Arii delimitate de două conice: pe scurt

Aria unei regiuni mărginite de două conice se calculează în patru etape: intersecțiile din sistemul celor două ecuații, desenul cu regiunea hașurată, alegerea variabilei de integrare și a ramurilor, apoi integrala împreună cu controalele ei. Prima etapă are o capcană proprie: sistemul dă de obicei două valori, dintre care una nu este acceptabilă — parabola $y^2=2px$ are numai puncte cu $x\ge 0$, iar $x^2=2py$ numai puncte cu $y\ge 0$ —, iar rădăcina respinsă trebuie numită în rezolvare, nu ștearsă tăcut. Cazul-model: parabolele $y^2=2px$ și $x^2=2py$ se taie în origine și în $(2p,2p)$, iar regiunea dintre ele are aria $\frac{4p^2}{3}$, adică o treime din pătratul de latură $2p$. Când marginea de sus a regiunii se schimbă de la o conică la alta, ori se rupe intervalul în două integrale, ori se schimbă variabila de integrare, ceea ce adesea reduce totul la o singură integrală. Dacă o conică este în întregime în interiorul celeilalte, sistemul nu are soluții reale, iar aria se obține ca diferență de arii cunoscute, fără nicio integrare. Segmentul parabolic — regiunea dintre o parabolă și o coardă a ei — are $\frac{2}{3}$ din dreptunghiul circumscris, rezultat al lui Arhimede, care nu se confundă cu treimea de mai sus. Aceste arii intră în subiectele de Bacalaureat M1 odată cu programa nouă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria regiunii mărginite de parabolele $y^2=6x$ și $x^2=6y$ este:

   • a) $36$
   • b) $12$
   • c) $18$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12$

   Din sistem rezultă $x^4=216x$, deci $x\in \{0,6\}$, iar punctele de intersecție sunt $O(0,0)$ și $(6,6)$. Pe $[0,6]$ prima parabolă este deasupra: $\mathcal{S}={\int }_0^6\left(\sqrt{6x}-\frac{x^2}{6}\right)dx=24-12=12$. Control: pătratul de latură $2p=6$ are aria $36$, iar regiunea ocupă exact o treime din el, $\frac{4p^2}{3}=12$.

2. La intersecția parabolei $y^2=2px$ cu un cerc, sistemul dă două valori pentru $x$, dintre care una este negativă. Cum se procedează corect?

   • a) se respinge valoarea negativă, spunând explicit că parabola are numai puncte cu $x\ge 0$
   • b) se păstrează amândouă, ca limite de integrare
   • c) se șterge valoarea negativă fără comentariu
   • d) se schimbă semnul valorii negative
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) se respinge valoarea negativă, spunând explicit că parabola are numai puncte cu $x\ge 0$

   Parabola $y^2=2px$ (cu $p>0$) are numai puncte cu $x\ge 0$, pentru că $y^2\ge 0$. Rădăcina negativă este soluție a sistemului algebric, dar nu corespunde niciunui punct al curbei, deci se respinge cu justificare scrisă — la Bacalaureat M1 respingerea motivată este un pas punctat. Păstrarea ei ar da limite de integrare false.

3. Cercul $x^2+y^2=25$ și elipsa $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ nu se intersectează. Aria regiunii cuprinse între ele este:

   • a) nu se poate calcula, pentru că nu există intersecții
   • b) $25\pi$
   • c) $31\pi$
   • d) $19\pi$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $19\pi$

   Elipsa, cu semiaxele $3$ și $2$, este în întregime în interiorul cercului de rază $5$. Lipsa soluțiilor reale ale sistemului nu înseamnă că problema e greșită: înseamnă că aria se obține prin scădere, nu prin integrare. $\mathcal{S}=\pi \cdot 25-\pi \cdot 3\cdot 2=19\pi$.