Aria triunghiului cu determinant: pe scurt

Aici algebra primului semestru intră în geometrie. Cu $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ și determinantul $\Delta$ format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$, aria este ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$.

Demonstrația nu cade din cer: dreapta $AB$ are coeficienții $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$, $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$, deci $AB=\sqrt{a^2+b^2}$; dezvoltând $\Delta$ după linia a treia se obține exact $a{x}_C+b{y}_C+c$, adică numărătorul distanței de la $C$ la $AB$. Înmulțind baza cu înălțimea, radicalii se simplifică și rămâne $\frac{1}{2}|\Delta |$.

Coloana de $1$ nu e o podoabă: prin $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ determinantul se reduce la unul de ordinul al doilea, deci la forma scurtă $\Delta =(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)$ — două produse în loc de șase. Când un vârf este chiar originea, rămâne și mai puțin: ${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|$.

Cazul $\Delta =0$ este exact coliniaritatea, deci la orice triunghi dat prin coordonate se verifică întâi $\Delta \ne 0$. Semnul lui $\Delta$ arată doar sensul în care sunt parcurse vârfurile — de aceea formula are modul. Un poligon convex se descompune în triunghiuri cu diagonalele dintr-un vârf, iar a doua descompunere oferă o verificare gratuită.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria triunghiului cu vârfurile $A(-2,3)$, $B(6,1)$ și $C(2,9)$ este egală cu:

   • a) $56$
   • b) $14$
   • c) $112$
   • d) $28$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $28$

   Cu forma scurtă, $\Delta =(6-(-2))(9-3)-(2-(-2))(1-3)=48+8=56\ne 0$, deci punctele formează un triunghi, iar $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 56=28$. Varianta $56$ este chiar determinantul, adică dublul ariei — jumătatea se uită des.

2. Scăzând prima linie din celelalte două, determinantul $\Delta$ al triunghiului $ABC$ devine:

   • a) $(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)$
   • b) $(x_B-x_A)(y_C-y_A)+(x_C-x_A)(y_B-y_A)$
   • c) $(x_B-x_A)(y_B-y_A)-(x_C-x_A)(y_C-y_A)$
   • d) $(x_B+x_A)(y_C+y_A)-(x_C+x_A)(y_B+y_A)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)$

   Transformările $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ nu schimbă valoarea determinantului și lasă în coloana a treia un singur element nenul. Dezvoltând după ea rămâne determinantul de ordinul al doilea cu liniile $(x_B-x_A,y_B-y_A)$ și $(x_C-x_A,y_C-y_A)$, adică prima variantă. Apar numai diferențe de coordonate — de aceea aria nu se schimbă la translație.

3. Aria triunghiului cu vârfurile $O(0,0)$, $A(5,2)$ și $B(1,3)$ este egală cu:

   • a) $13$
   • b) $\frac{17}{2}$
   • c) $\frac{13}{2}$
   • d) $\frac{7}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{13}{2}$

   Cu un vârf în origine, prima linie a determinantului este $0$, $0$, $1$, iar dezvoltarea după ea lasă ${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|15-2|=\frac{13}{2}$. Varianta $\frac{17}{2}$ apare dacă se adună în loc să se scadă, iar $13$ dacă se uită jumătatea.