Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn

Un cont bancar are, într-o lună, zile cu încasări și zile cu plăți. La sfârșit poți întreba două lucruri diferite: „cu cât s-a schimbat soldul?" și „cât s-a mișcat, în total, prin cont?". Primul răspuns face compensări, al doilea nu. Exact aceeași deosebire apare în geometria de clasa a 12-a atunci când graficul unei funcții traversează axa $Ox$: integrala răspunde la prima întrebare, aria la a doua, iar cele două numere nu sunt egale. Aria regiunii dintre graficul unei funcții care își schimbă semnul și axa $Ox$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, adică suma integralelor luate pe fiecare bucată dintre două zerouri consecutive, fiecare cu semnul care o face pozitivă.

Lecția aceasta duce până la capăt formularea din programă — suprafețe plane „delimitate de graficele unor funcții continue, de axele de coordonate și de drepte verticale" — în cazul cel mai general, cel în care funcția își schimbă semnul. Instrumentele sunt deja toate în mână: tabelul de semn, aditivitatea la interval și formula Leibniz–Newton. Ce se adaugă este organizarea calculului și, mai ales, o disciplină de citire a enunțului.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești aria regiunii dintre un grafic și axa $Ox$ de integrala funcției pe acel interval.
• Vei ști să împarți intervalul de integrare în zerourile funcției și să scrii aria ca sumă de integrale, fiecare cu semnul potrivit.
• Vei ști să calculezi aria regiunii mărginite de un grafic, de axa $Ox$ și de două drepte verticale date.
• Vei ști să determini aria unei regiuni mărginite de mai multe curbe, ca sumă de integrale pe subintervale.
• Vei ști să interpretezi deosebirea dintre distanța parcursă și deplasarea unui mobil.
• Vei ști să calculezi, ca observație, aria unei regiuni mărginite de un grafic și de axa $Oy$, prin inversarea rolurilor variabilelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce arie are regiunea când graficul traversează axa?

Regiunea dintre un grafic și axa $Ox$ este mulțimea punctelor cuprinse între graficul funcției și axă, pe fâșia tăiată de dreptele verticale $x=a$ și $x=b$, indiferent dacă graficul se află deasupra sau dedesubtul axei. Când funcția își schimbă semnul, regiunea se rupe în mai multe bucăți, unele deasupra, altele dedesubtul axei, iar aria ei este

$$\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx.$$

Observă că simbolul ${\Gamma }_f$ nu apare aici: el este rezervat, prin definiție, cazului $f\ge 0$, așa cum s-a fixat la lecția despre aria subgraficului unei funcții continue. Regiunea de față se numește în cuvinte, exact cum face și programa.

2. De ce nu este aria egală cu integrala?

Pentru că integrala face un bilanț cu semn. Pe porțiunile în care graficul este deasupra axei, contribuția este pozitivă; pe cele în care este dedesubt, negativă. Bucățile se compensează, iar rezultatul poate fi orice — inclusiv zero, oricât de mare ar fi regiunea.

Exemplul cel mai limpede: pentru $f(x)=x-2$ pe $[0,3]$,

$${\int }_0^3(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_0^3=\frac{9}{2}-6=-\frac{3}{2},$$

în timp ce regiunea este formată din două triunghiuri dreptunghice: unul cu catetele $2$ și $2$, sub axă, celălalt cu catetele $1$ și $1$, deasupra. Aria totală este $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Nici măcar semnul nu se potrivește, darămite valoarea.

Aria, în schimb, nu compensează nimic: fiecare bucată intră cu contribuția ei pozitivă. Modulul din formulă este exact mecanismul care „răstoarnă" bucata de sub axă deasupra ei — este ceea ce ai văzut deja la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul, unde graficul lui $|f|$ se obținea răsturnând porțiunile negative.

3. Cum se calculează, în trei etape?

Procedeul reia pasul preliminar al lecției despre funcțiile cu modul și îl continuă. Ca să nu se amestece cu schemele numerotate din unitățile anterioare, pașii se numesc Etapa 1, Etapa 2 și Etapa 3 — împreună, cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn, numele sub care le vor cita testele; nu sunt nici cei patru pași ai integralei pe ramuri, nici cei trei pași ai schimbării de variabilă.

