a$. Pentru aria de sub $\sin$ pe $[0,\pi ]$, de pildă, $0\le \sin x\le 1$ dă $0\le \mathcal{S}\le \pi \approx 3,14$, iar rezultatul $2$ se așază cuminte între ele. Fă acest control înainte de a preda o lucrare: prinde instantaneu erorile de semn și de ordin de mărime.

6. Ce se întâmplă când funcția este negativă?

Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă, cu $f(x)\le 0$ pe tot intervalul. Graficul stă sub axă, subgraficul ${\Gamma }_f$ nu are sens, dar regiunea mărginită de grafic, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$ există și are, evident, o arie.

Funcția $-f$ este continuă și pozitivă, iar graficul ei este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$. Simetria păstrează ariile, deci regiunea noastră are aceeași arie ca ${\Gamma }_{-f}$:

$$\mathcal{S}=\mathcal{S}({\Gamma }_{-f})={\int }_a^b(-f(x))dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Ultima egalitate este liniaritatea integralei. Reține formularea: când $f\le 0$, aria este $-{\int }_a^{b}f(x)dx$, adică opusul unui număr negativ, deci un număr pozitiv. Semnul minus din față nu e o eroare de calcul, e chiar ce transformă „bilanțul negativ" în arie.

Cele două cazuri de până acum se scriu, de altfel, într-o singură formulă. Când $f\ge 0$ avem $|f|=f$, iar când $f\le 0$ avem $|f|=-f$; în ambele situații aria este ${\int }_a^b|f(x)|dx$. Deosebirea dintre ele este doar că modulul se scoate dintr-o singură bucată, fără să fie nevoie de vreo tăiere a intervalului.

Exemplu. Pe $[0,2]$, funcția $f(x)=x-3$ este negativă. Aria regiunii dintre graficul ei, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=2$ este

$$\mathcal{S}=-{\int }_0^2(x-3)dx={\int }_0^2(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2=6-2=4.$$

Control geometric: regiunea este un trapez dreptunghic cu bazele $3$ și $1$ și înălțimea $2$, deci aria $\frac{(3+1)\cdot 2}{2}=4$. Coincide.

7. Ce se întâmplă când funcția își schimbă semnul?

Aici este capcana cea mai costisitoare a întregii unități, așa că merită spusă tare de la început.

Ia $f(x)=x$ pe $[-1,1]$. Integrala este

$${\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0,$$

dar regiunea dintre grafic și axă este formată din două triunghiuri de arie $\frac{1}{2}$ fiecare, deci are aria $1$, nu $0$. Explicația e simplă: integrala face un bilanț cu semn — bucata de sub axă intră cu minus și se compensează cu cea de deasupra. Aria, în schimb, nu compensează nimic.

Un al doilea exemplu, cu numere mai spectaculoase: pe $[0,2\pi ]$, integrala sinusului este $0$, pentru că arcada de deasupra axei și cea de dedesubt se anulează reciproc, dar aria regiunii dintre grafic și axă este $4$ — două arcade de arie $2$ fiecare. Rezultatul a fost obținut deja la lecția despre funcțiile cu modul, unde ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=4$.

Formula corectă în cazul general este

$$\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx,$$

iar calculul ei folosește tehnica deja învățată la integrala funcțiilor cu modul: tabelul de semn, ruperea intervalului în zerourile din interior, apoi o sumă de integrale. Cazurile $f\ge 0$ și $f\le 0$ tratate mai sus sunt cele două situații particulare în care modulul se scoate dintr-o singură bucată. Situația generală, cu tot ce ține de ea, este subiectul lecției despre ariile cu schimbare de semn.

8. Ce măsoară, de fapt, aria de sub un grafic?

Nu întotdeauna o suprafață. Când axele poartă mărimi fizice, produsul „înălțime $\times$ lățime" are unitatea de măsură a produsului mărimilor, iar aria capătă acel sens.

