Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului

Un topograf care măsoară o parcelă nu se plimbă cu ruleta pe fiecare latură și nici nu caută unde cade înălțimea. Măsoară coordonatele colțurilor cu aparatul, le trece într-un tabel și lasă calculul pe seama unei formule. Formula aceea, folosită astăzi de orice program de cadastru, este exact ce vom deduce în această lecție — și este, la origine, un determinant.

Aici se întâlnesc cele două jumătăți ale anului: determinanții, construiți în primul semestru ca instrument algebric, și dreptele din planul cartezian. Programa cere explicit legătura: aria unui triunghi, condiția de coliniaritate și ecuația dreptei prin două puncte „se abordează și ca aplicații ale determinanților în geometrie". Vei vedea că un singur număr, determinantul de ordinul al treilea format cu coordonatele vârfurilor și o coloană de $1$, conține în el atât aria, cât și răspunsul la întrebarea dacă cele trei puncte formează sau nu un triunghi.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria unui triunghi din coordonatele vârfurilor, cu determinantul de ordinul al treilea care are o coloană de $1$.
• Vei ști să demonstrezi formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$, pornind de la baza și înălțimea triunghiului.
• Vei ști să calculezi $\Delta$ pe două căi: cu regula lui Sarrus și, mai rapid, printr-un determinant de ordinul al doilea obținut prin scăderea liniilor.
• Vei ști să citești condiția de coliniaritate ca un caz particular: $\Delta =0$.
• Vei ști să afli aria unui patrulater sau a unui poligon, descompunându-l în triunghiuri.
• Vei ști să rezolvi probleme inverse: să determini un vârf sau un parametru dintr-o condiție asupra ariei.

Hai să descoperim împreună

1. Aria din coordonate, pe drumul elementar

Fie triunghiul cu vârfurile $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$. Cum îi aflăm aria, având doar aceste șase numere?

O primă metodă, pe care o poate folosi oricine cu o foaie de hârtie: încadrăm triunghiul într-un dreptunghi cu laturile paralele cu axele și scădem ce e în plus. Dreptunghiul are colțurile $(1,2)$, $(6,2)$, $(6,7)$, $(1,7)$, deci laturile $5$ și $5$ și aria $25$. Din el scădem trei triunghiuri dreptunghice, fiecare având catetele paralele cu axele:

• triunghiul de sub latura $AB$: catetele $5$ și $1$, aria $\frac{5}{2}=2,5$;
• triunghiul din dreapta laturii $BC$: catetele $2$ și $4$, aria $4$;
• triunghiul din stânga laturii $CA$: catetele $3$ și $5$, aria $7,5$.

$${\mathcal{S}}_{ABC}=25-(2,5+4+7,5)=25-14=11.$$

Metoda funcționează, dar are un cusur serios: depinde de figură. Pentru alt triunghi, cu vârfurile așezate altfel, colțurile de scăzut sunt altele, iar unele trebuie adunate, nu scăzute. Ne trebuie o formulă care să nu ceară desen și care să dea răspunsul corect indiferent de poziția punctelor.

2. Formula cu determinant

Teoremă. Fie $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ trei puncte din plan și

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|.$$

Atunci aria triunghiului $ABC$ este ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$.

Demonstrație. Presupunem $A\ne B$ și scriem dreapta $AB$ sub forma generală. Din forma cu determinant a dreptei prin două puncte, prezentată în Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant, coeficienții sunt

$$a=y_A-y_B,b=x_B-x_A,c=x_A{y}_B-x_B{y}_A,$$

adică $AB:ax+by+c=0$. Că este într-adevăr dreapta $AB$ se verifică imediat: înlocuind coordonatele lui $A$ obținem $(y_A-y_B)x_A+(x_B-x_A)y_A+x_A{y}_B-x_B{y}_A=0$, și analog pentru $B$.