Etapa 1 — zerourile. Rezolvi ecuația $f(x)=0$ și reții numai soluțiile aflate în intervalul de integrare. O rădăcină din afara intervalului nu produce niciun punct de rupere.

Etapa 2 — tabelul de semn. Alcătuiești tabelul de semn al lui $f$ pe intervalul de integrare, în formatul cunoscut: antetul este rândul lui $x$, sub el un singur rând cu expresia, $0$ în zerouri, semnele pe intervalele dintre ele. Instrumentul e cel fixat la clasa a XI-a, la semnul unei funcții continue.

Etapa 3 — suma de integrale. Pe fiecare subinterval scrii integrala din $f$ acolo unde $f\ge 0$ și integrala din $-f$ acolo unde $f\le 0$, apoi aduni. Controlul final: fiecare termen trebuie să iasă pozitiv.

Model complet. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-3x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$.

Etapa 1: din $x^2-3x=x(x-3)=0$ obținem $x=0$ și $x=3$; ambele sunt în $[0,4]$, iar $3$ este interior.

Etapa 2:

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_0^3(3x-x^2)dx+{\int }_3^4(x^2-3x)dx=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^3+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right){|}_3^4=\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{19}{3}.$$

Ambii termeni sunt pozitivi, deci semnele au fost citite corect. (Verificat numeric: $6,3333$.)

4. Cum se citește enunțul cu drepte verticale?

Programa cere explicit suprafețe „delimitate de graficele unor funcții continue, de axele de coordonate și de drepte verticale". În practică, enunțul îți dă toate cele patru margini ale regiunii, iar sarcina ta este să le traduci:

• graficul funcției — marginea de sus sau de jos, după semnul lui $f$;
• axa $Ox$ — cealaltă margine orizontală, adică graficul funcției nule;
• dreptele $x=a$ și $x=b$ — limitele de integrare, în această ordine, cu $a<b$.

Punctul delicat este că zerourile funcției nu sunt limite de integrare: ele sunt puncte de rupere din interiorul intervalului. Le confunzi ușor, mai ales când unul dintre ele coincide cu un capăt. Regula practică: capetele vin din enunț, rupturile vin din ecuația $f(x)=0$.

Iar dacă enunțul nu dă drepte verticale, ci spune doar „aria suprafeței mărginite de graficul funcției și de axa $Ox$", atunci capetele sunt două zerouri consecutive ale funcției, între care graficul nu mai atinge axa.

Exemplu de citire. Pentru $f(x)=4-x^2$, enunțul „aria suprafeței mărginite de graficul lui $f$ și de axa $Ox$" duce la capetele $-2$ și $2$, rădăcinile funcției, iar aria este $\frac{32}{3}$; enunțul „aria suprafeței mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$" duce la capetele $0$ și $4$, cu o ruptură în $2$, iar aria este $16$. Aceeași funcție, două regiuni diferite, două numere diferite — deosebirea stă doar în felul în care e formulat enunțul. (Ambele valori verificate numeric.)

5. Ce deosebire este între „aria totală" și „integrală"?

Merită pus tabelul acesta pe o pagină de caiet, pentru că el rezumă toată lecția.

Legătura dintre ele este inegalitatea de modul demonstrată la proprietățile integralei definite:

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx,$$

cu egalitate exact atunci când $f$ nu își schimbă semnul pe interval. Cu alte cuvinte: cazul „aria egală cu integrala" este excepția, nu regula, și el trebuie justificat printr-o propoziție despre semnul funcției, nu presupus.

Exemplu de contrast. Pentru $f(x)=x^2-4x+3$ pe $[0,4]$, integrala este $\frac{4}{3}$, iar aria este $4$. Cele trei bucăți dau, în ordine, $\frac{4}{3}$, $-\frac{4}{3}$ și $\frac{4}{3}$; la integrală se anulează două dintre ele, la arie se adună toate trei în valoare absolută. (Ambele valori verificate numeric.)

6. Ce faci când regiunea e mărginită de mai multe curbe?

Uneori marginea de sus a regiunii nu este un singur grafic, ci două lipite: până la o abscisă o curbă, după ea alta. Rețeta nu se schimbă, doar că ruptura nu mai vine dintr-un zerou, ci din punctul în care se schimbă marginea.

Exemplu. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $y=x$ pentru $x\in [0,1]$, de graficul funcției $y=\frac{1}{x}$ pentru $x\in [1,3]$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=3$.

