Arii cu parabole, hiperbole și drepte: pe scurt

Aria unei suprafețe mărginite de o conică și de o dreaptă se calculează integrând diferența dintre curba de deasupra și cea de dedesubt, între abscisele punctelor de intersecție; ordinea se stabilește dinainte, cu un punct de test, iar modulul dispare. Prima dificultate este că o conică nu este graficul unei funcții: parabola $y^2=2px$ este reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \sqrt{2px}$, iar hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ este reuniunea graficelor lui $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$. De aici criteriul „după $x$ vs după $y$”: integrezi după acea variabilă pentru care regiunea este mărginită de aceleași două curbe pe tot intervalul. Regula practică: la o parabolă cu axa orizontală integrează după $y$, pentru că $x=\frac{y^2}{2p}$ nu are radical și nu are ramuri; la una cu axa verticală, după $x$. Alegerea greșită obligă adesea la două integrale. Două rezultate se rețin ca verificare: aria dintre o parabolă și o coardă perpendiculară pe axă este $\frac{2}{3}$ din dreptunghiul circumscris, iar pentru o coardă oarecare, $\mathcal{S}=\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12p}$. Sub hiperbola $xy=k$, aria pe $[\alpha ,\beta ]$ este $k\ln \frac{\beta }{\alpha }$ și depinde numai de raportul capetelor. Aceste arii intră în subiectele de Bacalaureat M1 odată cu programa nouă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=16x$ și de dreapta $x=4$ este:

   • a) $\frac{128}{3}$
   • b) $\frac{64}{3}$
   • c) $\frac{256}{3}$
   • d) $32$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{128}{3}$

   Din $x=4$ rezultă $y^2=64$, deci $y=\pm 8$. Integrând după $y$: $\mathcal{S}={\int }_{-8}^8\left(4-\frac{y^2}{16}\right)dy=\left(4y-\frac{y^3}{48}\right){|}_{-8}^8=\frac{128}{3}$. Varianta $\frac{64}{3}$ apare când se integrează o singură ramură a parabolei — jumătate din regiune. Control: dreptunghiul circumscris are laturile $4$ și $16$, iar $\frac{2}{3}\cdot 64=\frac{128}{3}$.

2. Pentru a calcula aria unei regiuni mărginite de parabola $y^2=2px$ și de o dreaptă, este de regulă mai scurt să integrezi:

   • a) după $x$, pentru că parabola este graficul unei funcții
   • b) indiferent, cele două drumuri au întotdeauna aceeași lungime
   • c) după $x$, pentru că limitele sunt mereu abscisele
   • d) după $y$, pentru că $x=\frac{y^2}{2p}$ nu are radical și nu are ramuri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) după $y$, pentru că $x=\frac{y^2}{2p}$ nu are radical și nu are ramuri

   Parabola cu axa orizontală nu este graficul unei funcții de $x$: are două ramuri, $\pm \sqrt{2px}$. Scrisă însă ca $x=\frac{y^2}{2p}$, ea devine o funcție de $y$, fără radical și fără ramuri, iar regiunea este mărginită la stânga și la dreapta de aceleași două curbe. Integrarea după $x$ obligă adesea la ruperea intervalului în două — la aceeași arie, cu de trei ori mai mult calcul.

3. Aria regiunii mărginite de hiperbola $xy=12$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=2$, $x=6$ este:

   • a) $12\ln 4$
   • b) $12\ln 3$
   • c) $4\ln 3$
   • d) $12\ln 12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12\ln 3$

   Pe $[2,6]$ funcția $y=\frac{12}{x}$ este continuă și pozitivă, deci $\mathcal{S}={\int }_2^6\frac{12}{x}dx=12\ln x{|}_2^6=12\ln \frac{6}{2}=12\ln 3$. Modulul nu apare, pentru că lucrăm pe un interval din $(0,+\infty )$. Rezultatul depinde numai de raportul capetelor: aria pe $[2,6]$ este egală cu aria pe $[1,3]$.