Observăm acum două lucruri. Primul: lungimea bazei este

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{b^2+a^2},$$

pentru că $a$ și $b$ sunt tocmai diferențele coordonatelor, cu semn schimbat la prima. Al doilea: dezvoltând determinantul $\Delta$ după linia a treia obținem

$$\Delta =x_C(y_A-y_B)-y_C(x_A-x_B)+(x_A{y}_B-x_B{y}_A)=a{x}_C+b{y}_C+c,$$

adică exact expresia care apare la numărătorul distanței de la $C$ la dreapta $AB$. Folosind formula demonstrată în Distanța de la un punct la o dreaptă,

$$d(C,AB)=\frac{|a{x}_C+b{y}_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\Delta |}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Aria triunghiului este jumătate din produsul bazei cu înălțimea:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{|\Delta |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}|\Delta |.■$$

Demonstrația cere un singur lucru: ca $A$ și $B$ să fie puncte distincte, altfel dreapta $AB$ nici nu există. Dacă $A=B$, determinantul are două linii identice, deci este nul, iar formula dă tot răspunsul corect: aria unei figuri turtite este zero. La fel se întâmplă și când cele trei puncte sunt distincte, dar coliniare — situație de care ne ocupăm în secțiunea 4. Formula acoperă, prin urmare, toate cazurile, inclusiv pe cele degenerate, fără să ceară vreo discuție suplimentară.

Radicalii se simplifică între ei — de aceea formula finală e atât de scurtă. Observă și că demonstrația a folosit latura $AB$ drept bază; dacă am fi ales $BC$ sau $CA$, am fi ajuns la același $\Delta$, pentru că determinantul își schimbă cel mult semnul când permutăm liniile.

Verificare pe exemplul din secțiunea 1. Pentru $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$, cu regula lui Sarrus:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 6& 3& 1\\ 4& 7& 1\end{array}\right|=1\cdot 3\cdot 1+6\cdot 7\cdot 1+4\cdot 2\cdot 1-(1\cdot 3\cdot 4+1\cdot 7\cdot 1+1\cdot 2\cdot 6)=53-31=22,$$

deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{22}{2}=11$ — aceeași valoare obținută prin decupaje, dar dintr-un singur calcul.

3. Calculul rapid al lui $\Delta$: coloana de $1$ se folosește

Coloana de $1$ nu e o podoabă: ea permite o simplificare care scurtează mult calculul. Aplicăm transformările $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$, care nu schimbă valoarea determinantului (sunt proprietățile demonstrate în unitatea de determinanți):

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B-x_A& y_B-y_A& 0\\ x_C-x_A& y_C-y_A& 0\end{array}\right|.$$

Dezvoltând acum după coloana a treia, în care a rămas un singur element nenul, obținem un determinant de ordinul al doilea:

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{x}_B-x_A& y_B-y_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A\end{array}\right|=(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A).$$

Exemplu. Pentru $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$: $\Delta =(6-1)(7-2)-(4-1)(3-2)=25-3=22✓$ — același rezultat, cu două înmulțiri în loc de șase.

Toate trei dau același număr; alegerea e o chestiune de economie, nu de corectitudine.

Formula are o calitate pe care metoda decupajelor nu o avea: nu depinde de poziția figurii. Poți translata triunghiul, îl poți muta în alt cadran, poți lua coordonate negative sau fracționare — determinantul se calculează la fel, iar modulul are grijă de semne. Motivul se vede în varianta cu scăderea liniilor: acolo apar numai diferențe de coordonate, adică numai deplasări relative dintre vârfuri, nu și poziția lor față de origine. Două triunghiuri care se obțin unul din altul printr-o translație au aceleași diferențe, deci același determinant și aceeași arie — exact cum ne așteptăm de la o mărime geometrică.

Un caz particular care merită memorat. Dacă unul dintre vârfuri este chiar originea, $O(0,0)$, prima linie a determinantului devine $0$, $0$, $1$, iar dezvoltarea după ea lasă un singur termen:

$${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|.$$

Exemplu. Pentru $A(3,1)$ și $B(1,4)$: ${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|12-1|=\frac{11}{2}=5,5$. Acest caz apare des în probleme, pentru că multe enunțuri așază convenabil un vârf în origine; recunoscându-l, sari peste tot calculul determinantului de ordinul al treilea.

