Arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte

O antenă parabolică, secțiunea unui jgheab de scurgere, oglinda unui far — toate au un contur de parabolă tăiat de o dreaptă, iar cine le fabrică trebuie să știe câtă tablă intră în ele. Programa clasei a 12-a cere exact această deprindere, formulată matematic: determinarea coordonatelor punctelor de intersecție dintre o dreaptă și o conică și calcularea ariei unei suprafețe delimitate de acestea, utilizând ecuațiile lor canonice și funcțiile integrabile. Aria unei suprafețe delimitate de o conică și de o dreaptă se obține aflând întâi punctele lor de intersecție și integrând apoi diferența dintre curba de deasupra și cea de dedesubt, după $x$ sau, uneori mai simplu, după $y$.

Ai deja ambele jumătăți ale răspunsului. Punctele de intersecție se află prin metoda fixată la intersecția unei conice cu o dreaptă: substituție și ecuație de gradul al doilea. Aria dintre două curbe se calculează cu integrala diferenței, așa cum s-a stabilit la aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții. Lecția aceasta le pune cap la cap și adaugă singurul element cu adevărat nou: la conice, uneori este mult mai simplu să integrezi după $y$ decât după $x$.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli punctele de intersecție dintre o conică și o dreaptă și să le folosești drept limite de integrare.
• Vei ști să calculezi aria mărginită de o parabolă și o dreaptă, pe ambele drumuri: după $x$ și după $y$.
• Vei ști să recunoști când integrarea după $y$ scurtează calculul de la două integrale la una.
• Vei ști să calculezi arii mărginite de hiperbola $xy=k$, de axe și de drepte, unde apare logaritmul natural.
• Vei ști să calculezi aria dintre o hiperbolă în formă canonică și o coardă verticală.
• Vei ști să controlezi rezultatul prin încadrare într-un dreptunghi și prin formule de verificare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă aria unei suprafețe delimitate de o conică și de o dreaptă?

Aria unei suprafețe delimitate de o conică și de o dreaptă este integrala definită a diferenței dintre funcția care mărginește regiunea deasupra și cea care o mărginește dedesubt, calculată între abscisele punctelor de intersecție ale celor două curbe. Când regiunea se descrie mai comod pe orizontală, aceleași cuvinte se aplică cu rolurile axelor schimbate: la stânga, la dreapta și ordonatele punctelor de intersecție.

Instrumentele sunt cele din lecția precedentă: primitivele cu radical și formulele deja demonstrate pentru aria discului și aria interiorului unei elipse se folosesc aici ca rezultate gata făcute. Pornim de la formula fixată pentru două funcții continue pe $[a,b]$:

$$\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx,$$

din care modulul dispare de îndată ce am stabilit cine este deasupra pe fiecare interval. La conice, ordinea „cine este deasupra" se citește de obicei direct din desen, iar un singur punct de test o confirmă.

Un obicei care salvează puncte: după ce ai găsit punctele de intersecție, substituie-le în ambele ecuații, nu doar în cea din care le-ai scos. O eroare de semn la rezolvarea sistemului se vede imediat, iar dacă limitele de integrare sunt greșite tot calculul care urmează este pierdut, oricât de corect ar fi.

Singura complicație este că o conică nu este, în general, graficul unei funcții. De aceea primul pas al oricărei probleme de acest tip este scrierea conicei ca reuniune de grafice, în forma stabilită la recunoașterea conicelor: parabola $y^2=2px$ este reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \sqrt{2px}$ pe $[0,+\infty )$, iar hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ este reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$.

2. Cum se află aria parabolei tăiate de o dreaptă verticală?

Firul roșu al lecției este parabola $y^2=12x$, cu $2p=12$. O tăiem cu dreapta verticală $x=3$ și cerem aria bucății cuprinse între arcul de parabolă și această dreaptă.

Intersecțiile. Înlocuind $x=3$ în ecuația parabolei obținem $y^2=36$, deci $y=\pm 6$. Punctele sunt $(3,6)$ și $(3,-6)$; verticala taie parabola în două puncte, deci este secantă.

