Arii delimitate de două conice

Când amândouă curbele care mărginesc o regiune sunt conice, apar două complicații noi față de lecția precedentă a clasei a 12-a. Prima: intersecțiile nu mai vin dintr-o ecuație de gradul al doilea obținută prin substituție simplă, ci din sistemul a două ecuații de gradul al doilea. A doua: pe porțiuni diferite ale regiunii, marginea de sus poate fi dată de conice diferite, așa că trebuie să hotărăști dacă integrezi o singură dată sau împarți regiunea în bucăți. Ariile delimitate de două conice sunt ultimul tip de arie plană din programă și cel mai complet. Aria unei suprafețe delimitate de două conice se calculează în patru etape: se rezolvă sistemul ecuațiilor canonice, se descrie regiunea, se scriu conicele ca reuniuni de grafice de funcții și se integrează diferența dintre marginea de sus și cea de jos.

Programa clasei a 12-a cere exact această deprindere: determinarea coordonatelor punctelor de intersecție a două conice și calcularea ariei unei suprafețe delimitate de acestea, utilizând ecuațiile lor canonice și funcțiile integrabile. Vestea bună este că nu ai nimic nou de învățat: intersecțiile se află cu metoda de la intersecția a două conice, aria se calculează cu formula dintre două grafice de la aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții, iar ariile discului și ale interiorului elipsei sunt deja demonstrate la aria discului și aria interiorului unei elipse. Lecția le orchestrează.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli punctele de intersecție a două conice, rezolvând sistemul ecuațiilor lor canonice.
• Vei ști să parcurgi cele patru etape ale calculului unei arii mărginite de două conice.
• Vei ști să calculezi aria dintre două parabole cu axe perpendiculare.
• Vei ști să calculezi aria unei regiuni mărginite de o parabolă și de un cerc, împărțind-o în bucăți sau schimbând variabila de integrare.
• Vei ști să folosești diferența de arii atunci când o conică este în întregime în interiorul celeilalte.
• Vei ști ce este segmentul parabolic și de ce aria lui este $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului circumscris.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă aria unei suprafețe delimitate de două conice?

Aria unei suprafețe delimitate de două conice este integrala definită a diferenței dintre funcțiile care mărginesc regiunea, luată între coordonatele punctelor lor de intersecție; când cele două conice nu mărginesc regiunea pe toată lățimea ei, aria se obține fie ca sumă de astfel de integrale, fie ca diferență între ariile a două figuri cunoscute.

Metoda nu este nouă: este formula ariei dintre două grafice, specializată la conice. Ce se schimbă este munca de pregătire — găsirea intersecțiilor și descrierea regiunii. De aceea o organizăm în patru etape, pe care le vom numi Etapa 1, Etapa 2, Etapa 3 și Etapa 4, ca să nu se confunde cu vreo schemă de studiu al funcțiilor.

Etapa 1 — intersecțiile. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuații canonice și se verifică fiecare soluție în ambele ecuații.

Etapa 2 — desenul și descrierea regiunii. Se schițează cele două conice, se hașurează regiunea cerută și se stabilește ce curbă o mărginește pe fiecare porțiune. Aici se decide și dacă regiunea se rupe în bucăți.

Etapa 3 — alegerea variabilei și a funcțiilor. Se scrie fiecare conică drept reuniune de grafice și se alege ramura potrivită; se decide dacă se integrează după $x$ sau după $y$, cu criteriul fixat la arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte.

Etapa 4 — calculul și controlul. Se calculează integrala, se verifică semnul și încadrarea, iar acolo unde este posibil se reface calculul pe al doilea drum.

2. Cât este aria dintre două parabole cu axe perpendiculare?

Cel mai curat exemplu este perechea $y^2=2px$ și $x^2=2py$, adică două parabole cu același parametru, una deschisă spre dreapta, cealaltă în sus. Luăm $p=10$, deci $y^2=20x$ și $x^2=20y$.

Etapa 1. Din a doua ecuație, $y=\frac{x^2}{20}$; înlocuind în prima, $\frac{x^4}{400}=20x$, adică $x^4=8000x$, deci $x\left(x^3-8000\right)=0$. Rădăcinile reale sunt $x=0$ și $x=20$, iar punctele de intersecție sunt $O(0,0)$ și $A(20,20)$. Verificarea: $20^2=400=20\cdot 20$ în ambele ecuații.

Etapa 2. Pe intervalul $[0,20]$, parabola $y^2=20x$ este deasupra: pentru $x=5$ ea dă $y=10$, iar cealaltă $y=\frac{25}{20}=1,25$. Regiunea este o singură bucată, în formă de „lentilă", și nu se rupe.