4. Coliniaritatea, ca situație-limită

Ce se întâmplă dacă $\Delta =0$? Aria „triunghiului" ar fi zero, adică figura s-ar turti pe o dreaptă. Exact aceasta este condiția de coliniaritate din lecția Condiția de coliniaritate a trei puncte:

$$A,B,C\text{coliniare}⟺\Delta =0.$$

De aici o regulă de igienă a rezolvării, valabilă în toată unitatea: la orice triunghi dat prin coordonate se verifică întâi $\Delta \ne 0$. Dacă determinantul iese nul, enunțul nu descrie un triunghi, iar întrebările despre înălțimi, arii sau unghiuri rămân fără obiect.

Exemple. Punctele $A(1,2)$, $B(3,6)$, $C(5,10)$ dau $\Delta =(3-1)(10-2)-(5-1)(6-2)=16-16=0$: sunt coliniare. În schimb, $A(1,2)$, $B(3,6)$, $C(5,11)$ dau $\Delta =(3-1)(11-2)-(5-1)(6-2)=18-16=2\ne 0$, deci formează un triunghi, de arie $1$ — foarte „subțire", dar triunghi.

5. Semnul lui $\Delta$: ordinea în care numim vârfurile

Modulul din formulă ne scapă de o grijă, dar merită să știm ce ascunde. Determinantul $\Delta$ își schimbă semnul când schimbăm între ele două vârfuri, pentru că schimbarea a două linii schimbă semnul oricărui determinant. Prin urmare:

$$\Delta (A,B,C)=-\Delta (B,A,C)=\Delta (B,C,A).$$

Geometric, semnul arată sensul în care sunt parcurse vârfurile: pozitiv pentru sensul trigonometric (invers acelor de ceasornic), negativ pentru sensul acelor de ceasornic. Aria, fiind o mărime pozitivă, nu poate depinde de ordinea în care am scris literele — de aceea formula conține modulul. Concluzia practică: poți lua vârfurile în orice ordine, iar dacă îți iese un determinant negativ, nu ai greșit; iei modulul și mergi mai departe.

Există totuși un loc în care semnul chiar contează, iar tu îl vei întâlni imediat: la descompunerea unui poligon în triunghiuri. Dacă ai grijă să parcurgi toate triunghiurile în același sens, determinanții au același semn și se adună fără surprize. Dacă amesteci sensurile și aduni modulele fără să te uiți la figură, poți număra de două ori o porțiune sau, dimpotrivă, o poți pierde. Regula simplă, pe care o vom respecta peste tot: stabilește o ordine a vârfurilor poligonului, de la primul spre ultimul, și păstreaz-o în toate triunghiurile.

6. Aria unui patrulater sau a unui poligon

Un poligon convex se descompune în triunghiuri ducând diagonalele dintr-un vârf; aria totală este suma ariilor.

Exemplu. Fie patrulaterul convex $ABCD$ cu $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,4)$, $D(2,6)$. Ducem diagonala $AC$ și obținem triunghiurile $ABC$ și $ACD$:

$${\Delta }_{ABC}=(6-0)(4-0)-(8-0)(0-0)=24\Rightarrow {\mathcal{S}}_{ABC}=12,$$

$${\Delta }_{ACD}=(8-0)(6-0)-(2-0)(4-0)=48-8=40\Rightarrow {\mathcal{S}}_{ACD}=20.$$

Aria patrulaterului este ${\mathcal{S}}_{ABCD}=12+20=32$.

Control pe cealaltă diagonală. Cu $BD$ obținem triunghiurile $ABD$ și $BCD$:

$${\Delta }_{ABD}=(6-0)(6-0)-(2-0)(0-0)=36\Rightarrow {\mathcal{S}}_{ABD}=18,{\mathcal{S}}_{BCD}=\frac{1}{2}|28|=14,$$

iar $18+14=32✓$ Cele două descompuneri trebuie să dea același rezultat; dacă nu dau, ai greșit un semn sau ai un poligon care nu e convex.

Procedeul se generalizează fără efort. Un poligon convex cu $n$ vârfuri se descompune, prin diagonalele duse dintr-un singur vârf, în exact $n-2$ triunghiuri: pentru un patrulater sunt două, pentru un pentagon trei, pentru un hexagon patru. Ariile lor se calculează pe rând, cu același determinant, și se adună. Este exact procedeul folosit în cadastru, unde o parcelă cu multe colțuri se descompune automat în triunghiuri, iar suprafața totală iese dintr-un șir de determinanți.