Drumul după $x$. Pe intervalul $[0,3]$, regiunea este cuprinsă între ramura de jos, $-\sqrt{12x}$, și ramura de sus, $\sqrt{12x}$. Prin simetrie față de axa $Ox$,

$$\mathcal{S}={\int }_0^3(\sqrt{12x}-(-\sqrt{12x}\left)\right)dx=2{\int }_0^3\sqrt{12x}dx=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_0^3=24.$$

Drumul după $y$. Scriem parabola sub forma $x=\frac{y^2}{12}$ și observăm că, pentru fiecare $y\in [-6,6]$, regiunea se întinde de la parabolă, la stânga, până la dreapta $x=3$. Deci

$$\mathcal{S}={\int }_{-6}^6\left(3-\frac{y^2}{12}\right)dy=\left(3y-\frac{y^3}{36}\right){|}_{-6}^6=12-(-12)=24.$$

Același număr, obținut din două integrale complet diferite — cel mai bun control posibil.

Un control geometric. Dreptunghiul circumscris regiunii are lățimea $3$ și înălțimea $12$ (coarda dintre $(3,-6)$ și $(3,6)$), deci aria $36$. Raportul este $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$, iar acest raport nu este întâmplător: el se păstrează pentru orice parabolă tăiată de o coardă perpendiculară pe axă. Rezultatul este cunoscut din Antichitate și îl vom relua la arii delimitate de două conice.

3. Când este mai simplu să integrezi după $y$?

La exemplul de mai sus cele două drumuri au fost la fel de scurte, pentru că figura era simetrică. De obicei nu este așa, iar diferența devine mare. Reține criteriul:

• integrezi după $x$ dacă, pentru fiecare $x$ din interval, regiunea este mărginită sus și jos de aceleași două curbe;
• integrezi după $y$ dacă, pentru fiecare $y$ din interval, regiunea este mărginită la stânga și la dreapta de aceleași două curbe.

La parabolele de forma $y^2=2px$, care se deschid spre dreapta sau spre stânga, condiția a doua este de obicei cea îndeplinită: ecuația se rezolvă imediat în $x$, fără radical și fără ramuri, $x=\frac{y^2}{2p}$. Dacă insiști să integrezi după $x$, ești adesea obligat să rupi intervalul în două, pentru că pe o parte regiunea este mărginită de cele două ramuri ale parabolei, iar pe cealaltă de o ramură și de dreaptă.

Regula practică, pe care merită să o scrii pe marginea caietului: la o parabolă cu axa orizontală, integrează după $y$; la una cu axa verticală, după $x$. Restul cazurilor se decid privind desenul.

4. Cum se află aria parabolei tăiate de o dreaptă oblică?

Luăm aceeași parabolă $y^2=12x$ și dreapta $y=3x-3$.

Intersecțiile. Din $x=\frac{y+3}{3}$ și $x=\frac{y^2}{12}$ rezultă $\frac{y^2}{12}=\frac{y+3}{3}$, adică $y^2-4y-12=0$, cu soluțiile $y_1=-2$ și $y_2=6$. Punctele de intersecție sunt $\left(\frac{1}{3},-2\right)$ și $(3,6)$; amândouă se verifică imediat în ambele ecuații.

Drumul după $y$ — o singură integrală. Pentru fiecare $y\in [-2,6]$, regiunea se întinde de la parabolă până la dreaptă, iar dreapta este la dreapta parabolei (verifici cu $y=0$: parabola dă $x=0$, dreapta dă $x=1$). Deci

$$\mathcal{S}={\int }_{-2}^6\left(\frac{y+3}{3}-\frac{y^2}{12}\right)dy=\left(\frac{y^2}{6}+y-\frac{y^3}{36}\right){|}_{-2}^6=6-\left(-\frac{10}{9}\right)=\frac{64}{9}.$$

Drumul după $x$ — două integrale. Pe $\left[0,\frac{1}{3}\right]$ regiunea este cuprinsă între cele două ramuri ale parabolei; pe $\left[\frac{1}{3},3\right]$, între ramura de sus și dreaptă. Prin urmare

$$\mathcal{S}={\int }_0^{1/3}2\sqrt{12x}dx+{\int }_{1/3}^3(\sqrt{12x}-(3x-3))dx,$$

Prima integrală valorează $\frac{8}{9}$, a doua $\frac{56}{9}$, iar suma lor este tot $\frac{64}{9}$. Se vede limpede de ce criteriul de la punctul 3 merită respectat: același rezultat, cu de trei ori mai mult calcul și cu două ocazii în plus de a greși un capăt.

⚠️ Ruperea intervalului nu este o alegere de stil, ci o obligație atunci când integrezi după $x$: pe prima porțiune regiunea nu atinge deloc dreapta, iar dacă scrii o singură integrală de la $0$ la $3$ cu diferența „ramura de sus minus dreaptă", adaugi o bucată care nu face parte din regiune și scazi una care face.