Etapa 3. Ramura de sus a primei parabole este graficul funcției $x\mapsto \sqrt{20x}$ pe $[0,20]$, iar a doua parabolă este chiar graficul funcției $x\mapsto \frac{x^2}{20}$ — este singura conică a capitolului care este grafic de funcție fără să fie nevoie de radical. Integrăm după $x$.

Etapa 4.

$$\mathcal{S}={\int }_0^{20}\left(\sqrt{20x}-\frac{x^2}{20}\right)dx=\left(\frac{2\sqrt{20}}{3}x\sqrt{x}-\frac{x^3}{60}\right){|}_0^{20}=\frac{800}{3}-\frac{400}{3}=\frac{400}{3}.$$

Controlul este elegant: pătratul de vârfuri $(0,0)$, $(20,0)$, $(20,20)$, $(0,20)$ are aria $400$, iar regiunea ocupă exact o treime din el. Cele două parabole taie pătratul în trei bucăți de aceeași arie — un rezultat care merită reținut și care se verifică pentru orice $p$, pentru că punctele de intersecție sunt mereu $O$ și $(2p,2p)$.

3. Cum se calculează aria dintre o parabolă și un cerc?

Aici apare, pentru prima dată, situația în care marginea regiunii se schimbă pe parcurs. Luăm parabola $y^2=12x$ — cea de la lecția precedentă — și cercul de ecuație $x^2+y^2=64$, cerând aria regiunii aflate în interiorul amândurora.

Etapa 1. Înlocuim $y^2=12x$ în ecuația cercului: $x^2+12x-64=0$, cu soluțiile $x=4$ și $x=-16$. A doua se respinge, pentru că parabola are numai puncte cu $x\ge 0$. Din $y^2=48$ obținem $y=\pm 4\sqrt{3}$, deci punctele de intersecție sunt $\left(4,4\sqrt{3}\right)$ și $\left(4,-4\sqrt{3}\right)$. Verificare în ecuația cercului: $16+48=64$ ✓.

Etapa 2. Regiunea este simetrică față de axa $Ox$. Jumătatea de sus este mărginită deasupra de parabolă pentru $x\in [0,4]$ și de cerc pentru $x\in [4,8]$ — exact schimbarea de margine anunțată.

Etapa 3 și 4, drumul după $x$. Cu simetria și cu ruperea intervalului,

$$\mathcal{S}=2\left({\int }_0^4\sqrt{12x}dx+{\int }_4^8\sqrt{64-x^2}dx\right).$$

Prima integrală este $\frac{32\sqrt{3}}{3}$. A doua se calculează cu primitiva $F(x)=\frac{x\sqrt{64-x^2}}{2}+32\arcsin \frac{x}{8}$ și dă $\frac{32\pi }{3}-8\sqrt{3}$. Prin urmare

$$\mathcal{S}=2\left(\frac{32\sqrt{3}}{3}+\frac{32\pi }{3}-8\sqrt{3}\right)=\frac{16\sqrt{3}+64\pi }{3}\approx 76,26.$$

Al doilea drum, după $y$. Aici se vede la lucru criteriul de alegere a variabilei. Pentru fiecare $y\in \left[-4\sqrt{3},4\sqrt{3}\right]$, regiunea se întinde de la parabolă, la stânga, până la cerc, la dreapta: $\frac{y^2}{12}\le x\le \sqrt{64-y^2}$. O singură integrală, fără rupere:

$$\mathcal{S}={\int }_{-4\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}}\left(\sqrt{64-y^2}-\frac{y^2}{12}\right)dy=\frac{16\sqrt{3}+64\pi }{3}.$$

Cele două drumuri dau același număr. Controlul prin încadrare: discul întreg are aria $64\pi \approx 201$, iar regiunea ocupă cam $38\%$ din el — plauzibil pentru o „felie" care nu depășește jumătatea din dreapta a discului.

De ce a funcționat drumul după $y$? Pentru că, scrise în funcție de $y$, ambele conice devin grafice fără ramuri: parabola dă $x=\frac{y^2}{12}$, iar arcul din dreapta al cercului dă $x=\sqrt{64-y^2}$. Schimbarea de variabilă nu este un truc, ci consecința directă a criteriului de la lecția precedentă: pentru fiecare $y$, regiunea este mărginită la stânga și la dreapta de aceleași două curbe, în timp ce pentru fiecare $x$ marginea de sus se schimbă la $x=4$. Ori de câte ori te trezești rupând intervalul, întreabă-te dacă cealaltă variabilă nu rezolvă problema.