Exemplu. Pentagonul convex cu vârfurile $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,4)$, $D(4,7)$, $E(-1,3)$ se descompune, din vârful $A$, în triunghiurile $ABC$, $ACD$ și $ADE$, cu ariile $12$, $20$ și $\frac{19}{2}$. Aria pentagonului este, așadar,

$${\mathcal{S}}_{ABCDE}=12+20+\frac{19}{2}=\frac{83}{2}=41,5.$$

Atenție la convexitate. Descompunerea prin diagonale dintr-un vârf este validă pentru poligoane convexe. Dacă poligonul are un „unghi intrat", diagonala poate ieși din figură, iar suma ariilor nu mai este aria poligonului — trebuie aleasă altă descompunere, în triunghiuri care acoperă figura fără suprapuneri.

7. Probleme inverse: parametru determinat din arie

Fie $A(1,2)$ și $B(6,3)$ fixate și un al treilea vârf mobil $P(m,0)$ pe axa $Ox$. Determinăm $m$ astfel încât aria triunghiului $ABP$ să fie $5$.

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 6& 3& 1\\ m& 0& 1\end{array}\right|=(6-1)(0-2)-(m-1)(3-2)=-10-m+1=-(m+9).$$

Condiția $\frac{1}{2}|m+9|=5$ dă $|m+9|=10$, deci $m=1$ sau $m=-19$.

Verificare. Pentru $m=1$: $\Delta =-10$, $\mathcal{S}=5✓$; pentru $m=-19$: $\Delta =10$, $\mathcal{S}=5✓$

Cele două soluții nu sunt un accident. Dacă lăsăm punctul să se plimbe liber în plan, condiția „aria triunghiului $ABP$ este $5$" se scrie, cu $P(x,y)$,

$${\Delta }_{ABP}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 6& 3& 1\\ x& y& 1\end{array}\right|=-x+5y-9,|-x+5y-9|=10,$$

adică $x-5y-1=0$ sau $x-5y+19=0$: două drepte paralele cu $AB$, așezate simetric, câte una de fiecare parte. Se vede și de ce: aria nu se schimbă când vârful se deplasează paralel cu baza, pentru că nici baza, nici înălțimea nu se schimbă. Vom folosi această observație la problemele de optimizare din lecția Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria dintr-un determinant

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$.

Rezolvare. Verificăm întâi necoliniaritatea și calculăm în același timp determinantul, prin scăderea liniilor:

$$\Delta =(6-1)(7-2)-(4-1)(3-2)=25-3=22\ne 0,$$

deci punctele formează un triunghi, iar ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 22=11$.

Control: prin încadrarea în dreptunghi (secțiunea 1) am obținut tot $11$.

Exemplul 2 — Un triunghi dreptunghic, verificat cu formula lui Heron

Calculați aria triunghiului $O(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$ în două moduri.

Rezolvare. Cu determinantul: $\Delta =(6-0)(8-0)-(0-0)(0-0)=48$, deci $\mathcal{S}=24$.

Cu catetele: triunghiul este dreptunghic în $O$, cu catetele $OB=6$ și $OC=8$, deci $\mathcal{S}=\frac{6\cdot 8}{2}=24✓$

Cu formula lui Heron: laturile sunt $6$, $8$ și $BC=\sqrt{36+64}=10$; semiperimetrul este $p=12$, iar

$$\mathcal{S}=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{576}=24✓$$

Exemplul 3 — Triunghiul cu laturile 13, 14, 15

Se consideră $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$. Calculați lungimile laturilor și aria triunghiului.

Rezolvare. $AB=14$, $AC=\sqrt{25+144}=13$, $BC=\sqrt{81+144}=15$.

Cu determinantul: $\Delta =(14-0)(12-0)-(5-0)(0-0)=168$, deci $\mathcal{S}=84$.

Cu Heron: $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ și $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84✓$

Determinantul a dat rezultatul din trei numere, fără niciun radical pe drum.

Exemplul 4 — Coliniaritate sau triunghi?