Cele două curbe se întâlnesc în punctul $(1,1)$, iar ambele sunt pozitive pe porțiunile lor, deci

$$\mathcal{S}={\int }_0^{1}xdx+{\int }_1^3\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1+\ln |x|{|}_1^3=\frac{1}{2}+\ln 3\approx 1,599.$$

Principiul general este mereu același: aria se adună. Rupi regiunea în bucăți pe care știi să le calculezi, calculezi fiecare bucată separat și aduni rezultatele. Aditivitatea integralei în raport cu intervalul este traducerea algebrică a acestei evidențe geometrice.

Rupturile pot veni, prin urmare, din trei surse diferite, iar într-o problemă complicată apar toate trei deodată: un zerou al funcției, în care se schimbă semnul; un punct în care se schimbă marginea regiunii, ca în exemplul de mai sus; un punct în care se schimbă formula funcției, la funcțiile definite pe ramuri. Înainte de a scrie prima integrală, fă lista tuturor punctelor de rupere din interval; ele sunt, în ordine crescătoare, capetele subintervalelor pe care vei integra.

7. Ce se întâmplă dacă marginea este axa $Oy$?

Aici intervine o observație pe care merită s-o cunoști, chiar dacă apare rar în subiecte: rolurile celor două variabile se pot inversa.

Dacă regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$, la dreapta de o curbă și în rest de două drepte orizontale $y=c$ și $y=d$, atunci fâșiile subțiri care o compun sunt orizontale, nu verticale. Exprimând curba sub forma $x=g(y)$ — adică inversând funcția, când se poate —, aria devine

$$\mathcal{S}={\int }_c^{d}g(y)dy,g(y)\ge 0\text{ pe }[c,d].$$

Este exact formula subgraficului, cu $x$ și $y$ schimbate între ele: rolul axei $Ox$ îl preia axa $Oy$, rolul dreptelor verticale îl preiau două drepte orizontale, iar variabila de integrare devine $y$. Dacă și curba ar trece în stânga axei $Oy$, adică dacă $g$ și-ar schimba semnul, ar reapărea modulul și odată cu el toată rețeta în trei etape de la punctul 3 — dar acest caz nu intră în programa clasei a 12-a și nu apare în subiecte, așa că ne oprim la observație.

Exemplu. Aria regiunii mărginite de parabola $y=x^2$ (ramura cu $x\ge 0$), de axa $Oy$ și de dreapta $y=1$. Din $y=x^2$ cu $x\ge 0$ obținem $x=\sqrt{y}$, iar

$$\mathcal{S}={\int }_0^1\sqrt{y}dy=\frac{2}{3}y\sqrt{y}{|}_0^1=\frac{2}{3}.$$

Control prin complement: regiunea este ce rămâne din pătratul $[0,1]\times [0,1]$ după ce scoatem subgraficul lui $x^2$ pe $[0,1]$, care are aria $\frac{1}{3}$. Deci $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Coincide. (Verificat numeric.)

8. Ce nu intră în lecția aceasta

Două delimitări, ca să știi unde te uiți când tipul problemei e altul.

Curbele care nu sunt grafice de funcții. Cercul, elipsa și hiperbola cer descompunerea în ramuri și substituții speciale; ariile delimitate de conice sunt subiectul lecțiilor următoare din unitate.

Regiunile dintre două grafice care nu au nimic de-a face cu axa. Acolo formula este cea din lecția despre aria dintre două grafice, cu diferența $f-g$ în loc de $f$. De altfel, tot ce ai citit aici este cazul particular $g\equiv 0$ al acelei formule — mecanismul „tabel de semn, rupere, sumă de integrale" este identic, doar că expresia căreia i se studiază semnul este $f$ însăși.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O dreaptă care traversează axa

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x-2$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

Etapa 1: $x-2=0$ dă $x=2\in [0,3]$, punct interior.

Etapa 2:

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_0^2(2-x)dx+{\int }_2^3(x-2)dx=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^2+\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^3=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$

Control geometric: două triunghiuri dreptunghice, cu catetele $2$ și $2$, respectiv $1$ și $1$; ariile lor sunt $2$ și $\frac{1}{2}$. Coincide. Integrala funcției pe același interval este $-\frac{3}{2}$ — un număr complet diferit.