Formula de control. Pentru orice parabolă $y^2=2px$ tăiată de o dreaptă în punctele de ordonate $y_1<y_2$ are loc identitatea $\frac{y^2}{2p}-\frac{y-n}{m}=\frac{1}{2p}(y-y_1)(y-y_2)$, de unde

$$\mathcal{S}=\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12p}.$$

Justificarea este scurtă: diferența funcțiilor este un trinom de gradul al doilea în $y$, cu coeficientul dominant $\frac{1}{2p}$ și cu rădăcinile $y_1$, $y_2$, iar ${\int }_{y_1}^{y_2}(y-y_1)(y_2-y)dy=\frac{(y_2-y_1{)}^3}{6}$, calcul care se face o singură dată, cu substituția $y=y_1+t$.

Aici $2p=12$ și $y_2-y_1=8$, deci $\mathcal{S}=\frac{512}{72}=\frac{64}{9}$ — se potrivește. Formula nu înlocuiește calculul într-un subiect de examen, dar verifică răspunsul în zece secunde.

5. De ce apare logaritmul la hiperbola $xy=k$?

Hiperbola echilateră raportată la asimptote, $xy=k$ cu $k>0$, este singura conică studiată care este graficul unei funcții elementare: $y=\frac{k}{x}$, funcția de proporționalitate inversă din clasa a IX-a, de la funcția putere cu exponent întreg. Ramura din primul cadran este continuă și pozitivă pe orice interval $[\alpha ,\beta ]\subset (0,+\infty )$, deci aria de sub ea se calculează direct:

$$\mathcal{S}={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{k}{x}dx=k\ln x{|}_{\alpha }^{\beta }=k\ln \frac{\beta }{\alpha }.$$

Apariția logaritmului nu e o coincidență, ci consecința rândului $3$ din tabelul primitivelor: singura funcție putere a cărei primitivă nu este tot o putere este $\frac{1}{x}$. Modulul nu apare, pentru că lucrăm pe un interval din $(0,+\infty )$, unde $x>0$.

Exemplu. Pentru hiperbola $xy=6$, axa $Ox$ și dreptele $x=1$, $x=3$: $\mathcal{S}=6\ln 3\approx 6,592$. Controlul prin încadrare: pe $[1,3]$ funcția $\frac{6}{x}$ ia valori între $2$ și $6$, deci aria este între $2\cdot 2=4$ și $6\cdot 2=12$ — și chiar este.

Observă și forma răspunsului: $k\ln \frac{\beta }{\alpha }$ depinde doar de raportul capetelor. Aria de sub hiperbolă între $1$ și $3$ este egală cu aria dintre $10$ și $30$ — proprietatea care a făcut din hiperbolă, istoric, primul model al logaritmului.

O consecință practică: aria de sub hiperbolă pe $[1,2]$ este egală cu aria pe $[2,4]$ și cu cea pe $[4,8]$, toate fiind $k\ln 2$, deși intervalele au lungimi $1$, $2$ și $4$. Curba scade exact atât cât trebuie ca să compenseze lățirea intervalului — un fapt care se vede bine pe hârtie milimetrică și care explică de ce logaritmul transformă produse în sume.

Hiperbola $xy=k$ are însă două ramuri: cea din primul cadran, cu $x>0$, și cea din al treilea, cu $x<0$. Pe a doua, funcția $\frac{k}{x}$ este negativă, deci integrala ei nu mai este direct aria, ci opusul ei; acolo se lucrează cu $\int \left|\frac{k}{x}\right|dx$ și apare $\ln |x|$. Nicio problemă de examen nu amestecă cele două ramuri într-o singură integrală: ele sunt despărțite de axa $Oy$, unde funcția nici măcar nu e definită.

6. Cum se află aria dintre hiperbola $xy=k$ și o dreaptă?

Regiunea mărginită de hiperbola $xy=6$ și de dreapta $x+y=7$ se tratează la fel ca orice arie dintre două grafice.

Intersecțiile. Din $y=7-x$ și $y=\frac{6}{x}$ rezultă $x(7-x)=6$, adică $x^2-7x+6=0$, cu soluțiile $x_1=1$ și $x_2=6$. Punctele sunt $(1,6)$ și $(6,1)$, ambele verificate în ambele ecuații.