Pe un grafic viteză–timp, cu $v$ în metri pe secundă și $t$ în secunde, aria de sub grafic are unitatea $\text{m/s}\cdot \text{s}=\text{m}$: este distanța parcursă. Pe un grafic putere–timp, aria este energia consumată. Pe un grafic debit–timp, aria este volumul scurs. Este exact ideea pe care unitatea o va duce mai departe la modelările din fizică, iar acum ea îți dă și un control de bun-simț: dacă unitatea rezultatului nu are sens, undeva s-a strecurat o greșeală.

Exemplu. Un mobil pornește din repaus și are viteza $v(t)=6t-t^2$ metri pe secundă, pentru $t\in [0,6]$. Viteza este pozitivă pe tot intervalul, deci distanța parcursă este

$$d={\int }_0^6(6t-t^2)dt=\left(3t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^6=108-72=36\text{ metri}.$$

Verifică-l cu încadrarea de mai sus: viteza maximă se atinge în $t=3$ și valorează $9$ metri pe secundă, deci distanța nu poate depăși $9\cdot 6=54$ de metri; $36$ trece testul. Aceeași disciplină a unităților de măsură se va relua, cu enunțuri complete de fizică, în lecțiile de modelare de la sfârșitul unității.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O arie de sub o dreaptă, cu control geometric

Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$.

Funcția este continuă și pozitivă pe $[1,4]$ (are valori între $5$ și $11$), deci teorema se aplică:

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^4(2x+3)dx=(x^2+3x){|}_1^4=(16+12)-(1+3)=24.$$

Control: subgraficul este un trapez dreptunghic cu bazele $f(1)=5$ și $f(4)=11$ și înălțimea $3$, deci aria $\frac{(5+11)\cdot 3}{2}=24$. Coincide.

Exemplul 2 — Aria de sub o parabolă

Calculează aria subgraficului funcției $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-x^2$.

Pe $[-2,2]$ avem $x^2\le 4$, deci $f(x)\ge 0$; funcția se anulează exact în capete. Atunci

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}.$$

Aria este $\frac{32}{3}\approx 10,667$. (Verificat numeric.)

Exemplul 3 — Aria de sub o exponențială

Calculează aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

Exponențiala este pozitivă pe $\mathbb{R}$, deci nu e nimic de discutat:

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^2{e}^{x}dx=e^x{|}_0^2=e^2-1\approx 6,389.$$

Merită reținut tiparul: la exponențială, aria are exact aceeași formă ca funcția.

Exemplul 4 — Aria de sub hiperbolă

Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,e^2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

Pe $[1,e^2]$ funcția este continuă și pozitivă, iar primitiva ei este $\ln |x|$:

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^{e^2}\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^{e^2}=\ln e^2-\ln 1=2.$$

Compară cu aria $1$ obținută pe $[1,e]$: intervalul s-a lungit de la $e-1\approx 1,7$ la $e^2-1\approx 6,4$, dar aria s-a dublat doar. Hiperbola coboară repede.

Exemplul 5 — O funcție negativă pe tot intervalul

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$.

Pe $[0,2]$ avem $x-3\le -1<0$, deci funcția este negativă pe tot intervalul și subgraficul nu este definit. Aria se obține cu semnul schimbat:

$$\mathcal{S}=-{\int }_0^2(x-3)dx={\int }_0^2(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2=6-2=4.$$

Control: trapez dreptunghic cu bazele $3$ și $1$ și înălțimea $2$: aria $\frac{(3+1)\cdot 2}{2}=4$. Coincide.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

a) Arată că $f(x)>0$ pentru orice $x\in [1,3]$ și scrie subgraficul lui $f$.

Pe $[1,3]$ avem $x>0$ și $x^2+1>0$, deci $f(x)>0$. Subgraficul este ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,0\le y\le f(x)\}$.

b) Calculează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$.

Se împarte întâi: $f(x)=x+\frac{1}{x}$. Atunci

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_1^3\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln |x|\right){|}_1^3=\left(\frac{9}{2}+\ln 3\right)-\left(\frac{1}{2}+0\right)=4+\ln 3.$$

c) Arată că $\mathcal{S}({\Gamma }_f)>5$.

Cum $3>e$ și funcția logaritm natural este strict crescătoare, rezultă $\ln 3>\ln e=1$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=4+\ln 3>5$. (Numeric: $4+\ln 3\approx 5,099$.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi de ce funcția este pozitivă (sau negativă) pe intervalul dat și abia apoi integrala.