Stabiliți dacă punctele $A(1,2)$, $B(3,6)$, $C(5,10)$ sunt coliniare. Aceeași întrebare pentru $A(1,2)$, $B(3,6)$, $D(5,11)$.

Rezolvare. ${\Delta }_{ABC}=(3-1)(10-2)-(5-1)(6-2)=16-16=0$, deci $A$, $B$, $C$ sunt coliniare.

${\Delta }_{ABD}=(3-1)(11-2)-(5-1)(6-2)=18-16=2\ne 0$, deci $A$, $B$, $D$ formează un triunghi, de arie $\mathcal{S}=1$.

Exemplul 5 — Aria unui patrulater

Calculați aria patrulaterului convex $ABCD$, cu $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,4)$, $D(2,6)$.

Rezolvare. Descompunem cu diagonala $AC$:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|24|=12,{\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{1}{2}|40|=20,{\mathcal{S}}_{ABCD}=32.$$

Control cu diagonala $BD$: ${\mathcal{S}}_{ABD}=18$ și ${\mathcal{S}}_{BCD}=14$, cu suma $32✓$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $A(1,2)$, $B(6,3)$ și $C(4,7)$ în reperul cartezian $xOy$.

a) Arătați că punctele $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare.

b) Calculați aria triunghiului $ABC$.

c) Determinați numărul real $m$ pentru care aria triunghiului $ABP$, unde $P(m,0)$, este egală cu $5$.

Rezolvare. a) Calculăm determinantul asociat celor trei puncte:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 6& 3& 1\\ 4& 7& 1\end{array}\right|=22\ne 0,$$

deci punctele nu sunt coliniare.

b) ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |=11$.

c) Cu $P(m,0)$ obținem ${\Delta }_{ABP}=-(m+9)$, deci condiția devine $\frac{1}{2}|m+9|=5$, adică $|m+9|=10$. Rezultă $m=1$ sau $m=-19$. Ambele valori sunt acceptabile, pentru că enunțul nu impune nicio restricție suplimentară asupra poziției punctului $P$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare triunghi calculează întâi determinantul $\Delta$ și abia apoi aria; nu uita modulul.

1. Calculează aria triunghiului $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$.

2. Calculează aria triunghiului $O(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$ și verifică rezultatul cu formula ariei unui triunghi dreptunghic.

3. Calculează aria triunghiului $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$ și verific-o cu formula lui Heron.

4. Calculează aria triunghiului $A(-1,2)$, $B(5,0)$, $C(3,6)$.

5. Calculează aria triunghiului $A(-2,1)$, $B(4,-1)$, $C(2,5)$.

6. Calculează aria triunghiului $A(2,1)$, $B(8,3)$, $C(4,7)$.

7. Stabilește dacă punctele $A(1,2)$, $B(3,6)$, $C(5,10)$ sunt coliniare.

8. Stabilește dacă punctele $A(-1,-1)$, $B(2,5)$, $C(4,9)$ sunt coliniare.

9. Arată că punctele $A(1,2)$, $B(3,6)$, $D(5,11)$ formează un triunghi și calculează-i aria.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă schimbăm între ele două vârfuri ale triunghiului, aria calculată se schimbă."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un determinant $\Delta$ nul înseamnă că cele trei puncte sunt coliniare."

12. Calculează aria patrulaterului convex $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,4)$, $D(2,6)$, folosind pe rând ambele diagonale.

13. Pentru triunghiul $A(1,1)$, $B(5,3)$, $C(2,6)$, calculează $\Delta$ prin regula lui Sarrus și apoi prin scăderea liniilor. Deduce aria.

14. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care aria triunghiului cu vârfurile $A(1,2)$, $B(6,3)$, $P(m,0)$ este egală cu $5$.

15. (Problemă aplicată.) Colțurile unei parcele triunghiulare au, pe un plan cu unitatea de $100$ de metri, coordonatele $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$. Ce suprafață are parcela, în hectare? (Un hectar are $10000$ de metri pătrați.)

16. Pentru același triunghi $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$, folosește aria pentru a afla lungimea înălțimii din $A$, știind că $BC=15$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctele $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$. a) Arată că punctele nu sunt coliniare. b) Calculează aria triunghiului $ABC$. c) Determină $m$ real pentru care aria triunghiului $ABP$, cu $P(m,0)$, este $5$.