Exemplul 2 — O parabolă, cu ruptură interioară

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-3x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$.

Este modelul complet de la punctul 3: aria este $\frac{19}{3}\approx 6,333$, iar integrala funcției pe $[0,4]$ este $-\frac{8}{3}$.

Exemplul 3 — O funcție trigonometrică

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=\cos x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=\frac{3\pi }{2}$.

Etapa 1: pe $\left[0,\frac{3\pi }{2}\right]$, cosinusul se anulează în $\frac{\pi }{2}$ și în $\frac{3\pi }{2}$; doar $\frac{\pi }{2}$ este interior.

Etapa 2: cosinusul este pozitiv pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și negativ pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$.

Etapa 3:

$$\mathcal{S}={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx+{\int }_{\pi /2}^{3\pi /2}(-\cos x)dx=\sin x{|}_0^{\pi /2}-\sin x{|}_{\pi /2}^{3\pi /2}=1+2=3.$$

Integrala funcției pe același interval este $\sin x{|}_0^{3\pi /2}=-1$. (Ambele verificate numeric.)

Exemplul 4 — Două schimbări de semn

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^3-x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=-1$ și $x=2$.

Etapa 1: $x^3-x=x(x-1)(x+1)=0$ dă $-1$, $0$, $1$; punctele interioare sunt $0$ și $1$.

Etapa 2:

Etapa 3: aria se scrie ca sumă de trei integrale:

$$\mathcal{S}={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1(x-x^3)dx+{\int }_1^2(x^3-x)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{11}{4}.$$

Integrala funcției pe $[-1,2]$ este $\frac{9}{4}$ — mai mică decât aria, cum era de așteptat din inegalitatea de modul. (Verificat numeric.)

Exemplul 5 — Regiune mărginită de două curbe și de axă

Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $y=x$ pe $[0,1]$, de graficul funcției $y=\frac{1}{x}$ pe $[1,3]$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=3$.

Este exemplul de la punctul 6: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}+\ln 3\approx 1,599$. Cheia este că ruptura nu vine dintr-un zerou al funcției, ci din punctul în care se schimbă marginea de sus a regiunii.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$.

a) Alcătuiește tabelul de semn al funcției $f$ pe intervalul $[0,4]$.

Rădăcinile sunt $1$ și $3$, ambele în interval, iar coeficientul dominant este pozitiv:

b) Calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$.

$${\int }_0^4(x^2-4x+3)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right){|}_0^4=\frac{64}{3}-32+12=\frac{4}{3}.$$

c) Calculează aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$.

Cele trei bucăți dau, separat, ${\int }_0^{1}f=\frac{4}{3}$, ${\int }_1^{3}f=-\frac{4}{3}$ și ${\int }_3^{4}f=\frac{4}{3}$. Prin urmare

$$\mathcal{S}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4.$$

Compară cu rezultatul de la punctul b): integrala este $\frac{4}{3}$, aria este $4$, adică de trei ori mai mare. (Ambele verificate numeric.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi tabelul de semn al funcției pe intervalul cerut și abia apoi integralele.

1. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x-1$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

2. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=2x-6$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=5$.

3. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-1$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$.

4. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-4$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

5. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^3$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=-1$ și $x=2$.

6. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=\ln x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=\frac{1}{e}$ și $x=e$.

7. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=4-x^2$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci graficul lui $f$ nu mărginește nicio suprafață cu axa $Ox$ pe intervalul $[a,b]$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria unei regiuni mărginite de un grafic și de axa $Ox$ este întotdeauna un număr pozitiv sau nul."

10. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-5x+6$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=4$.

11. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=\sqrt{x}$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=9$.

12. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $y=x$ pe $[0,1]$, de graficul funcției $y=\frac{1}{x}$ pe $[1,4]$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=4$.

13. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează pe o dreaptă cu viteza $v(t)=t^2-4t$ metri pe secundă, pentru $t\in [0,5]$. Calculează distanța totală parcursă și deplasarea mobilului, apoi explică de ce cele două numere diferă.

14. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^3-4x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=-2$ și $x=3$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$. a) Alcătuiește tabelul de semn al lui $f$ pe $[0,3]$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Calculează aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$.