Cine este deasupra. La mijlocul intervalului, pentru $x=3$, dreapta dă $y=4$, iar hiperbola $y=2$: dreapta este deasupra pe tot $[1,6]$, deci modulul dispare cu diferența scrisă în această ordine.

$$\mathcal{S}={\int }_1^6\left(7-x-\frac{6}{x}\right)dx=\left(7x-\frac{x^2}{2}-6\ln x\right){|}_1^6=\frac{35}{2}-6\ln 6\approx 6,749.$$

Controlul: regiunea încape într-un dreptunghi de laturi $5$ și $5$, deci aria ei este cu siguranță sub $25$; iar cum forma este o „lentilă" subțire, un rezultat de ordinul lui $7$ este plauzibil.

7. Hiperbola în formă canonică și o coardă verticală

Fie hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$, cu $a=3$ și $b=2$, și coarda verticală $x=5$. Elementele hiperbolei au fost fixate la elementele hiperbolei și reprezentarea ei grafică.

Intersecțiile. Pentru $x=5$ obținem $\frac{y^2}{4}=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$, deci $y=\pm \frac{8}{3}$. Punctele $\left(5,\frac{8}{3}\right)$ și $\left(5,-\frac{8}{3}\right)$ sunt raționale, ceea ce ne scutește de radicali în limitele de integrare.

Calculul. Regiunea, cuprinsă între ramura din dreapta a hiperbolei și coardă, este simetrică față de axa $Ox$, pentru că ecuația conține numai puteri pare ale lui $y$. Ne folosim de simetrie și calculăm doar jumătatea de deasupra axei, pe care ramura hiperbolei este graficul funcției $x\mapsto \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$:

$$\mathcal{S}=2{\int }_3^5\frac{2}{3}\sqrt{x^2-9}dx=\frac{4}{3}{\int }_3^5\sqrt{x^2-9}dx.$$

O primitivă a funcției $x\mapsto \sqrt{x^2-a^2}$ pe $(a,+\infty )$, dedusă la integrarea prin părți cu aplicare repetată, este

$$G(x)=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|.$$

Cu $a=3$: $G(5)=10-\frac{9}{2}\ln 9$ și $G(3)=-\frac{9}{2}\ln 3$, deci $G(5)-G(3)=10-\frac{9}{2}\ln 3$ și

$$\mathcal{S}=\frac{4}{3}\left(10-\frac{9}{2}\ln 3\right)=\frac{40}{3}-6\ln 3\approx 6,742.$$

Aici drumul după $y$ ar fi cerut $x=\frac{3}{2}\sqrt{y^2+4}$, adică o integrală cu radicalul $\sqrt{y^2+a^2}$ — la fel de grea. Când ambele drumuri sunt comparabile, alege-l pe cel în care limitele sunt numere mai simple.

8. Ce controale faci înainte de a scrie răspunsul?

Orice arie calculată în acest capitol trebuie să treacă patru controale, în această ordine.

(1) Semnul. Aria iese pozitivă. Un rezultat negativ înseamnă că ai scăzut invers sau că ai încurcat limitele; nu se „corectează" punând modul la sfârșit, ci se reface ordinea.

(2) Încadrarea. Desenează cel mai mic dreptunghi cu laturile paralele cu axele care conține regiunea și compară. La punctul 2, regiunea avea $24$ dintr-un dreptunghi de $36$ — plauzibil. Dacă rezultatul depășește dreptunghiul, greșeala este sigură.

(3) Al doilea drum. Când regiunea se poate descrie și după cealaltă variabilă, refă calculul: coincidența celor două rezultate prinde practic orice greșeală, pentru că cele două integrale nu au niciun pas comun. Este controlul folosit la punctul 2 și cel mai puternic dintre toate.

(4) Verificarea numerică. Programa recomandă explicit folosirea instrumentelor digitale pentru verificarea ariilor delimitate de conice și de drepte. Un program de calcul simbolic sau o aplicație de geometrie dinamică îți dă valoarea aproximativă a integralei în câteva secunde; dacă ea diferă de rezultatul tău în a doua zecimală, calculul algebric are o greșeală. Verificarea numerică nu demonstrează nimic, dar prinde aproape orice eroare de semn sau de limită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Parabolă și dreaptă verticală

Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=8x$ și de dreapta $x=2$.

Intersecțiile: $y^2=16$, deci $y=\pm 4$. Integrăm după $y$, cu $x=\frac{y^2}{8}$:

$$\mathcal{S}={\int }_{-4}^4\left(2-\frac{y^2}{8}\right)dy=\left(2y-\frac{y^3}{24}\right){|}_{-4}^4=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\approx 10,67.$$

Controlul: dreptunghiul circumscris are aria $2\cdot 8=16$, iar $\frac{32}{3}:16=\frac{2}{3}$, raportul așteptat.