18. (Provocare.) Arată că mulțimea punctelor $P(x,y)$ pentru care aria triunghiului $ABP$, cu $A(1,2)$ și $B(6,3)$, este egală cu $5$ este reuniunea a două drepte paralele cu $AB$, și scrie ecuațiile lor.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =(6-1)(7-2)-(4-1)(3-2)=22$, deci $\mathcal{S}=11$.

2. $\Delta =6\cdot 8-0=48$, deci $\mathcal{S}=24$; triunghiul fiind dreptunghic în $O$, aria este și $\frac{6\cdot 8}{2}=24✓$

3. $\Delta =14\cdot 12-5\cdot 0=168$, deci $\mathcal{S}=84$. Heron: laturile $13$, $14$, $15$, $p=21$, $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84✓$

4. $\Delta =(5+1)(6-2)-(3+1)(0-2)=24+8=32$, deci $\mathcal{S}=16$.

5. $\Delta =(4+2)(5-1)-(2+2)(-1-1)=24+8=32$, deci $\mathcal{S}=16$.

6. $\Delta =(8-2)(7-1)-(4-2)(3-1)=36-4=32$, deci $\mathcal{S}=16$.

7. $\Delta =2\cdot 8-4\cdot 4=0$: punctele sunt coliniare, deci nu închid nicio suprafață; aria este nulă, iar cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă.

8. $\Delta =(2+1)(9+1)-(4+1)(5+1)=30-30=0$: punctele sunt coliniare.

9. $\Delta =2\cdot 9-4\cdot 4=2\ne 0$, deci formează un triunghi, cu $\mathcal{S}=1$.

10. Fals. Schimbarea a două vârfuri înseamnă schimbarea a două linii în determinant, deci $\Delta$ își schimbă semnul. Aria conține modulul lui $\Delta$, deci rămâne aceeași — cum și trebuie, fiind o mărime geometrică.

11. Adevărat. $\Delta =0$ înseamnă $\mathcal{S}=0$, iar un triunghi de arie nulă este unul „turtit": cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă. Reciproc, dacă punctele sunt coliniare, înălțimea din al treilea vârf este nulă, deci $\Delta =0$.

12. Pe diagonala $AC$: ${\mathcal{S}}_{ABC}=12$ și ${\mathcal{S}}_{ACD}=20$, total $32$. Pe diagonala $BD$: ${\mathcal{S}}_{ABD}=18$ și ${\mathcal{S}}_{BCD}=14$, total tot $32✓$

13. Cu regula lui Sarrus: $\Delta =1\cdot 3\cdot 1+5\cdot 6\cdot 1+2\cdot 1\cdot 1-(1\cdot 3\cdot 2+1\cdot 6\cdot 1+1\cdot 1\cdot 5)=35-17=18$. Prin scăderea liniilor: $\Delta =(5-1)(6-1)-(2-1)(3-1)=20-2=18✓$ Aria este $\mathcal{S}=9$ — aceeași valoare obținută în lecția precedentă prin bază înmulțită cu înălțime.

14. $\Delta =-(m+9)$, deci $|m+9|=10$ și $m\in \{-19,1\}$.

15. $\mathcal{S}=84$ unități pătrate. O unitate de lungime înseamnă $100$ de metri, deci o unitate pătrată înseamnă $100\cdot 100=10000$ de metri pătrați, adică exact un hectar: parcela are $84$ de hectare. Reține transformarea, pentru că este sursa unei greșeli clasice — la trecerea de la lungimi la arii, factorul de scară se ridică la pătrat, nu se păstrează.

16. Din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot d(A,BC)$ rezultă $d(A,BC)=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{2\cdot 84}{15}=\frac{56}{5}=11,2$. Observă că nu a fost nevoie să scriem ecuația dreptei $BC$ și nici să aplicăm formula distanței: aria, calculată o singură dată, ne-a dat înălțimea direct. Aceasta este metoda pe care se sprijină lecția următoare.

