Arii cu schimbare de semn: pe scurt

Când $f$ își schimbă semnul pe $[a,b]$, aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, nu ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Deosebirea este de fond: integrala face un bilanț cu semn și poate ieși negativă sau chiar nulă, în timp ce aria nu face compensări; cele două coincid exact atunci când funcția păstrează același semn pe tot intervalul. Cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn sunt: zerourile din interval, tabelul de semn, apoi suma de integrale cu semnul potrivit pe fiecare bucată. Două confuzii se plătesc scump. Prima: capetele de integrare vin din enunț (dreptele verticale), iar rupturile vin din ecuația $f(x)=0$ — sunt lucruri diferite. A doua: se rețin numai zerourile din interiorul intervalului; o rădăcină din afara lui nu produce nicio tăietură, iar un zero care coincide cu un capăt nu rupe nimic. Controlul cel mai rapid este că fiecare integrală din sumă trebuie să dea un număr pozitiv; dacă una iese negativă, semnul a fost citit greșit din tabel. Când regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$, rolurile variabilelor se inversează: curba se scrie $x=g(y)$, cu $g\ge 0$, iar aria devine ${\int }_c^{d}g(y)dy$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-9$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=5$ este:

   • a) $-\frac{10}{3}$
   • b) $\frac{10}{3}$
   • c) $\frac{98}{3}$
   • d) $\frac{44}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{98}{3}$

   Zeroul din interval este $x=3$ (rădăcina $-3$ este în afara lui). Pe $[0,3]$ funcția este negativă, pe $[3,5]$ pozitivă: $\mathcal{S}={\int }_0^3\left(9-x^2\right)dx+{\int }_3^5\left(x^2-9\right)dx=18+\frac{44}{3}=\frac{98}{3}$. Varianta $-\frac{10}{3}$ este chiar ${\int }_0^5\left(x^2-9\right)dx$, adică bilanțul cu semn, iar $\frac{44}{3}$ oprește calculul la a doua bucată.

2. Pentru a calcula aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-5x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=7$, suma conține:

   • a) două integrale
   • b) o singură integrală
   • c) trei integrale
   • d) patru integrale
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) două integrale

   Zerourile sunt $0$ și $5$, dar $x=0$ coincide cu capătul din stânga și nu produce o ruptură: rupturile sunt doar zerourile din interiorul intervalului. Singura tăietură este în $x=5$, deci suma are două integrale: ${\int }_0^5\left(5x-x^2\right)dx+{\int }_5^7\left(x^2-5x\right)dx$.

3. După ce ai rupt intervalul în zerouri și ai scris suma de integrale, cel mai rapid control este:

   • a) suma trebuie să fie un număr întreg
   • b) prima integrală trebuie să fie cea mai mare
   • c) numărul de integrale trebuie să fie par
   • d) fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă

   Pe fiecare bucată se integrează funcția cu semnul care o face pozitivă: $f$ acolo unde $f\ge 0$ și $-f$ acolo unde $f\le 0$. Prin urmare fiecare termen al sumei este o arie, deci un număr pozitiv; un termen negativ arată imediat că semnul a fost citit greșit din tabel. Celelalte trei afirmații nu au nicio legătură cu corectitudinea calculului.