1. Calculează aria subgraficului funcției $f:[2,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$.

2. Calculează aria subgraficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$, și verifică rezultatul cu formula ariei trapezului.

3. Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

4. Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$.

5. Calculează aria subgraficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

6. Calculează aria subgraficului funcției $f:[-1,0]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

7. Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

8. Calculează aria subgraficului funcției $f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria regiunii mărginite de graficul unei funcții continue $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$ este întotdeauna egală cu ${\int }_a^{b}f(x)dx$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive nu poate fi un număr negativ."

11. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-9$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

12. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-8$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=4$.

13. (Problemă aplicată.) Un mobil are viteza $v(t)=6t-t^2$ metri pe secundă, pentru $t\in [0,6]$. Ce distanță parcurge în cele șase secunde?

14. Calculează aria subgraficului funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}$. a) Arată că $f(x)>0$ pentru orice $x\in [0,1]$. b) Calculează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$. c) Arată că $\mathcal{S}({\Gamma }_f)<1$.

16. Calculează aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$.

17. Determină numărul real $b>0$ pentru care aria subgraficului funcției $f:[0,b]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, este egală cu $9$.

18. (Provocare.) Determină $a\in (0,\pi )$ astfel încât dreapta verticală $x=a$ să împartă subgraficul funcției $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$, în două regiuni de arii egale.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție constantă pozitivă. ${\int }_2^{7}3dx=3x{|}_2^7=21-6=15$. Este aria unui dreptunghi cu laturile $5$ și $3$.

2. Pe $[0,4]$, $f(x)=x+2\ge 2>0$. ${\int }_0^4(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_0^4=8+8=16$. Trapez cu bazele $f(0)=2$, $f(4)=6$ și înălțimea $4$: $\frac{(2+6)\cdot 4}{2}=16$. Coincide.

3. ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^3=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$.

4. ${\int }_1^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_1^2=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$.

5. ${\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$.

6. ${\int }_{-1}^0{e}^{x}dx=e^x{|}_{-1}^0=1-\frac{1}{e}\approx 0,632$.

7. ${\int }_1^4\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^4=\ln 4=2\ln 2\approx 1,386$.

8. Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ cosinusul este pozitiv. ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\pi /2}=1$.

9. Fals. Egalitatea are loc doar dacă $f\ge 0$ pe tot intervalul. Contraexemplu: $f(x)=x$ pe $[-1,1]$ are integrala $0$, dar regiunea are aria $1$. În general aria este ${\int }_a^b|f(x)|dx$.

10. Adevărat. Dacă $f\ge 0$, prin monotonia integralei avem ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}0dx=0$. Deci aria subgraficului este un număr pozitiv sau nul.

11. Pe $[0,3]$, $x^2\le 9$, deci $f\le 0$. $\mathcal{S}=-{\int }_0^3(x^2-9)dx={\int }_0^3(9-x^2)dx=\left(9x-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^3=27-9=18$.

12. Pe $[1,4]$, $2x-8\le 0$. $\mathcal{S}={\int }_1^4(8-2x)dx=(8x-x^2){|}_1^4=(32-16)-(8-1)=9$. Control: triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $6$, aria $9$.

13. Viteza este pozitivă pe $[0,6]$, pentru că $6t-t^2=t(6-t)$. Distanța este ${\int }_0^6(6t-t^2)dt=\left(3t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^6=108-72=36$ metri. (Verificat numeric.)

14. ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}{|}_1^4=4-2=2$.

15. a) Pe $[0,1]$ avem $x+1\ge 1>0$, deci $f(x)>0$. b) $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx=\ln |x+1|{|}_0^1=\ln 2$. c) Pe $[0,1]$ avem $f(x)\le 1$, deci prin monotonia integralei $\mathcal{S}({\Gamma }_f)\le {\int }_0^{1}1dx=1$, cu inegalitate strictă pentru că $f$ nu este constantă. Numeric, $\ln 2\approx 0,693$.

16. ${\int }_0^2(x^2+x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$.