16. Calculează aria regiunii mărginite de parabola $y=x^2$ (ramura cu $x\ge 0$), de axa $Oy$ și de dreapta $y=4$.

17. Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=e^x-1$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=-1$ și $x=2$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $a>0$ pentru care aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-a^2$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2a$ este egală cu $16$.

Răspunsuri și explicații

1. Zeroul este $1$. ${\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^3(x-1)dx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

2. Zeroul este $3$. ${\int }_0^3(6-2x)dx+{\int }_3^5(2x-6)dx=9+4=13$.

3. Rădăcinile lui $x^2-1$ sunt $\pm 1$, dar numai $1$ e în $[0,2]$. ${\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$.

4. Numai $2$ este în $[0,3]$. ${\int }_0^2(4-x^2)dx+{\int }_2^3(x^2-4)dx=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}$.

5. Zeroul este $0$, interior. ${\int }_{-1}^0(-x^3)dx+{\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$.

6. Logaritmul se anulează în $1$, punct interior lui $\left[\frac{1}{e},e\right]$, și este negativ înainte. ${\int }_{1/e}^1(-\ln x)dx+{\int }_1^e\ln xdx=\left(1-\frac{2}{e}\right)+1=2-\frac{2}{e}\approx 1,264$, primitiva fiind $x\ln x-x$.

7. Zeroul din interval este $2$. ${\int }_0^2(4-x^2)dx+{\int }_2^4(x^2-4)dx=\frac{16}{3}+\frac{32}{3}=16$.

8. Fals. Integrala nulă înseamnă doar că bucata de deasupra axei și cea de dedesubt au arii egale, deci se compensează. Contraexemplu: $f(x)=x^2-2x$ pe $[0,3]$ are integrala $0$, dar regiunea are aria $\frac{8}{3}$.

9. Adevărat. Aria este ${\int }_a^b|f(x)|dx$, iar integrandul este o funcție pozitivă; prin monotonia integralei, rezultatul este pozitiv sau nul. Este nul doar dacă $f$ este identic nulă pe interval.

10. Rădăcinile sunt $2$ și $3$, ambele în $[0,4]$. ${\int }_0^{2}f+{\int }_2^3(-f)+{\int }_3^{4}f=\frac{14}{3}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{17}{3}$.

11. Funcția este pozitivă pe tot intervalul, deci nu există nicio ruptură. ${\int }_1^9\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_1^9=\frac{2}{3}(27-1)=\frac{52}{3}$.

12. Cele două curbe se întâlnesc în $(1,1)$, iar ambele sunt pozitive. ${\int }_0^{1}xdx+{\int }_1^4\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}+\ln 4=\frac{1}{2}+2\ln 2\approx 1,886$.

13. Viteza $v(t)=t(t-4)$ este negativă pe $(0,4)$ și pozitivă pe $(4,5)$. Distanța totală este ${\int }_0^5|v(t)|dt={\int }_0^4(4t-t^2)dt+{\int }_4^5(t^2-4t)dt=\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=13$ metri. Deplasarea este ${\int }_0^{5}v(t)dt=-\frac{25}{3}\approx -8,33$ metri. Numerele diferă pentru că mobilul merge întâi înapoi, apoi înainte: drumul parcurs se adună, poziția se compensează. (Verificat numeric.)

14. Rădăcinile lui $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ sunt $-2$, $0$, $2$; interioare sunt $0$ și $2$. ${\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx+{\int }_0^2(4x-x^3)dx+{\int }_2^3(x^3-4x)dx=4+4+\frac{25}{4}=\frac{57}{4}$.

15. a) Rădăcinile sunt $0$ și $2$; funcția este negativă pe $(0,2)$ și pozitivă pe $(2,3]$:

b) ${\int }_0^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_0^3=9-9=0$. c) $\mathcal{S}={\int }_0^2(2x-x^2)dx+{\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$. Integrala este nulă, aria nu.

16. Se inversează rolurile: din $y=x^2$ cu $x\ge 0$ rezultă $x=\sqrt{y}$, iar $\mathcal{S}={\int }_0^4\sqrt{y}dy=\frac{2}{3}y\sqrt{y}{|}_0^4=\frac{16}{3}$. Control: dreptunghiul $[0,2]\times [0,4]$ are aria $8$, iar subgraficul lui $x^2$ pe $[0,2]$ are aria $\frac{8}{3}$; diferența este $\frac{16}{3}$.