Exemplul 2 — Parabolă și dreaptă oblică

Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=8x$ și de dreapta $y=4x-4$.

Din $x=\frac{y+4}{4}$ și $x=\frac{y^2}{8}$ rezultă $y^2-2y-8=0$, cu $y_1=-2$ și $y_2=4$; punctele sunt $\left(\frac{1}{2},-2\right)$ și $(2,4)$. Integrăm după $y$:

$$\mathcal{S}={\int }_{-2}^4\left(\frac{y+4}{4}-\frac{y^2}{8}\right)dy=\left(\frac{y^2}{8}+y-\frac{y^3}{24}\right){|}_{-2}^4=\frac{9}{2}.$$

Formula de control dă $\frac{(4-(-2){)}^3}{12\cdot 4}=\frac{216}{48}=\frac{9}{2}$ — se potrivește.

Exemplul 3 — Hiperbola $xy=k$ și două verticale

Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $xy=4$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=4$.

$$\mathcal{S}={\int }_1^4\frac{4}{x}dx=4\ln x{|}_1^4=4\ln 4\approx 5,545.$$

Încadrarea: pe $[1,4]$ funcția ia valori între $1$ și $4$, deci aria este între $3$ și $12$.

Exemplul 4 — Hiperbolă și dreaptă

Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $xy=9$ și de dreapta $x+y=10$.

Din $x(10-x)=9$ obținem $x^2-10x+9=0$, cu $x_1=1$ și $x_2=9$; punctele sunt $(1,9)$ și $(9,1)$. Pentru $x=3$ dreapta dă $7$, iar hiperbola $3$, deci dreapta este deasupra:

$$\mathcal{S}={\int }_1^9\left(10-x-\frac{9}{x}\right)dx=\left(10x-\frac{x^2}{2}-9\ln x\right){|}_1^9=40-9\ln 9\approx 20,22.$$

Controlul prin încadrare: regiunea este cuprinsă în dreptunghiul $[1,9]\times [1,9]$, de arie $64$, iar forma ei de lentilă subțire face plauzibil un rezultat de ordinul lui $20$. Observă și simetria enunțului: atât hiperbola $xy=9$, cât și dreapta $x+y=10$ sunt simetrice față de prima bisectoare, deci și regiunea este — de aceea punctele de intersecție ies una imaginea celeilalte, $(1,9)$ și $(9,1)$.

Exemplul 5 — Hiperbolă canonică și coardă

Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ și de dreapta $x=4$.

Aici $a=2$, $b=3$. Pentru $x=4$: $\frac{y^2}{9}=3$, deci $y=\pm 3\sqrt{3}$. Cu simetria față de $Ox$ și cu primitiva $G$ pentru $a=2$:

$$\mathcal{S}=3{\int }_2^4\sqrt{x^2-4}dx=3\left(4\sqrt{3}-2\ln \left(2+\sqrt{3}\right)\right)=12\sqrt{3}-6\ln \left(2+\sqrt{3}\right)\approx 12,88.$$

Am folosit $G(4)=4\sqrt{3}-2\ln (4+2\sqrt{3})$, $G(2)=-2\ln 2$ și $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{12x}$.

a) Arătați că graficul lui $f$ este una dintre cele două ramuri ale parabolei $y^2=12x$ și precizați care.

Pentru $x\ge 0$, punctul $(x,f(x))$ verifică $f(x{)}^2=12x$, deci se află pe parabolă; cum $f(x)\ge 0$, este ramura de deasupra axei $Ox$. Reciproc, orice punct al parabolei cu $y\ge 0$ are $y=\sqrt{12x}$.

b) Calculați ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

$${\int }_0^3\sqrt{12x}dx=2\sqrt{3}{\int }_0^3\sqrt{x}dx=2\sqrt{3}\cdot \frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^3=2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=12.$$

c) Determinați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=12x$ și de dreapta $x=3$.

Regiunea este simetrică față de axa $Ox$, iar jumătatea ei de sus este subgraficul lui $f$ pe $[0,3]$. Prin urmare aria este $2\cdot 12=24$. Cum dreptunghiul circumscris are aria $36$, raportul este $\frac{2}{3}$, ceea ce confirmă rezultatul.

Să exersăm

1. Calculați ${\int }_0^2\sqrt{8x}dx$.

2. Determinați punctele de intersecție dintre parabola $y^2=12x$ și dreapta $x=3$.

3. Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=8x$ și de dreapta $x=2$.

4. Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=12x$ și de dreapta $x=3$.

5. Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=4x$ și de dreapta $x=4$, integrând după $y$.

6. Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $xy=6$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=3$.

7. Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $xy=4$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=4$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru a calcula aria dintre parabola $y^2=2px$ și o dreaptă trebuie întotdeauna să integrezi după $x$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=12x$ și de dreapta $x=3$ este ${\int }_0^3\sqrt{12x}dx$."

10. Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=8x$ și de dreapta $y=4x-4$.

11. Calculați aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=12x$ și de dreapta $y=3x-3$.

12. Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $xy=9$ și de dreapta $x+y=10$.

13. Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ și de dreapta $x=5$.

14. (Problemă aplicată.) Secțiunea transversală a unui jgheab este mărginită de parabola de ecuație $x^2=4y$ și de dreapta orizontală $y=4$, cu unitatea în decimetri. Calculați aria secțiunii.

15. Arătați că raportul dintre aria suprafeței mărginite de parabola $y^2=2px$ și dreapta $x=k$ și aria dreptunghiului circumscris regiunii este $\frac{2}{3}$, oricare ar fi $p$ și $k$ pozitive.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabola $y^2=8x$ și dreapta $y=4x-4$. a) Determinați coordonatele punctelor de intersecție. b) Arătați că, pentru $y\in [-2,4]$, dreapta se află la dreapta parabolei. c) Calculați aria suprafeței mărginite de cele două curbe.

17. Verificați formula $\mathcal{S}=\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12p}$ pe exemplele de la exercițiile 10 și 11.

18. (Provocare.) Calculați aria suprafeței mărginite de hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ și de dreapta $x=4$, apoi explicați de ce răspunsul conține atât un radical, cât și un logaritm.

Răspunsuri și explicații

1. ${\int }_0^{2}2\sqrt{2}\sqrt{x}dx=2\sqrt{2}\cdot \frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^2=2\sqrt{2}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{16}{3}\approx 5,33$.

2. $y^2=36$, deci punctele sunt $(3,6)$ și $(3,-6)$.

3. $\mathcal{S}={\int }_{-4}^4\left(2-\frac{y^2}{8}\right)dy=\frac{32}{3}\approx 10,67$ (Exemplul 1).

4. $\mathcal{S}=24$ — calculul din secțiunea 2, pe oricare dintre cele două drumuri.

5. Intersecțiile: $y=\pm 4$. $\mathcal{S}={\int }_{-4}^4\left(4-\frac{y^2}{4}\right)dy=\left(4y-\frac{y^3}{12}\right){|}_{-4}^4=\frac{64}{3}\approx 21,33$.

6. $\mathcal{S}={\int }_1^3\frac{6}{x}dx=6\ln 3\approx 6,592$.

7. $\mathcal{S}=4\ln 4\approx 5,545$ (Exemplul 3).

8. Fals. Parabolele $y^2=2px$ se scriu imediat sub forma $x=\frac{y^2}{2p}$, fără radical și fără ramuri, deci integrarea după $y$ este de obicei mai scurtă; uneori ea evită și ruperea intervalului în două.

9. Fals. Acea integrală dă doar jumătatea de deasupra axei $Ox$, adică $12$. Aria întregii regiuni este dublul, $24$.

10. $\mathcal{S}=\frac{9}{2}=4,5$ (Exemplul 2).

11. $\mathcal{S}={\int }_{-2}^6\left(\frac{y+3}{3}-\frac{y^2}{12}\right)dy=\frac{64}{9}\approx 7,11$.

12. $\mathcal{S}=40-9\ln 9\approx 20,22$ (Exemplul 4).

13. Intersecțiile sunt $\left(5,\pm \frac{8}{3}\right)$, iar $\mathcal{S}=\frac{4}{3}{\int }_3^5\sqrt{x^2-9}dx=\frac{40}{3}-6\ln 3\approx 6,742$.

14. Intersecțiile: $x^2=16$, deci $x=\pm 4$. $\mathcal{S}={\int }_{-4}^4\left(4-\frac{x^2}{4}\right)dx=\left(4x-\frac{x^3}{12}\right){|}_{-4}^4=\frac{64}{3}\approx 21,33$ decimetri pătrați. Aici parabola are axa verticală, deci se integrează după $x$.

15. Intersecțiile au ordonatele $\pm \sqrt{2pk}$. Aria este ${\int }_{-\sqrt{2pk}}^{\sqrt{2pk}}\left(k-\frac{y^2}{2p}\right)dy=2k\sqrt{2pk}-\frac{2(2pk)\sqrt{2pk}}{6p}=\frac{4}{3}k\sqrt{2pk}$, iar dreptunghiul circumscris are aria $2k\sqrt{2pk}$. Raportul este $\frac{2}{3}$.