17. ${\int }_0^b{x}^{2}dx=\frac{b^3}{3}$, deci ecuația este $\frac{b^3}{3}=9$, adică $b^3=27$ și $b=3$.

18. Aria totală este $2$, deci fiecare bucată trebuie să aibă aria $1$. Din ${\int }_0^a\sin xdx=(-\cos x){|}_0^a=1-\cos a$ rezultă ecuația $1-\cos a=1$, adică $\cos a=0$. Singura soluție din $(0,\pi )$ este $a=\frac{\pi }{2}$. Rezultatul era de așteptat: graficul sinusului este simetric față de dreapta $x=\frac{\pi }{2}$ pe acest interval.

De reținut

• Subgraficul ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$ se definește numai pentru $f\ge 0$; când funcția coboară sub axă, suprafața se descrie în cuvinte, nu cu acest simbol.
• Dacă $f$ este continuă și pozitivă pe $[a,b]$, atunci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$ — aria de sub grafic este chiar integrala definită, iar formula Leibniz–Newton o calculează în două valori ale unei primitive.
• Dreptele verticale $x=a$ și $x=b$ sunt limitele de integrare, iar axa $Ox$ este marginea de jos a regiunii; aditivitatea la interval spune că ariile bucăților se adună.
• Dacă $f\le 0$ pe tot intervalul, aria este $-{\int }_a^{b}f(x)dx$, adică opusul integralei, pentru că graficul lui $-f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$.
• Integrala reproduce formulele de gimnaziu pentru dreptunghi, triunghi și trapez, iar acesta este cel mai bun control al oricărui rezultat obținut prin ea.

Greșeli frecvente

• Scrii aria ca ${\int }_a^{b}f(x)dx$ când funcția își schimbă semnul. Integrala face un bilanț cu semn și poate ieși chiar zero, deși regiunea are arie nenulă; formula corectă este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$. Verifică semnul funcției înainte de a scrie integrala.
• Dai un rezultat negativ ca arie. O arie este un număr pozitiv sau nul. Dacă îți iese negativ, ai uitat semnul minus din cazul $f\le 0$ sau ai inversat limitele de integrare.
• Folosești simbolul ${\Gamma }_f$ pentru o funcție care nu e pozitivă. Definiția cere $0\le y\le f(x)$, deci pentru $f<0$ mulțimea ar fi vidă. Spune „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$".
• Inversezi limitele de integrare. ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, deci scrierea greșită schimbă semnul rezultatului. Limita de jos este întotdeauna abscisa din stânga.
• Uiți să verifici continuitatea pe intervalul dat. Formula cere $f$ continuă pe $[a,b]$; pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[-1,1]$, de pildă, nu se aplică nimic din lecția aceasta, pentru că funcția nici măcar nu este definită în $0$.

Aplică acasă

1. Atlasul ariilor. Desenează, pe aceeași pagină, subgraficele funcțiilor $x^2$, $e^x$, $\frac{1}{x}$ și $\sin x$ pe intervalele din lecție, hașurează fiecare regiune și scrie sub fiecare desen aria calculată. Ordonează la final cele patru numere crescător și comentează dacă ordinea se ghicea de pe desene.

2. Terenul de lângă râu. Alege o funcție continuă și pozitivă pe un interval de lungime $10$ și consideră că graficul ei este malul unui râu, la scara $1$ unitate $=10$ metri. Calculează aria terenului în metri pătrați și verifică rezultatul aproximând regiunea cu trei trapeze.

3. Verificarea de gimnaziu. Scrie trei funcții de gradul întâi, pozitive pe intervale la alegere, și calculează aria subgraficului fiecăreia în două feluri: cu integrala și cu formula ariei trapezului. Notează într-un tabel cele două coloane de rezultate și explică de ce trebuie să coincidă.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de aplicații ale integralei definite și răspunde primului punct din lista programei clasei a XII-a: „determinarea valorilor unor mărimi cu caracter geometric: aria subgraficului unei funcții continue, aria unei suprafețe plane delimitate de axele de coordonate, de graficele unor funcții continue și de drepte verticale". Este, în același timp, momentul în care se închide cercul deschis la prima lecție a capitolului de integrale: acolo aria fusese motivul pentru care a fost inventată integrala, aici ea devine cea mai simplă aplicație a ei.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a subgraficului, cu observarea condiției $f\ge 0$; (2) aplicarea formulei $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f$, cu justificarea pozitivității pe intervalul dat; (3) identificarea limitelor de integrare din dreptele verticale ale enunțului; (4) tratarea cazului $f\le 0$, cu semnul schimbat; (5) controlul rezultatului pe figurile elementare.