17. a) $\Delta =22\ne 0$. b) ${\mathcal{S}}_{ABC}=11$. c) ${\Delta }_{ABP}=-(m+9)$, deci $|m+9|=10$ și $m=1$ sau $m=-19$.

18. Cu $P(x,y)$ obținem ${\Delta }_{ABP}=-x+5y-9$, deci condiția este $|-x+5y-9|=10$, adică $x-5y-1=0$ sau $x-5y+19=0$. Dreapta $AB$ are ecuația $x-5y+9=0$, iar cele două drepte găsite au aceiași coeficienți ai lui $x$ și $y$, deci sunt paralele cu ea; termenii liberi diferă de al lui $AB$ cu $10$ în plus și cu $10$ în minus, deci dreptele sunt simetrice față de $AB$.

De reținut

• Formula: cu $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ și determinantul $\Delta$ format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$, aria este ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$.
• Calculul rapid: scăzând prima linie din celelalte două, $\Delta =(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)$ — un determinant de ordinul al doilea.
• Coliniaritatea este cazul $\Delta =0$; se verifică înainte de orice calcul care presupune existența triunghiului.
• Semnul lui $\Delta$ depinde de ordinea vârfurilor (sens trigonometric sau invers), aria nu — de aceea formula are modul.
• Poligoanele convexe se descompun în triunghiuri cu diagonalele dintr-un vârf; suma ariilor nu depinde de diagonala aleasă, ceea ce oferă o verificare gratuită.

Greșeli frecvente

• Uiți modulul sau uiți jumătatea. Determinantul singur este dublul ariei, cu semn cu tot. Aria este $\frac{1}{2}|\Delta |$, mereu pozitivă.
• Scrii coloana de $1$ pe alt loc sau o înlocuiești cu altceva. Formula funcționează cu structura fixă: două coloane de coordonate și o coloană de $1$. O coloană de $0$ ar da determinant nul, iar o coloană cu alte valori ar schimba complet rezultatul.
• Nu verifici coliniaritatea și calculezi înălțimi într-un triunghi inexistent. Dacă $\Delta =0$, restul cerințelor nu mai au sens; se scrie explicit că punctele sunt coliniare.
• Aplici regula lui Sarrus la determinanți de ordin mai mare. Sarrus se folosește exclusiv la ordinul $3$. Aici e suficient, dar la alte capitole regula nu se extinde.
• Descompui un poligon neconvex cu diagonalele dintr-un vârf. Dacă figura are un unghi intrat, o diagonală poate ieși din poligon; verifică pe desen sau alege altă descompunere, iar la final compară două descompuneri diferite.

Aplică acasă

1. Cadastrul camerei tale. Alege un colț al camerei ca origine și măsoară coordonatele a trei repere de pe podea (colțuri de covor, picioare de mobilă). Calculează aria triunghiului determinat de ele cu formula determinantului, apoi verific-o măsurând o latură și înălțimea corespunzătoare.

2. Harta unei parcele. Caută pe o hartă online un teren cu formă poligonală, notează coordonatele colțurilor pe o grilă pe care o desenezi tu și calculează aria descompunând poligonul în triunghiuri. Compară rezultatele obținute prin două descompuneri diferite: dacă ele coincid, ai o dovadă serioasă că socoteala e corectă; dacă diferă, greșeala se găsește repede, pentru că e într-unul dintre puținele triunghiuri care apar în ambele descompuneri. Nu uita să transformi la final unitățile grilei în metri și, apoi, aria în metri pătrați, ridicând factorul de scară la pătrat.

3. Experimentul cu banda paralelă. Desenează un segment $AB$ pe hârtie milimetrică și marchează cinci puncte diferite pe o dreaptă paralelă cu $AB$. Calculează aria fiecărui triunghi format; toate trebuie să fie egale. Este verificarea, cu propria mână, a observației din secțiunea 7.

Pentru părinți și profesori

Lecția este locul în care algebra primului semestru intră în geometrie. Programa de mate-info cere explicit ca aria unui triunghi, condiția de coliniaritate și ecuația dreptei prin două puncte să fie tratate și ca aplicații ale determinanților — iar formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$ este cea mai vizibilă dintre ele. Demonstrația nu este un ornament: ea arată că formula nu cade din cer, ci este rezultatul înmulțirii dintre lungimea unei laturi și distanța de la vârful opus la ea, în care radicalii se simplifică.