16. a) $y^2-2y-8=0$ dă $y\in \{-2,4\}$, deci punctele $\left(\frac{1}{2},-2\right)$ și $(2,4)$. b) Pentru $y\in [-2,4]$, diferența $\frac{y+4}{4}-\frac{y^2}{8}=-\frac{1}{8}(y+2)(y-4)$ este pozitivă, deci dreapta este la dreapta parabolei. c) $\mathcal{S}=\frac{9}{2}$.

17. La exercițiul 10: $2p=8$, deci $p=4$, iar $\frac{6^3}{48}=\frac{9}{2}$ ✓. La exercițiul 11: $2p=12$, deci $p=6$, iar $\frac{8^3}{72}=\frac{64}{9}$ ✓.

18. $\mathcal{S}=12\sqrt{3}-6\ln \left(2+\sqrt{3}\right)\approx 12,88$ (Exemplul 5). Radicalul vine din valoarea funcției în capătul $x=4$, adică din termenul $\frac{x\sqrt{x^2-4}}{2}$ al primitivei, iar logaritmul din al doilea termen al aceleiași primitive, cel care provine din $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$.

De reținut

• Aria dintre o conică și o dreaptă se calculează integrând diferența dintre funcția „de deasupra" și cea „de dedesubt", între abscisele punctelor de intersecție; ordinea se stabilește înainte, iar modulul dispare.
• La parabolele cu axa orizontală, $y^2=2px$, integrarea după $y$ este aproape întotdeauna mai scurtă, pentru că $x=\frac{y^2}{2p}$ nu are radical și nu are ramuri.
• Aria dintre parabola $y^2=2px$ și o coardă perpendiculară pe axă este exact $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului circumscris regiunii.
• Aria de sub hiperbola $xy=k$, între $x=\alpha$ și $x=\beta$, este $k\ln \frac{\beta }{\alpha }$ și depinde numai de raportul capetelor.
• Aria dintre o hiperbolă în formă canonică și o coardă verticală se calculează cu primitiva $G(x)=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|$.

Greșeli frecvente

• Integrezi doar o ramură a parabolei. ${\int }_0^k\sqrt{2px}dx$ dă jumătate din regiune, pentru că parabola $y^2=2px$ este reuniunea a două grafice. Fie dublezi, fie integrezi diferența ramurilor.
• Alegi variabila greșită și rupi degeaba intervalul. Dacă la o parabolă cu axa orizontală integrezi după $x$, ești adesea obligat la două integrale. Privește desenul înainte de a scrie prima integrală și decide după criteriul „aceleași două curbe".
• Scazi în ordinea greșită. Rezultatul iese negativ, iar tentația este să pui modul la sfârșit. Corect este să stabilești cine este deasupra printr-un punct de test și să rescrii diferența în ordinea potrivită.
• Uiți că punctele de intersecție dau limitele. Limitele de integrare nu se aleg din enunț „la ochi": ele sunt abscisele (sau ordonatele) punctelor de intersecție, obținute din sistemul celor două ecuații.
• Pierzi modulul la logaritm sau îl pui unde nu trebuie. Pe un interval din $(0,+\infty )$, primitiva lui $\frac{k}{x}$ se scrie $k\ln x$; modulul se păstrează însă în primitiva $G$, unde argumentul $x+\sqrt{x^2-a^2}$ poate fi negativ pe ramura din stânga.

Aplică acasă

1. Jgheabul din hârtie. Îndoaie o coală de carton astfel încât secțiunea ei să semene cu o parabolă, măsoară deschiderea și adâncimea, scrie ecuația parabolei corespunzătoare și calculează aria secțiunii. Compară rezultatul cu $\frac{2}{3}$ din aria dreptunghiului care o încadrează.

2. Logaritmul desenat. Trasează pe hârtie milimetrică graficul funcției $y=\frac{6}{x}$ pentru $x\in [1,6]$ și estimează, numărând pătrățelele, ariile de sub grafic pe $[1,2]$, pe $[2,4]$ și pe $[4,6]$. Verifică apoi că primele două sunt egale, ambele fiind $6\ln 2$, pentru că au același raport al capetelor.