17. Zeroul lui $e^x-1$ este $0$, interior lui $[-1,2]$; funcția este negativă înainte. ${\int }_{-1}^0(1-e^x)dx+{\int }_0^2(e^x-1)dx=\frac{1}{e}+(e^2-3)\approx 4,757$.

18. Rădăcinile lui $x^2-a^2$ sunt $\pm a$, dar numai $a$ este în $[0,2a]$; funcția e negativă pe $[0,a]$ și pozitivă pe $[a,2a]$. Atunci $\mathcal{S}={\int }_0^a(a^2-x^2)dx+{\int }_a^{2a}(x^2-a^2)dx=\frac{2a^3}{3}+\frac{4a^3}{3}=2a^3$. Ecuația $2a^3=16$ dă $a^3=8$, deci $a=2$. (Verificat numeric pentru $a=2$: aria este $16$.)

De reținut

• Când $f$ își schimbă semnul pe $[a,b]$, aria regiunii dintre grafic și axa $Ox$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, nu ${\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Integrala face un bilanț cu semn, aria nu face compensări: cele două coincid exact atunci când funcția păstrează același semn pe tot intervalul.
• Cele trei etape ale calculului: zerourile din interval, tabelul de semn, suma de integrale cu semnul potrivit pe fiecare bucată; fiecare termen trebuie să iasă pozitiv.
• Capetele de integrare vin din enunț (dreptele verticale), rupturile vin din ecuația $f(x)=0$ — sunt lucruri diferite și nu se confundă.
• Când regiunea este mărginită la stânga de axa $Oy$, rolurile variabilelor se inversează: curba se scrie $x=g(y)$, cu $g\ge 0$, iar aria devine ${\int }_c^{d}g(y)dy$.

Greșeli frecvente

• Dai integrala în loc de arie. Când funcția traversează axa, ${\int }_a^{b}f(x)dx$ poate fi negativă sau chiar nulă, deși regiunea are arie nenulă. Aria este ${\int }_a^b|f(x)|dx$, iar deosebirea trebuie făcută înainte de primul calcul.
• Rupi intervalul în rădăcini care nu-i aparțin. La $f(x)=x^2-4$ pe $[0,3]$, rădăcina $-2$ este în afara intervalului și nu produce niciun punct de rupere. Se rețin numai zerourile din intervalul de integrare.
• Confunzi capetele cu zerourile. Dreptele verticale din enunț dau limitele de integrare; ecuația $f(x)=0$ dă punctele în care se taie intervalul. Dacă înlocuiești capetele cu zerourile, calculezi aria altei regiuni.
• Lași un termen negativ în sumă. Pe bucata unde $f\le 0$ se integrează $-f$, nu $f$. Controlul cel mai rapid este că fiecare integrală din sumă trebuie să dea un număr pozitiv; dacă una e negativă, semnul a fost citit greșit din tabel.
• Uiți că zeroul poate fi chiar un capăt. La $f(x)=x^2-3x$ pe $[0,4]$, zeroul $x=0$ coincide cu capătul din stânga și nu produce o ruptură: singura tăietură este în $x=3$. Rupturile sunt doar zerourile din interiorul intervalului.

Aplică acasă

1. Cele două numere. Alege trei funcții polinomiale care își schimbă semnul pe un interval la alegere. Pentru fiecare, calculează separat integrala și aria, apoi scrie-le într-un tabel cu două coloane. Verifică pe fiecare rând inegalitatea dintre modulul integralei și arie și spune în care caz este cea mai mare diferență.

2. Mobilul care se întoarce. Desenează graficul vitezei $v(t)=t^2-4t$ pe $[0,5]$, hașurează bucata de sub axă cu o culoare și pe cea de deasupra cu alta. Notează lângă fiecare bucată aria ei, apoi scrie două propoziții: una despre distanța totală parcursă și una despre poziția finală a mobilului.

3. Aceeași regiune, două drumuri. Ia regiunea mărginită de parabola $y=x^2$ cu $x\ge 0$, de axa $Oy$ și de dreapta $y=9$. Calculează-i aria o dată integrând după $y$ și o dată prin complement, scăzând subgraficul lui $x^2$ dintr-un dreptunghi potrivit. Compară rezultatele și explică de ce coincid.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie grupul de arii „elementare" din unitate și acoperă formularea completă a programei clasei a XII-a: „aria unei suprafețe plane delimitate de axele de coordonate, de graficele unor funcții continue și de drepte verticale". Ea este, în același timp, locul în care se tranșează cea mai costisitoare confuzie a capitolului: aria nu este integrala, decât dacă funcția păstrează semnul.