Întrebări bune de control: „De ce se cere ca funcția să fie pozitivă?", „Ce iese dacă integrezi o funcție care trece sub axă?", „Cum verifici, fără integrală, aria de sub o dreaptă?". Semn că elevul a înțeles: înainte de orice calcul, scrie semnul funcției pe intervalul dat, iar la final compară rezultatul cu o estimare grosieră făcută pe desen. La BAC M1 tipul acesta apare aproape întotdeauna ca subpunctul c) al problemei de analiză, cel mai adesea pe funcții raționale simple sau pe exponențiale.

Întrebări frecvente

Ce este subgraficul unei funcții? Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor din plan cuprinse între graficul funcției și axa $Ox$, pe fâșia dintre dreptele verticale $x=a$ și $x=b$. Se scrie ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$. Definiția cere explicit ca funcția să fie pozitivă pe tot intervalul.

Care este formula ariei subgraficului? Formula este $\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_a^{b}f(x)dx$, valabilă pentru orice funcție continuă și pozitivă pe intervalul $[a,b]$. Practic, se caută o primitivă $F$ a funcției și se aplică formula Leibniz–Newton, deci aria devine diferența $F(b)-F(a)$. Rezultatul este întotdeauna un număr pozitiv sau nul.

Cum se calculează aria când funcția este negativă? Când $f(x)\le 0$ pe tot intervalul, aria regiunii dintre grafic, axa $Ox$ și dreptele verticale este $\mathcal{S}=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Semnul minus transformă integrala, care iese negativă, într-un număr pozitiv. Justificarea este că graficul lui $-f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$, iar simetria păstrează ariile.

De ce nu este aria egală cu integrala când funcția schimbă semnul? Pentru că integrala face un bilanț cu semn: porțiunile de sub axă intră cu minus și se compensează cu cele de deasupra. Exemplul minimal este $f(x)=x$ pe $[-1,1]$, unde integrala este $0$, deși regiunea are aria $1$. Formula corectă în cazul general este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Cum se află limitele de integrare dintr-un enunț cu drepte verticale? Dreptele verticale din enunț dau direct capetele intervalului: dacă regiunea este mărginită de $x=a$ și $x=b$, atunci integrala se ia de la $a$ la $b$, cu $a<b$. Axa $Ox$ este marginea de jos a regiunii, iar graficul funcției este marginea de sus, când funcția este pozitivă.

Cât este aria de sub graficul funcției sinus pe intervalul de la $0$ la $\pi$? Aria este exact $2$. Sinusul este pozitiv pe $[0,\pi ]$ și se anulează doar în capete, deci se aplică formula direct: integrala lui $\sin x$ pe acest interval este $-\cos x$ evaluat între $0$ și $\pi$, adică $1+1=2$. Este unul dintre rezultatele care merită ținute minte pentru Bacalaureat M1.

Cum verific dacă am calculat corect o arie? Cel mai bun control este cel geometric: dacă regiunea este un dreptunghi, un triunghi sau un trapez, compară rezultatul cu formula din gimnaziu. Dacă nu este, încadrează regiunea între un dreptunghi mai mic și unul mai mare și verifică dacă valoarea obținută cade între cele două arii. Un rezultat negativ este mereu greșit.

Ce unitate de măsură are aria de sub un grafic din fizică? Unitatea este produsul unităților de pe cele două axe. Pe un grafic viteză–timp, aria are unitatea metru pe secundă înmulțit cu secundă, adică metru, și reprezintă distanța parcursă. Pe un grafic putere–timp aria este energia consumată, iar pe un grafic debit–timp este volumul scurs prin conductă.