4. Când este mai simplu să scazi două arii cunoscute?

Dacă una dintre conice este în întregime în interiorul celeilalte, curbele nu se intersectează, iar regiunea dintre ele nu are limite de integrare naturale. Atunci integrala nu este drumul potrivit: aria se obține scăzând.

Fie cercul $x^2+y^2=49$ și elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$, cu același centru. Semiaxele elipsei sunt $5$ și $2$, amândouă mai mici decât raza $7$, deci elipsa se află strict în interiorul cercului. Cu formulele demonstrate la lecția precedentă,

$$\mathcal{S}=\pi r^2-\pi ab=49\pi -10\pi =39\pi \approx 122,52.$$

Drumul prin integrale există și el, dar cere trei integrale: pe $[-7,-5]$ și pe $[5,7]$ regiunea este mărginită doar de cerc, iar pe $[-5,5]$ de cerc și de elipsă. Suma lor este

$$2{\int }_{-7}^{-5}\sqrt{49-x^2}dx+{\int }_{-5}^5\left(2\sqrt{49-x^2}-\frac{4}{5}\sqrt{25-x^2}\right)dx+2{\int }_5^7\sqrt{49-x^2}dx,$$

adică tot $39\pi$, după calcule de câteva ori mai lungi. Morala: înainte de a integra, întreabă-te dacă regiunea nu este cumva diferența a două figuri ale căror arii le știi deja. Discul, interiorul elipsei, dreptunghiul și triunghiul sunt candidații obișnuiți.

Situația se păstrează și când cele două conice se ating, fără să se taie: dacă elipsa are semiaxa mare egală cu raza cercului, ele au exact două puncte comune, vârfurile de pe axa mare, iar regiunea dintre ele se rupe în două bucăți simetrice. Formula rămâne aceeași diferență, $\pi r^2-\pi ab$, pentru că punctele de contact nu au arie.

5. Cum se află aria dintre un semidisc și o parabolă?

Un tip de regiune care apare des în probleme este cea mărginită deasupra de un semicerc și dedesubt de o parabolă cu axa verticală. Fie cercul $x^2+y^2=18$ și parabola $x^2=3y$.

Etapa 1. Din $x^2=3y$ înlocuim în ecuația cercului: $3y+y^2=18$, adică $y^2+3y-18=0$, cu soluțiile $y=3$ și $y=-6$. A doua se respinge, pentru că parabola $x^2=3y$ are numai puncte cu $y\ge 0$. Pentru $y=3$ avem $x^2=9$, deci punctele de intersecție sunt $(3,3)$ și $(-3,3)$; ele verifică și $9+9=18$ ✓.

Etapele 2 și 3. Parabola $x^2=3y$ este graficul funcției $y=\frac{x^2}{3}$, adică o parabolă „de gimnaziu", cu vârful în origine și axa de simetrie $Oy$ — cea studiată la parabola: vârf și axă de simetrie. Pentru $x\in [-3,3]$, regiunea este mărginită deasupra de semicercul superior, $y=\sqrt{18-x^2}$, și dedesubt de această parabolă. Verificăm ordinea în $x=0$: semicercul dă $3\sqrt{2}\approx 4,24$, parabola dă $0$ — semicercul este deasupra. Integrăm după $x$.

Etapa 4. Cu primitiva $F$ pentru $r=3\sqrt{2}$ și cu $\arcsin \frac{3}{3\sqrt{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$:

$${\int }_{-3}^3\sqrt{18-x^2}dx=2\left(\frac{3\cdot 3}{2}+9\cdot \frac{\pi }{4}\right)=9+\frac{9\pi }{2},{\int }_{-3}^3\frac{x^2}{3}dx=6,$$

deci $\mathcal{S}=9+\frac{9\pi }{2}-6=3+\frac{9\pi }{2}\approx 17,14$. Controlul: dreptunghiul $[-3,3]\times [0,3\sqrt{2}]$ are aria $6\cdot 3\sqrt{2}\approx 25,46$, iar regiunea ocupă circa două treimi din el — plauzibil.

Observă cum a fost respinsă rădăcina $y=-6$: nu pentru că ar fi „urâtă", ci pentru că parabola $x^2=3y$ nu are niciun punct cu $y<0$ — membrul stâng este un pătrat. Într-o redactare completă, motivul se scrie; la Bacalaureat M1 baremele punctează separat justificarea respingerii, nu doar rezultatul final.

6. Segmentul parabolic și rezultatul lui Arhimede

Bucata de plan mărginită de o parabolă și de o coardă a ei se numește segment parabolic. Aria lui are o proprietate remarcabilă, descoperită de Arhimede cu optsprezece secole înaintea calculului integral: ea este exact $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului care încadrează segmentul.