3. Aceeași arie, două drumuri. Alege o parabolă $y^2=2px$ și o dreaptă oblică la alegere, calculează aria mai întâi după $y$, apoi după $x$ (cu ruperea intervalului), și cronometrează-te. Verifică ambele rezultate cu un instrument digital de calcul al integralelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă competența XII.CS.6.3 din programa de matematică-informatică — „utilizarea funcțiilor integrabile pentru calcularea unor arii delimitate de conice" — în cazul unei conice tăiate de o dreaptă. Este primul loc din tot liceul în care geometria analitică și analiza matematică lucrează împreună pe același desen: conica dă ecuațiile, integrala dă numărul.

Ce verifică lecția: (1) aflarea corectă a punctelor de intersecție, prin rezolvarea sistemului, și folosirea lor ca limite de integrare; (2) scrierea conicei ca reuniune de grafice și alegerea ramurii potrivite; (3) alegerea conștientă a variabilei de integrare, după forma regiunii; (4) apariția logaritmului la hiperbola $xy=k$ și folosirea corectă a modulului; (5) controlul rezultatului prin încadrare și prin formule de verificare.

Întrebări de control: „De ce integrezi după $y$ la parabola $y^2=2px$?", „Ce se întâmplă cu integrala dacă scazi în ordine inversă?", „De unde vine logaritmul în răspuns?", „Cum verifici, fără calculator, că răspunsul are ordinul de mărime corect?".

Semne că a înțeles: desenează figura înainte de a scrie prima integrală; scrie explicit punctul de test cu care a stabilit cine este deasupra; recunoaște singur când o singură integrală după $y$ înlocuiește două după $x$.

Unde apare la BAC: ariile calculate cu integrala definită sunt materie constantă de Subiectul al III-lea; forma cu conice intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria dintre o parabolă și o dreaptă?

Se află întâi punctele de intersecție, rezolvând sistemul format din ecuațiile celor două curbe. Apoi se integrează diferența dintre curba „din față" și cea „din spate", între coordonatele acelor puncte. La parabolele de forma $y^2=2px$ se integrează de obicei după $y$, cu $x=\frac{y^2}{2p}$.

Când se integrează după $y$ în loc de $x$?

Când, pentru fiecare $y$ din interval, regiunea este mărginită la stânga și la dreapta de aceleași două curbe. Este cazul tipic al parabolelor cu axa orizontală și al regiunilor „culcate". Criteriul practic: dacă integrarea după $x$ te obligă să rupi intervalul în două, încearcă după $y$.

De ce apare logaritmul natural la ariile cu hiperbolă?

Pentru că hiperbola $xy=k$ este graficul funcției $\frac{k}{x}$, iar aceasta este singura funcție putere a cărei primitivă nu este tot o putere, ci $\ln |x|$. Rezultatul $k\ln \frac{\beta }{\alpha }$ depinde doar de raportul capetelor, proprietate care a făcut din hiperbolă primul model geometric al logaritmului.

Care este formula rapidă pentru aria dintre o parabolă și o coardă?

Dacă parabola $y^2=2px$ este tăiată de o dreaptă în punctele de ordonate $y_1<y_2$, aria este $\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12p}$. Ea se obține scriind diferența funcțiilor sub forma $\frac{1}{2p}(y-y_1)(y-y_2)$. La examen se folosește ca verificare, nu ca rezolvare.

Ce fac dacă aria îmi iese negativă?

Ai scăzut în ordinea greșită sau ai inversat limitele de integrare. Nu pune modul la rezultat: întoarce-te la desen, alege un punct de test din interior, stabilește care funcție este deasupra și rescrie diferența în ordinea corectă. Aria este, prin definiție, un număr pozitiv.

Cum verific rezultatul fără calculator?

Cu dreptunghiul circumscris: cea mai mică „cutie" cu laturile paralele cu axele care conține regiunea. Aria căutată este obligatoriu mai mică decât aria cutiei și, pentru regiuni „pline", de obicei între jumătate și trei sferturi din ea. La parabola tăiată de o coardă perpendiculară pe axă raportul este exact $\frac{2}{3}$.

Aceste arii se cer la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum ariile delimitate de conice nu au apărut, pentru că, la fel ca întreg capitolul de conice, ele intră în examen odată cu programa nouă. Tehnica însă — aria dintre două grafice, cu limitele date de intersecții — este materie de examen de mulți ani, în forma cu funcții obișnuite.

Ce urmează după ariile cu o dreaptă?

Cazul în care ambele curbe sunt conice, tratat la arii delimitate de două conice: acolo intersecțiile cer sistemul a două ecuații de gradul al doilea, iar regiunea trebuie uneori împărțită în bucăți. Metoda de calcul rămâne însă exact aceasta.