Ce verifică lecția: scrierea corectă a determinantului (coloana de $1$ la locul ei), calculul lui prin cel puțin două căi, folosirea modulului și a jumătății, verificarea prealabilă a necoliniarității, descompunerea unui poligon în triunghiuri și rezolvarea unei ecuații cu modul într-o problemă inversă. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă geometric $\Delta =0$?"; „De ce apare modulul în formulă?"; „De ce nu se schimbă aria dacă schimbi ordinea vârfurilor?"; „Cum verifici rezultatul, fără să refaci același calcul?".

Un semn sigur că elevul a înțeles: își verifică rezultatul pe o a doua cale — dreptunghi minus colțuri, Heron sau bază înmulțită cu înălțime — în loc să recalculeze de două ori același determinant. Un al doilea semn: la problema cu parametru discută ambele soluții și le interpretează pe desen, ca poziții simetrice față de dreapta $AB$.

Unde apare la BAC M1: în subiectul de geometrie analitică, adesea într-o problemă cu trei cerințe — coliniaritate, arie, apoi un parametru determinat din arie sau o distanță dedusă din arie. Baremul cere determinantul scris explicit, nu doar valoarea lui.

O observație pentru acasă, utilă la teme: greșelile de calcul se depistează mult mai ușor dacă rezultatul este confruntat cu un desen aproximativ. Un triunghi care, pe caiet, arată cam cât un pătrat de trei pe trei nu poate avea aria $40$; o astfel de nepotrivire semnalează, aproape întotdeauna, o greșeală de semn în determinant sau o coordonată citită greșit din enunț. Estimarea prealabilă — „aria este de ordinul zecilor, nu al sutelor" — costă zece secunde și salvează multe puncte.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei unui triunghi cunoscând coordonatele vârfurilor? Se formează determinantul de ordinul al treilea care are pe primele două coloane coordonatele vârfurilor, iar pe a treia numai valori de $1$. Dacă îl notăm $\Delta$, aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$.

De ce apare o coloană de $1$ în determinant? Ea provine din ecuația dreptei prin două puncte scrisă sub formă de determinant. Practic, coloana de $1$ este ceea ce face ca determinantul să măsoare o suprafață, nu doar o combinație de coordonate; scăzând liniile între ele, coloana aceasta permite reducerea la un determinant de ordinul al doilea.

Ce înseamnă dacă determinantul iese negativ? Doar că am parcurs vârfurile în sensul acelor de ceasornic. Aria este modulul împărțit la doi, deci semnul nu influențează rezultatul. Dacă schimbi între ele două vârfuri, semnul se schimbă, dar aria rămâne aceeași.

Cum verific rapid dacă trei puncte sunt coliniare? Calculezi același determinant: dacă $\Delta =0$, punctele sunt coliniare. Este cea mai rapidă metodă, pentru că nu cere să afli pante și nu are excepții la drepte verticale.

Cum calculez aria unui patrulater din coordonate? Îl descompui în două triunghiuri cu o diagonală și aduni ariile. Pentru siguranță, refaci calculul cu cealaltă diagonală: dacă poligonul e convex, cele două rezultate coincid.

Formula merge și pentru triunghiuri cu vârfuri de coordonate negative sau fracționare? Da, fără nicio modificare. Determinantul se calculează la fel, iar modulul are grijă de semne. Pentru coordonate fracționare este comod să folosești varianta cu scăderea liniilor, care are mai puține produse.

Cum aflu o înălțime dacă știu aria? Din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}$ obții înălțimea ca $\frac{2\mathcal{S}}{\text{baza˘}}$. Este exact tehnica pe care o vom folosi sistematic în lecția următoare, pentru a deduce distanțe din arii.

Este formula lui Heron mai bună decât determinantul? Nu, când datele sunt coordonate. Heron cere cele trei lungimi, deci trei radicali, și apoi încă unul; determinantul lucrează direct cu coordonatele și dă un număr rațional. Heron rămâne util ca metodă de verificare independentă.