Verificarea, cu integrala, ține trei rânduri. Fie parabola $x^2=2py$ tăiată de dreapta orizontală $y=h$, cu $h>0$. Intersecțiile au abscisele $\pm x_0$, unde $x_0=\sqrt{2ph}$, iar

$$\mathcal{S}={\int }_{-x_0}^{x_0}\left(h-\frac{x^2}{2p}\right)dx=2h{x}_0-\frac{x_0^3}{3p}=2h{x}_0-\frac{2h{x}_0}{3}=\frac{4h{x}_0}{3},$$

unde am folosit $x_0^2=2ph$. Dreptunghiul circumscris are laturile $2x_0$ și $h$, deci aria $2h{x}_0$, iar raportul este $\frac{4h{x}_0/3}{2h{x}_0}=\frac{2}{3}$. Același raport a apărut la lecția precedentă, pentru parabolele cu axa orizontală tăiate de o verticală — este aceeași teoremă, privită din alt unghi.

Rezultatul se folosește ca verificare: dacă într-o problemă îți iese o arie de segment parabolic care nu este două treimi din dreptunghiul ei, calculul are o greșeală.

Merită observat cât de mult a scurtat integrala drumul. Arhimede a obținut același rezultat prin „metoda epuizării": a înscris în segment un triunghi, apoi câte un triunghi în fiecare dintre cele două bucăți rămase, și așa mai departe, obținând o serie geometrică de rație $\frac{1}{4}$ a cărei sumă este $\frac{4}{3}$ din triunghiul inițial. Demonstrația lui ocupă câteva pagini; a noastră, trei rânduri. Aceeași putere a metodei se va vedea din nou la volumul corpului de rotație, unde formulele de volum ale corpurilor rotunde se deduc la fel de repede.

7. Cum verifici că aria dintre două conice este corectă?

Înainte de a scrie răspunsul, trec trei filtre. (1) Semnul: aria este pozitivă; un rezultat negativ înseamnă diferență scrisă invers. (2) Încadrarea: regiunea este conținută într-o figură a cărei arie o știi — dreptunghiul circumscris, discul, interiorul elipsei — și aria calculată trebuie să fie mai mică. (3) Cazul particular: pune $b=a$ la elipsă sau $p$ egal în cele două parabole și verifică dacă regăsești un rezultat cunoscut.

La acestea se adaugă verificarea numerică, pe care programa o recomandă explicit pentru ariile mărginite de conice: o aplicație de geometrie dinamică sau un program de calcul care evaluează integrala îți dă valoarea aproximativă în câteva secunde. Dacă ea diferă de rezultatul tău, greșeala este în calculul algebric — verificarea numerică nu demonstrează nimic, dar semnalează aproape orice eroare de semn, de limită sau de ramură. Când o arie se poate calcula pe două drumuri, coincidența lor este un control și mai bun decât orice program.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două parabole cu același parametru

Calculați aria suprafeței mărginite de parabolele $y^2=8x$ și $x^2=8y$.

Din $y=\frac{x^2}{8}$ și $y^2=8x$ rezultă $x^4=512x$, deci $x=0$ sau $x=8$; punctele sunt $(0,0)$ și $(8,8)$. Pe $[0,8]$ prima parabolă este deasupra, deci

$$\mathcal{S}={\int }_0^8\left(\sqrt{8x}-\frac{x^2}{8}\right)dx=\left(\frac{2\sqrt{8}}{3}x\sqrt{x}-\frac{x^3}{24}\right){|}_0^8=\frac{128}{3}-\frac{64}{3}=\frac{64}{3}\approx 21,33.$$

Pătratul de latură $8$ are aria $64$, iar regiunea este o treime din el — controlul așteptat.

Exemplul 2 — Cerc și elipsă concentrice

Calculați aria suprafeței cuprinse între cercul $x^2+y^2=16$ și elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

Elipsa are semiaxele $4$ și $2$; cum $4=r$ și $2<r$, elipsa este în interiorul discului, atingându-l în punctele $(\pm 4,0)$. Regiunea este diferența celor două suprafețe:

$$\mathcal{S}=\pi \cdot 4^2-\pi \cdot 4\cdot 2=16\pi -8\pi =8\pi \approx 25,13,$$

adică exact jumătate din aria discului. Ea este formată din două bucăți simetrice față de axa $Ox$, care se ating în cele două vârfuri comune.