Ce verifică lecția: (1) determinarea zerourilor funcției și reținerea doar a celor din intervalul de integrare; (2) alcătuirea tabelului de semn în formatul canonic; (3) scrierea ariei ca sumă de integrale, cu semnul potrivit pe fiecare bucată; (4) deosebirea dintre aria totală și integrală, inclusiv în interpretarea fizică distanță–deplasare; (5) ca observație, calculul unei arii prin integrare după variabila $y$.

Întrebări bune de control: „Ce iese dacă integrezi o funcție care trece sub axă?", „Care sunt punctele în care tai intervalul și de ce tocmai ele?", „Poate ieși negativă o bucată la o arie?". Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă de arie prin ecuația $f(x)=0$ și verifică la final că toate bucățile au ieșit pozitive.

La BAC M1 tipul acesta apare cel mai des ca subpunctul c) al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, uneori chiar cu subpunctul b) construit special ca să dea integrala, pentru ca la c) să se vadă că aria e alt număr. Baremul punctează separat tabelul de semn, deci nu se sare peste el nici când semnul se ghicește.

Întrebări frecvente

De ce nu este aria egală cu integrala când funcția schimbă semnul? Pentru că integrala face un bilanț cu semn: bucățile aflate sub axa $Ox$ intră cu minus și se compensează cu cele de deasupra. Aria nu compensează nimic, fiecare bucată contribuind cu valoarea ei pozitivă. Formula corectă este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar cele două numere coincid doar dacă funcția păstrează semnul.

Cum se calculează aria când graficul traversează axa $Ox$? În trei etape. Se rezolvă $f(x)=0$ și se rețin doar soluțiile din intervalul de integrare; se alcătuiește tabelul de semn al funcției pe acel interval; se scrie aria ca sumă de integrale, luând $f$ acolo unde funcția e pozitivă și $-f$ acolo unde e negativă. La final, fiecare termen al sumei trebuie să iasă pozitiv.

Care sunt limitele de integrare într-o problemă de arie? Limitele sunt abscisele dreptelor verticale date în enunț, cu cea mai mică jos. Zerourile funcției nu sunt limite, ci puncte în care se taie intervalul. Dacă enunțul nu dă drepte verticale, ci doar graficul și axa, atunci capetele sunt două zerouri consecutive ale funcției.

Cum se calculează aria unei regiuni mărginite de axa $Oy$? Se inversează rolurile variabilelor: curba se scrie sub forma $x=g(y)$, cu $g$ pozitivă, iar aria devine ${\int }_c^{d}g(y)dy$, unde $c$ și $d$ sunt ordonatele dreptelor orizontale care mărginesc regiunea. Este aceeași formulă ca la subgrafic, cu axele schimbate între ele. Rezultatul se verifică prin complement, scăzând o arie cunoscută dintr-un dreptunghi.

Ce înseamnă distanța totală parcursă și cum diferă de deplasare? Distanța totală parcursă de un mobil este integrala modulului vitezei, deci aria dintre graficul vitezei și axa timpului. Deplasarea este integrala vitezei, adică diferența dintre poziția finală și cea inițială. Când mobilul se întoarce din drum, viteza schimbă semnul, iar cele două numere devin diferite.

Poate ieși zero integrala unei funcții care nu este nulă? Da, și se întâmplă des. Pentru $f(x)=x^2-2x$ pe $[0,3]$ integrala este exact $0$, deși regiunea dintre grafic și axă are aria $\frac{8}{3}$. Explicația este că bucata de sub axă și cea de deasupra au arii egale și se anulează reciproc în bilanțul cu semn.

Ce fac dacă un zerou al funcției coincide cu un capăt al intervalului? Nu produce nicio ruptură. Se taie intervalul numai în zerourile aflate strict în interiorul lui; un zerou care cade chiar în capăt nu separă nimic, pentru că funcția nu are de ambele părți ale lui porțiuni din intervalul de integrare. Verifică totuși semnul pe subintervalul care începe acolo.