Aici merge și drumul prin integrale, fără ruperea intervalului, pentru că ordonata elipsei este exact jumătate din ordonata cercului: $\frac{b}{a}\sqrt{16-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}$. Atunci

$$\mathcal{S}=2{\int }_{-4}^4\left(\sqrt{16-x^2}-\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}\right)dx={\int }_{-4}^4\sqrt{16-x^2}dx=8\pi ,$$

cu formula de buzunar pentru $r=4$. Cele două drumuri coincid.

Exemplul 3 — Cerc și parabolă cu axa verticală

Calculați aria suprafeței mărginite de cercul $x^2+y^2=8$ și de parabola $x^2=2y$, situate deasupra parabolei.

Din $x^2=2y$ și $x^2+y^2=8$ rezultă $y^2+2y-8=0$, cu $y=2$ (soluția $y=-4$ se respinge). Atunci $x^2=4$, deci punctele sunt $(\pm 2,2)$. Pe $[-2,2]$ arcul superior al cercului este deasupra parabolei, deci

$$\mathcal{S}={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx=\left(4+2\pi \right)-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}+2\pi \approx 7,62,$$

unde ${\int }_{-2}^2\sqrt{8-x^2}dx=4+2\pi$ se obține cu primitiva $F$ pentru $r=2\sqrt{2}$ și $\arcsin \frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}$.

Exemplul 4 — Segment parabolic

Calculați aria segmentului parabolic determinat de parabola $x^2=4y$ și de dreapta $y=4$, apoi verificați raportul lui Arhimede.

Intersecțiile: $x^2=16$, deci $(\pm 4,4)$. Atunci

$$\mathcal{S}={\int }_{-4}^4\left(4-\frac{x^2}{4}\right)dx=\left(4x-\frac{x^3}{12}\right){|}_{-4}^4=\frac{64}{3}\approx 21,33.$$

Dreptunghiul circumscris are laturile $8$ și $4$, deci aria $32$, iar $\frac{64/3}{32}=\frac{2}{3}$ ✓.

Exemplul 5 — Două parabole cu parametri diferiți

Calculați aria suprafeței mărginite de parabolele $y^2=4x$ și $x^2=4y$.

Din $y=\frac{x^2}{4}$ rezultă $x^4=64x$, deci $x=0$ sau $x=4$; punctele sunt $(0,0)$ și $(4,4)$. Pe $[0,4]$,

$$\mathcal{S}={\int }_0^4\left(2\sqrt{x}-\frac{x^2}{4}\right)dx=\left(\frac{4x\sqrt{x}}{3}-\frac{x^3}{12}\right){|}_0^4=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3}\approx 5,33.$$

Din nou o treime din pătratul de latură $4$. Perechile de parabole cu același parametru dau mereu acest rezultat, indiferent de valoarea lui.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră cercul de ecuație $x^2+y^2=64$ și parabola de ecuație $y^2=12x$.

a) Determinați coordonatele punctelor de intersecție.

Înlocuind $y^2=12x$ în ecuația cercului obținem $x^2+12x-64=0$, cu rădăcinile $4$ și $-16$; a doua se respinge, parabola având numai puncte cu $x\ge 0$. Din $y^2=48$ rezultă punctele $\left(4,4\sqrt{3}\right)$ și $\left(4,-4\sqrt{3}\right)$, care verifică ambele ecuații.

b) Arătați că, pentru $y\in \left[-4\sqrt{3},4\sqrt{3}\right]$, are loc inegalitatea $\frac{y^2}{12}\le \sqrt{64-y^2}$.

Ambii membri sunt nenegativi, deci inegalitatea este echivalentă cu $\frac{y^4}{144}\le 64-y^2$, adică $y^4+144y^2-9216\le 0$. Notând $u=y^2\in [0,48]$, trinomul $u^2+144u-9216$ are rădăcinile $48$ și $-192$, deci este negativ pe $[0,48)$ și nul în $48$ — exact ce trebuia.

c) Calculați aria suprafeței aflate în interiorul cercului și în interiorul parabolei.

Din b) regiunea se descrie, pentru fiecare $y$, între parabolă și cerc, deci

$$\mathcal{S}={\int }_{-4\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}}\left(\sqrt{64-y^2}-\frac{y^2}{12}\right)dy=\frac{16\sqrt{3}+64\pi }{3}\approx 76,26.$$

Să exersăm

1. Determinați punctele de intersecție ale parabolelor $y^2=8x$ și $x^2=8y$.

2. Calculați aria suprafeței mărginite de parabolele $y^2=8x$ și $x^2=8y$.

3. Calculați aria suprafeței mărginite de parabolele $y^2=4x$ și $x^2=4y$.

4. Calculați aria suprafeței mărginite de parabolele $y^2=20x$ și $x^2=20y$.

5. Calculați aria suprafeței cuprinse între cercul $x^2+y^2=49$ și elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$.

6. Calculați aria suprafeței cuprinse între cercul $x^2+y^2=16$ și elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două conice nu au niciun punct comun, aria regiunii dintre ele nu se poate calcula."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria segmentului parabolic este jumătate din aria dreptunghiului circumscris."

9. Determinați punctele de intersecție ale cercului $x^2+y^2=8$ cu parabola $x^2=2y$.

10. Calculați aria suprafeței mărginite de cercul $x^2+y^2=8$ și de parabola $x^2=2y$, situate deasupra parabolei.

11. Calculați aria suprafeței mărginite de cercul $x^2+y^2=18$ și de parabola $x^2=3y$, situate deasupra parabolei.

12. Calculați aria segmentului parabolic determinat de parabola $x^2=4y$ și de dreapta $y=4$.

13. Determinați punctele de intersecție ale cercului $x^2+y^2=64$ cu parabola $y^2=12x$ și verificați-le în ambele ecuații.

14. Calculați aria suprafeței aflate în interiorul cercului $x^2+y^2=64$ și în interiorul parabolei $y^2=12x$.

15. (Problemă aplicată.) O piesă metalică are forma suprafeței cuprinse între cercul $x^2+y^2=49$ și elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$, cu unitatea în centimetri. Calculați aria piesei și rotunjiți la centimetri pătrați.

16. Arătați că parabolele $y^2=2px$ și $x^2=2py$ se intersectează în $O(0,0)$ și în $(2p,2p)$, oricare ar fi $p>0$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabolele $y^2=20x$ și $x^2=20y$. a) Determinați punctele lor de intersecție. b) Arătați că, pentru $x\in [0,20]$, are loc $\frac{x^2}{20}\le \sqrt{20x}$. c) Calculați aria suprafeței mărginite de cele două parabole.

18. (Provocare.) Arătați că parabolele $y^2=2px$ și $x^2=2py$ împart pătratul de vârfuri $(0,0)$, $(2p,0)$, $(2p,2p)$, $(0,2p)$ în trei suprafețe de arii egale.

Răspunsuri și explicații

1. Din $x^4=512x$ rezultă $x=0$ sau $x=8$; punctele sunt $(0,0)$ și $(8,8)$, verificate în ambele ecuații.

2. $\mathcal{S}=\frac{64}{3}\approx 21,33$ (Exemplul 1), adică o treime din pătratul de latură $8$.

3. $\mathcal{S}=\frac{16}{3}\approx 5,33$ (Exemplul 5).

4. $\mathcal{S}=\frac{400}{3}\approx 133,33$ — calculul din secțiunea 2.

5. Elipsa, cu semiaxele $5$ și $2$, este în interiorul discului de rază $7$, deci $\mathcal{S}=49\pi -10\pi =39\pi \approx 122,52$.

6. $\mathcal{S}=16\pi -8\pi =8\pi \approx 25,13$ (Exemplul 2), adică jumătate din aria discului.

7. Fals. Dacă o conică este în interiorul celeilalte, regiunea dintre ele există și aria ei este diferența ariilor celor două suprafețe; niciun punct comun nu înseamnă doar că nu există limite de integrare naturale.

8. Fals. Raportul este $\frac{2}{3}$, nu $\frac{1}{2}$ — rezultatul lui Arhimede, verificat la secțiunea 6 prin integrală.

9. Din $y^2+2y-8=0$ rezultă $y=2$ (soluția $y=-4$ se respinge, parabola având $y\ge 0$), apoi $x=\pm 2$. Punctele sunt $(2,2)$ și $(-2,2)$; ambele verifică $4+4=8$ și $4=2\cdot 2$.

10. $\mathcal{S}=\frac{4}{3}+2\pi \approx 7,62$ (Exemplul 3).

11. $\mathcal{S}=3+\frac{9\pi }{2}\approx 17,14$ — calculul din secțiunea 5.

12. $\mathcal{S}=\frac{64}{3}\approx 21,33$ (Exemplul 4), adică $\frac{2}{3}$ din dreptunghiul de arie $32$.

13. $x^2+12x-64=0$ dă $x=4$ (și $x=-16$, respins). Punctele sunt $\left(4,\pm 4\sqrt{3}\right)$: în ecuația parabolei, $48=12\cdot 4$ ✓; în cea a cercului, $16+48=64$ ✓.

14. $\mathcal{S}=\frac{16\sqrt{3}+64\pi }{3}\approx 76,26$ — secțiunea 3, pe oricare dintre cele două drumuri.

15. $\mathcal{S}=39\pi \approx 122,52$, deci aproximativ $123$ centimetri pătrați.

16. Din $x^2=2py$ rezultă $y=\frac{x^2}{2p}$; înlocuind în $y^2=2px$ obținem $\frac{x^4}{4p^2}=2px$, adică $x\left(x^3-8p^3\right)=0$. Singurele rădăcini reale sunt $x=0$ și $x=2p$, cărora le corespund $y=0$ și $y=2p$.

17. a) $(0,0)$ și $(20,20)$. b) Ambii membri sunt nenegativi pe $[0,20]$, iar inegalitatea este echivalentă cu $x^4\le 8000x$, adică $x\left(x^3-8000\right)\le 0$, adevărat pentru $x\in [0,20]$. c) $\mathcal{S}=\frac{400}{3}\approx 133,33$.

18. Cele trei suprafețe sunt: cea de sub parabola $x^2=2py$, cea dintre cele două parabole și cea de deasupra parabolei $y^2=2px$. Prima are aria ${\int }_0^{2p}\frac{x^2}{2p}dx=\frac{4p^2}{3}$, a doua $\frac{4p^2}{3}$ (calculul din secțiunea 2, cu $p$ oarecare), iar a treia este congruentă cu prima prin simetria față de prima bisectoare, care schimbă între ele cele două parabole. Cum pătratul are aria $4p^2$, fiecare bucată reprezintă o treime.

De reținut

• Aria dintre două conice se calculează în patru etape: intersecțiile din sistemul ecuațiilor, desenul cu regiunea hașurată, alegerea variabilei și a ramurilor, apoi integrala cu controalele ei.
• Parabolele $y^2=2px$ și $x^2=2py$ se intersectează în $O$ și în $(2p,2p)$, iar regiunea dintre ele are aria $\frac{4p^2}{3}$, adică o treime din pătratul de latură $2p$.
• Când marginea de sus a regiunii se schimbă de la o conică la alta, ori rupi intervalul în două integrale, ori schimbi variabila de integrare, ceea ce adesea reduce totul la o singură integrală.
• Dacă o conică este în întregime în interiorul celeilalte, aria dintre ele se obține ca diferență de arii cunoscute, nu prin integrare.
• Segmentul parabolic — regiunea dintre o parabolă și o coardă a ei — are aria egală cu $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului circumscris, rezultat datorat lui Arhimede.

Greșeli frecvente

• Păstrezi ambele rădăcini ale sistemului. La cerc și parabolă apar de obicei două valori pentru $x$ (sau pentru $y$), dintre care una nu este acceptabilă: parabola $y^2=2px$ are numai puncte cu $x\ge 0$, iar $x^2=2py$ numai puncte cu $y\ge 0$. Rădăcina respinsă trebuie numită în rezolvare, nu ștearsă tăcut.
• Integrezi pe tot intervalul cu aceeași diferență. Când marginea de sus se schimbă la mijlocul intervalului, o singură integrală dă un număr fals. Fie rupi intervalul în punctul de schimbare, fie treci la cealaltă variabilă.
• Cauți intersecții unde nu există. Dacă o conică este în interiorul celeilalte, sistemul nu are soluții reale, iar asta nu înseamnă că problema e greșită: înseamnă că aria se calculează prin scădere.
• Uiți o ramură a conicei. Cercul și parabola $y^2=2px$ au fiecare câte două ramuri; dacă integrezi numai ramura de sus obții jumătate din regiune. Simetria față de axa $Ox$ se folosește explicit, cu factorul $2$ scris.
• Confunzi raportul lui Arhimede cu jumătatea. Segmentul parabolic este $\frac{2}{3}$ din dreptunghiul circumscris, iar regiunea dintre cele două parabole este $\frac{1}{3}$ din pătrat; sunt două rezultate diferite, care se verifică ușor pe un desen.

Aplică acasă

1. Pătratul în trei bucăți. Desenează pe hârtie milimetrică parabolele $y^2=8x$ și $x^2=8y$ și pătratul de latură $8$ pe care îl taie. Colorează diferit cele trei bucăți, numără pătrățelele fiecăreia și verifică, experimental, că ariile sunt egale.

2. Piesa decupată. Decupează din carton un disc de rază $7$ centimetri și, din centrul lui, o elipsă cu semiaxele $5$ și $2$ centimetri. Cântărește discul întreg și inelul rămas, apoi verifică dacă raportul maselor este apropiat de $\frac{39\pi }{49\pi }=\frac{39}{49}$.

3. Verificarea digitală. Alege o pereche de conice care se intersectează în puncte cu coordonate raționale, calculează aria dintre ele mai întâi de mână, apoi cu o aplicație de geometrie dinamică sau cu un program de calcul al integralelor. Notează, în două rânduri, ce a prins verificarea numerică și ce nu ar fi putut prinde.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie tema ariilor delimitate de conice, acoperind a doua jumătate a competenței XII.CS.6.3 din programa de matematică-informatică: „determinarea coordonatelor punctelor de intersecție a două conice și calcularea ariei unei suprafețe delimitate de acestea". Este cea mai complexă problemă de arii din tot liceul, pentru că cere, în același exercițiu, geometrie analitică, rezolvarea unui sistem neliniar și calcul integral.

Ce verifică lecția: (1) rezolvarea corectă a sistemului format din două ecuații de conice, cu respingerea motivată a soluțiilor străine; (2) descrierea regiunii și decizia dacă se rupe în bucăți; (3) alegerea variabilei de integrare, adesea cea care evită ruperea; (4) recunoașterea situației în care aria este o diferență de arii cunoscute; (5) controlul rezultatului prin încadrare, prin caz particular și prin al doilea drum de calcul.

Întrebări de control: „De ce se respinge una dintre rădăcini?", „Unde se schimbă marginea de sus a regiunii?", „Când merită să scazi în loc să integrezi?", „Cât este raportul dintre segmentul parabolic și dreptunghiul lui?".

Semne că a înțeles: desenează figura înainte de orice calcul; verifică punctele de intersecție în ambele ecuații; alege singur integrarea după $y$ atunci când cea după $x$ ar cere două integrale; observă că regiunea dintre cele două parabole este o treime din pătrat, fără să refacă tot calculul.

Unde apare la BAC: ariile calculate cu integrala definită sunt materie constantă de Subiectul al III-lea; forma cu două conice intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria dintre două conice?

În patru etape: se rezolvă sistemul ecuațiilor canonice pentru a găsi punctele de intersecție, se desenează și se descrie regiunea, se scriu conicele ca reuniuni de grafice alegând ramurile potrivite, apoi se integrează diferența funcțiilor între coordonatele punctelor de intersecție. La final se verifică semnul și încadrarea.

Cât este aria dintre parabolele $y^2=2px$ și $x^2=2py$?

Este $\frac{4p^2}{3}$, adică exact o treime din aria pătratului de latură $2p$ determinat de punctele lor de intersecție, $O(0,0)$ și $(2p,2p)$. Cele două parabole taie acel pătrat în trei suprafețe de arii egale, rezultat care se verifică pentru orice valoare a lui $p$.

Când se rupe regiunea în două integrale?

Când marginea de sus (sau de jos) a regiunii este dată de o conică pe o porțiune și de cealaltă pe restul intervalului — situația tipică la cerc și parabolă. Alternativa este schimbarea variabilei de integrare: adesea, integrând după $y$ în loc de $x$, regiunea se descrie printr-o singură pereche de curbe.

Ce fac dacă cele două conice nu se intersectează?

Dacă una este în interiorul celeilalte, aria dintre ele este diferența ariilor celor două suprafețe — de exemplu $\pi r^2-\pi ab$ pentru un cerc și o elipsă concentrice. Nu se caută limite de integrare inexistente. Dacă niciuna nu o conține pe cealaltă, regiunea „dintre ele" nici nu este definită.

Ce este segmentul parabolic?

Este suprafața mărginită de un arc de parabolă și de coarda care îi unește capetele. Aria lui este $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului circumscris, cu laturile paralele cu axa parabolei și cu coarda — rezultatul lui Arhimede, obținut de el prin epuizare, iar de noi într-un rând de integrală.

De ce se respinge una dintre soluțiile sistemului?

Pentru că ridicarea la pătrat și substituțiile pot introduce soluții străine. Parabola $y^2=2px$ are numai puncte cu $x\ge 0$, iar $x^2=2py$ numai puncte cu $y\ge 0$; o rădăcină negativă a ecuației în $x$ sau în $y$ nu corespunde niciunui punct real al curbei și se elimină, cu motivul scris.

Cum verific rezultatul fără calculator?

Compară-l cu aria unei figuri cunoscute care conține regiunea: discul, interiorul elipsei, pătratul sau dreptunghiul circumscris. Apoi pune un caz particular — parabole cu același parametru, elipsă cu semiaxele egale — și vezi dacă formula redă un rezultat cunoscut. Dacă aria se poate calcula pe două drumuri, coincidența lor este controlul cel mai sigur.

Aceste arii se cer la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum ariile delimitate de două conice nu au apărut, pentru că întreg capitolul de conice intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Tehnica de bază — aria dintre două grafice, cu limitele date de intersecții — este însă materie de examen de mulți ani, în forma cu funcții obișnuite.